Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие
.pdf
9.
ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ(ПРОСТРАНСТВА С.Л.СОБОЛЕВА) 111
0
Теперь применим оператор ϕjD
r−2
∂
¯
S
ρ
/∂y
r−2
при r ≥ 2, ρ + r = l0+ 1 к
m
уравнению Lε(u) = f. Получим
m−1
−
mm
(α
m−1
X
s,k=1
+ εµmm)ϕjD
0
¯
S
ρ
(αks+ εµks)ϕjD
∂ru
∂y
0
¯
S
ρ
r
m
∂y
ε
= −2
r−2
m
∂ru
∂yk∂y
X
(αkm+ εµkm)ϕjD
k=1
ε
+ ϕjD
s
r−2
∂
∂y
r−2
m
f
+ A
0
¯
S
ρ
∂ru
0
¯
S
ρ
∂yk∂y
uε, (1.9.39)
l
0
ε
r−1
m
−
где A
— линейный дифференциальный оператор порядка l0, коэффици-
l
0
енты которого равны нулю вне supp ϕj. Принимая во внимание условие
(1.9.30), мы выведем из (1.9.39), что при ρ + r = l0+ 1
X
+
¯
S
γ+r−2=l0+1
ϕjD
γ
0
¯
S
ρ
∂ru
∂y
ϕjD
r
m
2
ε
≤ C
0
r−2
∂
0
¯
S
γ
∂y
u
r−2
m
"
12
γ+r−1=l0+1
#
2
ε
+ K
0
X
¯
S
γ
14
kfk
ϕjD
2
l0+1;Ω
∂
0
¯
S
γ
∂y
+ kuεk
r−1
u
r−1
m
2
ε
+
0
2
. (1.9.40)
l0;Ω
Следовательно, если предполагается, что оценка вида
X
¯
S
ρ
ρ+r=l0+1
ϕjD
2
∂ru
0
¯
S
ε
≤δ1+
r
ρ
∂y
m
0
+K
15
kfk
2
l0+1;Ω
C
14
δ1c
0
+ kuεk
X
ρ+r=l0+1
2
l0;Ω
S
¯
ρ
ψjD
0
¯
S
ρ
∂ru
∂y
r
m
2
ε
+
0
(1.9.41)
выполняется при r ≤ r0, то из (1.9.40) следует, что оценка того же самого
вида (1.9.41) выполняется также при r = r0+ 1. Так как (1.9.41) выполняется при r = 1 в силу (1.9.38) и (1.9.35), то отсюда следует, что (1.9.41)
выполняется для всех ρ и r таких, что ρ+r = l0+1, т.е. (1.9.28) выполняется
при l = l0+ 1.
Мы используем неравенство (1.9.28), чтобы оценить члены в последней
сумме в (1.9.27). Предполагая, что постоянная δ1выбрана достаточно малой и постоянная c0из условия 2) теоремы 1.9.1 достаточно велика, мы
используем (1.9.27), чтобы получить оценку
kuεk
2
µ;Ω
≤ C
15
kfk
2
µ;Ω
+ kuεk
2
µ−1;Ω
. (1.9.42)
Точно таким же образом можно получить оценку
kuεk
2
l;Ω
≤ C
16
kfk
2
l;Ω
+ kuεk
2
l−1;Ω
(1.9.43)
при l ≤ µ. Так как, очевидно, выполняется
kuεk
2
≤ C17kfk
0
2
, (1.9.44)
0
оценка (1.9.26) следует из (1.9.42)–(1.9.44). Это доказывает теорему.
Если µ = 1, то из теоремы 1.9.2 следуют условия существования слабого
решения задачи (1.1.4), (1.1.5) в смысле интегрального тождества (1.5.3).
111
Глава 2
О локальной гладкости
слабых решений
В главе 2 в основном изучается локальная гладкость слабых решений уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой и, в
частности, условия гипоэллиптичности.
Как уже было сказано во введении, условия гипоэллиптичности класса уравнений второго порядка вида (9) впервые были приведены в книге
Х¨eрмандера [187], а для общих уравнений второго порядка — в [112] и в
главе 2, §§ 6 и 7. В доказательстве Х¨eрмандера используются результаты
из теории алгебр Ли и теории специальных функциональных пространств.
Другое доказательство теоремы Х¨eрмандера о гипоэллиптичности, основанное на теории псевдодифференциальных операторов, приводится в § 6
этой главы.
