Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие
.pdf
9.
ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ(ПРОСТРАНСТВА С.Л.СОБОЛЕВА) 101
Условие (1.8.83) теоремы 1.8.7 можно опустить. А именно, выполняется
следующий результат.
Теорема 1.8.8. Пусть выполняются все условия теоремы 1.8.7 за исклю-
чением условия (1.8.83), которое предполагалось выполненным в теореме 1.8.7 для точек, лежащих в окрестности Σ
ние задачи (1.1.4), (1.1.5) принадлежит классу Cµв Ω \G
окрестности Σ
1
и классу C
1
в окрестности Σ
µ−3
1
. Тогда обобщенное реше-
2
1
.
2
0
, классу C
δ
µ−1
в
Доказательство. В области Ω0, определенной при доказательстве теорем 1.8.3
и 1.8.4, рассмотрим уравнение
ε˜L(u) + a(x)∆u + L(u) = f1, (1.8.91)
где˜L эллиптично всюду в¯Ω0\ Σ
1
,˜L(u) ≡ P (u) вне δ-окрестности Σ
2
1
(опе-
2
ратор P определен в доказательстве теоремы 1.8.4), и в δ/2-окрестности Σ
имеем
˜
L(u) ≡ ˜a(ym)u
ymy
где P1(u) — эллиптический оператор, заданный на Σ
внутрь Ω с коэффициентами, не зависящими от ym, ˜a(ym) = y
+ P1(u),
m
1
и продолженный
2
2
при ym≤
m
δ/4 и ˜a(ym) = 1 при δ/3 ≤ ym≤ δ/2, 0 < ˜a ≤ 1 при 0 < ym≤ δ/2. В
области Ω0уравнение (1.8.91) имеет решение по теореме 1.8.7, равное нулю
на границе S0. Это решение принадлежит классу C
µ−1(Ω0
). На границе Σ
можно выразить все производные от uεдо порядка µ − 1 с помощью уравнения (1.8.91) и уравнений, полученных из него дифференцированием по
y1, . . . , ym. Легко видеть, что эти производные равномерно ограничены по
ε. Поэтому доказательство теоремы 1.8.8 проводится по той же схеме, что и
доказательство теоремы 1.8.4, с той разницей, что в тех областях ωj, границы которых содержат точки из Σ
1
, мы полагаем Zν=
2
P
l≤ν
C
P
D
l
¯
S
l
2
u
¯
S
.
ε
l
9 Первая краевая задача
1
2
1
2
(пространства С.Л.Соболева)
В этом параграфе мы найдем условия, при которых существует решение
задачи (1.1.4), (1.1.5) с квадратично интегрируемыми слабыми производными. Если при этих условиях предположения теоремы, обеспечивающей
единственность слабого решения этой задачи выполнены, то эти условия гарантируют некоторые свойства гладкости слабого решения задачи (1.1.4),
(1.1.5).
Изложение в этом параграфе следует, в основном, работам Кона и Ни-
ренберга [193, 196].
Для простоты предположим, что коэффициенты уравнения
L(u) = akju
xkx
+ bku
j
101
+ cu = f (1.9.1)
x
k
102 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
бесконечно дифференцируемые (или достаточно гладкие) функции в Ω ∪Σ,
что краевая функция g в (1.1.5) равна нулю, и что область Ω ∈ A
(n)
для
достаточно больших n.
Как и в § 8, обозначим
D
u =
¯
S
l
∂x
s
1
с условием, что sj6= m. Обозначим через W
∂
···
∂
u,¯Sl= (s1, . . . , sl), sj= 1, . . . , m,
∂x
s
l
D
0
¯
S
u =
l
∂y
∂
s
1
···
∂
u,
∂y
s
l
k
(Ω) пространство функций,
2
для которых существуют слабые производные в области Ω до порядка k
включительно, и
Z
k
X
X
¯
S
l
kuk
2
k;Ω
=
l=0
Ω
В случае k = 0 мы также будем использовать обозначение kuk
D
2
u
l
dx < ∞.
0;Ω
= kuk0.
