Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие
.pdf
192 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Доказательство. Доказательство теоремы 2.7.3 полностью аналогично доказательству теоремы 2.6.3. Чтобы доказать, что условия I, II и IIIb теоремы 2.5.2 выполнены, мы будем действовать точно так же, как при доказательстве теоремы 2.6.3, чтобы получить оценку
C
≤
µ
1
kLuk
2
2
; u ∈ C
0
∞
(Gβ), (2.7.58)
0
kuk
2
0
где C1не зависит от µ и постоянную µ можно выбрать сколь угодно большой.
Из представлений (2.7.52) и (2.7.53) следует, что
m
X
j=1
kL
(j)uk2
+ kL
0
(j)
uk
2
−1
≤ C
2
kL
0(j)uk2
+ kL
0
0
(j)
uk
2
−1
+ kuk
2
. (2.7.59)
0
Из (2.7.6) и (2.7.9) мы получим
m
X
j=1
kL
0(j)uk2
0
≤ C
kLuk0kuk0+ kuk
3
2
.
0
Из неравенства (2.7.14) следует, что
0
kL
(j)
uk
2
−1
≤ 2kE−1L
(
≤ C
6
0
m
X
(j)
uk
2
0
+ C4kuk
2
≤ 2kL
0
kLDtE−1uk0kDtE−1uk0+ kuk
j=1
0
E−1uk
(j)
2
+ C5kuk
0
)
2
.
0
2
≤
0
Из последнего неравенства, применяя лемму 2.7.3, мы выведем
kL
0
(j)
uk
2
−1
≤ C
2
kuk
7
+ kuk0kLuk
0
.
0
Далее, вспоминая (2.7.58), мы получим
где u ∈ C
kL
∞
0
(j)uk2
(Gβ).
+ kL
0
(j)
uk
2
−1
≤ C
2
kuk
8
+ kuk0kLuk
0
C
0
µ
9
≤
kLuk
2
,
0
Отсюда и из (2.7.58) мы выведем точно так же, как при доказательстве
теоремы 2.6.3, что при выполнении условий теоремы 2.7.3 утверждения I,
II и IIIb теоремы 2.5.2 выполняются.
Следующее утверждение является следствием теоремы 2.7.3.
Теорема 2.7.4. Пусть система операторов {Q0, . . . , Q2m} имеет ранг m
для любого компактного множества K, лежащего в Ω \x0, и пусть нера-
m
венство
P
(ajj+ |bj|) > 0 выполняется в точке x0. Тогда оператор L гипо-
1
эллиптичен в Ω, и неравенство (2.7.57) выполняется для любого компактного множества K ⊂ Ω и любой обобщенной функции u ∈ D0(Ω) такой,
что ψLu ∈ Hs(Ω) для любого ψ ∈ C
∞
0
(Ω).
191
7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ(ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) 193
Доказательство теоремы 2.7.4 аналогично доказательству теоремы 2.6.4.
m
Отметим, что условие
P
(ajj+ |bj|) 6= 0 в точке x0существенно для
j=1
выполнения теоремы 2.7.4. Действительно, уравнение
|x|2∆u −(νm + ν(ν − 2))u = 0, (2.7.60)
m
P
где |x|2≡
2
x
, выполняется для функции u = |x|ν, ν > 0. Если число ν не
j
1
целое, то очевидно, что уравнение (2.7.60) не гипоэллиптично в области Ω,
содержащей начало координат.
Легко видеть, на основе теоремы 2.7.4, что уравнение
a(x)∆u + u
где a(x) ∈ C∞(Rm), a(x) > 0 при |x| 6= 0 и a
x
1
= 0,
(α)
(0) = 0 для всех α, |α| ≥ 0,
гипоэллиптично в области Ω, содержащей начало координат.
Уравнение
D
2
u + x
1
2k
1
D
2
u + ix
2
l
D3u = 0, k, l ≥ 0,
2
гипоэллиптично в силу теорем 2.6.2 и 2.7.2.
