Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие
.pdf
122 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Теорема 2.1.10. Каждая обобщенная функция u из D0(Rm), имеющая
компактный носитель, принадлежит H−sпри некотором s ∈ R1.
Доказательство. Пусть ψ ∈ C
го, пусть ϕ — произвольная функция из C
∞
(Rm) и ψ ≡ 1 на носителе u. Кроме то-
0
∞
(Rm). Тогда u(ϕ) = u(ψϕ +
0
(1 −ψ)ϕ) = u(ψϕ). Следовательно, нам нужно рассмотреть u, примененную
только к тем функциям ϕ из C
∞
(Rm), для которых supp ϕ ⊂ K, где K —
0
некоторое компактное множество в Rm. Предположим, что u не принадлежит H−sни при каком s ∈ R1, т.е. u не представима в виде u(ϕ) = (u, ϕ)
0
при u ∈ H−sдля любого s. Это означает, что существует последовательность функций ϕn∈ C
∞
(K) такая, что
0
|u(ϕn)| ≥ nkϕnkn, n = 1, 2, . . . .
Функции ψn= (nkϕnk)−1ϕnимеют носитель, содержащийся в K, и kψnks→
0 при n → ∞ для всех s = 1, 2, . . ., так как kψnks≤ 1/n, если n > s. Из
теоремы 2.1.8 и оценки (2.1.21) следует, что ψnравномерно сходятся к нулю
вместе со всеми своими производными. Однако, u(ψn) = u(ϕn/nkϕnkn) ≥ 1,
так что u(ψn) не сходятся к нулю при n → ∞. Это противоречие показывает,
что |u(ϕ)| ≤ Ckϕksдля некоторого s, т.е. u ∈ H−s.
Теорема 2.1.11. Множество элементов {un} пространства Ht, имею-
щих носитель в некотором компактном множестве K и равномерно ограниченных по норме пространства Ht, компактно в Hs, если t > s.
Доказательство. Достаточно доказать теорему 2.1.11 в случае, когда все
u ∈ C
∞
(K). Действительно, для каждой unиз Htсуществует функция w
0
n
из S такая, что
1
kun− wnkt≤
.
n
Пусть ψ ∈ C
∞
(Rm) и ψ ≡ 1 на K. Тогда ψun= unи
0
C
kψun− ψwnkt≤ Ckun− wnkt≤
, (2.1.27)
n
где C не зависит от n. Оценка (2.1.27) следует из теоремы 2.2.1, которую
мы докажем в следующем параграфе. Из (2.1.27) следует, что последовательность ψwnфундаментальна в Hs, если последовательность unобладает
тем же свойством, и наоборот. Для множества элементов {ψwn} выполнены
предположения теоремы 2.1.11
kψwnkt≤ C1и supp ψwn⊂ K1,
где K1— ограниченное множество в Rm. Кроме того, ψwn∈ C
∞
(Rm).
0
Таким образом, при доказательстве теоремы можно предположить, что
un∈ C
∞
(Rm), kunkt≤ C1, и supp un⊂ K. Мы покажем, что последо-
0
вательность, фундаментальную в Hs, можно извлечь из последовательности {un}. Пусть un— последовательность, слабо сходящаяся в Ht, т.е.
121
1. ПРОСТРАНСТВА H
S
123
(un, v)t→ (u, v)tдля любого v в Ht. Оценим kun− u
0
ks. Пусть ε > 0 —
n
произвольное число. Тогда для всех n и n0имеем
Z
(2π)
−m
|ˆun− ˆu
|ξ|>N
0
|2(1 + |ξ|2)sdξ ≤
n
Z
−m
(1 + N2)
s−t
|ˆun− ˆu
0
|2(1 + |ξ|2)tdξ ≤ (2π)−m4C
n
2
(1 + N2)
1
s−t
< ε,
(2.1.28)
если N ≥ N1(ε).
