Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие
.pdf
182 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Это утверждение является непосредственным следствием лемм 2.7.1 и
2.7.2.
Запишем оператор Lu в виде
L(u) ≡ −Dj(akjDku) + iQu + cu, (2.7.18)
где Qu ≡ (bk− a
kj
)Dku.
x
j
Теорема 2.7.1 (энергетическая оценка). Для любого s ≥ 0 и любой функ-
+kL
s
∞
(K) выполняется неравенство
0
2
s−1
+kQuk
2
s−1/2
≤ C(K, s)kLuk
0
(j)
uk
2
+kuk
0
2
, (2.7.19)
2s
ции u из класса C
m
X
0(j)uk2
kL
j=1
где постоянная C(K, s) зависит от K и s.
Доказательство. Из (2.7.6) и (2.7.9) следует, что при s ≥ 0
m
X
j=1
kL
0(j)vk2
0
Положим v = Esu, где u ∈ C
X
j=1
≤ C
m
|(Lv, v)| + kvk
1
0(j)
kL
Esuk
2
≤ 2C
0
∞
(K). Из (2.7.20) получим
0
≤ C
kLEsuk
2
2
0
1
2
−s
kLvk
+ kuk
2
−s
+ kvk
2
2s
2
. (2.7.20)
s
. (2.7.21)
На основе теоремы 2.2.6 имеем
0(j)uk2
kL
≤ 4kL
s
для любой функции u ∈ C
0(j)
Esuk
∞
(K).
0
2
+ 4k[Es, L
0
0(j)
]uk
2
+ C3kuk
0
2
0
(2.7.22)
Применяя лемму 2.7.3 и теорему 2.2.1 о порядке псевдодифференциаль-
ного оператора, мы получим из (2.7.22) и (2.7.21), что
m
X
j=1
kL
0(j)uk2
s
≤ C
4
kLuk
2
+ kuk
0
2
. (2.7.23)
2s
Из (2.7.13) и (2.1.19) следует, что
≤ C
(
m
X
5
kLDlvk
l=1
2
−s
+ kvk
m
X
j=1
kL
0
(j)
vk
2
0
где supp v ⊂ K1. В этом неравенстве мы положим v = E
)
2
,
s+1
u, где u ∈ C
s−1
и s ≥ 0. Применяя лемму 2.7.3, получим
m
X
j=1
kL
0
(j)
E
s−1
uk
2
0
≤ C
(
m
X
l=1
kLDlE
s−1
5
uk
2
−s
+ kE
s−1
uk
2
s+1
)
≤
∞
0
(K)
181
7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ(ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) 183
≤ C
6
kLuk
2
+ kuk
0
2
. (2.7.24)
2s
Из теорем 2.3.1 и 2.2.6 имеем
0
≤ 4kL
0
(j)
E
s−1
uk
kL
(j)
2
+ 4k[E
0
uk
2
s−1
s−1
≤ 2kE
0
, L
(j)
]uk
L
s−1
2
+ C8kuk
0
0
(j)
uk
2
0
+ C7kuk
2
≤ 4kL
0
0
(j)
2
≤
0
E
s−1
uk
2
0
+ C9kuk
2
.
s
Принимая во внимание (2.7.24), мы выведем из последнего неравенства,
что
0
(j)
uk
2
s−1
≤ C
kL
Для завершения доказательства теоремы 2.7.1 остается оценить kQuk
10
kLuk
2
+ kuk
0
2
. (2.7.25)
2s
2
s−1/2
Для этого представим оператор Lu в виде (2.7.18) и изучим выражение
(LEsu, E
∗
−1/2
E
QEsu), где E
−1/2
∗
— оператор, сопряженный к Es. После
s
простых преобразований получим
(LEsu, E
−(akjDkEsu, DjE
∗
−1/2
∗
−1/2
E
−1/2
E
QEsu) = ikE
−1/2
QEsu) + (cEsu, E
−1/2
∗
−1/2
QEsuk
E
2
−
0
QEsu). (2.7.26)
−1/2
.
