Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие

8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 91

mm

1) α

≤ K1ym; βm= const > 0,

 

0



D

¯

S



l

 

0



D

¯

S



l

α

 

mm



≤ K3ym, 1 ≤ l ≤ µ − 1,

y

m

 



mm



≤ K2y



2

, 2 ≤ l ≤ µ,

m

(1.8.64)

где D

0

v — производная

¯

S

l

∂y

∂

s

1

···

∂y

∂

v

s

l

порядка l, где¯Sl= (s1, . . . , sl) и sj6= m при j = 1, . . . , l.

m−1

k,j=1

kj

α

y

P

αkjξkξjудовлетворяет условию (1.7.1) в ω, т.е.



2

 

v

yky

s

≤ M



j



m−1

X

k,j=1

αkjv

yρy

v

, s = 1, . . . , m; M = const > 0.

yρy

j

k

2) Форма



m−1



X

  

k,j=1

(1.8.65)

3) Или функция αmm, продолженная нулем вне ω, имеет ограниченные производные второго порядка в окрестности Σ, или функция ymαmm, продолженная нулем вне ω, принадлежит классу C

в окрестности

(2)

Σ и βm= β0, где β0— достаточно большое число, зависящее от αmm. (В первом случае можно предположить, что вместо условия βm= const > 0 выполняется условие βm= 0 на Σ.)

Положим

где C

=

C

X

κ,l

2κ

y

m

¯

S

l

κ,l

p

; Qε(v, w) = (εµkj+ αkj)v

κ,l

p

X

Zν=

l+κ≤ν

— некоторые постоянные.

κ,l



∂

∂y

κ

D

κ

m



2

0

u

¯

S

l

, κ ≥ 0;

ε

(1.8.66)

w

y

,

y

j

k

Тогда следующее неравенство выполняется в ω для функций Zνпри

ν ≤ µ и для некоторых постоянных C

1

0

L

(Zν) + (c + M1)Zν+ EνZ

ε

−a

X

0

l+κ≤ν

C

2

κ,l

y

2κ

m

Q



κ

∂

∂y

κ

m

D

ε

, не зависящих от ε:

κ,l

ν−1

κ

∂

0

u,

¯

S

l

∂y

κ

m

0

D

u≥ −˜Eν, (1.8.67)

¯

S

l

−

где a0, M1, Eν,˜Eν— положительные постоянные, не зависящие от ε, а M1зависит от βkи αkjи их производных первого и второго порядка соответственно.

91

92 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Доказательство. Мы докажем (1.8.67) по индукции аналогично доказательству леммы 1.8.5. Для этого мы сначала получим (1.8.67) при ν = 1. Легко видеть, что для

m−1

h1= y

2

m

X

2

u

y

m

ρ=1

2

u

y

ρ

=

X

κ+l=1

κ,l

p

справедливо соотношение

m−1

X

Qε(u

ρ=1



u

yky

ρ

kj

+ α

m

y

2

− 4(ε + αmm)ymu

y

m

+

y

j

ρ



u

yky

m

, u

y

ρ

m−1

X

ρ=1

u

y

j

2

) −y

y

ρ

mm

α

y

ρ

+ ch1+ M1h1− βmymu

m

u

ymy

Qε(u

m

, u

y

m

u

y

m

u

y

m

2

+ y

m

ρ

≥ −R1. (1.8.68)

m

α

)+

mm y

m

u

2

y

ymy

−

m

u

+

y

m

+

ρ,k,j=1

m−1

X



εµ

m−1

X

+

k,j=1

−(ε + αmm)u

kj y

1 2

ρ

0

L

ε

+ α



εµ

(h1) −

kj y

Обозначим через Rjпостоянные, не зависящие от ε. Оценим отдельные слагаемые в (1.8.68). Очевидно,

≤ γ(ε + αmm)y

2

m

(u

ymy

 