Пусть {ξk} — конечное множество точек пространства Rm(ξ1, . . . , ξm)
таких, что |ξk| ≤ N . В силу слабой сходимости unв Ht, для любой точки
ξkпоследовательность
ˆun(ξk) =Zun(x)e
сходится при n → ∞, где ψ ∈ C
очевидно, ψ(x)e
−ihx,ξki
∈ H−t. Выберем точки ξkтак, чтобы для любого ξ,
∞
(Rm) и unψ ≡ unдля любого n, так как,
0
−ihx,ξki
ψ(x) dx
|ξ| ≤ N, существовало ξkтакое, что
|ˆun(ξ) − ˆun(ξk)| =
≤ kunk
t
ψe
Z
unψe
−ihx,ξi
− e
−ihx,ξi
−ihx,ξki
− e
−t
−ihx,ξki
≤ δ,
≤
где δ > 0 — постоянная, которую мы выберем позже. Отсюда следует, что
|ˆun(ξ) − ˆu
тельно,
0
(ξ)| ≤ 3δ при |ξ| ≤ N, если n и n0достаточно велики. Следова-
n
Z
(2π)
−m
|ˆun− ˆu
|ξ|>N
0
|2(1 + |ξ|2)sdξ ≤ ε, (2.1.29)
n
если n и n0достаточно велики и постоянная δ = δ(ε) выбрана достаточно
малой.
2
Из (2.1.28) и (2.1.29) следует, что kun−u
0
k
≤ 2ε, если n и n0достаточно
n
s
велики, т.е. последовательность unфундаментальна в Hs.
Теорема 2.1.12. Пусть s1< s2< s3. Тогда для любого ε > 0 и любого
u ∈ H
выполняется неравенство
s
3
kuk
2
≤ εkuk
s
2
2
+ Cεkuk
s
3
2
, (2.1.30)
s
1
где
Cε= C(s1, s2, s3)ε
−(s2−s1)/(s3−s2)
и C(s1, s2, s3) = const > 0, зависящая от s1, s2и s3.
122
124 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Доказательство. Для любого M > 0 имеем
(1 + |ξ|2)
s
2
= (1 + |ξ|2)
s
1
M(1 + |ξ|2)
s2−s
1
1
·
. (2.1.31)
M
Если мы используем элементарное неравенство (см., например, [121])
ab ≤
1
p
ap+
1
bq,
q
1
1
+
p
= 1, (2.1.32)
q
со значениями
a = M (1 + |ξ|2)
s2−s
1
, b =
1
, p =
M
s3− s
s2− s
1
,
1
то получим
M(1 + |ξ|2)
s2−s
1
1
≤
M
(s3−s1)/(s2−s1)
M
p
(1 + |ξ|2)
s3−s
1
1
+
(s3−s1)/(s3−s2)
M
q
1
(2.1.33)
Из (2.1.31) и оценки (2.1.33) следует, что
(1 + |ξ|2)
s
2
≤ ε(1 + |ξ|2)
1
s
3
+
−(s2−s1)/(s3−s2)
(pε)
(1 + |ξ|2)
s
1
, (2.1.34)
q
.
где ε = p−1M
(s3−s1)/(s2−s1)
. Из (2.1.34) и определения нормы в Hsследует,
что
kuk
2
≤ εkuk
s
2
1
2
+
s
3
−(s2−s1)/(s3−s2)
(pε)
q
kuk
2
.
s
1
Таким образом, теорема 2.1.12 доказана.
Пространство Hsшироко используется при изучении задач, связанных с
дифференциальными уравнениями в частных производных. Изучению этих
пространств посвящена обширная литература (см., например, [188, 121, 20]).
Обозначим через H
ких, что ψu ∈ Hsдля любого ψ из C
loc
(Ω) множество обобщенных функций из D0(Ω) та-
s
0
∞
(Ω).
2 Некоторые свойства
псевдодифференциальных операторов
В дальнейшем мы будем использовать псевдодифференциальные операторы с символами, принадлежащими некоторому специальному классу. В настоящее время имеется весьма обширная литература, посвященная теории
псевдодифференциальных операторов (см. [31, 32, 185, 186, 194, 15] и др.).