Оценим отдельные слагаемые в (2.7.26). Имеем
I1≡
LEsu, E
∗
−1/2
E
−1/2
QEsu
≤
1
kLEsuk
2
По лемме 2.7.3 и теореме 2.2.1 получим
I1≤ C
11
kLuk
2
+ kuk
0
Кроме того, ясно, что
I2≡
cEsu, E
∗
−1/2
E
−1/2
QEsu
Так как akj(x)ξkξj≥ 0, имеем
|(akjDku, Djv)| ≤
1
(akjDku, Dju) + (akjDkv, Djv)
2
при u, v ∈ C
1
≤
(akjDkEsu, DjEsu) +akjDkE
2
∞
(Rm). Следовательно,
0
I3≡
akjDkEsu, DjE
∗
−1/2
∗
−1/2
E
E
−1/2
2
+ kE
−s
2
.
2s
≤ C12kuk
QEsu
−1/2
QEsu, DjE
∗
−1/2
≤
∗
−1/2
E
−1/2
QEsuk
2
.
s
(2.7.27)
2
.
s
(2.7.28)
E
−1/2
QEsu.
(2.7.29)
Оценим интегралы в правой части (2.7.29) с помощью (2.7.9). Имеем
I3≤ |(LEsu, Esu)| +
+C
13
kEsuk
LE
∗
−1/2
2
+
0
E
E
−1/2
∗
−1/2
182
QEsu, E
E
−1/2
∗
−1/2
QEsu
E
2
0
−1/2
.
QEsu
+
184 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
С помощью этого соотношения, леммы 2.7.3 и теоремы 2.2.1 получаем
2
+
s
LE
2
s
∗
−1/2
≤ C
I3≤ kLEsuk
∗
+
E
−1/2
E
−1/2
2
+ kEsuk
−s
QEsu
2
+ C14kuk
s
Из (2.7.26) следует
E
−1/2
QEsu
2
≤ I1+ I2+ I3≤ C
0
16
По теореме 2.2.6
≤ C
kQuk
18
E
2
s−1/2
−1/2
≤ C
≤ 4
QEsu
19
E
E
−1/2
2
+
0
−1/2
EsQu
E
QEsu
−1/2
[Es, Q]u
2
0
Из неравенств (2.7.31) и (2.7.30) следует, что
kQuk
2
s−1/2
≤ C
20
kLuk
2
0
что и требовалось доказать.
E
−1/2
kLuk
15
2
kLuk
0
2
+ C17kuk
0
+ kuk
+ kuk
2
QEsu
+ kuk
2
0
2
. (2.7.31)
s
2
2s
+
−s
2
+ kuk
0
2
2s
2
≤
0
+ kuk
2
.
2s
. (2.7.30)
2
≤
0
, (2.7.32)
Рассмотрим систему операторов {Q0, . . . , Q2m}, где Q0≡ Q, Qj= L
при j = 1, . . . , m и Qj= E−1L
0
(j−m)
при j = j = m + 1, . . . , 2m. Для любого
0(j)
мультииндекса I = (α1, . . . , αk), где αl= 0, 1, . . . , 2m при l = 1, . . . , k, поло-
k
жим |I| =
P
λl, где число λlравно 1, если αl= 1, . . . , 2m, и 2, если αl= 0.
1
Любому мультииндексу I поставим в соответствие оператор
QI= ad Q
. . . ad Q
α
1
α
k−1
Q
,
α
k
где, как и раньше, ad AB = AB − BA = [A, B].
Лемма 2.7.4. Для любого компактного множества K, любого k ≥ 1 и
любого s ≥ 0 существует постоянная C(K, s, k) такая, что неравенство
X
kQIuk
|I|=k
2
2
1−k
≤ C(K, s, k)kLuk
+s−1
выполняется для любой функции u из C
∞
0
(K).
2
+ kuk
0
2
2ks
(2.7.33)
Доказательство. Сначала проверим, что (2.7.33) выполняется для k ≤ 2.
Для k = 2 неравенство (2.7.33) выполняется в силу оценки (2.7.32), если
Ql= Q0. Если QI= [Qj, Ql], где j, l 6= 0, то по лемме 2.3.2 имеем
[Qj, Ql]u
2
s−1/2
≤ C
1
(
183
2m
X
j=1
kQjuk
2
+ kuk
s
)
2
. (2.7.34)
s
7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ(ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) 185
Применим теорему 2.7.1, чтобы оценить правую сторону (2.7.34), и получим
[Qj, Ql]u
2
s−1/2
≤ C
2
kLuk
2
+ kuk
0
2
2s
,
что означает, что (2.7.33) для k = 2 в этом случае также выполняется.
