Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Курс лекций
.pdf
9. Решение первой краевой задачи для уравнения
h
t,xut,hxu
x
t,xu
h
t,hxut,xu
h
t,xut,hxu
h
1
x
t,xu
2
2
22
2
h
t,hxut,xu2t,hxu
x
t,xu
t,hx
t,x
t,hx
lt,x
t
x
O
теплопроводности методом конечных разностей
Для решения уравнений математической физики с успехом используются
приближенные численные методы (см., например, [6]). Широко распространена
так называемая разностная схема: производные приближенно заменяются ко-
нечными разностями. Применительно к уравнению теплопроводности будем
считать (рис. 10):
или
Рис. 10.
, (9.1)
; (9.2)
41
аналогично
l
t,xult,xu
t
t,xu
2
2
2
x
u
a
t
u
,Lx0,x0,xu
,Tt0,tt,0u
1
,Tt0,tt,lu
2
Lx,0x,Tt,0t
Lx,0x,0t
x
1k,i
k,1i
k,i
k,1i
L
0
t
T
. (9.3)
Еще раз сформулируем первую краевую задачу. Требуется найти решение
уравнения теплопроводности
, (9.4)
удовлетворяющее краевым условиям:
(9.5)
(9.6)
(9.7)
т.е. требуется найти решение в прямоугольнике, ограниченном прямыми
, если заданы значения искомой функции на трех его сто-
ронах
(рис. 11).
Рис. 11.
42
Нанесем на нашу область сетку, образованную прямыми
,...2,1k,i,klt,ihx
k,i
ukl,ihu
kl,ih
2
k,1ik,ik,1i
2
k,i1k,i
h
uu2u
a
l
uu
1k,iu
k,1ik,1i
2
2
k,i
2
2
1k,i
uu
h
a
u
h
la2
1u
k,1ik,1ik,i
u,u,u
1k,iu
1k
0t
1t
h
l
и будем вычислять приближенные значения решения в узлах сетки. Обозначим
.
Вместо уравнения (9.4) запишем соответствующее ему разностное
уравнение для точки
. Используя (9.2) и (9.3), получим
. (9.8)
Отсюда получаем выражение для
:
. (9.9)
Из формулы (9.9) следует, что если нам известны три значения в k-м ряду:
, то определяется значение
в
-м ряду. Поскольку нам из-
вестны все значения на прямой
определим значения во всех внутренних точках на прямой
(см. формулу (9.5)), то по формуле (9.9) мы
; значения в край-
них точках на этой прямой нам также известны в силу формул (9.6) и (9.7). Действуя таким образом, мы определим значения решения во всех узлах сетки.
Можно доказать, что по формуле (9.9) можно получить приближенное ре-
шение не при произвольном соотношении шагов
43
и
, а только в том случае,
если
2
2
a2
h
l
0
h
la2
1
2
2
k,1ik,1i1k,i
uu
2
1
u
случае
. Формула (9.9) особенно упрощается, если
. В этом
. (9.10)
Если значения решения найдены в узлах сетки, то значения в промежутках
между узлами можно определить интерполированием или экстраполированием.
Более детальные сведения о численных методах решения уравнений в
частных производных можно почерпнуть, например, в учебном пособии [6] и
обширного списка приведенной в нем литературы.
44
10. Уравнение Лапласа. Краевые задачи
0
z
u
y
u
x
u
2
2
2
2
2
2
0u
2
2
2
2
2
2
zyx
ua
t
u
2
0
t
u
Уравнение Лапласа имеет вид
(10.1)
или
, (10.1')
где
оператор Лапласа. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. Приведем примеры задач, которые сводятся к уравнению Лапласа.
1. Стационарное (установившееся) распределение температуры в одно-
родном теле.
Мы уже знаем, что в общем случае распределение температуры (в пространстве и времени) в нагретом теле определяется уравнением теплопроводности
.
Если процесс установившийся, то температура от времени не зависит,
, следовательно, она удовлетворяет уравнению Лапласа (10.1).
Для однозначного решения этого уравнения следует задать температуру на
поверхности тела. Таким образом, для уравнения Лапласа краевая задача фор-
45
мулируется следующим образом: найти функцию
z,y,xu
M
Mu
1
nu
M
n
u
2
D
u
0
y
u
x
u
2
2
2
2
, удовлетворяю-
щую уравнению (10.1) внутри объема тела
и принимающую в каждой точке
поверхности заданные значения:
. (10.2)
Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для
уравнения (10.1).