Однако, для удобства читателя мы представим здесь не только новые результаты, но и известные разделы теории псевдодифференциальных операторов, которые нам потребуются.
123
2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВАПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ125
Псевдодифференциальный оператор — это оператор P , определенный
на функциях u из класса S, который имеет вид
Z
P u(x) = (2π)
−m
p(x, ξ)ˆu(ξ)e
ihx,ξi
dξ, (2.2.1)
где ˆu(ξ) — преобразование Фурье функции u(x) и p(x, ξ) — функция, назы-
ваемая символом оператора P .
Предположим, что символы рассматриваемых операторов удовлетворя-
ют следующим условиям:
a) Функцию p(x, ξ) можно представить в виде
p(x, ξ) = p1(ξ) + p2(x, ξ), (2.2.2)
где p1(ξ) — бесконечно дифференцируемая функция от ξ, определенная для всех ξ, и p2(x, ξ) — бесконечно дифференцируемая функция от
x и ξ, определенная для всех x ∈ Rmи ξ ∈ Rm, такая, что для любого
ξ функция p2(x, ξ), рассматриваемая как функция от x, имеет носи-
тель, принадлежащий некоторому компактному множеству K ⊂ Rm,
т.е. p2(x, ξ) ≡ 0 при x ∈ Rm\ K и ξ ∈ Rm.
b) Существует σ ∈ R1такое, что для любых мультииндексов α и β и
любых x ∈ Rmи ξ ∈ Rmвыполняются оценки
|α|
∂
∂ξ
|α|
∂
Dβp2(x, ξ)
α
∂ξ
для постоянных Cαи C
α
α,β
p1(ξ)
≤ Cα(1 + |ξ|2)
≤ C
(1 + |ξ|2)
α,β
(1/2)(σ−|α|)
(1/2)(σ−|α|)
, (2.2.3)
(2.2.4)
, зависящих только от α и β. Легко видеть,
что оператор P преобразует функцию u из S в функцию P u также
из S.
Теоремы 2.2.1–2.2.5, леммы 2.3.1 и 2.3.2, доказанные ниже, также справедливы для более широкого класса символов. В частности, доказательство
этих теорем проходит без изменений также в случае, когда p2(x, ξ) — бесконечно дифференцируемая функция от переменных x и ξ, принадлежащая
классу S относительно переменной x, такая, что
(1 + |x|2)
k/2
|α|
∂
α
∂ξ
Dβp2(x, ξ)
≤ C
k,α,β
(1 + |ξ|2)
(1/2)(σ−|α|)
(2.2.5)
для любого k и любых мультииндексов α и β, x ∈ Rmи ξ ∈ Rm, где постоянные C
зависят только от k, α и β.
k,α,β
Сначала мы докажем следующие вспомогательные предложения о весовых функциях.
124
126 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Лемма 2.2.1. Для любого s ∈ R1и любых ξ и η из R
(1 + |ξ|2)s(1 + |η|2)−s≤ 2
|s|
(1 + |ξ − η|2)
Доказательство. Из неравенства
|ξ|2= |η + (ξ −η)|2≤ 2|ξ − η|2+ 2|η|
следует, что
1 + |ξ|2≤ 2(1 + |ξ − η|2)(1 + |η|2).
Таким же образом получим, что
1 + |η|2≤ 2(1 + |ξ − η|2)(1 + |ξ|2).
Следовательно,
(1 + |ξ|2)
(1 + |η|2)
|s|
(1 + |η|2)
|s|
(1 + |ξ|2)
−|s|
−|s|
|s|
≤ 2
(1 + |ξ − η|2)
|s|
≤ 2
(1 + |ξ − η|2)
m
|s|
. (2.2.6)
2
|s|
,
|s|
.
Отсюда следует желаемое неравенство.