2(ε + αmm)ymu

1

m

)2+

(ε + αmm)u

γ

ymy

2

y

m

u

y

m

≤ γy

 

≤

2

m

Qε(u

, u

1

y

m

) +

y

m

(ε + αmm)u

γ

Так как форма µkjξkξjположительно определена и удовлетворяет условию

2), получаем, что



m−1



X

  

k,j,ρ=1



εµ

kj y

ρ

+ α

kj y



u

yky

ρ

≤ γR

Кроме того, согласно (1.7.2) и условию



m−1



X

  

ρ=1

α

mm y

ρ

u

ymy

m

u

y

j

ρ

  

u



y

ρ



≤ γ1y

  

≤ γ

 

m−1

0

≤ γ

m

X

ρ=1

2

Qε(u

m−1

X

ρ=1

Qε(u

m−1

X

ρ=1

"

max

y

m

m−1

X

k,j=1

, u

y

ρ

, u

y

 



kj

εµ

y

) + R2h1.

y

ρ



mm



α

yρy



mm



α

yρy

ρ

) + R3h1.

m

+ α

ρ

≤ K3y

ρ

αmmu

kj y

ρ

2

ymy



u

yky

2

, имеем

m

+ R3h1≤

m

#

2

j

+

1

γ

m−1

X

ρ=1

2

u

y

ρ

≤

2

.

y

m

Используя условие 2), мы получим оценку



m−1



X

k,j=1



εµ

kj y

m

+ α



2

y



m



kj y



u

yky

m

  

u

≤ γy



y

j

m



92

2

m

X

ρ=1

Qε(u

, u

ρ

) + R4h1.

y

ρ

y

8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 93

Если первое предположение в условии 3) выполнено, то, применяя (1.7.2) к функции αmm, продолженной нулем в окрестность Σ при ym< 0, мы получим



2

mm



y

α

u

m

ymy

y

m

 

u

y

m

≤ γy

2

αmm(u

m

)2+ R5h1≤ γy

ymy

m

2

Qε(u

m

, u

y

m

) + R5h1.

y

m

Если второе предположение в условии 3) выполнено, то (1.7.2) применимо к функции ymα



3



|ym|

Следовательно, учитывая, что α



2



y

m

≤ γM y

mm

αmmy

m

αmmymu

2

αmm(u

m

в ω. Имеем



2



≤ M y

ymy

2

m

u

y

m

)2+ γM0ym(αmm)2(u

m

≤ γ1y

α

m

2

Qε(u

m

mm

+ M0ym|αmm|2, M, M0= const > 0.

mm

≤ K1ym, получим

 

≤ γy



3

αmmymu

m

ymy



m

1

2

+

ymu

2γ

1

)2+

ymy

m

, u

y

m

) + R6ymu

y

m

2

,

y

m

ym(u

2γ

2

≤

y

m

)2≤

y

m

где R6определяется функцией αmm.

Используя оценки, полученные выше, выбирая достаточно малые посто-

янные γ и γ1и предполагая, что R6< β0, мы выведем из (1.8.68), что

"

m−1

1

0

E

(h1) −a

ε

2

+(c + M2)h1+ R7(ε + αmm)u

Так как, очевидно, h0= u

выбирая достаточно большую постоянную C соотношение для Z1= h1+ C

"

1

0

E

ε

2

(Z1) −a

C

1

0,0Qε

X

0

1

0

E

ε

2

Qε(u

ρ=1

2

удовлетворяет неравенству

ε

(h0) + ch0− Qε(u, u) ≥ −R9, (1.8.70)

0,0h0

(u, u) + y

, u

y

ρ

вида

2

Qε(u

m

y

ρ

) + y

0,0

, u

y

m

2

Qε(u

m

2

y

m

, u

y

m

)#+

y

m

≥ −R8. (1.8.69)

