Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие
.pdf
1. ФОРМУЛИРОВКА ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 21
Мы рассмотрим первую краевую задачу для уравнения (1.1.1) в области Ω; эта задача была впервые поставлена в общем виде Фикерой в
[166]. Предположим, что условие (1.1.2) выполнено для всех точек x из
Ω ∪ Σ и всех ξ ∈ Rm, что Ω принадлежит классу A
и akj∈ C
(1)
(2)
(Ω),
bk∈ C1(Ω), c ∈ C0(Ω). Обозначим через Σ0множество точек из Σ, в кото-
рых akj(x)nknj= 0. В точках из Σ0рассмотрим функцию
b(x) ≡ (bk− a
kj
)nk, (1.1.3)
x
j
которую назовем функцией Фикеры для уравнения (1.1.1). Обозначим через
Σ1множество точек Σ0, в которых b > 0, через Σ2— множество точек Σ0,
в которых b < 0, и через Σ0те точки множества Σ0, где b = 0. Множество
Σ \Σ0обозначим через Σ3.
Если граница Σ области Ω принадлежит классу B
(k)
, B
(k)
или B
(k,β)
то Σ0, Σ1, Σ2, Σ3определяются аналогично; для этого рассматриваются
только внутренние точки Sj.
Первая краевая задача для уравнения (1.1.1) состоит в следующем: найти функцию u в Ω ∪Σ такую, что
L(u) = f в Ω, (1.1.4)
u = g на Σ2∪ Σ3, (1.1.5)
где f — данная функция в Ω и g — данная функция на Σ2∪Σ3. Очевидно, если (1.1.1) эллиптично, то задача (1.1.4), (1.1.5) является задачей Дирихле.
Для параболических уравнений в цилиндрической области (1.1.4), (1.1.5)
образует смешанную задачу или, как это иногда называется, первую краевую задачу для параболического уравнения.
В качестве еще одного примера можно рассмотреть уравнение первого
порядка −u
= f(x), для которого граница Σ прямоугольной области Ω =
x
1
{0 < x1< X1, 0 < x2< 1} содержит множество Σ0, лежащее на прямых
x2= 0, x2= 1, множество Σ2, лежащее на прямой x1= 0, и Σ1, лежащее на
прямой x1= X1. В этом случае задача (1.1.4), (1.1.5) совпадает с задачей
Коши.
Для уравнения Келдыша
,
∂2u
γ
y
∂y
∂2u
+
2
∂x
2
+ a(x, y)
∂u
∂x
+ b
∂u
+ c(x, y)u = 0, γ = const > 0, (1.1.6)
∂y
рассматриваемого в области Ω на (x, y)-плоскости, ограниченного отрезком
оси x и кривой Γ, лежащей в верхней полуплоскости y ≥ 0, задача (1.1.4),
(1.1.5) с γ ≥ 1 совпадает с задачей E или D, изучавшимися в [52].
Введем обозначение
L∗(v) ≡ (akjv)
xkx
− (bkv)
j
+ cv = akjv
x
k
xkx
+ b∗kv
j
+ c∗v, (1.1.7)
x
k
где
b∗k= 2a
kj
− bk, c∗= a
x
j
21
kj
xkx
j
− b
k
+ c.
x
k
22 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
Легко видеть, что функция Фикеры b∗для оператора L∗(v) равна −b, где b
— функция Фикеры (1.1.3) для оператора L(u).
Мы покажем, что разложение границы Σ области Ω для оператора L(u)
на подмножества Σ0, Σ1, Σ2, Σ3инвариантно относительно гладких невырожденных замен независимых переменных и, следовательно, что задача
(1.1.4), (1.1.5) инвариантна относительно таких преобразований координат.
Лемма 1.1.1. Знак функции
b ≡ (bk− a
kj
x
)n
k
j
в точках Σ0границы Σ области Ω не меняется при гладких невырожденных заменах независимых переменных в (1.1.1).
Доказательство. В уравнении (1.1.1) сделаем замену переменных
yl= Fl(x1, . . . , xm), l = 1, . . . , m. (1.1.8)
Предположим, что в окрестности рассматриваемой точки, лежащей на границе Σ, граница Σ задается уравнением
F (x1, . . . , xm) ≡ Φ(y1, . . . , ym) = 0 (1.1.9)
и что grad F и grad Φ имеют то же направление, что и внутренняя нормаль.
