Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Курс лекций
.pdf
Но тогда такое поле потенциальное, т.е. для него можно ввести потенци-
gradE
gradJ
,0graddiv
0
zyx
2
2
2
2
2
2
J
E
альную функцию
, такую, что
Тогда из (10.13) следует, что
а с учетом (10.12) получаем
. (10.15)
, (10.16)
или
. (10.17)
Получили уравнение Лапласа. Решая это уравнение при соответствующих
краевых условиях, найдем функцию , а затем по формулам (10.17) и (10.16)
плотность тока
и напряженность электрического поля
в каждой точке рас-
сматриваемого объема.
51
11. Частные случаи решения уравнения Лапласа
l
21
Tlu,T0u
.0
x
u
2
2
BAxu
.
l
TT
A,TB
12
1
.x
l
TT
Tu
12
1
11.1. Стационарное распределение температуры в тонком стержне
Рассмотрим простейшую задачу. Пусть имеется однородный стержень
длины
и на каждом из его концов поддерживается постоянная температура:
. (11.1)
Требуется найти стационарное распределение температуры по длине
стержня.
В этом случае распределение температуры зависит только от продольной
координаты x, а уравнение Лапласа записывается в простейшем виде
(11.2)
Его решение находится элементарно:
. Из краевых условий
(11.1) получаем:
Поэтому
(11.3)
Таким образом, температуры вдоль стержня изменяется линейно.
52
Рассмотренный пример является тривиальным. В более сложных случаях,
u
z,y,xu
0
z
u
y
u
x
u
2
2
2
2
2
2
когда функция
зависит от двух или трех пространственных координат,
нахождение решения уравнения Лапласа для конкретной инженерной задачи
существенным образом связано с видом поверхностей (контуров), на которых
задаются краевые условия. Как правило, решение задачи существенно упроща-
ется, если рассматривать ее в некоторой системе ортогональных криволиней-
ных координат, для которой заданные поверхности входят в семейство коорди-
натных поверхностей. Можно порекомендовать читателям прекрасно написанную книгу [7] профессора Высшего электротехнического училища Франции
Андре Анго. В ней приведены многочисленные примеры таких систем координат: прямоугольные, цилиндрические, сферические, эллиптические цилиндри-
ческие, параболические цилиндрические и др. В любой такой системе коорди-
нат искомая функция представляется в виде произведения сомножителей, каж-
дый из которых зависит только от одной координаты. Эти сомножители удо-
влетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям специального вида
(уравнение Бесселя, уравнение Эйлера, уравнения Матье и др.), и для их решения используются специальные математические функции (бесселевы функции,
функции Матье, функции Вебера−Эрмита и др.). Отсюда, в частности следует,
что для успешного решения практических задач математической физики бу-
дущий кандидат наук должен изучить курс специальных математических функ-
ций.
11.2. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
Будем исходить из того, что требуется решить уравнение Лапласа для
функции трех переменных
:
53
, (11.4)
причем краевые условия задачи удобно задать в цилиндрической системе
z,,r
.zz,sinry,cosrx
.zz,
x
y
arctg,yxr
22
z,y,xu
z,,ru
*
,
x
u
x
r
r
u
x
u
**
;
x
u
x
u
xx
r
r
u
2
x
r
r
u
x
r
r
u
x
u
2
2*
2
2
*2*2
2
2*
2
2
*2
2
2
;
y
u
y
u
yy
r
r
u
2
y
r
r
u
y
r
r
u
y
u
2
2*
2
2
*2*2
2
2*
2
2
*2
2
2
координат
:
Тогда
(11.5)
Теперь функция
менных; обозначим ее через
является функцией новых независимых пере-
и найдем уравнение, которому она удовле-
творяет (попросту говоря, запишем уравнение Лапласа в цилиндрической си-
стеме координат).
Очевидно
(11.6)
аналогично
(11.7)
54
кроме того
2
*2
2
2
z
u
z
u
,r
y,x
.0
z
uu
r
1
r
u
r
1
r
u
2
*2
2
*2
2
*
2
*2
.0
z
uu
r
1
r
u
r
rr
1
2
2
2
2
2
1
K
2
1
22
Ryx
2
K
2
2
22
Ryx
1
u
2
u
.uu,uu
2K1K
21
z
Выражения для частных производных
. (11.8)
по
, входящих в (11.6) и
(11.7), легко находятся из равенств (11.5). Складывая правые части равенств
(11.6) – (11.8) и приравнивая в силу (11.4) их сумму нулю, получим
(11.9)
Это и есть уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Иногда его
записывают в виде (символ * опускаем)
(11.10)
11.3. Задача Дирихле для плоской кольцевой области
Будем решать следующую задачу: найти стационарное распределение температуры в плоском кольце, ограниченном окружностями
ра
:
и
соответственно. Очевидно, следует решить уравнение Лапласа ( ска-
, если на его границах поддерживается постоянная температу-
:
жем, уравнение (11.10)) с граничными условиями
Поскольку задача плоская, координату
(11.11)
из рассмотрения исключаем;
и
уравнение (11.10) приобретает вид
55
.0
u
r
1
r
u
r
rr
1
2
2
2
r
r
.0
r
u
r
r
.CrlnCu
21
1
С
2
С
2111
CRlnCu
2212
CRlnCu
.