, мы получим из (8) и (1.8.70)

m−1

X

) +

y

m

ρ=1

Qε(u

, u

y

ρ

)#+

+(c + M2)Z1≥ −R10. (1.8.71)

Теперь проведем доказательство (1.8.67) по индукции. Вычислим выраже-

1

0

ние

2

ченным для ν = 1, а затем, предполагая, что (1.8.67) выполняется для Z и выбирая достаточно большое C

E

κ,l

(p

ε

) при κ + l = ν, проведем оценки, аналогичные оценкам, полу-

ν−1

для κ + l ≤ ν −1, выведем неравенство

κ,l

для Zν. Таким образом, мы получим утверждение леммы 1.8.6.

,

93

94 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Теорема 1.8.4. Пусть граница Σ множества Ω состоит из двух замкну- тых непересекающихся множеств Σ0и Σ \Σ0(любое из них может быть пусто). Пусть предположения теоремы 1.8.2 выполняются для границы

Σ \ Σ0, коэффициентов (1.1.4) и функций f и g в области Ω \ G

0

G

— δ-окрестность множества Σ0, и мы предполагаем, что G

δ

покрыть конечным числом областей {Ω любой из областей ωj= Ω ∩Ω

0

выполнены предположения леммы 1.8.6 для

j

0

}, j = 1, . . . , N , таких, что для

j

0

. Здесь

δ

0

можно

δ

коэффициентов αkj, βk, c и функции f, но с условием βm> const > 0 в ω вместо условия βm= const > 0. Пусть g = 0 на Σ0, и пусть c < −c0< 0, где постоянная c0достаточно велика в зависимости от αkjи βk. Тогда слабое решение u(x) задачи (1.1.4), (1.1.5) принадлежит классу C

(µ)

(Ω\G

0

δ

для любого δ > 0. Кроме того, выполняется следующая оценка для u(x) в каждой из областей ωj, где локальные координаты y1, . . . , ymтаковы, что

Σ0лежит в плоскости ym= 0:

j

)

X

k+l≤µ



k

∂

2k

y

m

∂y

k m

D



2

0

u

¯

S

l

≤ C1, C1= const . (1.8.72)

Доказательство. Теорему 1.8.4 можно доказать точно так же, как теорему 1.8.3. Единственное отличие состоит в построении оператора (1.8.53) в окрестности Σ0. В области Ω0, построенной в доказательстве теоремы 1.8.3, мы рассматриваем уравнение

Lε(u) = εP (u) + a(x)∆u +

1

m

˜

β

L(u) =

f

1

m

˜

β

(1.8.73)

с условием u = 0 на S0, где P(u) — эллиптический оператор в¯Ω0, P (u) = ∆u в Ω0\ G

P (u) = u

0

для некоторого δ > 0, и в некоторой окрестности Σ0оператор

δ

ymy

+ P1(u), где P1(u) — эллиптический оператор второго по-

m

рядка, заданный на Σ0и продолженный внутрь Ω0с коэффициентами, не зависящими от ym. Кроме того, функции˜βm= βmв δ-окрестности Σ0,

˜

βm= 1 вне 2δ-окрестности Σ0и˜βm> const > 0, если βm> 0 на Σ0. Однако, если βm= 0 на Σ0, то˜βm≡ 1.

Отметим, что условие леммы 1.8.5 о том, что αmj= 0 при j 6= m для опе- ратора L0в окрестности Σ0всегда можно выполнить, выбрав подходящим образом локальные координаты, если для некоторого s функция

aklF

x

l

, k = 1, . . . , m,

x

l

принадлежит классу C

aslF

(ωj). Здесь akl— коэффициенты оператора L(u),

(µ)

F = 0 — уравнение границы Σ0и grad F 6= 0.