Уравнение
2
D
u + (a1(x1) + a2(x2))D
1
2
u = 0,
2
где a1(x1) и a2(x2) принадлежат C∞(R1), a1(x1) > 0 при x16= 0; a1(0) = 0;
a2(x2) > 0 при |x2| > 1 и a2(x2) = 0 при |x2| ≤ 1, является (на основе
теоремы 2.7.2) глобально гипоэллиптичным в области |x1|2+ |x2|2≤ 2.
Замечание. Можно построить класс уравнений вида (2.7.1) с левой частью, не представимой в виде (2.6.1). Конструкция, приведенная ниже, основана на теореме Гильберта. В [178] (см. также [177]) Гильберт построил полином P(x, y) шестого порядка от двух переменных, который нельзя
представить в виде конечной суммы квадратов полиномов.
Положим
A(x, y, z) = z6P
x
y
,
z
+ P1(x, y, z), (2.7.61)
z
где P1— бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю в x = y =
z = 0 вместе со всеми своими производными до шестого порядка включи-
тельно.
Лемма 2.7.5. Бесконечно дифференцируемая функция A(x, y, z), заданная
с помощью (2.7.61), не представима в виде конечной суммы квадратов бесконечно дифференцируемых функций в любой окрестности начала координат.
Доказательство. Предположим обратное. Пусть уравнение
N
X
j=1
192
2
A
(x, y, z) (2.7.62)
j
A(x, y, z) =
194 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
выполняется в окрестности Ω начала координат, где Aj— функции, бесконечно дифференцируемые в Ω. Представим Ajв виде частичного разложения в ряд Тейлора
1α!∂
∂x
|α|
Aj(0, 0, 0)
α
α
1
∂y
2
∂z
α
α
1
x
α
3
α
2
y
3
z
+ R
, (2.7.63)
j,3
где функции R
X
Aj=
|α|≤3
равны нулю в начале координат вместе со всеми своими
j,3
производными до третьего порядка включительно.
Из (2.7.62) легко получить, что в начале координат производные ∂
|α|
Aj/∂¯x
для |α| ≤ 2, ¯x = (x, y, z) равны нулю и, более того,
z6P
x
y
,
z
=
z
N
X
j=1
"
X
|α|=3
|α|
∂
Aj(0, 0, 0)
α
1
∂x
∂y
α
α
1
x
α
α
2
∂z
y
3
#
2
α
2
3
z
. (2.7.64)
Полагая z = 1 в (2.7.64), мы получим представление полинома Гильберта
P (x, y) в виде конечной суммы квадратов многочленов, что невозможно.
Лемма доказана.
Лемма 2.7.5 была сообщена нам Л. Х¨eрмандером и В. П. Паламодовым.
Из этой леммы следует, что оператор вида
α
L(u) ≡ A∆u + Qu (2.7.65)
не представим в виде (2.6.1) в любой окрестности начала координат. Здесь Q
— любой дифференциальный оператор первого порядка с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами. Действительно, если
r
X
−(A∆u + Qu) ≡
j=1
2
X
u + iX0u + cu, (2.7.66)
j
то получим, приравнивая коэффициенты при вторых производных в правой
и левой части (2.7.66), что для любых k = 1, . . . , m
r
X
j=1
(a
k
)2,
j
A(x, y, z) =
что невозможно в силу леммы 2.7.5. Легко привести примеры операторов
вида (2.7.65), удовлетворяющих условиям теоремы 2.7.2 в окрестности начала координат и, следовательно, гипоэллиптичных.
Пусть A(x, y, z) = z6P
x
y
,
z
, и пусть Q — оператор первого порядка
z
с постоянными коэффициентами такими, что для некоторого k в начале
координат (Q)k6= 0. Тогда оператор (2.7.65) удовлетворяет условиям тео-
ремы 2.7.2 в достаточно малой окрестности начала координат.