¯
S
В окрестности ω точки P1на границе Σ введем локальные координаты
y1, . . . , ymтакие, что граница Σ лежит в плоскости ym= 0 и ym> 0 в
Ω. Пусть G
0
— δ-окрестность множества Σ0, G
δ
Σ2, и пусть δ настолько мало, что G
0
δ
и G
2
— δ-окрестность множества
δ
2
можно покрыть областями ω, в
δ
которых существуют локальные координаты y1, . . . , ymс указанными выше
свойствами. Мы определим
+
Z
G
0
δ
l+k≤N
|kuk|
X
¯
S
l
2
N
|ym|
=
"
Z
X
¯
S
2
G
δ
k
∂
∂y
l≤N
k
k
m
l
D
0
¯
S
D
l
2
0
u
+
¯
S
l
l+k≤N,
2
u
dy +
Ω\(G
X
¯
S
l
k≥1
Z
0
δ
∪G
k
∂
∂y
k
m
X
D
0
¯
S
D
¯
S
2
l
)
δ
l≤N
#
2
u
l
S
dy+
2
u
¯
dx. (1.9.2)
l
Теорема 1.9.1 (см. [193]). Пусть выполняются следующие условия на границу Σ и на коэффициенты в (1.9.1).
1)
(Σ1∪ Σ0) ∩Σ2∪ Σ3= ∅. (1.9.3)
2) Коэффициент c < −c0< 0 в Ω, и постоянная c0достаточно велика,
зависит от akj, bkи их производных порядка 3 и меньше.
3) В точках из Σ
где˜b = (bk−a
kj
x
2
1
γ ≡ 1 +
)F
, α = (bk−a
x
k
j
kj
x
µ
2
)(arsF
j
α
> 0, (1.9.4)
2
˜
b
F
)
x
r
, µ — положительное
x
x
s
k
целое число, уравнение F = 0 определяет границу Σ и grad F имеет
102
9. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ(ПРОСТРАНСТВА С.Л.СОБОЛЕВА) 103
направление внутренней нормали к Σ (очевидно,˜b < 0 и α ≤ 0 на Σ2,
и функции˜b и α инвариантны относительно невырожденных замен
независимых переменных, как видно из леммы 1.1.1).
4) В точках Σ
2
p
L0(a)
|˜b|
≤ K
γ
, (1.9.5)
1
µ
где K1— постоянная, зависящая только от размерности пространства Rm, и L0≡ akj∂2/∂xk∂xj, a(x) = akjF
F
x
. (Если точка x
x
j
k
является внутренней точкой Σ2или пределом внутренних точек
Σ2, легко показать, что в x0левая часть соотношения (1.9.5) равна
нулю, так что условие (1.9.5) выполнено.)
Тогда для любой функции f ∈ W
µ
(Ω) существует решение u(x) задачи
2
(1.1.4), (1.1.5) с g = 0, и выполняется оценка
|kuk|µ≤ C1kfk
, (1.9.6)
µ;Ω
где постоянная C1не зависит от u и µ — данное целое положительное
число. Более того, u ∈ W
u ∈ W
четного µ и u ∈ W
(µ+1)/2
2
для нечетного µ в окрестности Σ2; и наконец, u ∈ W
(µ−1)/2
2
µ
в Ω \ (G
2
0
δ
∪ G
2
), u ∈ W
δ
для нечетного µ в окрестности Σ0.
µ/2
для четного µ и
2
µ/2
2
для
Ниже мы дадим доказательство теоремы 1.9.1 в простейшем случае, когда Σ = Σ3. Решение задачи (1.1.4), (1.1.5) в этом случае, как и в теореме 1.8.2, получается как предел при ε → 0 решений эллиптического уравнения
ε∆u + L(u) = f в Ω (1.9.7)
0
с граничным условием
u = 0 на Σ. (1.9.8)
В случае, когда Σ содержит множество Σ1, уравнение, аналогичное (1.9.7) в
доказательстве теоремы 1.9.1 в [193] включает сопряжение эллиптического
оператора порядка 2µ с малым параметром ε в окрестности Σ1. Мы здесь
не приводим полного доказательства утверждений теоремы 1.9.1 из-за его
сложности. Некоторые результаты, касающиеся гладкости решения задачи
(1.1.4), (1.1.5), близкие к результатам теоремы 1.9.1, были доказаны другими методами в § 8. Эти методы всюду использовали регуляризацию типа
(1.9.7), (1.9.8).