Теорема 1.8.5. Пусть все предположения теоремы 1.8.4 выполнены. Пусть, кроме того, внутри каждой из областей ωjвыполнено одно из следующих

94

8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 95

условий в окрестности Σ0: или

 

0

D



¯

S

 

0

D



¯

S

l

α

mm

  

l

≤ K4ym, 0 ≤ l ≤ µ − 1; βm> const > 0,

α

mm

 

≤ K3y



2

, 0 ≤ l ≤ µ,

m

(1.8.74)

или

α

mm y

m

6= 0,

max

m

β

 

α



> 1, (1.8.75)

mm



y

m

где K3и K4— некоторые положительные постоянные. Тогда слабое решение задачи (1.1.4), (1.1.5) принадлежит классу C

0

G

) для любого δ > 0, если выполнены условия (1.8.75), и классу C

δ

классу C

(µ)

(Ω \ G

0

) для любого δ > 0, k = [µ/2], если выполнены условия

δ

(Ω) и классу C

(µ−1)

(µ)

(k)

(Ω \

(Ω) и

(1.8.74).

Доказательство. Во-первых, предположим, что в ωjвыполнены условия

(1.8.74). Затем, используя оценку вида (1.8.72) с постоянной C1, не зависящей от ε для решения uεуравнения (1.8.73), равного нулю на границе S0, и затем переходя к пределу при ε → 0 в (1.8.73), мы получим

αmmu

ymy

+ βmu

m

= F

y

m

1

(1.8.76)

во внутренних точках ωj, где F1— ограниченная функция в ωjв соответствии с (1.8.72). Из (1.8.72) также следует, что αmmu так как α

mm

≤ K3y

Далее, применяя оператор D

2

в ωj. Из (1.8.76) следует, что u

m

0

, где l ≤ µ −2, к правой и левой сторонам

¯

S

l

ymy

y

ограничено в ωj,

m

ограничено в ωj.

m

(1.8.76), мы получим уравнение

αmmD

0

u

¯

ymy

S

l

+ βmD

m

где F2содержит производные u по y1, . . . , y

l − γ > 0, l ≤ µ − 2. Так как по предположению (1.8.72) функция F2ограничена в ωjи, следовательно, D

0

u

¯

S

l

m−1

= F2,

y

m

и члены вида D



0



D

S

0

S



mm



α

¯

l

≤ K3y

0

u

¯

S

l

y

m

mmD0

α

¯

l−γ

2

, в силу

m

ограничено

¯

S

γ

в ωjпри l ≤ µ −2.

Последовательно применяя операторы D

0

∂ν/∂y

¯

S

l

ν

, ν = 1, . . . , µ − 2, l +

m

ν ≤ µ − 2, к (1.8.76) и умножая уравнения, полученные таким образом, на

ν

y

, мы получим уравнения, из которых, вместе с (1.8.74) и (1.8.72), следует,

m

что величины

ν

y

m

D

ν+1

∂

∂y

ν+1

m

u

для l + ν ≤ µ − 2

0

¯

S

l

ограничены в ωj.

Доказательство ограниченности в ωjвсех производных вплоть до по-

рядка [µ/2] проводится индукцией по κ. Предположим, что для некоторого κ ≥ 1 оценка

 

ν



y

D

m



ν+κ

∂

0

¯

S

l

∂y

ν+κ

m

 

u



< C2= const, l + ν ≤ µ −2κ, (1.8.77)



u

ymy

,

m

95

96 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

выполняется в ωj, а затем покажем, что та же самая оценка выполняется для κ +1. Для этого применим оператор D

к уравнению (1.8.76) и умножим его на y

ν m

ν+κ

∂

¯

S

l

.

/∂y

ν+κ

, l+ν ≤ µ−2(κ +1),

m

0

Уравнение, полученное таким образом, вместе с условием (1.8.74) и предположением индукции (1.8.77), обеспечивают выполнение оценки вида (1.8.77) также для κ + 1.

Из (1.8.72) и оценки (1.8.77), доказанной для ν = 0, κ ≤ [µ/2], следует, что u(x) ∈ C

(ωj). Следовательно, теорема доказана в случае выполне-

(µ−1)

ния условия (1.8.74).