Лемма 2.2.2. Для любого θ такого, что 0 ≤ θ ≤ 1, и любого s ∈ R
выполняются неравенства
(1 + |η + θ(ξ − η)|2)
−|s|
≤ 4
|s|
(1 + |ξ − η|2)
|s|
(1 + |η|2)
−|s|
(2.2.7)
и
(1 + |η + θ(ξ − η)|2)
|s|
≤ [(1 + |η|2)
|s|
+ (1 + |ξ|2)
|s|
] (2.2.8)
для любых ξ и η из Rm.
1
Доказательство. Если |η − ξ| ≤
|η|, очевидно, что
2
(1 + |η + θ(ξ − η)|2) ≥ 1 + 4−1|η|2,
(1 + |η + θ(ξ − η)|2)
−|s|
≤ 4
|s|
(1 + |η|2)
−|s|
.
1
Однако, если |η − ξ| ≤
|η|, то
2
1
|s|
|s|
|s|
≤ 4
(1 + |η −ξ|2)
|s|
(1 + |η|2)
−|s|
(1 + |η + θ(ξ −η)|2)
−|s|
≤ 4
(1 + 4−1|η|2)
|s|
(1 + 4−1|η|2)
Из этих неравенств легко следует (2.2.7). Неравенство (2.2.8) следует из
того факта, что либо |η + θ(ξ − η)| ≤ |ξ|, либо |η + θ(ξ − η)| ≤ |η|.
Обозначим через ˆp2(τ, ξ) преобразование Фурье функции p2(x, ξ) по пе-
ременной x, а через ˆp
(α)
(τ, ξ) обозначим производную ∂
2
125
|α|
ˆp2/(∂ξ
α
1
1
···∂
α
m
m
).
.
2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВАПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ127
Лемма 2.2.3. Для любого мультииндекса α и M ≥ 0 существует посто-
янная C
такая, что
α,M
(α)
|ˆp
(τ, ξ)| ≤ C
2
(1 + |ξ|2)
α,M
(σ−|α|)/2
(1 + |τ |2)−M. (2.2.9)
Доказательство. Это неравенство легко получается преобразованием интеграла от ˆp
(α)
с помощью интегрирования по частям, если иметь в виду
2
оценку (2.2.4), а также свойство a) функции p2(x, ξ), согласно которому
supp p2(x, ξ) ⊂ K для любого ξ.
Лемма 2.2.4. ПустьZ|A(ζ)|dζ < ∞. Тогда
I ≡
ZZ
A(ξ − η)a(ξ)b(η) dξ dη
ZZ
≤
|A(ζ)|dζkak0kbk0. (2.2.10)
Доказательство. По неравенству Шварца
≤
I ≤
(
Z
Z
|A(ζ)|dζ
Z
|A(ξ − η)|dξ
!
1/2
!
Z
|b(η)|2dη
1/2
Z
|A(ξ − η)||a(ξ)|2dξ
!
1/2
ZZ
!
1/2
|b(η)|)dη ≤
|a(ξ)|2|A(ξ − η)|dξ dη
!
1/2
≤
≤Z|A(ζ)|dζkak0kbk0.
Лемма доказана.
Теорема 2.2.1 (об ограниченности псевдодифференциальных операторов).
Пусть P u — оператор с символом p(x, ξ), удовлетворяющий условиям a)
и b). Для любого s ∈ R1существует постоянная Cs, зависящая от s,
такая, что
kP uks≤ Cskuk
s+σ
(2.2.11)
для любой функции u из S.
Доказательство. Очевидно, kPuks≤ kP1uks+kP2uks, где P1— псевдодиф-
ференциальный оператор с символом p1(ξ) и P2— псевдодифференциальный оператор с символом p2(x, ξ). По определению нормы Hsи по условию
(2.2.3) при |α| = 0,
kP1uk
2
= (2π)
s
−m
Z
(1+|ξ|2)s|dP1u|2dξ ≤ C
Z
1
(1+|ξ|2)
s+σ
|ˆu(ξ)|2dξ ≤ C1kuk
2
s+σ
(2.2.12)
Теперь оценим P2u. Рассмотрим преобразование Фурье функции P2u,
где u ∈ S. Легко видеть, что
Z
d
P2u(η) = (2π)
−m
ˆp2(η − ξ, ξ)ˆu(ξ) dξ, (2.2.13)
.
