4.5 Задача Коши для бесконечного стержня

Применим метод разделения переменных. Для этого будем искать ее решение в виде

u(x,t)= X (x)T (t).

Подставив это решение в УЧП, получим

X (x)T ′(t)= a2 X ′′(x)T (t).

Разделим полученное уравнение на a2 X (x)T (t).

Из соотношения (24) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Решив обыкновенное дифференциальное уравнение (25) методом разделения переменных, получим

Так как из физических соображений, очевидно, что температура точек стержня при t → +∞ не может неограниченно возрастать, то тогда µ ≥ 0 .

Для упрощения вида получаемых результатов, введем обозначение

µ = λ2 .

Рассмотрим теперь уравнение (26)

76

Полученное решение зависит от λ , тогда в дальнейшем будем использовать обозначения uλ (x,t). Кроме того, произвольные постоянные для каждого значения λ могут быть различны, поэтому выберем для них обозначения A(λ) и B(λ)

uλ (x,t)= e−a2λ2t (A(λ)cosλx + B(λ)sinλx).

Так как стержень бесконечен, то для уравнения (26) нет граничных условий как в пункте 3.2. Тогда на параметр λ не будут накладываться дополнительные ограничения, и он может принимать любые значения от −∞ до + ∞.

Так как при любом значении λ (−∞,+∞) функция uλ (x,t) является решением однородного УЧП, то естественно предположить, что его решением также будет являться и

Из (33) и (34) имеем

78