В новых переменных уравнение (1.1.1) имеет вид
l
akjF
s
F
x
u
x
j
k
yly
+ bkF
s
l
u
+ akjF
y
x
l
k
l
xkx
u
+ cu = f. (1.1.10)
y
l
j
Функцию b для (1.1.1) можно записать в виде
b ≡ (bk− a
kj
)nk= (bk− a
x
j
kj
y
l
F
)Φ
x
j
l
s
F
(F
F
y
s
x
x
k
)
x
ρ
ρ
Теперь подсчитаем функцию Фикеры˜b для (1.1.10). Имеем
+[akjF
= b(F
˜
b = [bkF
l
xky
F
x
x
k
k
l
x
k
= [bkF
F
s
1/2
)
+ akjF
s
− akjF
x
j
(Φ
y
l
− (akjF
xkx
j
l
x
Φ
ρ
k
y
− a
)
ρ
kj
y
l
xky
−1/2
F
x
s
s
F
x
s
− akjF
l
s
F
x
k
− akjF
j
l
s
F
)
]Φ
(Φ
−1/2
)
y
y
l
y
(Φ
ρ
Φ
y
ρ
ρ
+
Φ
y
ρ
Φ
)
y
ρ
y
F
s
y
xjy
s
y
l
Φ
y
ρ
ρ
s
]Φ
s
Φ
(Φ
y
l
x
x
j
k
]Φ
(Φ
y
l
j
l
x
k
l
s
F
x
xjy
k
Последний член в (1.1.11) равен нулю, поскольку
l
akjF
s
F
x
k
xjy
s
Φ
y
≡ akjF
l
s
F
x
xjy
k
и akjF
s
= 0
x
k
на Σ0. Следовательно,
˜
b = b(F
1/2
F
)
x
x
k
(Φ
y
k
ρ
Φ
−1/2
)
y
ρ
,
и лемма доказана.
−1/2
.
−1/2
)
−1/2
=
−1/2
)
y
ρ
. (1.1.11)
=
22
1. ФОРМУЛИРОВКА ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 23
Теорема 1.1.1. Подмножества Σ0, Σ1, Σ2, Σ3границы Σ, определенные
для оператора L(u), остаются инвариантными при гладких несингулярных заменах независимых переменных в (1.1.1).
Доказательство. Инвариантность множества Σ3при замене независимых
переменных вида (1.1.8) следует из уравнения
akjnknj= akjΦ
l
F
y
x
l
k
Φ
s
F
(F
F
y
s
x
x
j
)−1= akjF
x
ρ
ρ
l
s
F
k
nlns(F
x
j
x
F
x
)−1(Φ
x
ρ
ρ
Φ
y
),
y
ν
ν
если в окрестности рассматриваемой точки граница Σ задается уравнением
(1.1.9), и ¯n0= (n
0
, . . . , n
1
0
) — нормальный вектор к Σ, направленный внутрь,
m
в пространстве (y1, . . . , ym). Инвариантность множеств Σ0, Σ1, Σ2следует
из инвариантности Σ3и леммы 1.1.1. Теорема доказана.
Теперь мы получим формулу Грина для оператора L(u). Пусть u и v
— функции из класса C
(1)
B
. Оператор L(u) можно записать в виде
L(u) ≡ (akju
Полагая bk− a
kj
= lk, мы получим
x
j
L(u)v − L∗(v)u ≡ (akjvu
(2)
(Ω ∪Σ), и пусть область Ω принадлежит классу
)
x
k
L∗(v) ≡ (akjv
+ (bk− a
x
j
)
x
x
j
k
− akjuv
x
k
− (lkv)
kj
x
j
x
x
)u
+ cu. (1.1.12)
x
k
+ cv,
k
)
x
k
+ (lkuv)
j
.
x
k
Интегрируя последнее тождество по области Ω и применяя формулу Остроградского, получим
ZZ
Z
(L(u)v − L∗(v)u)dx = −
Ω
Σ
[(akju
v − akjv
x
k
u)nj+ lkuvnk]dσ, (1.1.13)
x
k
где ¯n — нормальный вектор к Σ, направленный внутрь, и dσ — элемент
поверхности Σ.
