Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Курс лекций
.pdf
6. Уравнение распространения тепла в стержне.
l
Ox
0x
lx
t,xu
x
t
S
xu
S
x
u
kq
k
l
x
2
x
1
x
0
Формулировка краевой задачи
Рассмотрим однородный стержень длины
. Если различные части стерж-
ня нагреты неравномерно, происходит распространение тепла от более нагре-
тых к менее нагретым его частям. Для твердых тел процесс распространения
тепла определяется явлением теплопроводности: происходит перенос энергии
от частиц (молекул, атомов, электронов) с большей энергией к частицам с
меньшей энергией.
Предположим, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что
во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Будем
изучать процесс распространения тепла в стержне.
Расположим ось
, а правый ― с точкой
так, что левый конец стержня совпадает с точкой
(рис. 9).
Рис. 9.
Пусть
времени
. Из опыта известно (закон Фурье), что скорость распространения
― температура в сечении стержня с абсциссой
в момент
тепла, т.е. количество тепла, протекающее через площадку, пропорционально
ее площади
и градиенту температуры (в нашем случае
, (6.1)
):
где
— коэффициент теплопроводности вещества стержня. Знак в правой
части показывает, что направление движения тепла противоположно направле-
нию градиента температуры, т.е. тепло идет от теплой части тела к холодной.
31
Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсцисса-
1
x
2
x
xxx
12
1
x
t
tS
x
u
kQ
1
xx
1
2
x
tS
x
u
kQ
2
xx
2
x
x
u
tkS
x
u
x
u
tkSQQ
2
2
2xxxx
21
1
t
t
u
u
t
t
u
xSсx
x
u
tkS
2
2
c
xS
2
2
x
u
c
k
t
u
ми
циссой
и
(
за время
). Количество тепла, прошедшего через сечение с абс-
, равно
а через сечение с абсциссой
Приток тепла в элемент стержня равен
, (6.2)
:
. (6.3)
Это тепло идет на повышение температуры
элемента стержня, т.е.
где
и — теплоемкость и плотность вещества стержня (
элемента стержня). Отсюда получаем
. (6.4)
рассматриваемого
,
— масса
. (6.5)
32
Обозначив
2
a
c
k
2
2
2
x
u
a
t
u
t,xu
Tt0
,x0,xu
,tt,0u
1
.tt,lu
2
0t
x
0x
lx
t
1
t
2
lx0
Tt0
u
z,y,x
t
ua
t
u
2
222
zyx
, окончательно получаем
. (6.6)
Мы получили уравнение распространения тепла в однородном стержне —
уравнение теплопроводности.
Теперь для решения этого уравнения надо задать краевые и начальные условия
для функции
для так называемой первой краевой задачи для
, соответствующие физическим условиям задачи. В частности,
задают условия:
(6.7)
(6.8)
(6.9)
Начальное условие (6.7) физически соответствует тому, что в начальный
момент времени
ная
. Граничные условия (6.8) и (6.9) соответствуют тому, что на концах
стержня при
в различных сечениях стержня задана температура, рав-
и
поддерживается температура, равная
соответственно.
Можно доказать, что уравнение (6.6) имеет в области
единственное решение, удовлетворяющее условиям (6.7)–(6.9).
В общем случае, если рассматривается задача распространения тепла в трехмер-
ном пространстве, функция
времени
, а уравнение теплопроводности имеет вид (вывод см., например, в [4]):
зависит от трех пространственных координат
, (6.10)
и
,
и
где
— оператор Лапласа.
33
Если рассматривается процесс распространения тепла в теле , поверх-
z,y,x0,z,y,xu
t,Mt,Mu
ность которого , то в начальный момент времени задается температура тела
во всех его точках:
Кроме того, должна быть известна температура в любой точке Mповерх-
ности
в любой момент времени t, т.е. должно задаваться граничное условие
Возможны и другие граничные условия.
(6.11)
. (6.12)
34
7. Распространения тепла в неограниченном стержне.
