Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Курс лекций
.pdf
n
1n
R
r
dttncostf
1
dttf
2
1
,ru
dttncos
R
r
21tf
2
1
1n
n
ii
eecos2
1n
tintin
n
1n
n
ee
R
r
1tncos
R
r
21
1n
n
tin
n
tin
e
R
r
e
R
r
1
ti
1
e
R
r
q
ti
2
e
R
r
q
1
R
r
qq
21
.
q1
q
q1
q
e
R
r
e
R
r
2
2
1
1
1n
n
tin
n
tin
=
. (11.30)
Используя формулу Эйлера
, запишем выражение в квад-
ратных скобках так:
. (11.31)
В правую часть (11.31) входят две бесконечные суммы. Они представляют
собой ряды геометрических прогрессий с комплексными знаменателями
и
;
их модули равны
для всех точек внутри круга. Из теории
функций комплексной переменной известно, что такие ряды сходятся и их суммы
вычисляются так же, как и в случае рядов с действительными членами, т.е.
Тогда (11.31) принимает вид
61
2
2
tin
tin
tin
tin
R
r
tcos
R
r
21
R
r
1
e
R
r
1
e
R
r
e
R
r
1
e
R
r
1
.
rtcosRr2R
rR
22
22
.dt
rtcosRr2R
rR
tf
2
1
,ru
22
22
f
,ru
Rr
f,ru
,ru
Oxy
С
,0
y
u
x
u
2
2
2
2
.fuC
(11.32)
Окончательно из (11.30) получаем
(11.33)
Это и есть интеграл Пуассона. Путем анализа этой формулы можно показать
(в частности, строгое доказательство приведено, например, в [3]), что если функция
непрерывная, то функция
творяет исходному уравнению (11.18) и при
, определенная интегралом (11.33), удовле-
, т.е.
яв-
ляется решением поставленной задачи Дирихле для круга.
11.5. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей
Пусть в плоскости
дана область D, ограниченная контуром
и на
контуре задана непрерывная функция f. Будем искать приближенное решение
двумерного уравнения Лапласа
(11.34)
удовлетворяющее граничному условию
62
(11.35)
khy,ihx
D
k,i
khy,ihx
k,i
u
kh,ihuu
k,i
D
*
D
C
*
С
*
С
*
f
C
u
x
*
C
C
Проведем два семейства прямых:
Рис. 12
, (11.36)
которые покрывают область
сеткой (h— шаг сетки,
ла). Точки пересечения — узлы сетки.
Приближенные значения искомой функции в точке
будем обозначать
пенчатой областью
, т.е.
. Аппроксимируем область
, состоящей из всех квадратов, полностью лежащих в об-
ласти D, и некоторых квадратов, пересекаемых границей
— целые чис-
сту-
. Контур С при
этом аппроксимируется ступенчатым контуром
контуре
точке контура
Значения функции
, зададим значение
(рис. 12)..
будем вычислять только в узлах сетки. Как и в п. 9
, равное значению функции f в ближайшей
. В каждом узле, лежащем на
производные заменяем конечными разностями:
63
.
h
uu2u
y
u
,
h
uu2u
x
u
2
1k,ik,i1k,i
khy,ihx
2
2
2
k,1ik,ik,1i
khy,ihx
2
2
2
h
0uu2uuu2u
1k,ik,i1k,ik,1ik,ik,1i
1k,ik,1i1k,ik,1ik,i
uuuu
4
1
u
*
D
*
C
N
N
k,i
*
C
*
f
N
k,i
u
y,xu
k,i
u
Дифференциальное уравнение (11.34) заменяется разностным уравнением
или уравнением в конечных разностях (после сокращения на
):
или
. (11.37)
Уравнения вида (11.37) составляются для каждого узла сетки, лежащего
внутри области
лов, то получаем
и не лежащего на контуре
линейных уравнений с
. Если N — число таких уз-
неизвестными. Если точка узла
, для которой составляется уравнение (11.37), соседняя с точкой контура
, то в правой части уравнения (11.37) некоторые слагаемые являются извест-
ными значениями
вестными неоднородная. Можно доказать, что эта система имеет единственное
решение (ее определитель отличен от нуля).
Найденные таким образом значения
решения сформулированной задачи Дирихле.
В математической литературе доказан следующий факт: если решение за-
дачи Дирихле для данной области
мы уравнений вида (11.37), то имеет место соотношение
. Отсюда ясно, что наша система N уравнений с
и есть приближенные значения
существует, а
64
есть решение систе-
неиз-
,Ahuy,xu
2
k,i
A
h2
k,i
u
h
k,i
u
h
y,xE
h
h
k,i
u
h
k,i
h2
k,ih
uu
3
1
y,xE
где
— константа, не зависящая от h. Это означает, что уменьшая шаг h,
можно добиться хорошей точности приближенных расчетов.
Замечание. В практике приближенных расчетов бывает оправдан, хотя
строго и не доказан, следующий прием для оценки погрешности приближенно-
го решения. Пусть
ближенное значение при шаге
— приближенное значение при шаге h2, а
,
— погрешность решения
— при-
. Тогда
имеет место приближенное равенство
в общих узлах сеток. Это замечание можно отнести и к решению уравне-
ния теплопроводности методом конечных разностей.
Список литературы
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.—
М.: Наука,— 1977.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики.— М.: Наука,— 1981.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. II.— М.: Наука,— 1974.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 2.—
М.: "ИНТЕГРАЛ–ПРЕСС", 2001.
5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.— М.:
Мир, 1967.
6. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов.— М.: Физма-
тлит,— 2003.
7. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров.— М.: Наука,— 1965.
65
Дзержинский Роман Игоревич,
Логинов Вениамин Анатольевич
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Курс лекций
Компьютерная верстка: Михайлик Е.В.
Подписано в п е ч а т ь . . 2 0 1 5 г .
Формат 60х90 / 1 6 О б ъем 3,1 п . л
Заказ № Ти р а ж 30 экз.
Альтаир– М Г А В Т
Московско й г о с у д а р ственной а к а д е м и и водного транспор т а
117105, г.Мо сква, Новоданиловская набереж., стро е н и е 2 , ко п . 1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]