В § 7 приведены примеры гипоэллиптических уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой, не представимые в виде
(9); в этом параграфе приведены результаты о гипоэллиптичности общих
уравнений второго порядка. В § 6 также показано, что условия теоремы
Х¨eрмандера можно ослабить; аналогичные теоремы доказаны в § 7 для общих уравнений второго порядка. В §§ 6 и 7 гипоэллиптичность уравнений
доказана в качестве следствия априорных оценок типа Шаудера. Эти оценки используются в § 8 для построения решения первой краевой задачи в
негладких областях для гипоэллиптических уравнений методом М. В. Келдыша [52]. В §§ 1 и 2 выведены основные результаты о пространствах H
и о псевдодифференциальных операторах и приведена подробная библиография, относящаяся к этим вопросам. В 1 параграфе 5 главы приведены
необходимые и достаточные условия гипоэллиптичности уравнений второго
порядка с аналитическими коэффициентами.
113
112
s
114 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
1 Пространства H
s
Этот параграф носит вспомогательный характер. Мы обсуждаем те свойства пространств Hs, которые понадобятся в наших рассмотрениях.
Сначала дадим некоторые понятия, определения и теоремы из теории
обобщенных функций, которые понадобятся позже. Пусть Ω — область в
m-мерном пространстве Rmи пусть u(x) — непрерывная комплекснознач-
ная функция в Ω. Носитель функции u(x) в Ω — это замыкание множества
{x; x ∈ Ω, u(x) 6= 0}. Носитель функции u обозначается supp u. Обозначим
через C
∞
(Ω) множество всех бесконечно дифференцируемых функций в Ω,
0
имеющих компактный носитель в Ω. Для любого множества A в Rmмы понимаем под C
∞
(A) множество всех действительных функций ϕ в C
0
∞
0
(Rm)
таких, что supp ϕ ⊂ A. Имеет место следующая теорема о разбиениях единицы.
Теорема 2.1.1. Пусть Ω1, . . . , Ωk— открытые множества, и пусть K
k
— компактное множество такое, что
ϕj∈ C
∞
(Ωj) такие, что ϕj≥ 0 и
0
P
S
Ωj⊃ K. Существуют функции
1
k
ϕj≤ 1, где
1
k
P
ϕj≡ 1 на K.
1
Обозначим через α мультииндекс α1, . . . , αm, где αj— неотрицатель-
m
ные целые числа; их сумму
P
αjмы обозначим через |α|, а произведение
1
α1! ···αm! обозначим через α!. Кроме того, введем обозначение
Dj= −i
∂
∂x
j
Здесь i =√−1. Положим xα= x
на функциях ϕ в C
∞
(Ω), называется обобщенной функцией в Ω, если u(ϕ)
0
, Dα= D
α
1
1
···x
α
m
α
1
1
m
. Функционал u(ϕ), определенный
···D
α
m
m
.
удовлетворяет следующим условиям:
1) u(c1ϕ1+ c2ϕ2) = c1u(ϕ1) + c2u(ϕ2), где c1и c2— комплексные числа;
ϕ1, ϕ2∈ C
∞
0
(Ω);
2) u(ϕn) → 0 при n → ∞, если последовательность ϕnсходится к нулю в
следующем смысле: для любого мультииндекса α имеем supΩ|Dαϕn| →
0 при n → ∞, и существует компактное множество K в Ω, содержащее
носители всех функций ϕn.
Линейное пространство функций C
∞
, в котором сходимость последо-
0
вательностей к нулю определена таким образом, обозначается D(Ω). Это
определение обобщенной функции в Ω эквивалентно следующему: обобщенная функция в Ω — это функционал u(ϕ), определенный на функциях ϕ в
∞
C
(Ω), удовлетворяющих условию 1) и таких, что для любого компактного
0
множества K ⊂ Ω существуют постоянные C и k такие, что
|u(ϕ)| ≤
X
sup |Dαϕ|, ϕ ∈ C
|α|≤k
∞
0
(K).
113
1. ПРОСТРАНСТВА H
S
115
Множество всех обобщенных функций в Ω обозначается D0(Ω). Очевидно,
что обобщенные функции из D0(Ω) образуют векторное пространство с естественным определением операций сложения и умножения на комплексное
число:
(a1u1+ a2u2)ϕ = a1u1(ϕ) + a2u2(ϕ), u1, u2∈ D0(Ω),
ϕ ∈ C
∞
(Ω), a1, a2= const .