193
8. НЕГЛАДКИЕ ОБЛАСТИ(МЕТОД М.В.КЕЛДЫША) 195
Действительно, в этом случае
0(j)
L
= 2A(x, y, z)D
j
и, как легко проверить, коммутатор Q
j
Q
= ad Q ···ad QL
I
имеет символ Q
j
(x, t, z, ξ) = 2(Q)kA ·ξj. Следовательно,
I
m
X
j=1
j
|Q
(x, y, z, ξ)|2+ 1 ≥ C0(1 + |ξ|2) (2.7.67)
I
j
для |I| = 2k + 1 вида
I
0(j)
= 2(Q)kA ·D
j
для всех точек (x, y, z) в достаточно малой окрестности Ω начала координат, где C0= const > 0. Из соотношения (2.7.67) следует, что условия
теоремы 2.7.2 выполняются в Ω.
8 Негладкие области(метод М.В.Келдыша)
Для гипоэллиптических уравнений, удовлетворяющих условиям теорем 2.6.2,
2.6.3, 2.7.2 или 2.7.3 решение первой краевой задачи в негладких областях
можно построить методом М. В. Келдыша, который основан на применении
барьерных функций. Этим методом Келдыш [52] сначала изучал краевую
задачу (1.1.4), (1.1.5) в случае, когда уравнение (1.1.4) эллиптично во внутренних точках области.
Лемма 2.8.1. Пусть Qn, n = 1, . . ., — последовательность областей та-
ких, что¯Ωn⊂Ω
классу A
(k)
для некоторого достаточно большого k и такая, что любое
⊂Ω, такая, что граница Snобласти Ωnпринадлежит
n+1
замкнутое множество, содержащееся в Ω, принадлежит всем областям
Qn, начиная с некоторого n. Пусть g — функция, непрерывная в¯Ω, и
пусть f ограничена в Ω. Предположим, что выполняются следующие условия.
1) Решения u
уравнения
ε,n
Lε(u) ≡ ε∆u + L(u) = f в Qn, ε > 0, (2.8.1)
с условием
u
ε,n|S
= g, (2.8.2)
n
где
L(u) = akju
в¯Ω, образуют компактное множество в пространстве C
xkx
+ bku
j
+ cu, c < 0, akj(x)ξkξj≥ 0
x
k
(s)
(¯ω), где
s ≥ 2 и ¯ω — любая замкнутая область, содержащаяся в Ω.
194
196 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
2) Для каждой точки P1некоторого множества Σ0, принадлежащего
границе Σ множества Ω, существует барьер, т.е. функция V (x),
удовлетворяющая следующим условиям:
a) V (x) определена и непрерывна в замыкании области ω1= Ω ∩
O(P1), где O(P1) — некоторая окрестность точки P1и V (x)
принадлежит классу C
(2)
(ω1);
b) V (P1) = 0 и V > 0 в остальных точках ¯ω1;
c) L(V ) < C1= const < 0 в ω1.
3) В Ω ∪Σ0существует непрерывная функция W из класса C
(2)
(Ω) такая, что W ≥ 0 в Ω∪Σ0, L(W ) < 0 в Ω и W (x) → ∞ при x → Σ\Σ0. То
есть W (x) > N , если x лежит в δ-окрестности множества Σ \Σ
и δ достаточно мало; здесь N произвольно.
Тогда существует единственное ограниченное решение уравнения L(u) =
f в Ω, непрерывное в Ω ∪Σ0, совпадающее с функцией g на Σ0и принадле-
жащее классу C
Доказательство. В силу принципа максимума, решения u
(2.8.2) равномерно ограничены по ε и n. Из множества функций u
берем последовательность u
пространства C
тельность, сходящуюся по норме пространства C
ная последовательность u
¯
Ωlдля каждого l ≥ 1. То же самое верно для производных этой последова-
(s)
(Ω).