Теорема 1.9.2. Пусть Σ = Σ3, f ∈ W
µ
(Ω), коэффициент c < −c0< 0 в Ω,
2
постоянная c0достаточно велика, зависит от akj, bkи их производных
порядка 2 и меньше, и пусть коэффициенты (1.9.1) и граница области Ω
бесконечно дифференцируемы (или достаточно гладки). Тогда существует
решение задачи (1.1.4), (1.1.5) с g = 0 в классе W
kuk
≤ C2kfk
µ;Ω
µ;Ω
µ
(Ω) и
2
, (1.9.9)
где C2не зависит от u и µ — положительное целое число.
103
104 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
Сначала докажем несколько вспомогательных результатов.
Введем некоторые обозначения. Для любых функций u и v из C
(1)
(Ω)
положим
−Q(u, v) ≡
Z
Ω
− akjv
+
x
k
1
2
u
− εv
x
j
2c −b
u
x
x
k
k
k
x
k
+ a
kj
xkx
+
1
2
bk− a
kj
x
u
v − v
x
j
k
x
u+
k
uvdx. (1.9.10)
j
В дальнейшем символы Cjбудут использоваться для обозначения постоянных, зависящих только от aks, bkи их производных до второго порядка
включительно, а Kjбудут обозначать постоянные, не зависящие от параметра ε. Их нумерация сохраняется только в ходе доказательства одной
леммы или одной теоремы.
Лемма 1.9.1. Пусть ϕ — бесконечно дифференцируемая функция с носи-
телем, содержащимся в малой окрестности U точки x0∈ Σ (так что в
U можно ввести локальные координаты y1, . . . , ym, где Σ лежит в плос-
кости ym= 0 и ym> 0 в Ω). Тогда при l ≥ 1
ψD
ψD
0
u
− (−1)lQu, D
¯
S
l
0
u
¯
y
l−1
¯
ρ
m
2
u
0
S
0
S
X
j
X
+
2
+
0
X
¯
S
ρ≤l−2
¯
S
l
ψD
ρ
(Mju, Mjv),
0
ϕ2D
¯
S
l
ψD
0
u) ≤
¯
S
l
)
2
0
u
¯
S
l
+
0
0
¯
S
ρ
2
u
y
m
, (1.9.11)
0
Z
vw dx.
Ω
1
1
(
0
u, ϕD
¯
S
l
X
¯
S
l−1
X
¯
S
ρ
ρ≤l−1
где u ∈ C
QϕD
≤ C
+K
(l+1)
(¯Ω), ψ ∈ C∞(¯Ω), ψ ≥ 1 на supp ϕ и ψ ≡ 0 вне U.
Доказательство. Обозначим выражение в правой части (1.9.11) с постоян-
ными Csи Kρвместо C1и K1символом R(Cs, Kρ). Пусть (v, w) =
Легко видеть, что
Q(u, v) +
где Mjи Lj— дифференциальные операторы первого порядка, имеющие в
локальных координатах y1, . . . , ymвид
Mj≡ a
Lj≡ α
m−1
m
+
+
X
k=1
m−1
X
k=1
∂
k
b
j
∂y
+ cj,
k
(1.9.12)
∂
k
γ
j
∂y
+ rj,
k
∂
j
∂y
∂
j
∂y
m
104
9. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ(ПРОСТРАНСТВА С.Л.СОБОЛЕВА) 105
k
где aj, αj, b
Рассмотрим операторы A = ϕD
k
и γ
j
не зависят от c.
j
0
и A∗= (−1)lD
¯
S
l
0
ϕ. Выполняется сле-
¯
S
l
дующее тождество:
2[Q(Au, Au) −Q(u, A∗Au)] =
= [Q(Au, Au) −Q(u, A∗Au)] + [Q(A∗Au, u) −Q(u, A∗Au)] + [Q(Au, Au) − Q(A∗Au, u)] =
= −(MjAu, [A, Lj]u) + (Mju, [Lj, A∗]Au)−(LjAu, [A, Mj]u) + ([Mj, A∗]Au, Lju)+
+[Q(A∗Au, u) −Q(u, A∗Au)], (1.9.13)
где по определению [A, B] ≡ AB − BA для любых двух операторов A и B.
Здесь предполагается суммирование по повторяющемуся индексу j. Оценим
члены в последней части (1.9.13).
