Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие
.pdf
4. СЛАБОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 31
Пусть u — функция в C
— функция в C
(1)
(Ω ∪ Σ), равная нулю на Σ3. Интегрируя по частям, мы
(2)
(Ω ∪ Σ), равная нулю на Σ2и Σ3, и пусть v
получим следующее тождество:
Z
vL(u) dx = −
Ω
Множество функций v из класса C
Z
Ω
[akjv
Z
u
k
+(bk−a
x
j
x
kj
x
)v
x
j
(1)
k
k
+(b
kj
−a
x
k
−c)uv] dx−
xkx
j
Si
uvb dσ.
1
(Ω ∪Σ), равных нулю на Σ3, будем
обозначать W . Для функций из W введем скалярное произведение
(u, v)H≡
Z
Ω
(akju
v
x
j
k
+ uv) dx +
x
Z
Σ1∪Σ
uv|b|dσ (1.4.1)
2
и обозначим через H гильбертово пространство, полученное замыканием W
по норме, порожденной этим скалярным произведением.
Для u и v из W рассмотрим билинейную форму
B(u, v) = −
Z
Ω
(akju
v
x
j
k
+ u(bk−a
x
kj
x
)v
x
k
j
+ (b
k
x
k
−a
kj
−c)uv] dx −
xkx
j
Z
Si
uvb dσ.
1
(1.4.2)
Мы покажем, что определение B(u, v) можно продолжить таким образом,
чтобы оно применялось ко всем функциям u из H и v из W . Действительно,
для u и v из W имеем:
|B(u, v)| ≤ M
Z
[v
v
x
k
k
+ v2] dx +
x
Ω
Si
Z
1
v2dσ
!
1/2
kukH, (1.4.3)
где M — постоянная, зависящая только от коэффициентов уравнения (1.3.1).
Из (1.4.3) следует, что при фиксированном v в W можно рассматривать
B(u, v) как линейный ограниченный функционал на H.
Определение. Пусть f ∈ L2(Ω). Функция u из H называется слабым реше-
нием задачи (1.3.1), (1.3.2), если для любой функции v из W выполняется
равенство
Z
vf dx = B(u, v). (1.4.4)
Ω
Замечание. Слабое решение u в пространстве H, определенное выше, яв-
ляется также слабым решением той же самой задачи в пространстве L2(Ω),
определенном условием (1.3.3).
Действительно, если u из H удовлетворяет условию (1.4.4), то должна
существовать последовательность unиз W , приближающая u по норме пространства H и такая, что B(un, v) → B(u, v) при n → ∞. Если функция v
принадлежит классу C
(2)
(Ω ∪Σ) и равна нулю на Σ1∪ Σ3, то билинейную
31
32 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
форму B(un, v) можно преобразовать интегрированием по частям таким
образом, чтобы
Z
Z
B(un, v) =
L∗(v)undx и B(un, v) = B(u, v) =
Ω
L∗(v)u dx.
Ω
Таким образом, для такого v выполняется уравнение
Z
B(u, v) =
L∗(v)u dx.
Ω
Это означает, что слабое решение u задачи (1.3.1), (1.3.2) в смысле (1.4.4)
является также слабым решением этой задачи в смысле (1.3.3), так как
любая функция u из H является также элементом L2(Ω).
Теорема 1.4.1. Пусть неравенство
1
b
2
1
k
x
k
−
kj
a
2
− c ≥ c0> 0
xkx
j
выполняется в¯Ω, и пусть f ∈ L2(Ω). Тогда существует функция u из H,
являющаяся слабым решением задачи (1.3.1), (1.3.2) в смысле (1.4.4).
Доказательство. Так как B(u, v) — линейный непрерывный функционал
на H для любого v из W , по теореме Рисса о представлении линейных
непрерывных функционалов в гильбертовом пространстве получаем, что
B(u, v) = (u, T (v))H,
где T (v) — линейный оператор на W с областью значений в H.
Пусть v ∈ W . Так как по предположению
получаем, что
Z
1
|B(v, v)| =
Ω
+
Z
1
2
Σ
akjv
x
v2b dσ −
1
v
+
x
j
k
2
Z
1
2
Σ
2
1
k
b
x
2
1
k
b
x
k
−
kj
a
xkx
2
v2b dσ ≥ αkvk
−
k
− cv
j
2
H
1
kj
a
xkx
2
j
2
dx+
,
α = const > 0.
В свою очередь, из этого следует, что
kvk
2
H
1
≤
|B(v, v)| =
α
1
|(v, T (v))H| ≤
α
1
kvkHkT (v)k
α
H
и, следовательно,
1
kvkH≤
kT (v)kH. (1.4.5)
α
− c > 0 в Ω,
32
5. МЕТОД ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ 33
Из оценки (1.4.5) следует, что отображение W в H, определенное оператором T , взаимно однозначно. Обозначим через H0замыкание множества
T (v) по норме H, где v ∈ W . Так как
Z
Ω
fv dx
≤ kf k
L2(Ω)
kvk
L2(Ω)
≤ kf k
L2(Ω)
kvkH≤
1
α
kfk
L2(Ω)
kT vkH,
Z
интеграл
fv dx можно рассматривать как линейный непрерывный функ-
Ω
ционал на H0. Следовательно, по теореме Рисса существует функция u в H
такая, что
Z
fv dx = (u, T v)H≡ B(u, v)
Ω
для любого v из W , т.е. u является слабым решением задачи (1.3.1), (1.3.2)
в смысле (1.4.4). Теорема доказана.