Очевидно, что на Σ0уравнение akjnj= 0 выполняется при k = 1, . . . , m,
а на Σ3длина вектора ¯ν = (ν1, . . . , νm), где νk= akjnj, отлична от нуля. По
определению lknk= b. Поэтому из (1.1.13) следует, что
Z
(L(u)v − L∗(v)u)dx = −
Ω
Z
∂u
v
− u
∂¯ν
Σ
3
∂v
∂¯ν
dσ −
Z
buv dσ, (1.1.14)
Σ
где ∂/∂ ¯ν ≡ akjnj∂/∂xk. Формула (1.1.14) называется формулой Грина для
(1.1.1).
Предположим, что в окрестности некоторой точки P границы Σ уравнение для Σ имеет вид F (x1, . . . , xm) = 0, где grad F 6= 0 и F > 0 в Ω. Мы
рассмотрим на Σ функцию β ≡ L(F ). Легко видеть, что β инвариантна относительно замены независимых переменных в (1.1.1). Обозначим через Σ
0
1
0
, Σ
множества точек Σ0, в которых β = 0, β > 0, β < 0 соответственно.
2
0
0
∪ Σ
0
.
1
Σ
Пусть σ∗= Σ
0
0
,
23
24 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
Лемма 1.1.2. Предположим, что u ∈ C
и что область Ω принадлежит классу A
(2)
(Ω ∪ σ∗) и u ∈ C
. Тогда если или L(u) ≤ 0 и
(2)
(0)
(Ω ∪ Σ),
c < 0 в Ω ∪σ∗, или L(u) < 0 и c ≤ 0 в Ω ∪ σ∗, то u(x) может принимать
отрицательное значение только на Σ
классу B
(2)
, то вместо Σ
0
∪ Σ3следует рассматривать Σ \σ∗.
2
0
∪Σ3. Если область Ω принадлежит
2
Доказательство. Предположим, что функция u(x) принимает наименьшее
отрицательное значение во внутренней точке P области Ω.
Сделаем замену независимых переменных x = Ay, где A — постоянная
матрица и det kAk 6= 0. Выберем A таким образом, чтобы оператор L(u)
имел в точке P в новой системе координат каноническую форму
L(u) = αkju
Это означает, что в точке P коэффициенты αkj= 0 при k 6= j и что α
yky
+ βku
j
+ cu. (1.1.15)
y
k
kk
равны нулю или единице при k = 1, . . . , m. Так как по предположению
функция u имеет локальный минимум в P , отсюда следует, что в точке P
мы имеем u
= 0 и u
y
k
≥ 0. Следовательно, L(u) > 0 в точке P , если
yky
k
c < 0, и L(u) ≥ 0, если c ≤ 0, что противоречит предположениям леммы.
Теперь мы покажем, что наименьшее отрицательное значение u вообще
не может приниматься в точке из σ∗. От противного, предположим, что u
принимает наименьшее отрицательное значение в точке P , принадлежащей
σ∗. В окрестности P введем новые координаты y1, . . . , ymтаким образом,
чтобы граница Σ лежала на плоскости ym= 0 и внутренняя нормаль к Σ в
точке P совпадала с направлением оси ym. В новых переменных оператор
L(u) принимает вид (1.1.15).
Очевидно, в точках σ∗в некоторой окрестности P мы имеем α
mj
= 0
при j = 1, . . . , m и βm= β ≥ 0.
Выполняя, если нужно, еще одну замену координат, оставляющую инвариантной плоскость ym= const, мы можем считать, что оператор (1.1.15)
имеет канонический вид в точке P .
Так как функция u принимает минимальное отрицательное значение в
точке P , получаем, что в этой точке
u
= 0, u
y
k
≥ 0, k = 1, . . . , m − 1; u
yky
k
≥ 0.
y
m
Следовательно, в точке P неравенство L(u) > 0 выполняется, если c < 0,
в то время как L(u) ≥ 0, если c ≤ 0. Но это противоречит условию леммы. Следовательно, наименьшее отрицательное значение функция u может
принимать только в точке из Σ \σ∗.