Мы докажем (2.7.33) в общем случае по индукции. Предположим, что
оно выполняется при k ≤ k0и покажем, что тогда оно должно выполняться
также при k = k0+ 1. Сначала рассмотрим случай, когда QI= [Q
1−k
где |I1| = k0, j 6= 0. Тогда по лемме 2.3.2 при s1= −1 + 2
≤ C
(
2m
X
3
kQjuk
j=1
2
+kQ
s
uk
I
1
2m
X
j=1
X
|I1|=k
0
[Qj, Q
2
]u
I
1
s−1+2
−k
0
0
2
s−1+2
получим
1−k
0
, Qj],
I
1
+kuk
)
2
s
(2.7.35)
По теореме 2.7.1 и предположению индукции правую часть (2.7.35) можно
оценить с помощью
C
4
kLuk
2
+ kuk
0
2
,
k
0
2
s
что доказывает (2.7.33) в рассматриваемом случае.
Теперь предположим, что QI= [Q0, Q
], где |I0| = k0−1 ≥ 1. Оператор
I
0
QI= [Q0, Qj], соответствующий k0= 1, оценивается с помощью (2.7.35).
Запишем оператор L(u) в виде (2.7.18). Тогда
.
L∗(u) = −Dj(akjDku) −iQu + c∗u,
где c∗∈ C
QIw = [Q0, Q
∞
(Rm) и QIможно представить в виде
0
1
I
0
]w =
(−Dj(akjDk)−L∗+c∗)Q
i
I
w−
0
1
Q
(L+Dj(akjDk)−c)w.
I
0
i
В уравнении (2.7.36) положим w = Esu, умножим его на ¯v, где
v = E
∗
Eρ[Q0, Q
ρ
]Esu и ρ = 2
I
0
−k
0
− 1, и проинтегрируем по Rm.
Таким образом мы получим
E
−k
2
0
−1
−(Q
[Q0, Q
I
0
Dj(akjDk)Esu, v) + (c∗Q
I
0
]Esu
2
=
0
− (L∗Q
Esu, v) + (−Q
I
0
Esu, v) + (Q
I
0
LEsu, v) −(akjDkQ
I
0
cEsu, v)
I
0
. (2.7.37)
Оценим интегралы в правой части (2.7.37). Применяя теорему 2.3.1, лем-
му 2.7.3 и неравенство Шварца (2.1.19), мы получим
V1≡
(LEsu, Q
∗
v)
I
0
≤ kLEsuk
2
−s
+kQ
∗
2
vk
I
s
0
≤ C
5
kLuk
2
+kuk
0
2
2s
+kQ
uk
I
0
Точно таким же образом мы оценим
V2≡
(Q
Esu, Lv)
I
0
≤ C
6
kLuk
≤ kLvk
2
+ kuk
0
1−s−2
2
+ kQ
2s
1−k
0
I
0
+ kQ
uk
2s+2
Esuk
I
0
1−k
1−k
s+2
.
0
−1
≤
0
−1
(2.7.36)
Esu, Djv)−
I
0
1−k
2s+2
.
0
−1
Легко видеть, что
V3≡
(c∗Q
Esu, v)
I
0
+
184
(Q
cEsu, v)
I
0
≤
186 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
≤ C
7
kc∗Q
I
0
Esuk
2
1−k
0
−1
+ kvk
2
1−2
1−k
+ kQ
0
cEsuk
I
0
2
2
1−k
0
−1
Применяя теоремы 2.2.1 и 2.3.1, получим
V3≤ C
2
kuk
8
+ kQ
s
2
uk
I
0
s+2
1−k
.
0
−1
Чтобы оценить интеграл
V4≡
(akjDkEsu, DjQ
∗
v)
,
I
0
воспользуемся неравенством (2.7.28). Имеем
V4≤(akjDkEsu, DjEsu) + (akjDkQ
∗
v, DjQ
I
0
∗
I
v).
0
Далее, согласно (2.7.9), имеем
V4≤ C
(LEsu, Esu)
9
+ kuk
2
+
s
(LQ
∗
I
0
v, Q
∗
v)
I
0
+ kQ
∗
vk
I
0
Применяя (2.1.19) и оценку, доказанную в лемме 2.7.3, получаем
V4≤ C
kLEsuk
10
≤ C
11
2
−s
kLuk
+ kuk
2
0
2
+ kLQ
2s
+ kuk
2
2s
∗
vk
I
0
+ kQ
2
−s−2
uk
I
0
1−k
2
2s+2
+ kQ
0
2−k
∗
2
vk
s+2
1−k
I
0
.