задачи (2.8.1),
ε,n
ε,n
, сходящуюся при ε → 0 и n → ∞ по норме
(s)
(Ω1). Из этой последовательности выберем подпоследова-
ε,n
(s)
(Ω2), и т.д. Диагональ-
сходится при nk→ ∞ и εk→ 0 равномерно по
εk,n
k
вы-
тельности до порядка s. Очевидно, предельная функция u(x) принадлежит
классу C
(s)
(Ω), ограничена в Ω и удовлетворяет уравнению L(u) = f .
Мы покажем, что u(x) стремится к пределу на Σ0, равному функции
g. Пусть P1— произвольная точка на Σ0и hγ— шар с центром в P1и
радиусом γ; предположим, что γ настолько мало, что все точки x этого
шара, принадлежащие¯Ω, удовлетворяют условию |g(x) − g(P1)| < δ, где
δ > 0 — некоторое данное число и hγ⊂ O(P1).
В области Ωn∩ hγрассмотрим функции
0
w±(x) = ±g(P1) + δ ∓ u
Легко видеть, что в Ωn∩ h
γ
+ CV (x), C = const > 0.
ε,n
Lε(w±) = ±cg(P1) + cδ ∓ f + C(ε∆V + L(V )).
Так как L(V ) < C1< 0 в ω1и ω1⊃ Ωn∩hγдля малых γ, можно выбрать C
таким большим, что Lε(w±) < 0 в Ωn∩hγ, где ε достаточно мало. При этом
выборе постоянная C не зависит от ε или n, хотя ε зависит от n. Функции
w±(x) неотрицательны на границе Ωn∩ hγ. Действительно, в точках из S
n
имеем
w±(x) = ±g(P1) + δ ∓ g(x) + CV (x) > 0
195
8. НЕГЛАДКИЕ ОБЛАСТИ(МЕТОД М.В.КЕЛДЫША) 197
в силу ограничения на δ и γ; а в точках границы, лежащих на сфере радиуса γ, имеем w±> 0 для достаточно большого C, так как в этих точках
V > C2> 0, и функции u
равномерно ограничены по ε и n. Из условий
ε,n
Lε(w±) < 0, c < 0 в области Ωn∩ hγи w±> 0 на ее границе по принципу
максимума следует, что w±> 0 в Ωn∩ hγ. Отсюда следует, что
|u
(x) −g(P1)| ≤ δ + CV (x) (2.8.3)
ε,n
для всех x из Ωn∩ hγ. Так как C не зависит от ε или n, можно выбрать
последовательность εk, nkтакую, что u
→ u(x) при εk→ 0 и nk→ ∞, и
εk,n
k
можно перейти к пределу в (2.8.3) при εk→ 0 и nk→ ∞. Так мы получим,
что
|u(x) −g(P1)| ≤ δ + CV (x) (2.8.4)
для всех x ∈ Ω ∩hγ. Постоянная δ произвольна и C зависит от δ; поэтому
из (2.8.4) следует, что u(x) → g(P1) при x → P1, так как V (x) → 0.
Покажем, что ограниченная функция u(x), непрерывная в Ω∪Σ0, равная
g на Σ0и удовлетворяющая уравнению
L(u) = f в Ω, u ∈ C
(2)
(Ω),
единственна.
Если бы существовало две функции со свойствами, указанными выше,
их разность v(x) была бы равна нулю на Σ0и удовлетворяла уравнению
L(v) = 0 в Ω при |v| ≤ K0, K0= const. Рассмотрим в Ω функции δW ± v,
δ = const > 0. Эти функции неотрицательны на границе области Ω \Gκ, где
Gκ— κ-окрестность множества Σ\Σ0, если κ достаточно мало. Это следует
из того, что W ≥ 0 в Ω, v = 0 на Σ0и W (x) → ∞ при x → Σ \ Σ0. Более
того, мы имеем
L(δW ± v) < 0 в Ω \Gκ;
потому что по принципу максимума δW ±v ≥ 0 в Ω \Gκи, следовательно,
|v| ≤ δW в точках множества Ω \Gκ. Пусть x — произвольная точка в Ω.