126
128 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
где ˆp2(τ − ξ) — преобразование Фурье функции p2(x, ξ) по переменной x.
Для любой функции w ∈ S из равенства Парсеваля следует, что
Z
P2(u) ¯w dx = (2π)
−2m
ZZ
ˆp2(η − ξ, ξ) ˆw(η)ˆu(ξ) dξ dη.
Используя (2.2.6) и (2.2.9) при |α| = 0, получим
Z
P2(u) ¯w dx
≤ (2π)
−2m
ZZ
|ˆp2(η − ξ, ξ)|| ˆw(η)||ˆu(ξ)|dξ dη ≤
ZZ
≤ C
M
(1 + |η − ξ|2)
−M/2
(1 + |ξ|2)
(σ+s)/2
|ˆu(ξ)|(1 + |ξ|2)
−s/2
|ˆw(η)|dξ dη ≤
ZZ
≤ C
0
M
(1 + |η − ξ|2)
(|s|−M)/2
(1 + |ξ|2)
(σ+s)/2
|ˆu(ξ)|(1 + |η|2)
−s/2
|ˆw(η)|dξ dη.
Здесь M выбрано таким образом, что M − |s| ≥ m + 1. Следовательно,
применяя (2.2.10) для оценки последнего интеграла, мы получим
Z
P2(u) ¯w dx
≤ C
Z
1
|ˆu(ξ)|2(1+|ξ|2)
≤ C2kuk
σ+s
σ+s
!
dξ
kwk−s.
1/2
Z
|ˆw(η)|2(1+|η|2)−sdη
!
Из последнего неравенства и теоремы 2.1.9 следует, что
kP2uks≤ Cskuk
. (2.2.14)
σ+s
1/2
≤
Утверждение теоремы следует из (2.2.12) и (2.2.14).
Так как множество функций u из S плотно в Hs, мы видим, что оператор
P можно сделать замкнутым в Hsс сохранением (2.2.11).
Отметим, что из теоремы 2.2.1 следует, в частности, что если ϕ(x) ∈
∞
C
(Rm), то для любого s ∈ R
0
1
kϕuks≤ Cskuks, (2.2.15)
где Cs= const > 0 и u ∈ Hs.
Для любого оператора P нижний предел чисел σ, для которых выпол-
няются неравенства вида (2.2.11), называется порядком P .
Теорема 2.2.2 (о произведении псевдодифференциальных операторов).
Пусть P и Q — псевдодифференциальные операторы с символами p(x, ξ) и
q(x, ξ), удовлетворяющие условиям a) и b) при σ = σ1и σ = σ2соответственно. Пусть (P Q)N— псевдодифференциальный оператор с символом
X
|α|≤N−1
1α!∂
|α|
p(x, ξ) ·D
α
∂ξ
α
q(x, ξ).
x
127
2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВАПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ129
Тогда для всех u из S
P ·Qu = (P Q)Nu + TNu,
где оператор TNимеет порядок не более чем σ1+ σ2− N, т.е.
kTNuks≤ C
N,s
kuk
s+σ1+σ2−N
. (2.2.16)
Доказательство. Так как P u = P1u + P2u и Qu = Q1u + Q2u, где P1, P2,
Q1и Q2— псевдодифференциальные операторы с символами p1(ξ), p2(x, ξ),
q1(ξ) и q2(x, ξ) соответственно, имеем
P Qu = P1Q1u + P2Q1u + P1Q2u + P2Q2u.
