Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Курс лекций
.pdf
линия передачи длины
L
tE
0
Z
R,C,L
G
tE
x
ti
dx
xE
dx
t
i
Ldx
Rdxi
Ri
t
i
L
x
E
dx
xi
dx
GE
t
E
C
x
i
xL
x
tE
Z
tE
0
(рис. 3). На одном конце приложена э.д.с.
, дру-
гой конец замкнут на обобщенное сопротивление
. Обозначим через
соответственно индуктивность, емкость и сопротивление единицы длины этой
линии. Изоляцию линии считаем неидеальной, поэтому обозначим через
проводимость (величину, обратную сопротивлению изоляции), также приходя-
щуюся на единицу длины.
Рис. 3.
Обозначим через
и землей, а через
разность потенциалов между точкой с координатой
— ток, идущий по линии в этой точке. Изменение
напряжения
при перемещении вдоль линии на
ний напряжения за счет самоиндукции
, так что
Изменение тока
при перемещении на
рез емкость и изоляцию и равно
, равно сумме измене-
и за счет омических потерь
. (2.5)
, определяется утечкой че-
. (2.6)
11
Здесь всюду подразумевается, что функции
E
t
i
x
t
RGE
t
E
LGRC
t
E
LC
x
E
2
2
2
2
0G,0R
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
.
LC
1
a2
и i зависят от x и
. Ис-
ключая из уравнений (2.5) и (2.6) функцию
второе по
), получим уравнение в частных производных для E:
(дифференцируя первое по
. (2.7)
Это уравнение называется телеграфным. В частном случае, если линия
без потерь
, уравнение (2.7) переходит в волновое
, где
, а
12
3. Решение Даламбера
t,xu
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
x
t
u
,xu
1
0t
0t
x
x
1
,x
atx,atx
a2
1
t,
2
1
x
u
,
uu
x
u
x
u
x
u
uu
aa
u
a
u
t
u
t
u
t
u
Рассмотрим сначала свободные колебания бесконечной струны. Искомая
функция
должна удовлетворять волновому уравнению
(3.1)
при начальных условиях
причем функции
и
должны быть заданы при
, (3.2)
.
Общее решение уравнения было найдено французским философом, мате-
матиком и механиком Даламбером. Следуя ему, преобразуем уравнение (3.1),
введя новые координаты
или
Теперь
есть функция
,
.
а ее первые частные производные равны:
,
.
13
Применяя эти формулы еще раз, найдем
2
2
xu
2
2
tu
,
uu
2
uuuuu
x
u
2
22
2
2
2
2
,
uu
2
u
a
uu
a
uu
a
t
u
2
22
2
2
222
2
2
u
a4
x
u
a
t
u
2
2
2
2
2
2
2
.0
u
2
,0u
u
u
2
du
2
u
откуда
и
:
и волновое уравнение принимает вид:
Но тогда очевидно, что
так что
не зависит от , т.е. является произвольной функцией :
(3.3)
.
Интегрируя, получим
где
также можно считать некоторой произвольной функцией
,
— произвольная функция
. Первое слагаемое (интеграл)
. Таким образом,
14
21
u
atxatxt,xu
21
1
2
atx1
a
Ox
atx2
atxatxa
t
u
21
a
x
xx,xxx
1
2121
x
0
121
Cdzz
a
1
xx
0x
а в старых переменных
,
, (3.4)
где
и
— произвольные функции своих аргументов.
Отметим, что пока мы никак не использовали начальные условия (3.2). Тем
не менее, ясно, что решение (3.4) описывает две бегущие волны: прямую
нии оси
, распространяющуюся со скоростью
, и обратную
, которая с той же скоростью двигается в
в положительном направле-
противоположном направлении. При распространении вдоль струны эти волны
не изменяют своей формы. Формы этих волновых возмущений произвольные,
но интуитивно понятно, что они определяются начальными условиями (3.2).