Если α

mm

6= 0 на Σ0, то (1.8.76) в ωjможно переписать в виде

y

m

ymu

ymy

+ q(y1, . . . , ym)u

m

= Ψ, (1.8.78)

y

m

где функция Ψ ограничена в ωjи q > q0= const > 0. Зафиксируем в ω точку P0= (y

0

y

, . . . , y

1

m−1

0

1

= y

, . . . , y

0 m−1

и интегрируя по ymот ym= ρ до ym= y

 

u

y

m

(P0)

 

≤ exp

Z

+ max

|Ψ|

ω

j

ρ

0

m

), y

> 0, и рассмотрим отрезок {0 < ym≤ y

m

}. Умножая (1.8.78) на



y

m

Z

exp

 

q(y

0

y

m

−1

y

m



ρ

Z

 

0

y

m

0

y

m

z−1exp exp

q(y

0

, . . . , y

1





0

m−1

z

Z

0

y

m

0

, . . . , y

1

, s)s−1ds

0

q(y

1

0 m−1

0

, 0 < ρ < y

m

, . . . , y

, s)s−1ds









·



0

, s)s−1ds

m−1



 

0

, мы получим

m

u

0

(y

m

, . . . , y

1

y





0

, y1=

m

, ρ)

 

+

0

m−1

dz. (1.8.79)

j

Легко видеть, что



ρ

Z



exp



y

0

y

m

Z

z−1exp exp

ρ

0

m

q(y

0

, . . . , y

1



 

y

z

Z

q(y

0

m

Из (1.8.79) следует, что

 

u

(P0)

y

m

0 m−1

1

 

0

≤ (y

, s)s−1ds

0

m

−1 0

0

m−1



−q

)

1 −ρ

, . . . , y

= q





≤ exp



, s)s−1ds

q

0



q

0



ρ

u

96

(y

y



ρ

Z



q0s−1ds



0

y

m





dz ≤



)

(y



−q

0

, . . . , y

1

.

0

m

0

y

m

Z

ρ

0 m−1





= ρ



q0−1(y0

z

 

, ρ)

+

q

m

0

(y

)

−q

m

−q

)

0

dz =

0

,

0

8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 97

+ max |Ψ|q

−1

0



1 −(y

m

0

−q

)



q

0

ρ

. (1.8.80)

Так как, согласно условию (1.8.75), q0> 1, если мы устремим ρ к нулю в (1.8.80) и рассмотрим (1.8.72), то получим

 

u

y

m

Далее, применяя оператор D

0

¯

S

2, мы получим уравнения для D но при l = 1, . . . , µ−2) ограниченность

 

(P0)

l

≤ max |Ψ|q

к (1.8.78) последовательно при l = 1, . . . , µ −

0

u

, из которых получим (последователь-

y

¯

m

S

l



0



D

¯

S

−1

. (1.8.81)

0

 

u

в ωjточно так же, как была

y

m

l

получена оценка (1.8.81).

Предположим, что при некотором κ > 1 доказана ограниченность в

ωjпроизводных вида D

0

∂κu/∂y

¯

S

l

отсюда следует ограниченность производных D l + κ ≤ µ − 1. Для этого сначала применим оператор ∂κ/∂y

(1.8.78) и получим для v = ∂

ym(v)

κ

для l + κ ≤ µ − 1. Мы покажем, что

m

κ+1

y

m

κ+1

u/∂y

уравнение вида

m

+ (q + κ)v = Ψκ, (1.8.82)