Теорема 1.1.2 (принцип максимума). Допустим, что u ∈ C
что u ∈ C
(0)
(Ω ∪ Σ) и что область Ω принадлежит классу A
(2)
(Ω ∪ σ∗),
. Пусть
(2)
c < 0 на Ω ∪Σ и пусть L(u) = f в Ω ∪σ∗. Тогда
f
|u| ≤ maxsup
Ω
c
, max
0
Σ
2
24
|u|= M. (1.1.16)
∩Σ
3
2. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ В ПРОСТРАНСТВАХ LP(Ω) 25
Если c < 0 на Ω ∪Σ и L(u) = 0 в Ω, то в точках Ω
|u| ≤ max
Σ
Если область принадлежит классу B
следует рассматривать Σ \σ∗. (В случае Σ
|u|. (1.1.17)
0
∩Σ
3
2
, то вместо множества Σ
(2)
0
∩Σ3= ∅ положим max
2
Σ
0
2
∩Σ
0
∩ Σ
2
|u| =
3
0.)
Доказательство. Рассмотрим функцию
v±= M ± u.
Тогда в Ω ∪σ∗имеем
L(v±) = cM ± f ≤ 0,
так как M ≥ sup |f/c|. Следовательно, по лемме 1.1.2 функция v±может
принимать наименьшее отрицательное значение только в точке из Σ \ σ∗.
Но на Σ \ σ∗функция v±= M ± u ≥ 0. Следовательно, v±≥ 0 в Ω ∪ Σ и
|u| ≤ M, т.е. выполняется (1.1.16).
Неравенство (1.1.17) является следствием (1.1.16). Теорема доказана.
Теорема, близкая к теореме 1.1.2, была получена другим методом в [167]
(см. также главу 1, §2). Легко доказать, что внутренние точки Σ0∪ Σ
0
содержатся в множестве Σ
0
∪ Σ
0
.
1
В главе 1, §5 мы докажем теорему, в некотором смысле более общую, чем
теорема 1.1.2, а именно, мы докажем принцип максимума для обобщенных
решений уравнения (1.1.1).
Отметим, что в доказательстве теоремы 1.1.2 гладкой предполагалась
0
только та часть Σ, которая лежит в Σ
0
0
∪Σ
. Теорема 1.1.2 включает извест-
1
ные принципы максимума для эллиптических и параболических уравнений.
Отметим также, что условие c < 0 в теореме 1.1.2 существенно, и его
нельзя заменить условием c ≤ 0. Действительно, для уравнения
3
1
в кольце Ω вида
1
2
< x
L(u) ≡ x
2
2
+x
1
2
∂u
1
∂x
2
< 1 вся граница принадлежит Σ0, но уравнение
− x
∂u
∂x
= 0
1
2
справедливо для любой функции u = const 6= 0, и (1.1.17) в этом случае не
выполняется.
2 Априорные оценки в пространствах Lp(Ω)
В этом параграфе мы получим априорные оценки для гладких решений
задачи
L(u) ≡ akju
u = 0 на Σ2∪ Σ3,
xkx
+ bku
j
25
+ cu = f в Ω,
x
k
(1.2.1)
26 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
которые понадобятся позже при доказательстве теорем существования для
этой задачи. Предположим, что для оператора L(u) и области Ω справедлива формула Грина (1.1.14). Введем обозначение
kuk
Lp(Ω)
=
Z
|u|pdx
Ω
!
1/p
, kuk
Lp(Σj)
=
Z
Σ
j
|u|pdσ
!
1/p
.
Результаты, приведенные в этом и двух следующих параграфах, были получены Фикерой [167].