0
−1
.
2
.
0
≤
0
2−k
Здесь мы воспользовались тем, что 2
(2.7.37) вида
V5≡
(akjDkQ
0
−1 ≤ 0. Интеграл в правой части
Esu, Djv)
I
0
можно преобразовать следующим образом:
V5=
+ "E
(akjDkQ
+(akjDkQ
+(akjDkE
1−k
0
2
−1
Esu, Dj(E
I
0
Esu, [Dj, E
I
0
1−k
2
1
,
L
0(j)
2
0
∗
Eρ− E
ρ
∗
1−k
0
2
Q
Esu, DjE−1[Q0, Q
I
−1
0
#
Q
Esu, DjE−1[Q0, Q
I
0
∗
1−k
0
2
−1
]E−1[Q0, Q
−1
E−1)[Q0, Q
]Esu)+
I
0
]Esu)+
I
0
!
]Esu
I
0
]Esu)+
I
0
. (2.7.38)
Первые три интеграла в правой части (2.7.38) можно оценить так же, как
мы оценили V4. Имеем
w1≡
≤
+
(akjDkQ
akjD
(E
(E
k
∗
ρ
Esu, Dj(E
I
0
∗
Eρ− E
ρ
Eρ− E
∗
2
1−k
∗
ρ
∗
1−k
0
2
−1
E−1)[Q0, Q
0
−1
Eρ− E
∗
2
1−k
E−1)[Q0, Q
0
−1
I
0
∗
]
I
0
E−1)[Q0, Q
∗
]
Q
Esu, DjEsu
I
0
0
,˜L
Q
Esu, Esu
I
0
I
0
]Esu)
≤
+
,
где˜L0≡ Dj(akjDk). Далее, используя (2.7.9), (2.7.28) и лемму 2.7.3 и вспоминая, что порядок оператора E
1−k
0
2
, мы получим неравенство
n
w1≤ C
12
L(E
∗
Eρ− E
ρ
∗
2
1−k
∗
Eρ− E
ρ
E−1)[Q0, Q
0
−1
185
∗
2
1−k
E−1не превосходит −3 +
0
−1
Esu
0
2
1−s−2
2−k
∗
]
Q
I
0
I
+
0
7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ(ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) 187
+
∗
(E
Eρ− E
ρ
+kuk
≤ C
∗
1−k
2
2
+ kLEsuk
2s
kLuk
13
E−1)[Q0, Q
0
−1
2
+ kuk
0
2
−s
+ kQ
2
+ kQ
2s
∗
]
Q
I
0
I
0
uk
I
0
2
s+2
uk
I
2
s+2
0
1−k
Esu
0
−1
1−k
2
s+2
o
2−k
+
0
−1
≤
.
0
−1
Оценим интеграл
≤
akjDkQ
akjDkQ
w2≡
+akjDkQ
Отметим, что u ∈ C
∗
E
2
1−k
, равна 1 на K; следовательно, по теоремам 2.3.1 и 2.2.4 имеем
0
−1
Esu, [Dj, E
I
0
Esu, E−1[Q0, Q
I
0
Esu, [[Dj, E
I
0
∞
(K) и функция ϕ(x), входящая в символ оператора
0
[Dj, E
∗
2
1−k
∗
1−k
2
∗
1−k
2
]u
0
−1
]E−1[Q0, Q
0
−1
]Es[Dj, E
I
0
], E−1[Q0, Q
0
−1
2
≤ CNkuk
N
2
0
∗
2
1−k
,
I
0
0
]Es]u
I
0
]Esu
−1
]u+
≤
.
где N — произвольное неотрицательное число. Применяя (2.1.19), мы получим
w2≤ C
+
[[Dj, E
14
∗
2
≤ C
1−k
kuk
15
2
+ kakjDjQ
0
], E−1[Q0, Q
0
−1
2
kuk
+ kQ
s
Esuk
I
0
]Es]u
I
0
2
uk
I
0
s−1+2
Согласно неравенствам (2.7.28) и (2.7.9), имеем
2
1−k
I
0
akjDkE
Q
I
0
−1
]Esuk
2
0
1−k
0
2
−1
Esu), E
0
+
(L(E−1[Q0, Q
Q
Esu, DjE−1[Q0, Q
I
0
Q
2
1−k
0
−1
Esu)
I
0
]Esu), E−1[Q0, Q
I
0
w3≡
n
16
(L(E
≤ C
+kE−1[Q0, Q
Применяя (2.1.19) и лемму 2.7.3, получим
w3≤ C
17
kLuk
2
+ kQ
0
2
uk
I
0
2s+2
2−k
+ kQ
0
−1
Теперь оценим последний интеграл в (2.7.38):
w4≡
[Eν, L
0(j)
]Q
Esu, DjE−1[Q0, Q
I
0
I
0
2
−2+2
1−k
+ kE
uk
2
2−2
0
2
s+2
I
1−k
.