Очевидно, что символ оператора (P Q)Nможно представить в виде
X
|α|≤N−1
X
+p2(x, ξ)q1(ξ) +
|α|≤N−1
Так как символ оператора P1Q1равен p1(ξ)q1(ξ) и символ оператора P2Q
1α!∂
|α|
p(x, ξ) ·Dαq(x, ξ) = p1(ξ)q1(ξ)+
α
∂ξ
|α|
1α!∂
p1(ξ)
∂ξ
Dαq2(x, ξ) +
α
|α|≤N−1
X
1α!∂
|α|
∂ξ
p
2
α
Dαq2.
1
равен p2(x, ξ)q1(ξ), получаем, что TNu ≡ P Qu−(P Q)Nu = P1Q2u−(P1Q2)Nu+
P2Q2u −(P2Q2)Nu, где (P1Q2)Nимеет символ
X
|α|≤N−1
1α!∂
∂ξ
|α|
p1(ξ) ·Dαq2(x, ξ)
α
и (P2Q2)Nимеет символ
X
|α|≤N−1
1α!∂
|α|
p2(x, ξ) ·Dαq2(x, ξ).
α
∂ξ
Следовательно, чтобы доказать теорему 2.2.2, достаточно доказать, что
0
kT
N
2
uk
= k(P1Q2− (P1Q2)N)uk
s
2
s
≤ C
0
N,s
kuk
s+σ1+σ2−N
и
00
kT
N
2
uk
= k(P2Q2− (P2Q2)N)uk
s
2
s
≤ C
00
N,s
kuk
s+σ1+σ2−N
.
Таким образом, достаточно доказать теорему 2.2.2 для случая операторов
P и Q, для которых p1(ξ) ≡ 0 и q1(ξ) ≡ 0, а также для случая, когда
p2(x, ξ) ≡ 0 и q1(ξ) ≡ 0. Сначала мы докажем теорему для случая p1(ξ) ≡ 0
и q1(ξ) ≡ 0.
Рассмотрим преобразование Фурье функции T
00
u = P2Q2u −(P2Q2)Nu.
N
Согласно (2.2.13), имеем
ZZ
00
d
T
u(η) = (2π)
N
−2m
[ˆp2(η − τ, τ)ˆq2(τ − ξ, ξ)ˆu(ξ)] dξ dτ −
128
130 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
ZZ
−(2π)
−m
z(η − ξ, ξ)ˆu(ξ) dξ, (2.2.17)
где z(ζ, ξ) — преобразование Фурье символа оператора (P2Q2)Nпо переменной x. С помощью известной формулы
[
ϕ ·ψ = (2π)−mˆϕ ∗ˆψ, (2.2.18)
где ∗, как обычно, означает оператор свертки, мы получим для z(ζ, ξ) выражение вида
Z
z(ζ, ξ) = (2π)
−m
X
|α|≤N−1
1
α!
(α)
ˆp
(ζ − ρ, ξ)ˆq2(ρ, ξ)ραdρ.
2
Заменим здесь переменные интегрирования на ρ = τ − ξ и подставим это
выражение для z в (2.2.17), чтобы получить
ZZ
00
d
T
u(η) = (2π)
N
−2m
ˆq2(τ − ξ, ξ)"ˆp2(η − τ, τ)−
X
−
|α|≤N−1
1
α!
(α)
ˆp
(η − τ, ξ)(τ − ξ)
2
α
ˆu(ξ) dξ dτ. (2.2.19)
Согласно лемме 2.2.3 для |α| = 0 имеем
#
|ˆq2(τ − ξ, ξ)| ≤ CM(1 + |τ − ξ|2)
−M/2
(1 + |ξ|2)
σ2/2
, (2.2.20)
где M = const > 0.
По формуле Тейлора
H(τ, ξ, η) ≡ ˆp(η − τ, τ ) −
X
1
=
|α|=N
α!
(α)
ˆp
(η − τ, ξ + θ(τ − ξ))(τ − ξ)α, (2.2.21)
X
|α|≤N−1
1
α!