0
Будем говорить, что обобщенная функция u(ϕ) является пределом в D0(Ω)
обобщенных функций uj(ϕ) при j → ∞, если для любой функции ϕ ∈
∞
C
(Ω)
0
lim
uj(ϕ) = u(ϕ).
j→∞
Можно доказать, что если последовательность обобщенных функций uj(ϕ)
такова, что для любой функции ϕ ∈ C
lim
j→∞
∞
(Ω) предел
0
uj(ϕ) = u(ϕ)
существует, то u(ϕ) является обобщенной функцией в D0(Ω). Будем говорить, что две обобщенные функции u1и u2в D0(Ω) равны в окрестности
точки x0∈ Ω, если u1(ϕ) = u2(ϕ) для всех функций ϕ ∈ C
∞
(Ω1), где Ω1—
0
некоторая окрестность точки x0.
Предположим, что для некоторой точки x не существует окрестности, в
которой обобщенная функция u равна нулю. Множество всех таких точек
x называется носителем обобщенной функции u(ϕ).
Из этого определения следует, что u = 0 на дополнении supp u в Ω, т.е.
u(ϕ) = 0, если ϕ ∈ C
∞
(Ω) и supp u ∩ supp ϕ = ∅. Здесь и далее символ ∅
0
обозначает пустое множество.
Производная Dku обобщенной функции u ∈ D0(Ω) определяется уравнением
Dku(ϕ) = −u(Dkϕ) при ϕ ∈ C
Очевидно, что Dαu(ϕ) = (−1)
|α|
u(Dαϕ), ϕ ∈ C
∞
(Ω).
0
∞
(Ω). Если u ∈ D0(Ω) и
0
a ∈ C∞(Ω), то произведение u(ϕ) на a определяется формулой
(au)(ϕ) = u(aϕ), ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
Пусть p(ξ) — полином от m переменных ξ1, . . . , ξmс комплексными коэффициентами. Обозначим через P (D) дифференциальный оператор, полученный из p(ξ) заменой ξjна Dj. Очевидно, что
P (D)e
ihx,ξi
= p(ξ)e
ihx,ξi
,
где hx, ξi = x1ξ1+ ··· + xmξm. Обозначим
|α|
∂
p
(α)
(η) =
∂η
α
1
1
p(η)
···∂η
114
α
m
|α|Dα
= i
m
p(η).
η
116 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Справедлива обобщенная формула Лейбница
X
P (D)(au) =
α
1
(Dαa)(P
α!
(α)
(D)u). (2.1.1)
Свертка u ∗ϕ двух непрерывных функций u и ϕ, одна из которых имеет
компактный носитель в Rm, определяется формулой
(u ∗ϕ)(x) =Zu(x −y)ϕ(y) dy =Zu(y)ϕ(x − y) dy = (ϕ ∗ u)(x).
(Здесь и в дальнейшем, если область интегрирования явно не указана, то
считается, что интегрирование производится по всему пространству Rm.)
Если u ∈ D0(Rm) и ϕ ∈ C
∞
(Rm), то обозначим через u ∗ ϕ функцию,
0
определенную уравнением
(u ∗ϕ)(x) = uy(ϕ(x −y)), (2.1.2)
где uyозначает, что u действует на ϕ(x − y) как функция от y при фиксированном x.
Под векторной суммой двух множеств A и B в Rmмы понимаем мно-
жество
A + B = {x + y; x ∈ A; y ∈ B}.
Теорема 2.1.2. Если u ∈ D0(Rm) и ϕ ∈ C
∞
(Rm), то u ∗ ϕ ∈ C
0
∞
(Rm) и
0
supp(u ∗ϕ) ⊂ supp u + supp ϕ. Кроме того,
Dα(u ∗ϕ) = (Dαu) ∗ϕ = u ∗ (Dαϕ).
Теорема 2.1.3. Пусть ϕ ∈ C
∞
(Rm),Zϕ dx = 1, ϕ ≥ 0, supp ϕ = {x, |x| ≤
0
1} и ϕε(x) = ε−mϕ(x/ε), где ε = const > 0. Если u ∈ D0(Rm), то u ∗ ϕε∈
C∞(Rm) и
supp(u ∗ϕε) ⊂ supp u + {x, |x| ≤ ε}.
При ε → 0 функции u ∗ ϕε→ u в D0(Rm).