0
1−k
I
2
1−k
]Esu
+
0
≤
0
]Esu≤
0
1−k
0
−1
I
+ kuk
0
−1
,
Q
I
]Esu
0
Esuk
0
2
2s
2
+
0
o
.
.
1−k
где ν = 2
0
− 1.
На основе теоремы 2.3.1
0(j)
+
m
X
j=1
(L
(t)
(T Q
E
w4≤
(t)
ν
Esu, DjE−1[Q0, Q
I
0
− L
0(j)(t)
E
ν(t)
)Q
Esu, DjE−1[Q0, Q
I
0
]Esu)
I
0
= w5+ w6, (2.7.39)
186
I
0
]Esu
+
188 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
1−k
где T — оператор порядка не более, чем 2
выше, мы используем A
(t)
и A
для обозначения операторов с символами
(t)
0
− 2. Как было отмечено
∂A(x, ξ)/∂ξtи DtA(x, ξ) соответственно, где A(x, ξ) — символ оператора A.
По неравенству Шварца (2.1.19)
m
X
w6≤
j=1
kT Q
I
0
Esuk
2
+ kDjE−1[Q0, Q
1
]Esuk
I
0
2
−1
≤ C
18
kQ
2
uk
I
0
s+2
1−k
0
−1
+ kuk
Преобразуем интеграл w5следующим образом:
w5=
+[Dj, L
0(j)
(t)
(L
0(j)
(t)
]E
(t)
ν
(t)
DjE
ν
Q
Esu −[Dj, L
I
0
− L
0(j)(t)
DjE
0(j)(t)
ν(t)
]E
)Q
Esu, E−1[Q0, Q
I
0
Q
Esu, E−1[Q0, Q
I
ν(t)
0
]Esu+
I
0
I
0
]Esu
.
2
.
s
Ясно, что L
0(j)
Dj= 2L
(t)
0
(t)
, L
0(j)(t)
Dj= L
0(t)
. Поэтому, применяя теоремы
2.2.1 и 2.3.1, мы получим
w5≤
+C
19
+kuk
2
s
(2L
kuk
+ kL
0
(t)
2
+ kQ
s
E
0(t)
(t)
ν
E
I
0
ν(t)
− L
uk
0(t)
2
s+2
Q
I
0
E
ν(t)
1−k
0
Esuk
−1
)Q
Esu, E−1[Q0, Q
I
0
≤ C
20
2
+ kQ
0
uk
I
0
kL
2
s+2
0
(t)
E
1−k
]Esu
I
0
(t)
Q
I
ν
0
. (2.7.40)
0
−1
Esuk
+
2
+
0
Далее мы используем неравенства (2.7.10) и (2.7.13), полученные при
доказательстве леммы 2.7.2. Таким образом,
kL
≤ C
0(t)vk2
22
0
(
≤ C
0
kL
vk
(t)
m
X
kLDkvk
k=1
|(Lv, v)| + kvk
23
2
0
≤ C
2
−s−2
|(LDkv, Dkv)| + kvk
21
≤ C
2
1+s+2
kLvk
24
1−k
0
2
0
+ kvk
1−k
2
−s−2
+ kvk
0
2
1
1−k
≤
)
2
, (2.7.41)
1
+ kvk
0
2
s+2
1−k
.
0
(2.7.42)
Из леммы 2.7.3 и неравенств (2.7.40)–(2.7.42) мы получим
w5≤ C
25
kLuk
2
+ kuk
0
2
2s
+ kQ
I
0
2
uk
2s−1+2
2−k
+ kQ
0
2
uk
I
0
s+2
1−k
.