Лемма 1.2.1. Пусть u ∈ C
(2)
(Ω ∪ Σ), u = 0 на Σ2∪ Σ3и p — любое
число такое, что 1 ≤ p < ∞. Предположим, что существует функция
w ∈ C
(2)
(Ω ∪Σ), удовлетворяющая условию
w ≤ 0, L∗(w) + c(p − 1)w в Ω ∪ Σ. (1.2.2)
Тогда
max
p|w|
kuk
Lp(Ω)
≤
min
Ω∪Σ
Ω∪Σ
[L∗(w) + (p − 1)cw]
kLuk
. (1.2.3)
Lp(Ω)
Доказательство. Применим формулу Грина (1.1.14) к функциям w и (u2+
p/2
δ)
, где δ > 0 — произвольное число. Имеем
Z
L∗(w)(u2+ δ)
Ω
Z
=
bw(u2+ δ)
p/2
p/2
dx −
dσ −
Z
wL((u2+ δ)
Ω
Z
(u2+ δ)
p/2
p/2
) dx =
∂w
dσ, (1.2.4)
∂ν
Σ
Σ
3
помня, что
∂ν
p/2
= p(u2+ δ)
p/2−1uakj
u
x
nj= 0
k
∂(u2+ δ)
на Σ3. Легко видеть, что
L((u2+ δ)
p/2
) = p(u2+ δ)
+akju
p/2−1
uL(u) + c(u2+ δ)
u
x
k
p(u2+ δ)
j
x
p/2−2
[(p −1)u2+ δ]
p/2−1
[(1 −p)u2+ δ]+
Так как неравенство b > 0 выполняется на Σ1и, более того, akju
p ≥ 1, w ≤ 0, получаем, что
Z
{L∗(w)(u2+ δ)
p/2
− w(u2+ δ)
p/2−1
c[(1 −p)u2+ δ]}dx ≤
u
x
≥ 0,
x
j
k
≤
Ω
Z
Ω
wp(u2+ δ)
p/2−1
uL(u) dx + δ
p/2
26
Z
Σ2∪Σ
bw dσ −
3
Z
∂w
dσ. (1.2.5)
∂ν
Σ
3
2. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ В ПРОСТРАНСТВАХ LP(Ω) 27
Теперь устремим δ к нулю в (1.2.5). Если p > 1, то (u2+ δ)
при δ → 0. Если p = 1, то |(u2+ δ)
lim
δ→0
(u2+ δ)
p/2{L∗
(w) −cw(u2+ δ)−1[(1 −p)u2+ δ]} = |u|p{L∗(w) −(1 −p)cw}.
−1/2
u| ≤ 1. При p ≥ 1
p/2−1
u → |u|
p−2
Следовательно, из (1.2.5) получаем, что
Z
|u|pdx ≤
Ω
p max
min
[L∗(w) + (p − 1)cw]
Ω∪Σ
|w|
Ω∪Σ
Z
p−1
|u|
Ω
|L(u)|dx. (1.2.6)
Применяя неравенство Г¨ельдера к интегралу в правой части (1.2.6), мы
получим (1.2.3).
Теорема 1.2.1. Если c < 0 в Ω ∪ Σ, то для всех достаточно больших p
таких, что −c∗+ (1 −p)c > 0 в Ω ∪Σ, и для всех функций u ∈ C
(2)
(Ω ∪Σ),
удовлетворяющих условию u = 0 на Σ2∪ Σ3, выполняется оценка
p
kuk
Lp(Ω)
≤
min
[−c∗+ (1 − p)c]
Ω∪Σ
kL(u)k
. (1.2.7)
Lp(Ω)
u
Если c∗< 0 в Ω ∪ Σ, то оценка (1.2.7) выполняется для p, достаточно
близкого к 1 и такого, что −c∗+ (1 −p)c > 0 в Ω ∪ Σ. Если c∗< 0 и c < 0,
то (1.2.7) выполняется для всех p ≥ 1 и всех u ∈ C
(2)
(Ω ∪Σ) таких, что
u = 0 на Σ2∪ Σ3.
Доказательство теоремы 1.2.1 следует из леммы 1.2.1, так как в рассматриваемых случаях можно положить w = −1.
