Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Курс лекций
.pdf
0t
00,xu
a
2
x
a
x
x
a
x
x
,xu
a
a
a
a
Рис. 7.
В момент времени
. Через небольшой промежуток времени
эти перепады компенсируют друг друга и
фронты возму-
щений разошлись незначительно и суммарное возмущение представляет собой
трапецеидальный импульс небольшой амплитуды (рис. 8а).
Рис. 8а.
21
С течением времени этот импульс уширяется, а амплитуда его растет. В
a
t
a
a
0x
0x1
x
x
1
x
a
,xu
a
2
2
a
2
,xu
a
x
3
3
момент времени
фронты перепадов перестали перекрываться, амплитуда
суммарного возмущения достигла своего максимума
пецеидальной стала треугольной (рис. 8б).
Рис. 8б.
, а его форма из тра-
В дальнейшем амплитуда суммарного возмущения в центральной части
струны остается максимальной, фронты перемещаются в соответствующие сто-
роны со скоростью
, форма снова становится трапецеидальной (см. рис. 8в).
Рис. 8в.
3. В самом общем случае, когда
и
, сценарии распростра-
нения возмущений вдоль струны могут быть весьма разнообразными. Напри-
мер, можно выбрать функции
и
таким образом, что в возмущении
22
присутствует только прямая волна, а обратной волны нет. В самом деле, пере-
atxatx
2
atxatx
t,xu
z
z
1
0atxatx
2
1
0atxatx
2
1
пишем (3.9) в виде
,
где
ные условия таким образом, что
получим режим бегущей прямой волны, а если подобрать условие
то возмущение представляет собой бегущую обратную волну.
― какая-либо первообразная от
. Ясно, что выбирая началь-
,
,
23
4. Ограниченная волна. Решение волнового уравнения
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
0t,lut,0u
xu0,xu
0t
x
t
u
1
0t
tTxXt,xu
tTxXatTxX
2
XTa
2
X
X
Ta
T
2
методом разделения переменных (методом Фурье)
Рассмотрим теперь случай ограниченной струны длины l, закрепленной на
концах. По-прежнему будем решать волновое уравнение
а краевые и начальные условия зададим в виде
;
Следуя Фурье, будем искать решение в виде
, (4.1)
, (4.2)
. (4.3)
, (4.4)
т.е. в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от x, дру-
гая – от t. Этот прием является типичным для решения многих задач математической физики.
Подставляя (4.4) в (4.1), получаем
и, разделив обе части на
,
, имеем
24
. (4.5)
Поскольку левая часть не зависит от
x
t
0
0
X
X
Ta
T
2
0XX
0TaT
2
xsinBxcosAxX
tasinDtacosCtT
D,C,B,A
tasinDtacosCxsinBxcosAt,xu
tT
0t,xu
xX
0lX0X
, а правая ― от
, значит левая и
правая части ― одна и та же константа
позднее.
Тогда
и из этого равенства получаем два обыкновенных дифференциальных
уравнения:
, (4.6)
. Случай
. (4.7)
рассмотрим
Общие решения этих уравнений хорошо известны:
где
Таким образом
Подберем A и B так, чтобы удовлетворялись условия (4.2). Т.к.
― произвольные постоянные.
, (4.8)
, (4.9)
не
равна тождественно нулю (в противном случае
должна удовлетворять условиям
25
), то функция
.
Подставляя
0x
lx
0lsinB,0A
0B
0X
,...2,1n,
l
n
,0lsin
x
l
n
sinBX
xX
0
X
0XkX
2
kxkx
BeAeX
и
в (4.8), получим
и т.к.
(иначе
Таким образом
Найденные значения
ствующие им функции
Замечание. Если выбрать
), то
. (4.11)
. (4.10)
называются собственными значениями, а соответ-
― собственными функциями данной краевой задачи.
, то уравнение для
примет вид
.
Его общее решение содержит экспоненты
.
В этом случае решение не может удовлетворять условиям (4.2). Поэтому,
исходя из физических соображений и здравого смысла, в решении следует
оставить синусы и косинусы, но не экспоненты.