0
−1
Таким образом, вспоминая оценки, полученные для wjи Vj, мы получаем
из (2.7.37) следующую оценку:
kE
0
−1
[Q0, Q
−k
2
]Esuk
I
0
2
0
≤ C
26
kLuk
2
+ kQ
0
2
uk
I
0
2s+2
2−k
0
−1
+ kuk
2
. (2.7.43)
2s
Далее, согласно теореме 2.2.6,
k[Q0, Q
2
+ kE
s
27
kuk
−k
2
2
+ kE
0
0
−1
−k
2
[Q0, Q
Es[Q0, Q
0
−1
]Esuk
I
0
I
2
. (2.7.44)
0
2
]uk
I
0
s+2
≤ C
−k
28
0
−1
kuk
≤ C
187
0
]uk
2
≤
0
7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ(ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) 189
Из (2.7.43) и (2.7.44) получаем
k[Q0, Q
2
]uk
I
0
s+2
−k
≤ C
0
−1
29
kLuk
2
+ kQ
0
2
uk
I
0
2s+2
2−k
0
−1
+ kuk
2
. (2.7.45)
2s
Теперь предположение индукции гласит, что
kQ
2
uk
I
0
2s+2
1−(k0−1)
−1
≤ C
30
kLuk
2
+ kuk
0
2
k0−1
2
2s
.
Из этого неравенства и (2.7.45) мы заключаем, что
k[Q0, Q
2
]uk
I
0
s+2
−k
0
−1
≤≤ C
31
kLuk
2
+ kuk
0
2
.
k
0
2
s
Это означает, что (2.7.33) выполняется в рассматриваемом случае. Лемма
доказана.
Рассмотрим операторы QI, порожденные системой операторов Q0, . . . , Q2m.
По теореме 2.3.1 для каждого мультииндекса I = (α1, . . . , αk) оператор Q
можно записать в виде
QI= Q
где оператор TIимеет порядок не более, чем нуль, и Q
ренциальный оператор, соответствующий σ = 1, с символом q
0
+ TI, (2.7.46)
I
0
— псевдодиффе-
I
0
(x, ξ).
I
I
Определение. Система операторов {Q0, . . . , Q2m} на компактном множестве K называется системой ранга m, если существует число R(K) такое,
что
X
1 +
|I|≤R(K)
0
|q
(x, ξ)|2≥ C0(1 + |ξ|2), C0= const > 0, (2.7.47)
I
для всех x ∈ K и всех ξ ∈ Rm.
Теорема 2.7.2. Пусть {Q0, . . . , Q2m} — система операторов ранга m на
K. Тогда существуют постоянные C(K) > 0 и ε(K) такие, что для любой
обобщенной функции u ∈ D0(Ω), удовлетворяющей условию Lu ∈ H
(т.е. ψLu ∈ Hsдля любой функции ψ ∈ C
2
kϕuk
s+ε(K)
где функции ϕ,ϕ1∈ C
≤ C(K, s)kϕ1Luk
∞
(K) на supp ϕ и γ = const < s + ε(K). Если ранг
0
∞
(Ω)), выполняется оценка
0
2
+ kϕ1uk
s
2
, (2.7.48)
γ
loc
s
(Ω)
системы {Q0, . . . , Q2m} равен m на любом компактном множестве, то
оператор L гипоэллиптичен в Ω.
Доказательство. Мы покажем, что условия теоремы 2.5.2 выполняются
для оператора L(u) из (2.7.1). Так как по условию неравенство (2.7.47) выполнено, из теоремы 2.2.9 следует оценка
kuk
2
s+1
≤ C
(
1
X
|I|≤R(K)
188
kQ
0
I
uk
2
+ kuk
s
)
2
s
190 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
для любой функции u ∈ C
∞
(K). Отсюда и из представления (2.7.46) для
0
QIследует, что
kuk
2
s+1
≤ C
(
2
|I|≤R(K)
X
kQIuk
2
+kTIuk
s
2
s
+kuk
)
2
s
≤ C
(
3
X
|I|≤R(K)
kQIuk
2
+kuk
s
Применяя лемму 2.7.4 как при доказательстве теоремы 2.6.2, мы получим
оценку
≤ C
4
kLuk
≥ 0. Теперь выберем s так, чтобы
kuk
для s + 1 − 2
2
s+1
1−R(K)
s + 1 > 2
Отсюда следует, что 2(2
потому что 2
1−R(K)
< 2(2
2
0
R(K)
R(K)
+ kuk
2
+ kuk
s
R(K)
(s + 1 −2
− 1)−1> s + 1 ≥ 2
− 1)−1. Обозначим s + 1 через ε(K). Ясно,
2
R(K)
2
1−R(K)
(s+1−2
) ≥ 0.