Замечание. Если c < 0, u ∈ C
(2)
(Ω ∪ Σ) и u = 0 на Σ2∪ Σ3, то в (1.2.7)
можно перейти к пределу при p → ∞. Действительно, допустим, что число
p0таково, что −c∗+(1−p0)c > 0. Тогда при p > p0мы имеем −c∗+(1−p)c >
c(p0− p), и оценку (1.2.7) можно записать в виде
p
kuk
Lp(Ω)
≤
(p −p0) min
Ω∪Σ
kL(u)k
|c|
. (1.2.8)
Lp(Ω)
Переходя к пределу при p → ∞ в (1.2.8), получим следующий вариант
принципа максимума: для любой функции u ∈ C
(2)
(Ω ∪Σ) с условием u = 0
на Σ2∪ Σ3выполняется неравенство
max
|L(u)|
max
Ω∪Σ
|u| ≤
Ω∪Σ
min
Ω∪Σ
. (1.2.9)
|c|
Теорема 1.2.2. Пусть для некоторого p ≥ 1 существует функция w ∈
(2)
C
(Ω ∪Σ), удовлетворяющая условию
w ≤ 0, L∗(w) + (p − 1)cw > 0 на Ω ∪ Σ, w = 0 на Σ3.
27
28 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
Тогда если u ∈ C
(2)
(Ω ∪Σ) — произвольная функция такая, что L(u) = 0,
то выполняется неравенство
kuk
Lp(Ω)
≤ Kpkuk
Lp(Σ2)
+ K
0
kuk
p
Lp(Σ3)
, (1.2.10)
где
Kp=
(
sup
|bw|
Σ
2
min
[L∗(w) + (p − 1)cw]
Ω∪Σ
)
1/p
; K
(
0
=
p
sup
|akjw
Σ
3
min
[L∗(w) + (p − 1)cw]
Ω∪Σ
x
k
nj|
)
1/p
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 1.2.1, применим (1.1.14)
к функциям w и (u2+ δ)
p/2
. Из (1.2.4) и свойств функций u и w следует,
что
Z
n
(u2+ δ)
Ω
p/2L∗
Z
≤
(w) −cw(u2+ δ)
bw(u2+ δ)
p/2
dσ −
p/2−1
Z
(u2+ δ)
[(1 −p)u2+ δ]odx ≤
∂w
p/2
dσ.
∂ν
Σ
2
Σ
3
.
Устремляя δ к нулю в последнем неравенстве, находим
Z
|u|p[L∗(w) + (p − 1)cw] dx ≤
Ω
Z
wb|u|pdσ +
Σ
2
Z
p
|u|
Σ
3
∂w
∂ν
dσ.
Очевидно, отсюда следует (1.2.10). Теорема доказана.
3 Lp(Ω)− разрешимость первой краевой зада-
чи
Пусть функция u принадлежит классу C
Обозначим через V класс функций v, принадлежащих C
что v = 0 на Σ3∪ Σ1. Тогда из (1.1.14) следует, что
Z
uL∗(v) dx =
Ω
Определение. Функция u ∈ Lp(Ω) называется слабым решением задачи
(2)
Z
vL(u) dx.
Ω
(Ω ∪ Σ) и u = 0 на Σ2∪ Σ3.
(2)
(Ω ∪ Σ), таких,
L(u) = f в Ω, (1.3.1)
u = 0 на Σ2∪ Σ3, (1.3.2)
если для любой функции v из класса V выполнено уравнение
Z
vf dx =
Ω
Z
uL∗(v) dx. (1.3.3)
Ω
28
3. LP(Ω)− РАЗРЕШИМОСТЬ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 29
Теорема 1.3.1. Если c∗< 0 и c < 0 в Ω, p > 1, то для любой f ∈ Lp(Ω)
существует слабое решение задачи (1.3.1), (1.3.2), удовлетворяющее неравенству
inf
u0∈Z
ku + u0k
Lp(Ω)
≤ Kkfk
, K = const, (1.3.4)
Lp(Ω)
где Z — множество функций u0из класса Lp(Ω), удовлетворяющих условию
Z
u0L∗(v) dx = 0
Ω
для любой функции v из V .