Преобразование Фурьеˆf функции f ∈ L1(Rm) определяется формулой
ˆ
f(ξ) =Ze
−ihx,ξi
f(x) dx. (2.1.3)
Еслиˆf(ξ) также принадлежит L1(Rm), то выполняется формула обращения
Z
f(x) = (2π)
−m
ihx,ξi
e
ˆ
f(ξ) dξ. (2.1.4)
Обозначим через S множество всех функций ϕ ∈ C∞(Rm) таких, что
supx|xβDαϕ(x)| < ∞
115
1. ПРОСТРАНСТВА H
S
117
для любых мультииндексов α и β. Функции из класса S образуют локально
компактное топологическое пространство, если ввести следующую систему
полунорм на S (см. [251]):
p
(ϕ) = sup
α,β
|xβDαϕ(x)|. (2.1.5)
m
x∈R
Ясно, что C
∞
(Rm) ⊂ S.
0
Теорема 2.1.4. Преобразование Фурье непрерывно отображает S в S.
Формула (2.1.4) обратного преобразования Фурье выполняется для функций из S. Преобразование Фурье от Djϕ имеет вид ξjˆϕ(ξ) и преобразование
Фурье от xjϕ имеет вид −Djˆϕ(ξ).
Теорема 2.1.5. Если ϕ и ψ — функции из S, то
Z
ˆϕψ dx =Zϕˆψ dx, (2.1.6)
Z
¯
ˆ
ˆϕ
ψ dξ = (2π)
\
(ϕ ∗ψ) = ˆϕ ·ˆψ, (2.1.8)
\
(ϕ ·ψ) = (2π)−mˆϕ ∗ˆψ. (2.1.9)
Z
m
ϕ¯ψ dx, (2.1.7)
Непрерывный линейный функционал на S называется обобщенной функцией из пространства S0. Так как C
∞
⊂ S и из сходимости последователь-
0
ности в D(Rm) следует ее сходимость в S, любая обобщенная функция из
S0определяет непрерывный линейный функционал на D(Rm), т.е. является
обобщенной функцией из D0(Rm).
Легко показать, что множество C
∞
плотно в S и что S0можно непре-
0
рывно вложить в D0(Rm).
Если u ∈ S0, то преобразование Фурье ˆu обобщенной функции u(ϕ) опре-
делено уравнением
ˆu(ϕ) = u( ˆϕ), ϕ ∈ S. (2.1.10)
Для любой обобщенной функции из S0справедлива формула обращения
преобразования Фурье, имеющая вид
ˆ
ˆu = (2π)mˇu,
где ˇϕ = ϕ(−x) для ϕ ∈ S и ˇu(ϕ) = u( ˇϕ) для обобщенных функций из S0.
Теорема 2.1.6. Если обобщенная функция u(ϕ) из D0(Rm) имеет компактный носитель, то u ∈ S0, преобразование Фурье от u определено для
всех комплексных значений ξ формулой
ˆu(ξ) = ux(e
−ihx,ξi
)
и ˆu(ξ) — целая аналитическая функция от ξ.
116
118 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Доказательства теорем 2.1.1–2.1.6 можно найти в [22, 188, 234] или [238].
В функциональном пространстве S введем скалярное произведение
Z
(u, v)s= (2π)
−m
(1 + |ξ|2)sˆu(ξ)ˆv(ξ) dξ, (2.1.11)
где s — любое действительное число. Это скалярное произведение порождает норму
Z
2
kuk
= (u, u)s= (2π)
s
−m
(1 + |ξ|2)s|ˆu(ξ)|2dξ. (2.1.12)
Замыкание пространства S по этой норме называется пространством Hs.
Ясно, что Hs— сепарабельное гильбертово пространство.
Теорема 2.1.7. Пространство Hsизоморфно подпространству обобщен-
ных функций u в S0, преобразование Фурье которых ˆu(ξ) является обычной
функцией и
kuk
2
= (2π)
s
−m
Z
(1 + |ξ|2)s|ˆu(ξ)|2dξ < ∞. (2.1.13)
Доказательство. Каждому элементу u из Hs, принадлежащему S, поста-
вим в соответствие обобщенную функцию из S0следующим образом:
u(ϕ) =Zuϕ dx, u, ϕ ∈ S.