Очевидно, x ∈ Ω \ Gκдля всех достаточно малых κ. Поскольку δ произвольно, из неравенства |v| ≤ δW в точке x в действительности следует, что
v(x) = 0, т.е. v ≡ 0 в Ω. Лемма доказана.
Теперь рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Lu = −P u =
f, где P — оператор типа (2.6.1).
Теорема 2.8.1. Пусть система операторов X0, . . . , Xrимеет ранг m в
каждой точке x области Ω, и пусть −γ ≡ c < const < 0 в Ω. Пусть
функция f ограничена, и пусть f ∈ H
loc
(Ω), где 2(s − k) > m и k ≥ 2.
s
Пусть часть Σ0границы Σ обладает следующим свойством: каждая точка P1∈ Σ0имеет окрестность, в которой область Ω содержится в некоторой области˜Ω класса A
(2)
, для которого точка P1лежит внутри множества вида Σ3∪ Σ2и для которого β < 0 в точках множества Σ2,
где β — функция, определенная с помощью (1.5.6) для оператора L = −P .
196
198 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Предположим, что либо Σ \Σ0∩¯Σ0= ∅, где множество Σ \Σ0является
границей области из класса A
(2)
и Σ \ Σ0⊂ Σ0∪ Σ1, или при подходящем
выборе координат y1, . . . , ymмножество Σ\Σ0лежит в плоскости ym= 0,
где Σ \Σ0= Σ0∪Σ1и ym> 0 для всех точек из Ω ∪Σ0. Тогда существует
единственное ограниченное решение u(x) уравнения
Lu = f в Ω (2.8.5)
такое, что u ∈ H
loc
(Ω), u ∈ C
s
(k)
(Ω) и u(x) непрерывно на Σ0и принимает
значения данной непрерывной функции g на Σ0.
Доказательство. При условиях теоремы проверим, что область Ω и урав-
нение (2.8.5) удовлетворяют всем условиям леммы 2.8.1. Сначала покажем,
что если часть границы Σ вблизи граничной точки P1является границей
области класса A
(2)
и принадлежит Σ3∪ Σ2при β < 0 в точках Σ2, то
существует барьер V (x) для точки P1. Для этого перейдем к локальным
координатам y1, . . . , ymв окрестности точки P1таким, чтобы граница Σ лежала в плоскости ym= 0 и ym> 0 в Ω. В новых координатах уравнение
(2.8.5) принимает вид
Lu = αkju
yky
+ βku
j
+ cu = f.
y
k
В силу наших предположений в достаточно малой окрестности точки P
или α
mm
> 0, или β = βm< 0; более того, c < 0. Пусть ψ(y1, . . . , y
m−1
) —
гладкая функция, определенная на Σ в 2δ-окрестности P1для достаточно
малого δ, обладающая теми свойствами, что ψ = 1 в точке P1, ψ = 0 вне
δ-окрестности P1и 0 < ψ < 1 в остальных точках. В области Ω
ym< τψ} рассмотрим функцию V = eκτ− e
Очевидно, V (P1) = 0, V (x) > 0 при x 6= P1и V ∈ C
κ(τ ψ−ym)
при κ, τ = const > 0.
(2)
(¯Ω
). Так как
δ,τ
δ,τ
{0 <
в координатах x1, . . . , xmграница Σ области Ω в окрестности P1является
границей области из класса A
(2)
, получаем, что αkjи βkограничены. Нужно
проверить, что L(V ) < 0. Имеем
L(V ) = −e
m−1
X
−2
k=1
κ(τ ψ−ym)
αkmκ2τψ
"
αmmκ2+
+
y
k
m−1
X
k=1
m−1
X
(αkjκ2τ2ψ
k,j=1
βkκτ ψ
ψ
y
j
k
+ αkjκτ ψ
y
− βmκ + c#+ ceκτ< 0,
y
k
yky
j
)−
1
если τ выбрано достаточно малым и κ достаточно велико.