1−R(K)
1−R(K)
)
(2.7.49)
. Такое s существует,
что ε(K) > 0. Из (2.7.49) и теоремы 2.1.12 следует, что
kuk
2
ε
≤ C
5
kLuk
2
+ kuk
0
2
−N
(2.7.50)
)
2
.
s
для всех u ∈ C
∞
0
(K).
Таким образом, мы получили неравенство (2.5.17) из условия I теоре-
мы 2.5.2. По теореме 2.7.1 (энергетической оценке)
m
X
j=1
для всех u ∈ C
0(j)uk2
kL
∞
(K) и s ≥ 0.
0
+ kL
s
0
(j)
uk
2
s−1
≤ C
6
kLuk
2
+ kuk
0
2
2s
Легко видеть, что
L
0(j)
= L
(j)
− T0, (2.7.52)
где T0— оператор порядка не более, чем нуль, и
= L
0
+ T1, (2.7.53)
(j)
L
(j)
где T1— оператор порядка не более, чем 1. Из (2.7.51) следует, что
m
X
j=1
kL
(j)uk2
+ kL
s
(j)
uk
2
s−1
≤ C
7
kLuk
2
+ kuk
0
2
. (2.7.54)
2s
(2.7.51)
В (2.7.54) положим 2s = ε(K). Тогда
m
X
j=1
kL
(j)uk2
ε/2
+ kL
(j)
uk
2
ε/2−1
+ kuk
2
ε
189
≤ C
8
kLuk
2
+ kuk
0
2
−N
, u ∈ C
∞
(K).
0
(2.7.55)
7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ(ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) 191
В (2.7.55) подставим E
s
получим из (2.7.55), что
m
X
≤ C
(
9
≤ C
m
X
j=1
11
j=1
(
kL
kEsL
≤ C
kuk
(j)uk2
(j)uk2
10
2
s+ε/2
s+ε/2
+ kEsL
ε/2
kLEsuk
m
X
+
j=1
+ kL
2
+ kuk
0
kL
uk
(j)
uk
(j)
(j)uk2
2
s−1+ε/2
2
ε/2−1
2
−N
1
+ kL
s
+ kuk
(j)
+ kuk
+ kEsuk
2
s+ε/2
2
uk
s−1
2
≤
s+ε
2
+ kuk
ε
≤
+ kLuk
2
s
2
−N
)
)
≤
.
Вспоминая неравенство (2.1.30) из теоремы 2.1.12, окончательно получим
для любого s ∈ R1,
m
X
j=1
kL
(j)uk2
s+ε/2
+ kL
(j)
2
uk
s−1+ε/2
≤ C
12
kLuk
2
+ kuk
s
2
. (2.7.56)
−N
Ясно, что неравенства (2.5.18) и (2.5.19) из теоремы 2.5.2 следуют из (2.7.56).
Теорема доказана.
Следующая теорема, аналогичная теореме 2.6.3, также справедлива для
уравнений вида (2.7.1).
Теорема 2.7.3. Пусть оператор L вида (2.7.1) удовлетворяет следующим
условиям в области Ω:
1) На любом компактном множестве K ⊂ Ω \ M система операторов {Q0, . . . , Q2m} имеет ранг m; здесь M — некоторое ограниченное
множество, лежащее в конечном числе (m −1)-мерных гладких многообразий M и такое, что замыкание множества M лежит в Ω.
2) В каждой точке x ∈ M выполняется неравенство akjnknj+|akjΦ
bkΦ
| > 0, где n — вектор, нормальный к поверхности M в точке x,
x
k
xkx
j
а Φ(x1, . . . , xm) = 0, где grad Φ 6= 0, — уравнение для M в окрестности
точки x.
Тогда любая обобщенная функция u из D0(Ω) такая, что Lu ∈ H
loc
s
(Ω),
удовлетворяет оценке
+
где функции ϕ, ϕ1∈ C
≤ C
kϕ1Luk
γ
2
+ kϕ1uk
s
2
kϕuk
s
∞
(Ω), ϕ1≡ 1 на supp ϕ и, кроме того, или ϕ ≡ 1 на
0
2
, (2.7.57)
γ
M, или supp ϕ ∩ M=∅. Здесь γ = const < s.
Дифференциальный оператор, удовлетворяющий условиям 1) и 2), гло-
бально эллиптичен в Ω.
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]