Если последовательность unфундаментальна в Hs, то ей соответствует
обобщенная функция u(ϕ), равная lim
Z
так как lim
n→∞
unϕ dx существует при n → ∞ для каждого ϕ ∈ S. Действи-
unв S0. Этот предел существует,
n→∞
тельно, используя равенство Парсеваля и неравенство Шварца, мы получим
Z
(un− u
0
n
)ϕ dx
= |(un− u
0
, ¯ϕ)0| ≤ kun− u
n
0
ksk¯ϕk−s. (2.1.14)
n
Правая сторона (2.1.14) стремится к нулю при n, n0→ ∞, так как последовательность unфундаментальна. Мы покажем, что обобщенная функция,
равная lim
un, имеет преобразование Фурье ˆu(ξ) такое, что выполняется
n→∞
условие (2.1.13). Так как
Z
kun− u
n
0
k
2
= (2π)
s
−m
(1 + |ξ|2)s|ˆu
0
− ˆun|2dξ,
n
функции ˆunобразуют фундаментальную последовательность в пространстве функций с нормой, заданной правой частью (2.1.12). Полнота этого пространства следует из полноты L2(Rm). Следовательно, существует
функция ˆu(ξ) такая, что выполняется условие (2.1.13) и
Z
(1 + |ξ|2)s|ˆu(ξ) − ˆun(ξ)|2dξ → 0 при n → ∞. (2.1.15)
117
1. ПРОСТРАНСТВА H
S
119
Мы покажем, что функция ˆu(ξ) является преобразованием Фурье от обоб-
щенной функции lim
n→∞
un.
Согласно (2.1.6) и определению преобразования Фурье для обобщенных
функций,
Z
ˆunϕ dx =Zunˆϕ dx = un( ˆϕ) = ˆun(ϕ).
Переходя к пределу при n → ∞ в этих уравнениях и вспоминая (2.1.15),
мы получим
Z
ˆunϕ dx = u( ˆϕ) = ˆu(ϕ).
Это означает, что ˆu(ξ) является преобразованием Фурье обобщенной функ-
ции u(ϕ) = lim
un(ϕ). Пусть теперь u(ϕ) — обобщенная функция из S
n→∞
такая, что ее преобразование Фурье — это функция ˆu(ξ), удовлетворяющая
условию (2.1.13). Мы построим последовательность функций ˆun(ξ) такую,
что ˆun(ξ) ∈ C
∞
(Rm) и
0
Z
0
(1 + |ξ|2)s|ˆu(ξ) − ˆun(ξ)|2dξ → 0 при n → ∞.
Тогда функции un, определенные формулами
Z
un(x) = (2π)
−m
ihx,ξi
e
ˆun(ξ) dξ,
принадлежат пространству S и образуют фундаментальную последовательность в пространстве Hs. Из уравнения
Z
ˆunϕ dx =Zunˆϕ dx = un( ˆϕ)
следует, что для любой функции ϕ ∈ S
lim
un( ˆϕ) =Zˆunϕ dx = ˆu(ϕ) = u( ˆϕ).
n→∞
Это означает, что последовательность unсходится в S0к обобщенной функции u(ϕ), которую мы рассматриваем, и является фундаментальной в Hs.
Таким образом, каждому элементу u из Hsсоответствует, причем это
соответствие взаимно-однозначно, обобщенная функция u(ϕ) в S0такая,
что
kuk
2
s
−m
Z
(1 + |ξ|2)s|ˆu(ξ)|2dξ,
где ˆu(ξ) — преобразование Фурье обобщенной функции u(ϕ) и kuks— норма
элемента u из Hs. Теорема доказана.
Легко доказать следующие свойства пространств Hs:
1) Ht⊂ Hs, если s < t, и
kuks≤ kukt, (2.1.16)
118
120 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
2)
|(u, v)s| ≤ kukskvks. (2.1.17)
Это неравенство выводится с помощью применения неравенства Шварца к интегралу в правой части (2.1.11).
3) Если u ∈ H
4) Если u ∈ H
t+|p|
s+t
, то
и v ∈ H
kDpukt≤ kuk
, то (2.1.11) определяет их скалярное произ-
s−t
. (2.1.18)
t+|p|
ведение (u, v)s, причем выполняются следующие неравенства:
|(u, v)s| ≤ kuk
|(u, v)s| ≤
1
µkuk
2
s+t
2
s+t
kvk
+
, (2.1.19)
s−t
1
2
kvk
µ
, (2.1.20)
s−t
где µ — произвольное число. Неравенство (2.1.19) иногда называют
обобщенным неравенством Шварца.