0

∂νu/∂y

¯

S

l

ν

для ν = κ + 1,

m

κ

к уравнению

m

где Ψκ— ограниченная функция. Из этого уравнения мы получим ограниченность ∂

κ+1

(1.8.81). После этого, применяя к (1.8.82) последовательно операторы D

u/∂y

κ+1

в ωjточно так же, как была получена оценка

m

0

¯

S

при l = 1, . . . , µ − κ − 2, мы получим ограниченность производных вида

0

D

κ+1

∂

¯

S

l

u/∂y

κ+1

, l + κ ≤ µ − 2. Таким образом, теорема доказана.

m

Замечание 1.8.6. Из теоремы 1.8.5 следуют условия, при которых существует слабое решение задачи (1.1.4), (1.1.5), гладкое в окрестности Σ1. При этом не предполагается, что (1.1.4) можно продолжить в окрестность Σ с сохранением гладкости его коэффициентов и неотрицательности формы

akjξkξj, как это было сделано в теореме 1.8.2. Аналогичная теорема была

доказана в статье Кона и Ниренберга [193]. Однако, в этой статье, в отличие от рассмотрений, проведенных выше, процесс получения гладкого решения задачи (1.1.4), (1.1.5) как предела при ε → 0 решений эллиптических уравнений был проведен с помощью присоединения к (1.1.4) в окрестности Σ эллиптического оператора высокого порядка с малым параметром ε, причем порядок оператора зависел от гладкости данных задачи (числа µ). А вне окрестности Σ1они присоединяли эллиптический оператор второго порядка, тоже с параметром ε. Результаты статьи [193] мы изучим в следующем параграфе.

l

1

Лемма 1.8.7. Пусть выполнены условия леммы 1.8.6 с тем исключением, что вместо условия 1) в области ωjдля некоторых постоянных Kjи s ≥ 1 выполняются условия

mm

α

mm

α

 

D

0

α

¯

S

l

≤ K1ym,



mm



≤ K3y

y

m

 

D

s+1/2 m

0

¯

S

l

≥ K0y



mm



α

при 1 ≤ l ≤ µ − 1, βm= const .

s

m

≤ K2y

97

,

s+1

m

при 2 ≤ l ≤ µ,

(1.8.83)

98 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Пусть

и, как и раньше, Zν=

κ,l

p

l+κ≤ν

P

= y

κ(s+1)

m

C

κ,l

p

X

¯

S

l



∂

∂y

κ

D

κ

m



2

0

u

¯

ε

S

l

. Тогда в точках ωjмы имеем следую-

щее неравенство для Zνпри ν ≤ µ:

1

где C

0

L

(Zν) + (c + M1)Zν+ EνZ

ε

2

X

−a

0

l+κ≤ν

, a0, M1, Eν,˜Eν— постоянные, не зависящие от ε, причем M

κ,l

C

κ,l

κ(s+1)

y

m

Q



κ

∂

ε

∂y

m

0

D

¯

S

κ

l

u,

∂

∂y

κ

m

ν−1

−

0

D

u≥ −˜Eν, (1.8.84)

¯

S

l

зависит от βk, αkjи их производных первого и второго порядка соответственно.

Доказательство. Неравенство (1.8.84) доказывается точно так же, как ана-

логичное неравенство (1.8.67). Сначала мы докажем его при ν = l. Пусть

m−1

h1= y

s+1 m

2

u

y

P

+

m

ρ=1

2

u

. Имеем

y

ρ

1

m−1

1

0

L

(h1) + ch1+ M1h1−

ε

2

"

m−1

X



+

k,j,ρ=1

εµ

"

+y

s+1 m

α

mm y

m

(s + 1)

−

2

−2(ε + αmm)(s + 1)y

kj y

ρ

u

ymy

βmy

+ α

s

m

X

ρ=1



kj

u

y

ρ

u

+

y

m

2

u

− (ε + αmm)y

y

m

Qε(u

yky

m−1

X

k,j=1

) −y

mm

α

y

ρ

s+1 m

u

Qε(u

ymy

, u

y

m

)+

y

m

#

u

+

y

m

ρ

, u

y

ρ

m−1

X

u

+

y

j

ρ

ρ=1

#

s

m



εµ

u

kj y

ymy

m

+ α

s−1

m

u

m



kj

u

y

m

s(s + 1)