R
R
ln
RlnuRlnu
C,
R
R
ln
uu
C
1
2
1221
2
1
2
12
1
.
R
R
ln
R
r
lnu
R
r
lnu
u
1
2
2
1
1
2
21
RrR
Hz0
(11.12)
В этом случае
и — полярные координаты на плоскости. В силу круговой симметрии функция u не зависит от , а зависит только от
следует решать уравнение
(11.13)
Это обыкновенное дифференциальное уравнение, т.к. теперь u— функция
одного аргумента. Интегрируя, получаем
Постоянные
и
находим из условий (11.11):
(11.14)
, откуда
, так что
,
Подставляя в (11.14), окончательно получаем
(11.15)
Это и есть решение поставленной задачи.
Замечание. Полученное решение является решением следующей задачи:
найти функцию u, удовлетворяющую уравнению Лапласа (11.10) в цилиндри-
ческой системе координат (в трехмерном пространстве), т.е. в области
,
, и удовлетворяющую следующим граничным условиям:
56
,uu,uu
2Rr1Rr
21
0
z
u
,0
z
u
Hz0z
z
Oxy
f
,ru
0
y
u
x
u
2
2
2
2
fu
Rr
,0
u
r
1
r
u
r
rr
1
2
2
2
(задача Дирихле-Неймана). Очевидно, искомое решение не зависит ни от
, ни от
, и дается формулой (11.15).
11.4. Задача Дирихле для круга
Пусть в плоскости
имеется круг радиуса R с центром в начале коор-
динат и на его окружности задана некоторая функция
угол. Требуется найти функцию
, непрерывную в круге, включая его гра-
ницу, удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа
, (11.16)
, где
— полярный
и принимающую на окружности заданные значения
. (11.17)
Можно, как и в п. 11.3, считать, что нас интересует стационарное распре-
деление температуры внутри плоской круглой пластины с заданным распреде-
лением температуры (11.17) на ее границе.
Естественно решать эту задачу в полярных координатах; уравнение (11.16)
имеет вид
57
или
.0
u
r
u
r
r
u
r
2
2
2
2
2
.rRu
,0rRrRrrRr
2
.k
rR
rRrrRr
2
2
2
k
,0k
2
.0rRkrRrrRr
22
.ksinBkcosA
m
rrR
(11.18)
Будем искать его решение методом разделения переменных, полагая
(11.19)
Подставим это выражение в (11.18)
или
(11.20)
Левая часть этого равенства не зависит от r, а правая от
они равны постоянному числу, которое обозначено через
обыкновенных дифференциальных уравнения
(11.21)
(11.22)
Общее решение уравнения (11.21) нам известно
(11.23)
, следовательно,
. Получаем два
Решение второго уравнения будем искать в виде
новки в (11.22) получаем
. После подста-
58
0rkrmrr1mmr
m21mm2
.0km
22
0k
k
r
kr
kk
rDCrR
0k
.rDrCksinBkcosAu
k
k
k
kkkk
0k
,0rRrRr,0
.rlnDCBAu
00000
2
0B0
0D0
0Dk
или
Таким образом, если
этого уравнения
и
, а его общее решение
Решение нашей задачи (для любого
Если же
, уравнения (11.21) и (11.22) принимают вид
, то имеется два линейно-независимых решения
. (11.24)
) в соответствии с (11.19) имеет вид
(11.25)
и, следовательно,
(11.26)
Решение должно быть периодической функцией
(значениям и
соответствует при фиксированном r одна и та же точка круга). Поэтому
Далее, поскольку решение в центре круга должно быть конечным, то в формуле
(11.26)
, а в формуле (11.25)
.
И еще одно соображение. Решение, состоящее из сумм выражений вида
(11.25), в силу линейности уравнения Лапласа, также является решением. Од-
.
нако, периодической по
такая сумма будет только в том случае, если k —
59
целые числа. (Кстати говоря, если правые части уравнений (11.20) выбрать не в
2
k
2
k
2
A
0
1n
n
nn
0
.rnsinBncosA
2
A
,ru
n
A
n
B
Rr
1n
n
nn
0
.RnsinBncosA
2
A
f
f
,
n
n
RA
n
n
RB
n
A
n
B
.ntdtsintf
R
1
B,ntdtcostf
R
1
A
n
n
n
n
виде
, а в виде
, то периодичность решения не имеет места). Обозначим
константу, входящую в правую часть выражения (11.26), через
решение в виде
(11.27)
Подберем теперь константы
(11.17). Полагая в (11.27)
, на основании (11.17) получим
и
так, чтобы удовлетворялось условие
(11.28)
и запишем
Чтобы это равенство выполнялось, необходимо, чтобы функция
лась в ряд Фурье в интервале
тами Фурье. Следовательно,
и
и чтобы
и
должны определяться по формулам
были ее коэффициен-
разлага-
(11.29)
Итак, ряд (11.27) с коэффициентами, определенными по формулам (11.29),
будет решением задачи Дирихле для круга, если он допускает почленное дву-
кратное дифференцирование по r и по .
В свое время знаменитый французский математик, физик и механик Пуас-
сон преобразовал выражение (11.27) и привел его к более компактной форме,
носящей название интеграла Пуассона. Приведем эти преобразования.
Подставим выражения (11.29) в решение (11.27) и получим
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]