Легко видеть, что если s = 0, то пространство H0совпадает с пространством L2(Rm). Если s — положительное целое число, то Hsсовпадает
с пространством Соболева W
s
, состоящим из функций, обобщенные про-
2
изводные которых до порядка s включительно принадлежат L2(Rm) (см.
[121]).
Теорема 2.1.8 (теорема вложения Соболева). Если u ∈ H
m и k — неотрицательное целое число, то u ∈ C
(k)(Rm
(Rm), где 2l >
l+k
).
Доказательство. Функции u из S удовлетворяют соотношению
|Dαu(x)| = (2π)
−m
Z
ξαˆu(ξ)e
ihx,ξi
dξ
≤ (2π)
−m
Z
(1 + |ξ|2)
|α|/2
|ˆu(ξ)|dξ.
Поэтому
Z
(1 + |ξ|2)
1
k/2
|ˆu(ξ)|dξ,
ku(x)k
X
≡
(k)
C
|α|≤k
max
|Dαu(x)| ≤ C
m
x∈R
где постоянная C1не зависит от u. Из этой оценки и неравенства Шварца
следует, что
ku(x)k
Z
≤ C
(k)
C
(1+|ξ|2)−ldξ
1
1/2
Z
(1+|ξ|2)
k+l
|ˆu(ξ)|2dξ
1/2
≤ C2kuk
l+k
(2.1.21)
так как 2l > m.
Если u ∈ H
такая, что ku −unk
Из (2.1.21) следует, что kun−u
существует функция u0такая, что kun−u0k
(Rm), то существует последовательность функций un∈ S
l+k
→ 0 при n → ∞ и kun− u
l+k
0
k
→ 0 при n, n0→ ∞ и, следовательно,
(k)
n
C
(k)
C
0
k
n
→ 0 при n, n0→ ∞.
l+k
→ 0 при n → ∞. Очевидно,
u ≡ u0в Rm.
,
119
1. ПРОСТРАНСТВА H
S
121
Теорема 2.1.9. Пространство Hsдвойственно к пространству H−sот-
носительно скалярного произведения пространства H0. Это означает, что
если v ∈ H−s, то
Z
l(u) = (u, v)
0
−m
ˆu(ξ)ˆv(ξ) dξ
— ограниченный линейный функционал в Hs, и норма функционала l(u)
равна kvk−s, т.е. выполняется соотношение
(u, v)
kvk−s= sup
u
kuk
0
. (2.1.22)
s
И наоборот, любой ограниченный линейный функционал на Hsможно
представить в виде (u, v)0, где функция v ∈ H−sопределена единственным
образом, а норма функционала равна kvk−s.
Доказательство. Рассмотрим l(u) = (u, v)0при v ∈ H−s, u ∈ Hs. Согласно
(2.1.19), |l(u)| ≤ kukskvk−sи, следовательно, l(u) является ограниченным
линейным функционалом на Hs.
По определению нормы l(u),
(u, v)
klk = sup
u
kuk
0
, (2.1.23)
s
откуда следует, что
Z
klk = sup
u
(2π)
−m/2
(1 + |ξ|2)
Z
s/2
ˆu(ξ)(1 + |ξ|2)
1/2
−s/2
ˆv(ξ)dξ
. (2.1.24)
(1 + |ξ|2)s|ˆu(ξ)|2dξ
Применяя неравенство Шварца, мы получим
klk ≤ kvk−s. (2.1.25)
Подставляя в правую часть (2.1.23) обобщенную функцию u, преобразование Фурье которой равно ˆv(ξ)(1 + |ξ|2)−s, получим
klk ≥ kvk−s. (2.1.26)
Из (2.1.25) и (2.1.26) мы получим (2.1.22).
Теперь предположим, что l(u) — ограниченный линейный функционал
в Hs. По теореме Рисса l(u) = (u, v1)sи klk = kv1ks, где u, v1∈ Hs. По
определению (2.1.11) скалярного произведения в H
Z
l(u) = (2π)
−m
(1+|ξ|2)sˆu(ξ)ˆv1(ξ) dξ = (2π)
−m
s
Z
ˆu(ξ)[(1+|ξ|2)sˆv1(ξ)] dξ = (u, v)0,
где v — обобщенная функция, преобразование Фурье которой равно (1 +
|ξ|2)sˆv1(ξ). Очевидно, klk = kvk−s, так как v ∈ H−sи kvk−s= kv1ks. Следо-
вательно, klk = kvk−s. Таким образом, теорема доказана.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]