(α)
ˆp
(η − τ, ξ)(τ − ξ)α=
где 0 ≤ θ ≤ 1. С помощью (2.2.19) и равенства Парсеваля получим:
Z
00
T
(u) ¯w dx = (2π)
N
−m
Z
00
d
T
u(η) ˆw(η) dη =
N
ZZZ
= (2π)
−3m
ˆq2(τ − ξ, ξ)H(τ, ξ, η)ˆu(ξ) ˆw(η) dτ dξ dη, (2.2.22)
где u, w ∈ S. Из леммы 2.2.3 и формулы (2.2.21) имеем:
|H(τ, ξ, η)| ≤ C1(1 + |η −τ |2)
−M1/2
(1 + |ξ + θ(τ −ξ)|2)
(σ1−N)/2
(1 + |τ −ξ|2)
N/2
где M1> 0 — произвольное целое число и C1зависит от M1. Применяя
неравенства, доказанные в лемме 2.2.2, получаем
|H(τ, ξ, η)| ≤ C2(1 + |η − τ|2)
−M1/2
129
(1 + |τ − ξ|2)
(|σ1−N|+N )/2
×
,
2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВАПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ131
. (2.2.23)
×(1 + |τ |2)
(σ1−N)/2
+ (1 + |ξ|2)
(σ1−N)/2
Так как по лемме 2.2.1
(1 + |τ |2)
(σ1−N)/2
(1 + |η − τ|2)
−M1/2
(|σ1−N|)/2
≤ 2
M1/2
≤ 2
(1 + |τ − ξ|2)
(1 + |η − ξ|2)
−M1/2
(|σ1−N|)/2
(1 + |ξ|2)
(1 + |τ − ξ|2)
(σ1−N)/2
M1/2
и, кроме того, для всякого s
(1 + |ξ|2)
−s/2
≤ 2
|s|/2
(1 + |η|2)
−s/2
(1 + |η − ξ|2)
|s|/2
,
из (2.2.23) следует, что
|H(τ, ξ, η)| ≤ C3(1 + |τ − ξ|2)
×(1 + |η − ξ|2)
(2|σ1−N|+M1+N)/2
(|s|−M1)/2
(1 + |η|2)
(1 + |ξ|2)
−s/2
(σ1−N+s)/2
. (2.2.24)
Рассматривая оценки (2.2.20), (2.2.24) и уравнение (2.2.22), получим
Z
00
T
(u) ¯w dx
N
≤ C
ZZ Z
4
(1 + |ξ|2)
(σ1+σ2−N+s)/2
(1 + |η|2)
−s/2
×
,
×
×(1 + |τ − ξ|2)
(2|σ1−N|+M1−M+N )/2
(1 + |η − ξ|2)
(|s|−M1)/2
|ˆu(ξ)|| ˆw(η)|dξ dη dτ.
(2.2.25)
Выбирая M1так, чтобы −M1+ |s| ≤ −(m + 1), мы затем выберем M так,
чтобы выполнялось неравенство
−M + N + 2|σ1− N| + M1≤ −(m + 1).
Легко видеть, что после интегрирования по τ в правой части (2.2.25) мы
получим
Z
00
T
N
×(1 + |ξ|2)
(u) ¯w dx
(σ1+σ2−N+s)/2
≤ C
ZZ
(1 + |η − ξ|2)
5
|ˆu(ξ)|(1 + |η|2)
(|s|−M1)/2
−s/2
|ˆw(η)|dξ dη.
×
Применяя лемму 2.2.4 к последнему интегралу, мы найдем
Z
00
T
(u) ¯w dx
N
≤ C6kwk−skuk
σ1+σ2−N+s
.
Отсюда и из теоремы 2.1.9 следует, что для всех u из S,
00
kT
uks≤ C7kuk
N
σ1+σ2−N+s
,
что и требовалось доказать. Аналогично можно доказать теорему 2.2.2 в
случае, когда p2(x, ξ) ≡ 0 и q1(ξ) ≡ 0. В этом случае вычисления упрощаются. Мы имеем
p(x, ξ) = p(ξ) иcP u = p(ξ)ˆu(ξ).
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]