Очевидные преобразования приводят к тождеству
(MjAu, [A, Lj]u) + (Mju, [Lj, A∗]Au) ≡
≡ ([A, Mj]u, [Lj, A]u) −((A − A∗)Mju, [Lj, A]u)+
+(Mju, [Lj, A∗− A]Au) + (Mju, [[Lj, A], A]u). (1.9.14)
Далее, используя представление (1.9.12) для операторов Mjи Lj, получим
([A, Mj]u, [Lj, A]u) = − [A, aj]u
m−1
+
X
A, b
k=1
∂
k
j
∂y
где оператор A
u + [A, cj]u, [A, αj]u
k
определен уравнением A
(ym)
y
m
− αjA
y
m
(ym)
(ym)
− ajA
m−1
u +
≡ ϕ
(ym)
X
k=1
u+
k
A, γ
j
0
D
y
m
. Следующие
¯
S
l
∂
u + [A, rj]u!,
∂y
k
оценки очевидны:
[A, aj]u
kajA
(ym)
2
+
0
2
0
m−1
X
+
k=1
[A, cj]u
[A, αj]u
(
≤ C
3
y
m
uk
y
A, b
X
¯
S
l
2
0
m
+
2
≤ C
0
∂
k
j
∂y
ψD
[A, rj]u
X
0
ψD
3
≤ K
¯
S
l−1
A, γ
X
¯
S
ρ
ρ≤l−1
X
4
ρ≤l−1
2
¯
S
l−1
2
u
+
k
0
2
0
u
¯
S
+ K
0
l
2
0
2
u
y
∂
k
j
∂y
¯
S
ρ
m
k
ψD
0
u
0
¯
S
ψD
+ K
u
ρ
0
S
)
2
0
2
;
0
u
¯
ρ
X
2
¯
S
ρ
ρ≤l−2
+ kαjA
2
.
0
ψD
(ym)
0
¯
S
ρ
uk
u
y
m
2
≤
0
2
;
0
Из оценок, полученных выше, следует, что |([A, Mj]u, [Lj, A]u)| ≤ R(C4, K5).
Аналогично мы оценим интеграл ((A −A∗)Mju, [Lj, A]u). Далее мы изучим
интегралы (Mju, [[Lj, A]A]u) и (Mju, [Lj, A∗−A]Au) в правой части (1.9.14).
105
106 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
Используя представление (1.9.12), получим
Mju, [[Lj, A], A]u= Mju, [[αj, A], A]u
m−1
X
+[[rj, A], A]u + [αj, A]A
(ym)
u +
k=1
k
γ
j
y
m
+ [αjA
(ym)
, A]u+
∂
, A, Au!. (1.9.15)
∂y
k
Преобразуем интегралы в правой части (1.9.15) с помощью интегрирования по частям и напомним, что [[αj, A], A] — дифференциальный оператор
порядка 2l − 2, содержащий дифференцирования только по переменным
y1, . . . , y
m−1
P
k=1
[[γ
k
j
. Также, напоминая, что [αjA
m−1
, A], [[rj, A], A], [αj, A]A
(ym)
(ym)
∂/∂yk, A], A] — дифференциальные операторы порядка не более, чем
и
2l−1, также содержащие дифференцирования только по переменным y1, . . . , y
мы получим оценку
|(Mju, [[Lj, A], A]u)| ≤ R(C5, K6)
m−1
,
из (1.9.15). Оценим интеграл (Mju, [Lj, A∗− A]Au) в точности тем же спо-
собом. Как следствие,
|(MjAu, [A, Lj]u) + (Mju, [Lj, A∗]Au)| ≤ R(C6, K7).
Два оставшихся члена в последней части (1.9.13) можно оценить аналогично; из этих результатов следует утверждение леммы.
Лемма 1.9.2. Пусть выполнено условие 2) теоремы 1.9.1, uε(x) — решение
уравнения
Lε(u) ≡ ε∆u + L(u) = f в Ω, ε = const > 0, (1.9.16)
с условием
u = 0 на Σ, (1.9.17)
и предположим, что uε∈ C
(µ+2)
(¯Ω), f ∈ W
µ
(Ω). Тогда для любого l ≤ µ
2
выполняется оценка
(
8
X
¯
S
ρ
ρ≤l
ψD
2
0
f
¯
S
+ C
0
ρ
c
ϕD
0
0
S
2
u
¯
l
≤ K
ε
0
(
X
+K
9
¯
S
ρ
ρ≤l−1
ψD
0
S
2
u
¯
ρ
+
ε
0
где функции ϕ и ψ определены как в лемме 1.9.1. Если ϕ ∈ C
X
7
X
¯
S
ρ
ρ≤l−2
ψD
¯
S
l
0
u
¯
ε
S
l
X
¯
S
l−1
ψD
S
0
¯
l−1
2
+
0
u
εy
m
)
ψD
0
¯
S
ρ
2
u
εy
m
, (1.9.18)
0
∞
(Ω), то при
0
l ≤ µ
10
X
¯
S
ρ
ρ≤l
ψD
2
f
¯
S
+ C
ρ
0
c
ϕD
0
2
u
¯
S
l
≤ K
ε
0
8
X
¯
S
l
ψD
11
X
¯
S
ρ
ρ≤l−1
ψD
u
¯
ε
S
ρ
2
u
¯
S
l
+ K
ε
0
(1.9.19)
)
2
+
0
2
,
0
106
9. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ(ПРОСТРАНСТВА С.Л.СОБОЛЕВА) 107
где ψ ∈ C
∞
(Ω) и ψ ≥ 1 на носителе ϕ.