В силу предположений теоремы 2.8.1, в некоторой окрестности каждой
точки P1на Σ0область Ω содержится в некоторой области˜Ω, для которой мы можем построить барьер V (x) в точке P1. Ясно, что та же самая
функция V (x) будет служить барьером в точке P1для области Ω и, следовательно, условие 2) леммы 2.8.1 выполняется для области Ω.
Определим W как функцию, равную положительной постоянной K вне
δ-окрестности Σ\Σ0и заданную следующим уравнением внутри этой окрест-
ности (здесь Σ \ Σ0лежит в плоскости ym= 0):
W = −ln ym· h(ym) + K,
197
8. НЕГЛАДКИЕ ОБЛАСТИ(МЕТОД М.В.КЕЛДЫША) 199
где h(ym) = 1 при 0 ≤ ym≤ δ/2, h(ym) = 0 при ym≥ δ и h(ym) — гладкая
функция такая, что 0 ≤ h(ym) ≤ 1. Тогда
L(W ) ≡ αkjW
−2αmmy
−1
m
+ βkW
yky
j
· h0(ym) −α
+ cW = αmmy
y
k
mm
ln ym· h00(ym) −βmy
−2
· h(ym)−
m
−1
m
· h(ym)−
−βmln ym· h0(ym) + Kc −ln ym· h(ym) ·c.
Если α
mm
= O(y
получим, что L(W ) < 0, так как βm≥ 0 и c < 0. Если α
то по условию α
2
) в окрестности Σ \ Σ0, то для достаточно большого K
m
mm
− βm≤ 0 и, следовательно, L(W ) < 0 для достаточно
y
m
mm
= O(ym),
большого K.
Если Σ \Σ0образует одну компоненту границы так, что Σ \Σ0∩Σ0= ∅,
то функция W определена уравнением
W (x) = −ln r · h(r) + K,
где r — расстояние от точки x до Σ \ Σ0, а h(r) — функция, определенная
выше. Легко видеть, что для достаточно большого K и малого δ функция
W удовлетворяет условию 3) леммы 2.8.1.
Теперь докажем, что условие 1) леммы 2.8.1 выполняется в случае, когда
L(u) ≡ −P (u). По предположению, в каждой точке x области Ω система
операторов X0, . . . , Xr, соответствующая оператору P , имеет ранг m. Так
как для (2.8.1) соответствующая система операторов ε∂/∂xj, j = 1, . . . , m,
X0, . . . , Xrсодержит оператор X0, . . . , Xr, по теореме 2.6.2 имеем
2
kϕuk
где δ = const > 0, функции ϕ, ϕ1∈ C
≤ C(ω, s)kϕ1Lεuk
s+δ
∞
(ω), ¯ω ⊂ Ω, ϕ1≡ 1 в окрестности
0
носителя ϕ, функция u ∈ D0(Ω) и Lε(u) ∈ H
от ε. Подставляя в (2.8.6) функции u
при n ≥ n0, которые являются
ε,n
2
+ kϕ1uk
s
loc
, а постоянная C не зависит
s
2
, (2.8.6)
0
решениями задачи (2.8.1), (2.8.2), мы получим следующее выражение для
достаточно большого n0:
kϕu
ε,n
2
k
≤ C(ω, s)kϕ1fk
s+δ
2
+ kϕ1u
s
ε,n
2
k
, (2.8.7)
0
где δ = const > 0.
Так как f ∈ H
loc
s
и u
ограничены в Ω равномерно по ε и n в силу
ε,n
принципа максимума, из (2.8.7) следует, что
kϕu
ε,nks+δ
≤ C1,
где C1не зависит от ε или n. Из теоремы Соболева (см. теорему 2.1.11)
следует, что семейство функций ϕu
теоремы 2.1.8 следует, что если 2(s −k) > m, то семейство ϕu
в пространстве C
(k)
(ω).