26
Зная
,...2,1n,t
l
na
sinDt
l
na
cosCtT
n
t
l
na
sinDt
l
na
cosCx
l
n
sint,xu
nnn
t,xu
t
l
na
sinDt
l
na
cosCx
l
n
sint,xu
nn
1n
n
C
n
D
x
n
C
n
D
0t
xu0,xu
0t
1n
n
x
l
n
sinCx
, можно записать
Таким образом, каждому натуральному
а функция
представляется в виде ряда
. (4.12)
соответствует решение
, (4.13)
; (4.14)
при этом граничные условия удовлетворены.
Очевидно, ряд (4.14) является решением задачи, если коэффициенты
таковы, что этот ряд сходится и сходятся ряды, получающиеся после дву-
кратного почленного дифференцирования по
Нам следует еще найти постоянные
ложить
и учесть начальное условие
и
и t.
, входящие в (4.14). Если по-
,
то получим
и
. (4.15)
27
Если функция
x
l,0
n
C
l
0
n
xdx
l
n
sinx
l
2
C
t
x
t
u
1
0t
1n
n1
x
l
n
sin
l
na
Dx
l
0
1n
xdx
l
n
sinx
na
2
D
t,xu
такова, что в интервале
ее можно разложить в ряд
Фурье, то условие (4.15) выполняется, если коэффициенты
. (4.16)
Продифференцируем (4.14) по
и учтем, что
.
Это также ряд Фурье с коэффициентами
заданы равенствами
. Тогда получим
. (4.17)
Таким образом, мы показали, что ряд (4.14) с коэффициентами (4.16) и
(4.17), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, дает нам
функцию
, которая является решением волнового уравнения (4.1) и удо-
влетворяет начальным и граничным условиям (4.2) и (4.3) нашей задачи.
28
t
l
na
sinDt
l
na
cosC
nn
l
na
n
N
n
nnnn
t
l
na
sinNt
l
na
sinDt
l
na
cosC
n
x
l
n
sinN
n
x
l
na
n
n
N
1n
,...3,2n
l,
n
l1n
,...,
n
l2
,
n
l
,0x
n
0x
l
n
sin
n
5. Гармоники и стоячие волны
Рассмотрим выражение
представляющее собой гармоническое колебание частоты
плитуду
и фазу
колебания
, входящее в (4.13), и
. Введем ам-
.
Каждый член ряда (4.13) представляет собой так называемую стоячую
волну, при которой точки струны совершают гармоническое колебательное
движение с одинаковой фазой
ординаты
. При таком колебании струна издает звук, высота тона которого
и с амплитудой
, зависящей от ко-
зависит от частоты колебаний
колебаний.
соответствует основному тону струны, а
, а сила ― от наибольшей амплитуды
― по-
следовательным обертонам, частоты которых кратны частоте основного тона.
Амплитуды обертонов, как правило, быстро убывают с ростом номера гармо-
ники, и все их действие сводится к окраске или тембру звука, различного для
разных музыкальных инструментов.
В точках
(5.1)
амплитуда
; эти точки называются узлами
-й гармоники обращается в нуль, т.к. в этих точках
-й гармоники. В точках же
29
n2
l1n2
,...,
n2
l3
,
n2
l
x
n
x
x
1
(5.2)
амплитуда колебаний
эти точки ― пучности n-й гармоники. Струна колеблется так, как будто состоит из n различных кусков, не связанных между собой, но закрепленных в узлах. Если прижать струну ровно посередине, т.е. в пучности ее основного тона,
то обратятся в нуль амплитуды не только этого тона, но и всех других, имею-
щих пучности в этой точке, т.е 3-й, 5-й, … гармоник. На четные гармоники,
имеющие в прижатой точке узлы, это никак не влияет. Струна издает не свой
основной тон, а звук с удвоенной частотой.
По изложенным выше соображениям метод Фурье иногда называют мето-
дом стоячих волн.
Замечание. Возникает естественный вопрос: единственное ли решение
имеет волновое уравнение с заданными начальными и краевыми условиями?
Для физика ответ очевиден: конечно, решение единственное. Математик будет
-й гармоники достигает максимальной величины;
исследовать этот вопрос, и, в конце концов, наложит на функции
ряд дополнительных условий (например, о разложимости этих функций в ряды
Фурье) и сделает тот же вывод. Это означает, что решение Даламбера и реше-
ние, полученное методом Фурье, совпадают. Не останавливаясь на тонкостях,
отсылаем интересующихся (т.е. тяготеющих больше к математике, чем к физи-
ке) к классическим трудам [1]-[3].
и
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]