0
Доказательство. Для любых гладких функций u и v, равных нулю на Σ,
выполняется тождество
−(Lε(u), v) = Q(u, v). (1.9.20)
В силу предположения 2) теоремы 1.9.1 можно предположить, что в Ω
c0+ b
k
x
k
− a
kj
xkx
j
≥ 0.
Следовательно, из (1.9.10) вытекает, что
c
0
Q(v, v) ≥
для любой гладкой функции v, равной нулю на Σ. Подставим v = ϕD
2
kvk
2
0
(1.9.21)
0
u
¯
S
l
в (1.9.21); получим
c
0
ϕD
2
0
S
2
u
ε
0
≤ QϕD
¯
l
0
uε, ϕD
¯
S
l
0
u
. (1.9.22)
¯
ε
S
l
ε
Чтобы оценить правую часть (1.9.22), используем неравенство (1.9.11) из
леммы 1.9.1. Имеем
QϕD
0
uε, ϕD
¯
S
l
0
u
¯
S
l
≤
ε
Quε, D
0
¯
S
l
ϕ2D
0
u
¯
S
l
+ R(C1, K1). (1.9.23)
ε
Из (1.9.20) следует, что
Quε, D
0
¯
S
ϕ2D
l
0
u
¯
ε
S
l
=
f, D
0
¯
S
ϕ2D
l
0
u
¯
ε
S
l
≤
ϕD
0
S
2
u
¯
ε
l
+
ϕD
0
2
0
f
¯
S
l
.
0
(1.9.24)
Из оценок (1.9.22)–(1.9.24) следует (1.9.18).
Неравенство (1.9.19) доказывается аналогично. В этом случае необходи-
мо объяснить, что если ϕ ∈ C
QϕD
+C
9
¯
S
X
u, ϕD
l
¯
S
l
∞
(Ω), то можно получить оценку вида
0
u≤ (−1)lQu, D
¯
S
l
ψD
2
u
¯
S
+ K
l
0
12
X
¯
S
ρ
ρ≤l−1
¯
S
ϕ2D
l
ψD
u+
¯
S
l
2
u
¯
S
ρ
0
(1.9.25)
точно так же, как в доказательстве леммы 1.9.1, только необходимо сделать
некоторые упрощения. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1.9.2. Мы получим решение задачи (1.1.4), (1.1.5)
с g = 0 как предел при ε → 0 решений эллиптического уравнения (1.9.16)
с условием (1.9.17). Во-первых, предположим, что f ∈ C∞(Ω ∪ Σ). Пусть
{Ωj}, j = 1, . . . , N , — конечное покрытие Ω ∪ Σ такое, что Ω1не содержит
точек границы, а Ωjпри j > 1 содержит точки Σ и настолько мало, что
107
108 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
можно ввести локальные координаты y1, . . . , ymв Ωjтакие, что граница Σ
лежит в плоскости ym= 0 и ym> 0 для точек из Ω. Пусть {ϕj}, {χj} и {ψj}
— разбиения единицы (см. главу 2, § 1), соответствующие покрытию {Ωj}
с χj≥ γ = const > 0 на носителе ϕj, и ψj≥ γ на носителе χj, j = 1, . . . , N .