Так как ϕ — произвольная функция из C
компактно в пространстве cHs. Из
ε,n
компактно
ε,n
∞
(Ω), то для u
0
выполняется
ε,n
условие 1) леммы 2.8.1. Теорема доказана.
198
200 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Замечание 2.8.1. Теорема 2.8.1 также справедлива в случае, когда оператор L удовлетворяет условиям теоремы 2.7.1. В этом случае, чтобы получить оценку вида (2.8.7), нужно использовать неравенство
ε2kϕuk
2
s+2
≤ C
kϕ1Lεuk
1
2
+ kϕ1uk
s
2
, u ∈ H
s
loc
, Lε(u) ∈ H
s+2
loc
s
(2.8.8)
при s ≥ 0 и оценку
kϕuk
2
s+δ
≤ C
kϕ1Luk
2
2
+ kϕ1uk
s
доказанную в теореме 2.7.2, где ϕ, ϕ1∈ C
2
, δ = const > 0, (2.8.9)
s
∞
(Ω) и ϕ1≡ 1 на supp ϕ. Таким
0
образом,
kϕuk
2
s+δ
≤ C
kϕ1Lεuk
3
2
+ ε2kϕ1∆uk
s
2
+ kϕ1uk
s
2
, (2.8.10)
s
так как L(u) = Lε(u) − ε∆u. Из оценок (2.8.8) и (2.8.10) сразу следует
неравенство вида (2.8.6). Неравенство (2.8.8) можно получить с помощью
процедуры, аналогичной использованной при получении (2.7.23).
Методы главы 1, § 8 можно использовать при изучении гладкости слабых
решений задачи (1.1.4), (1.1.5) в замкнутой области¯Ω для гипоэллиптичных
уравнений, удовлетворяющих условиям теоремы 2.6.3 или 2.7.3. Очевидно,
следствием этих теорем является локальная гладкость обобщенных решений первой краевой задачи в любой подобласти области Ω, для которой
выполняются условия теоремы 2.6.3 или теоремы 2.7.3.
199
Литература
[1] Александров А. Д. Исследования принципа максимума. I// Изв. вузов.
Мат. — 1958. — 5, N o 6. — С. 126–157.
[2] Александров А. Д. Исследования принципа максимума. II// Изв. ву-
зов. Мат. — 1959. — 3, No 10. — С. 3–12.
[3] Александров А. Д. Исследования принципа максимума. III// Изв. ву-
зов. Мат. — 1959. — 5, No 12. — С. 16-32.
[4] Александров А. Д. Исследования принципа максимума. IV// Изв. ву-
зов. Мат. — 1960. — 3, No 16. — С. 3–15.
[5] Александров А. Д. Исследования принципа максимума. V// Изв. ву-
зов. Мат. — 1960. — 5, No 18. — С. 16–26.
[6] Бабенко К. И. Об одной новой проблеме квазианалитичности и пре-
образование Фурье целых функций// Тр. Моск. мат. об-ва. — 1958. —
5, С. 523–542.
[7] Березин И. С. О задаче Коши для линейных уравнений второго по-
рядка с начальными условиями на параболе// Мат. сб. — 1949. —
24, No 66. — С. 301–320; English transl., Amer. Math. Soc. Transl. —
1962. — I, N o 4. — С. 415–439.
[8] Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными.
— М.: Мир, 1966.
[9] Введенская Н. Д. О краевой задаче для уравнений эллиптического
типа, вырождающихся на границе области// Докл. АН СССР. — 1953.
— 91. — С. 711–714.
[10] Вишик М. И. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений,
вырождающихся на границе области// Докл. АН СССР. — 1953. —
93. — С. 9–12.
[11] Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырож-
дающихся на границе области// Мат. сб. — 1954. — 35 (77). — С. 513–
568.
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]