Ox
2
2
2
x
u
a
t
u
0t,x
x0,xu
tTxXt,xu
TXaTX
2
2
2
X
X
Ta
T
Интеграл Пуассона
Пусть в начальный момент времени задана температура в сечениях не-
ограниченного стержня. Требуется определить распределение температуры в
стержне в последующие моменты времени. К такой задаче сводится физическая
задача в том случае, если стержень столь длинный, что температура в его внут-
ренних точках в рассматриваемые моменты времени слабо зависит от условий
на концах стержня.
Если ось
направлена вдоль стержня, задача сводится к решению урав-
нения теплопроводности
(7.1)
в области
при начальном условии
. (7.2)
Воспользуемся методом разделения переменных, т.е. будем искать реше-
ние в виде произведения двух функций:
Подставляя в уравнение (7.1), получим:
35
. (7.3)
или
. (7.4)
Знак константы выбран отрицательным, т.к. из физических соображений
0TaT
22
0XX
2
.xcosBxsinAX,CeT
ta
22
С
B
lx
,
xsinBxcosAet,xu
ta
22
dxsinBxcosAet,xu
ta
22
функция T должна быть ограниченной.
Из (7.4) получаем два уравнения:
, (7.5)
. (7.6)
Решая их, получим
При подстановке этих выражений в (7.3) учтем следующее.
1. Множитель
2. Константы A и
внесем в A и B.
, вообще говоря, зависят от
.
3. На параметр нет никаких ограничений. Эти ограничения возникают,
как, например, при рассмотрении колебаний ограниченной струны, из-за крае-
вых условий при
Для конкретного значения
. В нашем случае следует считать, что
, таким образом, можно (7.3) записать в виде
.
,
а в силу линейности исходного уравнения его решение есть интеграл:
. (7.7)
36
Подставляя (7.7) в уравнение теплопроводности (7.1), можно убедиться,
0t
dxsinBxcosAx
x
ddsinxsindcosxcos
2
1
x
.dsin
2
1
B,dcos
2
1
A
dxsinsinxcoscosed
2
1
t,xu
ta
22
dxcosed
2
1
ta
22
0
ta
.dxcosed
1
t,xu
22
что мы действительно получили решение (для этого приходится дифференцировать под знаком интеграла по x (дважды) и по t).
Полагая в (7.7)
, получим
. (7.8)
Формула разложения функции
в интеграл Фурье имеет вид:
Отсюда следует, что краевое условие (7.8) выполняется, если
.
Подставим эти выражения в (7.7) и получим
или
37
(7.9)
Это выражение можно упростить, т.к. интеграл по
2
2
2
1
x
exf
.
2
1
22
22
edxedxxfeeM
x
ix
ixix
0
xcositata
deRe
2
1
dxcose
1
2222
.e
ta2
1
ta4
x
2
2
de
ta2
1
t,xu
ta4
x
2
2
вычисляется. Например, из курса теории вероятностей известно (см., например, [5]) , что характеристическая функция стандартного нормального распределения с плотностью
равна
Используя этот факт, легко показать, что
После этого получаем решение в окончательном виде:
. (7.10)
Это интеграл Пуассона, представляющий собой решение задачи о распро-
странении тепла в неограниченном стержне.
38
8. Распространения тепла в ограниченном стержне
t,lut,0u
x0,xu
tTxXt,xu
,Nn,
l
n
l
nx
sineNt,xu
1n
l
tan
n
222
l
nx
sinNx
1n
n
Рассмотрим стержень конечной длины l. Дополним предыдущую задачу
граничными условиями
=0, (8.1)
которое, к примеру, означает, что концы стержня опущены в лед. Началь-
ное условие имеет вид
. (8.2)
Если по-прежнему использовать метод Фурье, т.е. искать решение в виде
, то с учетом краевых условий (8.1) получим, что собственны-
ми числами краевой задачи являются числа
а решение имеет вид:
Из (8.2) следует, что
. (8.3)
.
39
Это разложение функции
x
n
N
l
0
n
dx
l
nx
sinx
l
2
N
x
в ряд Фурье по синусам дает возможность
определить коэффициенты
в (8.3):
. (8.4)
Если ряд (8.3) сходится и сходятся ряды, полученные из него двукратным
дифференцированием по
и однократным дифференцированием по t, то (8.3)
и (8.4) дают единственное решение рассматриваемой краевой задачи.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]