Мы докажем, что
kuεk
2
≤ C1kfk
µ;Ω
2
, (1.9.26)
µ;Ω
где постоянная C1не зависит от ε. Из оценки (1.9.26) следует, что можно
найти последовательность ε → 0 такую, что uε(x) → u(x) слабо в пространстве W
µ
(Ω), и такую, что (1.9.9) выполняется для предельной функции
2
u(x), т.е. при µ ≥ 2 u(x) является решением задачи (1.1.4), (1.1.5) с тре-
буемыми свойствами. Из теоремы вложения Соболева (см. [121, 70, 20], а
также главу 2, § 1) следует, что u(x) ∈ C
метим, что если f принадлежит W
норме W
µ
(Ω) функциями fnиз класса C∞(Ω∪Σ), и решение задачи (1.1.4),
2
µ
(Ω), то можно ее аппроксимировать в
2
(k)
(Ω), если 2(µ − k) > m. От-
(1.1.5) получится как предел uεпри 1/n и ε, стремящихся к нулю на некоторой последовательности.
Таким образом, для доказательства теоремы 1.9.2 достаточно получить
оценку (1.9.26).
Очевидно, выполняется неравенство
N
kuεk
+K1kuεk
2
µ;Ω
2
µ−1;Ω
≤ N
X
j
+ 2N
kϕjuεk
X
X
j>1
l+r=µ
2
µ;Ω
+ 2N
X
¯
S
Согласно лемме 1.9.2, оценка (1.9.19) выполняется для интеграла
с функцией =
/γ. Теперь оценим последнюю сумму в соотношении
1
X
ϕ1D
¯
S
µ
l
ϕ
r
∂
j
∂y
r
m
D
0
¯
S
l
2
u
¯
S
µ
u
ε
+
ε
0
2
. (1.9.27)
0
ϕ1D
u
¯
S
µ
(1.9.27). Мы покажем, что для любых δ1> 0 и l ≤ µ
X
¯
S
ρ
ρ+r=l
ϕ
r
∂
∂y
r
m
D
j
2
0
u
ε
+K
≤δ1+
0
kfk
2
2
l;Ω
+ kuεk
¯
S
ρ
C
c0δ
1
1
r+ρ=l
2
l−1;Ω
X
¯
S
ρ
ψ
r
∂
∂y
r
m
D
j
2
0
u
¯
S
ρ
+
ε
0
. (1.9.28)
Для этого запишем (1.9.16) в ωj= Ωj∩ Ω при j > 1, используя локальные
координаты y1, . . . , ym. Имеем
2
ε
0
Lε(u) ≡ εµkju
yky
+ ενku
j
+ αkju
y
k
yky
+ βku
j
+ cu = f.
y
k
По определению формы Q(u, v), для любой гладкой функции u с носи-
телем в ωj, j > 1, имеем
mm
((α
+ εµmm)u
, u
y
m
) ≤ C
y
m
Q(u, u)+
2
108
9. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ(ПРОСТРАНСТВА С.Л.СОБОЛЕВА) 109
+2
m−1
X
((αmk+ εµmk)u
k=1
, u
y
k
m−1
X
)
+
y
m
((αkρ+ εµkρ)u
k,ρ=1
, u
y
k
)+ K3kuk
y
ρ
2
.
0
(1.9.29)
Так как Σ = Σ3, имеем в ω
α
j
mm
>
1
2
max
¯ω
j
α
mm
> 0, (1.9.30)
если область Ωjдостаточно мала. Следовательно, принимая во внимание
неравенство (1.9.29) для u = ϕjuε, получим
kϕju
≤ C
εy
2
k
0
m
≤ C
((α
3
Q(ϕjuε, ϕjuε) + 2
4
m−1
X
+
((αkρ+ εµkρ)(ϕjuε)
k,ρ=1
mm
+ εµmm)(ϕjuε)
m−1
X
((αmk+ εµmk)(ϕjuε)
k=1
, (ϕjuε)
y
k
, (ϕjuε)
y
m
)+ K4kψjuεk
y
ρ
) + kψjuεk
y
m
, (ϕjuε)
y
k
2
≤
0
)
+
y
m
2
.
0
Отсюда следует, что
X
kϕju
εy
2
k
0
m
≤ δ1kψju
εy
C
+
5
δ
1
2
k
0
m
χjD
¯
S
1
0
¯
S
2
u
+ C4Q(ϕjuε, ϕjuε) + K5kψjuεk
ε
0
1
Используя (1.9.20), нетрудно показать, что
X
1
¯
S
1
ψjD
0
u
¯
S
1
Q(ϕjuε, ϕjuε) ≤ K
kψjfk
6
2
+ kψjuεk
0
2
+ δ
0
где постоянная K6зависит от δ1.