Другая постановка задачи: в каждой точке поверхности тела задан тепло-
вой поток, пропорциональный нормальной производной
(10.2) на поверхности
задают условие
. Тогда вместо
. (10.3)
Такая задача называется задачей Неймана или второй краевой задачей для
уравнения Лапласа.
В математической физике рассматривают также задачу Дирихле-Неймана,
когда на одной части поверхности тела задаются значения искомой функции, а
на другой — значения ее нормальной производной.
Если рассматривается распределение температуры в плоской области
ограниченной контуром C, то функция
зависит от двух переменных x,y и
удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа
,
,
а условия (10.2) или (10.3) задают на контуре C.
2. Потенциальное течение жидкости или газа. Уравнение неразрывности.
46
Пусть в объеме , ограниченном поверхностью
kvjvivv
zyx
z,y,x
s
t
tSnvQ
n
S
Q
SdnvtQ
S
t
d
t
d
t
tdQ
1
QQ1
t
(объем может быть и
бесконечным), происходит течение жидкости. Пусть
плотность жидкости и скорость ее течения в точке
Выделим в теле
каждый элемент этой поверхности
малый объем , ограниченный поверхностью S. Через
за малый промежуток времени
дет количество жидкости
,
где
ности
— единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверх-
. Общее количество жидкости
, поступившей в объем
шей из него), равно интегралу
и
в момент времени t.
(или вытек-
—
прой-
Количество жидкости в объеме
а за время
оно изменится за счет изменения плотности на величину
в момент
,
. (10.4)
было
. (10.5)
Если в объеме
жидкости, т.е
, получим
нет источников, то это изменение вызвано притоком
. Приравнивая правые части (10.4), (10.5) и сокращая на
47
d
t
Sdnv
S
dvdivSdnv
S
x
A
y
A
x
A
Adiv
z
y
x
A
0dvdiv
t
0vdiv
t
0v
z
v
y
v
xt
zyx
0
t
,const
Интеграл в левой части равенства (10.6) можно преобразовать в соответствии с
известной (из векторного анализа и теории поля) формулой Остроградского:
. (10.6)
где
гда равенство (10.7) можно записать в виде
что дает в силу произвольности объема
ной функции
— дивергенция (расходимость) вектора
, (10.7)
. То-
,
и непрерывности подынтеграль-
или
Это и есть уравнение неразрывности течения сжимаемой жидкости.
Если жидкость несжимаемая, то
нимает вид
48
и уравнение (10.8) при-
. (10.8)
0vdiv
v
gradv
0graddiv
0
zyx
2
2
2
2
2
2
p
pgradkv1
0
z
p
y
p
x
p
2
2
2
2
2
2
. (10.9)
Если движение потенциальное, т.е вектор скорости
торой потенциальной функции
,
то уравнение (10.9) принимает вид
или
есть градиент неко-
, (10.10)
т.е. потенциальная функция скорости
должна удовлетворять уравнению
Лапласа. Сам Лаплас получил это уравнение применительно к гравитационно-
му полю и использовал его для обоснования и развития теории происхождения
Солнечной системы (теория Канта-Лапласа) из газопылевого облака.
В задачах фильтрации обычно считают, что скорость пропорциональна
градиенту давления
, т.е. полагают
;
тогда получаем уравнение Лапласа для давления
49
. (10.11)
Краевые условия для уравнений (10.10) и (10.11) могут быть такими же, как в
kJjJiJzyxJ
zyx
,,
J
S
S,0dsnJ
n
0Jdiv
J
E
EJ
E
0Erot
предыдущем примере, т.е. они могут соответствовать задаче Дирихле, Неймана или
Дирихле-Неймана для трехмерного пространства или на плоскости.
3. Потенциал стационарного электрического тока.
Пусть в однородной среде, заполняющей некоторый объем V, протекает
электрический ток, плотность которого в каждой точке задается вектором
.
Будем считать, что в рассматриваемом объеме нет источников тока. Тогда
поток вектора
через любую замкнутую поверхность
, лежащую внутри рассматрива-
емого объема, равен нулю, т.е.
где
— единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверх-
ности. Из формулы Остроградского тогда следует, что
Из обобщенного закона Ома следует, что плотность тока
нальна напряженности электрического поля
где
− проводимость среды, которую в дальнейшем будем считать постоянной.
. (10.12)
пропорцио-
:
, (10.13)
Из уравнений Максвелла следует, что если процесс стационарный, то элек-
трическое поле
безвихревое, т.е.
. (10.14)
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]