Итак, воспользуемся этими условиями. С учетом (3.4) получаем:
так что из (3.2) получаем:
Интегрируя второе равенство и изменяя знак, получим
Положив
, определим С:
,
. (3.5)
.
15
00C
21
0C
0C
x
1
x
2
2
C
x1
2
C
x2
,xxx
21
x
0
121
dzz
a
1
xx
x
1
x
2
x
0
12
x
0
11
,dzz
a2
1
x
2
1
x,dzz
a2
1
x
2
1
x
t,xu
2
atxatx
t,xu
atx
atx
1
dzz
a2
1
,x
x
1
x
. (3.6)
Не ограничивая общности, можно считать
, можно вместо функций
и
ввести функции
. В самом деле, если
Тогда, не меняя равенств (3.5), мы удовлетворили бы и (3.6).
Итак,
Отсюда находим
и
:
и
. (3.7)
(3.8)
.
а для
окончательно получаем
. (3.9)
Если при
рядка, а
— непрерывные производные первого и второго порядка, то, очевид-
имеет непрерывную производную первого по-
но, (3.9) дает дважды непрерывно дифференцируемое решение нашей задачи.
16
Некоторые частные случаи
0x1
x0,xuu,
2
atxatx
t,xu
0t
atx
atx
T
a
x
,x0,
x
1
,0x,1
x
,x,0
x
1. Начальный импульс равен нулю,
Формы бегущих прямой
совпадают с первоначальным профилем струны. Скорость распространения
волн равна
и обратной
,
. Тогда
. (3.10)
волн одинаковы и
т.е. определяется натяжением струны и ее плотностью.
В качестве примера зададим функцию
са" амплитуды
изображенного на рис. 4.
:
в виде треугольного "импуль-
17
2
a
t,xu
t,xu
.
a
2
;
a
;
a2
;0t
x
x
x
0t
u
x
a2
t
u
x
a
t
u
x
a
2
t
u
Рис. 4.
Теперь представим себе, что этот "импульс" (с амплитудой
двигаться со скоростями
влево и вправо, а суммарное возмущение струны
равно сумме этих волн.
На рис. 5 приведены графики для
в моменты времени
) начинает
Рис.5.
18
В начальный момент времени
0t
x0,xu
a2
t
2
a
t
a
2
t
2
0x
x
1
t,xu
atx
atx
1
dzz
a2
1
dzz
a2
1
1
x
atxatxt,xu
0x
.x,0
,x,
x
1
импульсы прямой и обратной волн
совмещены,
на
ся, общее возмущение носит трапецеидальный вид. В момент времени
импульсы еще соприкасаются, но уже не перекрываются. Наконец, при
импульсы разошлись на расстояние
импульс скорости
, обратная — на такое же расстояние влево; импульсы еще перекрывают-
2. Начальное смещение равно нулю,
. Спустя время
и продолжают удаляться друг от друга.
. Решение имеет вид
прямая волна сместилась вправо
; имеется только начальный
. (3.11)
Обозначим неопределенный интеграл
По-прежнему имеются прямая и обратная бегущие волны, но их конфигу-
рация существенно отличается от предыдущего случая.
Продемонстрируем данную ситуацию графиками, полученными для слу-
чая:
,
через
. (3.12)
, тогда
(3.13) (см. рис. 6)
19
x
.x,
a2
,x,x
a2
,x,0
x
x
x
a
x
1
t,xu
x
1
x
Рис. 6.
Интегрируя, найдем функцию
Для наглядности на рис. 7 представлены графики функций
волна) и —
чатые перепады высоты
прямой волне перепад положительный, а в обратной — отрицательный. Протяженность фронтов равна ширине импульса скорости
(прямая волна). Эти возмущения представляют собой ступен-
с линейно изменяющимися фронтами, причем в
, входящую в (3.12):
(обратная
. Решение
в
каждый момент времени есть суперпозиция этих движущихся влево и вправо
перепадов.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]