Из неравенства (1.9.18), взятого при l = 1, мы выводим, что
≤ K
7
+
(
C
c
X
¯
S
1
(
6
0
χjD
ψjD
X
¯
S
1
0
¯
S
u
1
0
¯
S
ψjD
2
+
ε
f
1
ϕjD
0
2
+
ψjf
0
0
¯
S
2
u
≤
ε
0
1
2
+
0
ψju
ε
)
0
¯
S
2
u
ε
1
+
ψju
0
εy
2
k
. (1.9.33)
0
m
2
ε
0
)
2
+
0
+ δ1kϕju
(1.9.31)
2
k
εy
0
m
(1.9.32)
2
.
0
,
Из оценок (1.9.31), (1.9.32) и (1.9.33) следует, что
X
ϕjD
¯
S
1
0
¯
S
2
u
ε
1
+
ϕju
0
εy
k
m
109
o
2
≤
0
110 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
≤2δ1+
C
c0δ
(
7
ψju
εy
1
m
X
2
k
+
0
¯
S
1
ψjD
0
¯
S
1
)
2
u
ε
0
+ K
2
kfk
8
1;Ω
+ kuεk
2
.
0
(1.9.34)
Это означает, что при l = 1 выполняется неравенство (1.9.28).
Покажем по индукции, что (1.9.28) выполняется для любого l ≤ µ. Пусть
оно выполняется при l = l0. Покажем, что это соотношение также выполняется при l = l0+ 1. Из (1.9.18) следует, что
≤
C
"
X
¯
S
l0+1
ψjD
0
¯
S
l0+1
8
c
0
χjD
u
ε
0
¯
S
l0+1
2
+
0
X
¯
S
l
2
+
0
ψjD
0
¯
S
u
ε
0
ϕjD
u
l
0
εy
0
¯
S
m
l0+1
2
0
u
#
2
ε
0
+ K
≤
9
kfk
2
l0+1;Ω
+ kuεk
2
l0;Ω
(1.9.35)
Рассмотрим неравенство (1.9.29) для u = ϕjD
0
uε. Принимая во внимание
¯
S
l
0
условие (1.9.30), мы получим следующее неравенство точно так же, как
было получено неравенство (1.9.31):
.
X
+K
¯
S
l
0
+δ
10
1
(
ϕjD
X
¯
S
l
0
X
¯
S
ρ
ρ≤l
0
¯
S
0
l
0
ψjD
ψjD
2
u
εy
≤ C
εy
9
2
m
0
2
+
ε
0
m
0
0
u
¯
S
l
0
0
u
¯
S
ρ
Из леммы 1.9.1 следует неравенство
X
QϕjD
¯
S
l
0
Так как D
0
¯
S
l
X
¯
S
l
0
¯
S
l
0
2
ϕ
D
j
0
QϕjD
0
uε, ϕjD
0
¯
S
l
0
0
u
¯
S
l
0
uε= 0 на Σ, из (1.9.20), (1.9.37) можно вывести, что
0
uε, ϕjD
¯
S
l
0
≤
Quε, D
ε
0
u
¯
ε
S
l
0
X
QϕjD
¯
S
l
0
C
+
δ
X
¯
S
ρ
ρ≤l0−1
≤ K
10
1
S
12
¯
S
0
¯
X
l0+1
ψjD
ϕ
l
0
kfk
0
¯
S
l
0
¯
S
2
D
j
2
l0;Ω
uε, ϕjD
0
0
χjD
S
u
εy
ρ
0
u
¯
ε
S
l
0
+ kψjuεk
0
u
¯
ε
S
l
0
2
u
¯
l0+1
ε
0
)
2
m
. (1.9.36)
0
+ K11kψjuεk
2
l0;Ω
+
+
.
2
.
l0;Ω
(1.9.37)
Из (1.9.36) и последнего неравенства следует, что
(
X
¯
S
l
0
ϕjD
0
¯
S
l
0
2
u
εy
m
≤δ1+
0
+K
13
C
δ1c
kfk
11
0
2
l0+1;Ω
X
ψjD
¯
S
l
0
+ kψjuεk
110
0
¯
S
l
0
2
u
εy
2
l0;Ω
m
+
0
. (1.9.38)
ψjD
0
¯
S
l0+1
)
2
u
+
ε
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]