2

≥ R1.

y

m

yky

u

−

y

j

m

2

u

−

y

m

Оценка последнего члена, а также членов в квадратных скобках, проводится точно так же, как в доказательстве леммы 1.8.6. Мы оценим члены

(s + 1)

−

2

h0= u

2

ε

ет, что в уравнении для h1+ C

s

βmy

m

u

2

y

m

+ R2y

s m

2

u

, принимая во внимание, что в (1.8.70) при

y

m

имеется член вида −Qε(u, u). Так как α

h0при достаточно большом C

0,0

mm

≥ K0y

s

, отсюда следу-

m

сумма

0,0

(s + 1)

−

2

βmy

s

m

u

2

y

m

+ R1y

s m

2

u

− C

y

m

0,0

αmmu

2

y

m

неположительна. Оставшаяся часть доказательства леммы 1.8.7 повторяет доказательство леммы 1.8.6.

98

8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 99

Теорема 1.8.6. Пусть граница Σ состоит из двух замкнутых непересе- кающихся множеств Σ0и Σ \ Σ0(любое из них может быть пустым). Пусть условия теоремы 1.8.2 выполнены для границы Σ \Σ0, коэффициентов (1.1.4) и функций f и g в области Ω \ G множества Σ0. Также предположим, что G числом областей Ω

ωj= Ω∩Ω

0

выполнены либо предположения леммы 1.8.6, либо предположе-

j

0

, j = 1, . . . , N , таких, что в каждой из областей

j

0

δ

0

, где G

δ

можно покрыть конечным

0

— δ-окрестность

δ

ния леммы 1.8.7, относящиеся к коэффициентам αkj, βk, c и функции f . Пусть g = 0 на Σ0и c < −c0< 0 в G

0

, где достаточно большая постоянная

δ

c0зависит от αkj, βkи их производных первого и второго порядка. Тогда слабое решение u(x) задачи (1.1.4), (1.1.5) принадлежит классу C

(µ)

(Ω\G

0

δ

для любого δ > 0. Более того, в каждой из областей ωjдля u(x) выполняется следующая оценка, где y1, . . . , ym— локальные координаты, такие, что Σ0лежит в плоскости ym= 0 с ym> 0 в Ω:

X

k+l≤µ



k

∂

ν

y

m

∂y

k

m

D



2

0

u

¯

S

l

≤ C1= const, (1.8.85)

)

где ν = 2k, если точка y1, . . . , ymпринадлежит ωj, для которой выполнены предположения леммы 1.8.6, и ν = k(s + 1), если в ωjвыполнены предположения леммы 1.8.7.

Доказательство этой теоремы проводится точно так же, как доказатель-

ство теоремы 1.8.4.

Теорема 1.8.7. Пусть предположения теоремы 1.8.6 выполнены для Σ0=

1

Σ

1

∪Σ

, где те области ωj, границы которых содержат точки из Σ

2

1

, удо-

1

влетворяют условиям теоремы 1.8.5 и (1.8.75), а те ωj, границы которых

1

содержат точки из Σ

, удовлетворяют предположениям леммы 1.8.7, а

2

также условию

βm+ (ν − 1)α

Тогда слабое решение u(x) задачи (1.1.4), (1.1.5) принадлежит классу C и классу C

(µ)

(Ω \G

0

) для любого δ > 0.

δ

mm

< 0 при ν ≤ µ. (1.8.86)

y

m

(µ−1)

Доказательство. Ввиду теоремы 1.8.5 достаточно доказать, что решение

u(x) в окрестности Σ

1

принадлежит классу C

2

Во-первых, мы покажем, что в ωjфункции u

. Очевидно, Σ

(µ−1)

равномерно ограничены,

εy

m

1

⊂ Σ2.