Доказательство. По теореме 1.2.1 любая функция v из класса C
(2)
(Ω ∪ Σ)
такая, что v = 0 на Σ3∪ Σ1, удовлетворяет неравенству
q
kvk
Lq(Ω)
≤
min
[−c + (1 −q)c∗]
Ω∪Σ
kL∗vk
Lq(Ω)
(1.3.5)
для любого q ≥ 1, так как множество Σ2для оператора L∗(v) то же самое,
что и множество Σ1для оператора L(u). Рассмотрим
Z
fv dx
Ω
как функционал от v в пространстве Lq(Ω), где 1/q + 1/p = 1. Применяя
неравенство Г¨ельдера и оценку (1.3.5), получим
Z
fv dx
Ω
≤ kf k
Lp(Ω)
kvk
Lq(Ω)
≤ KqkL∗(v)k
Lq(Ω)
kfk
, (1.3.6)
Lp(Ω)
где
q
Kq=
min
[−c + (1 −q)c∗]
Ω∪Σ
.
Пусть˜Lq(Ω) — подпространство пространства Lq(Ω), полученное замыканием в Lq(Ω) множества функций вида L∗(v), где v принадлежит классу V .
Легко видеть, что пространство функционалов на˜Lq(Ω) совпадает с факторпространством Lp(Ω)/Z, где Z — подпространство Lp(Ω), состоящее из
функций z таких, что
Z
L∗(v)z dx = 0
Ω
для любого v из V . Действительно, по теореме Хана–Банаха [251] каждый
функционал на˜Lq(Ω) можно продолжить на Lq(Ω) и, следовательно, каж-
дый функционал на˜Lq(Ω) можно записать в виде
Z
uL∗(v) dx, (1.3.7)
Ω
29
30 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
где u ∈ Lp(Ω). Очевидно, что каждый смежный класс факторпространства
Lp(Ω)/Z порождает единственный функционал вида (1.3.7) в˜Lq(Ω).
Из (1.3.6) следует, что
R
fv dx — линейный непрерывный функционал
Ω
от L∗v в˜Lq(Ω) и, следовательно, его можно представить в виде (1.3.7), где
функция u из пространства Lp(Ω). Следовательно,
Z
fv dx =
Ω
Z
uL∗(v) dx,
Ω
где u — любой элемент из соответствующего смежного класса в Lp(Ω)/Z.
Очевидно, что любое такое u удовлетворяет неравенству
Z
uL∗(v) dx
Ω
≤ kf k
Lp(Ω)
kvk
Lq(Ω)
≤ Kqkfk
Lp(Ω)
kL∗(v)k
Lq(Ω)
.
Отсюда следует, по определению нормы функционала в˜Lq(Ω), что
inf
u0∈Z
ku + u0k
Lp(Ω)
≤ Kkf k
Lp(Ω)
.
Теорема доказана.
Теорема 1.3.2. Пусть c < 0 в Ω ∪Σ, 1/p + 1/q = 1 и q таково, что −c +
(1 − q)c∗> 0 в Ω ∪Σ. Тогда если f (x) ∈ Lp(Ω), то существует обобщенное
решение задачи (1.3.1), (1.3.2), удовлетворяющее условию (1.3.4).
Теорема 1.3.3. Пусть c∗< 0 в Ω∪Σ и пусть q таково, что −c+(1−q)c∗>
0 в Ω ∪Σ и 1/p + 1/q = 1. Тогда для любой f (x) ∈ Lp(Ω) существует обоб-
щенное решение задачи (1.3.1), (1.3.2), удовлетворяющее условию (1.3.4).
Теоремы 1.3.2 и 1.3.3 доказываются в точности так же, как теорема 1.3.1.
Из этих теорем следует, что при c < 0 задача (1.3.1), (1.3.2) разрешима
для достаточно большого p, а при c∗< 0 эта задача разрешима при p,
достаточно близком к 1.
Теоремы существования для решений задачи (1.3.1), (1.3.2) в пространствах Lp(Ω) доказаны другим методом в главе 1, § 5.
4 Слабое решение первой краевой задачи
Чтобы доказать существование слабого решения задачи (1.3.1), (1.3.2), используем метод, основанный на теореме Рисса, который ранее использовался при изучении краевых задач для эллиптических уравнений и систем (см.,
например, [10, 172, 155]).
Определение слабого решения задачи (1.3.1), (1.3.2) в некотором гильбертовом пространстве H основано на следующих рассмотрениях.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]