2

где uε— решение уравнения, аналогичного уравнению (1.8.73), равное нулю на границе S0, где˜βm= |βm| в δ-окрестности Σ

1

. Для доказательства

2

теоремы 1.8.6 была получена оценка

X

k+l≤µ

k(s+1)

y

m



∂

∂y

k

D

k

m



2

0

u

¯

S

l

≤ C

ε

1

(1.8.87)

(Ω)

для uεиз окрестности Σ

1

, где постоянная C1не зависит от ε. Из уравнения

2

(1.8.73), вместе с рассуждениями, взятыми из (1.8.87), получим:

mm

(α

+ ε|βm|)u

εymy

99

+ βmu

m

= Ψε, (1.8.88)

εy

m

100 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

где функция Ψεравномерно ограничена по ε. Согласно оценке (1.8.87), u

εy

m

равномерно ограничены по ε при ym≥ δ1> 0.

Рассмотрим u

при 0 ≤ ym≤ δ1. Если u

εy

m

принимает наибольшее

εy

m

положительное значение или наименьшее отрицательное значение при 0 ≤ y < δ, то в этой точке u

εy

u

εymy

m

≤ 0 и, поскольку βm< 0, то из (1.8.88)

m

следует, что

|u

| ≤ max |Ψε| ·|βm|−1,

εy

m

P

j=1

2

u

равномерно ограничена по ε.

εx

j

1 2

рав-

т.е. функция p1=

Далее, принимая во внимание, что p1ограничено в окрестности Σ номерно по ε, а при ym≥ δ все производные до порядка µ включительно равномерно ограничены по ε, мы можем доказать точно так же, как в лемме 1.8.7, что сумма

X

1≤l+ν+1≤µ

ограничена в окрестности Σ



C

ν+1,l

1

равномерно по ε.

2

ν(s+1)

y

m

∂

∂y

ν+1

m

D



2

0

u

¯

ε

S

l

Доказательство ограниченности всех производных до порядка µ−1 включительно в окрестности Σ

1

проводится индукцией по κ. Предположим, что

2

для некоторого κ ≥ 1 выполняется оценка

X

1≤l+ν+κ ≤µ

C

ν+κ ,l

ν(s+1)

y

m



∂

∂y

ν+κ

ν+κ m

D



2

0

u

¯

S

l

< C2, (1.8.89)

ε

где постоянная C2не зависит от ε. Мы покажем, что все производные u порядка κ +1 ограничены в ωjравномерно по ε. Отсюда мы получим, точно так же, как при доказательстве леммы 1.8.7, что оценка вида (1.8.89) также выполняется при κ + 1. Для этого применим оператор ∂κ/∂y

κ

к уравнению

m

(1.8.88). В ωjполучим:

(α

mm

+ ε|βm|)



∂

∂y

κ+1

m



u

ε

+βm+ κα

y

m

mm

+ κε|βm|

y

m

κ+1



∂

u

y

m

∂y

κ+1

m

ε

= Ψ

κ

,

ε

(1.8.90) где функции Ψ предположению теоремы 1.8.7 мы имеем βm+κα точно так же, как при доказательстве ограниченности u

(∂

κ+1

/∂y

κ+1

m

κ

согласно (1.8.89) равномерно ограничены по ε. Так как по

ε

)

ограничены в окрестности Σ

u

ε

mm

< 0, из (1.8.90) следует,

y

m

1

равномерно по ε.

2

εy

, что функции

m

Отсюда и из (1.8.89) следует, что все производные uεпорядка κ + 1 рав-

номерно ограничены, откуда следует, что оценка вида (1.8.89) выполняется также при κ + 1.

Таким образом, мы получаем равномерную (по ε) ограниченность в окрест-

ности Σ

1

всех производных uεдо порядка µ − 1 включительно. Теорема

2

доказана.

ε

100