5 Метод эллиптической регуляризации
В области Ω с границей Σ рассмотрим первую краевую задачу для уравнения
L(u) ≡ akju
с граничным условием
Будем считать, что коэффициенты оператора L(u), а также коэффициенты сопряженного оператора L∗(u), принадлежат некоторому пространству
0,α
C
(Ω∪Σ), и предположим, что область Ω принадлежит классу B
В этом параграфе мы получим решение задачи (1.5.1), (1.5.2) в различных
функциональных пространствах методом эллиптической регуляризации.
xkx
+ bku
j
+ cu = f, akj(x)ξkξj≥ 0 (1.5.1)
x
k
u = g на Σ2∪ Σ3. (1.5.2)
2,α
, α > 0.
0
Определение. Ограниченная измеримая функция u(x) называется сла-
бым решением первой краевой задачи (1.5.1), (1.5.2), если для любой функ-
ции v из класса C
(2)
(Ω ∪ Σ), равной нулю на Σ1∪ Σ3, выполняется инте-
гральное тождество
Z
Z
Z
Z
∂v
uL∗(v) dx =
vf dx −
g
dσ +
bgv dσ, (1.5.3)
∂¯ν
Ω
Ω
Σ
3
Σ
2
где ∂/∂ ¯ν ≡ akjnk∂/∂vj, dσ — поверхностный элемент площади на Σ, а f и
g — ограниченные измеримые функции, заданные, соответственно, на Ω и
Σ2∪ Σ3.
Ниже мы дадим условия, при которых такое решение существует в гладких и кусочно-гладких областях, а также рассмотрим решения в пространствах Lp(Ω) (см §3 выше). Очевидно, что каждое классическое решение
33
34 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
задачи (1.5.1), (1.5.2), если оно существует, является также слабым решением этой задачи в смысле интегрального тождества (1.5.3). Для гладких
функций f и g слабое решение задачи (1.5.1), (1.5.2) можно получить как
предел при ε → 0 решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений
Lε(u) ≡ ε∆u + L(u) = f, ε = const > 0, (1.5.4)
с подходящими граничными условиями.
Обозначим через Γ границу множества Σ0∪Σ2на Σ. Предположим, что
kj
a
непрерывны в Ω ∪ Σ.
x
l
Предположим, что в окрестности некоторой точки P на границе Σ об-
ласти Ω уравнение границы Σ имеет вид
F (x1, . . . , xm) = 0, gradF 6= 0, F > 0 в Ω. (1.5.5)
На Σ рассмотрим функцию
β ≡ L(F ), (1.5.6)
введенную выше в §1. В точках, внутренних по отношению к Σ0(или пределах внутренних точек) и таких, что (∂akj/∂¯n)nknj= 0, функция β совпадает с точностью до положительного сомножителя с функцией b (функцией
Фикеры), определенной условием (1.1.3). Действительно, так как akjF
≡ 0
x
k
и akjnj≡ 0 на Σ0, получаем
β ≡ (akjF
∂a
=
∂¯n
kj
)
x
k
F
+ (bk− a
x
j
nj+ akjn
x
k
kj
x
j
)F
j
∂F
∂¯n
x
x
k
=
k
+ b(F
∂
∂¯n
(akjF
F
x
x
k
)nj+ (F
x
k
1/2
)
k
= b(F
1/2
F
)
x
x
k
F
x
x
k
k
b =
k
1/2
)
Легко видеть, что условие (∂akj/∂¯n)nknj= 0 выполняется в точке P на границе Σ0, если в некоторой полной окрестности точки P форма akjξkξjопределена и неотрицательна, а a
kj
непрерывны. В общем случае (∂akj/∂¯n)nknj≥
x
l
0 на Σ0.
Обозначим через σ множество точек Σ0, в которых β ≤ 0. Обозначим
через Mjпостоянные, независимые от ε. В дальнейшем понадобится следующая лемма.
Лемма 1.5.1. Пусть u(x) удовлетворяет в Ω уравнению (1.5.4), u ∈ C
(2)
(Ω∪
Σ), u = 0 на Σ, |f| ≤ M0и c(x) ≤ −c0< 0, где c0= const > 0. Пусть мно-
жество G на Σ таково, что¯G лежит внутри Σ3∪σ и β < 0 в граничных
точках Σ3, принадлежащих¯G. Тогда в точках G
|uxj| ≤ M1ε
−1/2
, j = 1, . . . , m. (1.5.7)
Во всех точках Σ
|uxj| ≤ M2ε−1, j = 1, . . . , m. (1.5.8)
Доказательство. Пусть P0⊂ G. В окрестности P0перейдем к локальным
координатам y1, . . . , ymс началом в точке P0таким, что Σ в окрестности P
34
0
5. МЕТОД ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ 35
лежит в плоскости ym= 0, т.е. положим yk= Fk(x1, . . . , xm), k = 1, . . . , m,
Fm≡ F (x1, . . . , xm). Пусть δ > 0 настолько мало, что множество точек
Q0{ρ2= y
2
+ ··· + y
1
2
≤ 4δ2} содержится в Σ3∪ σ и β < 0 в граничных
m−1
точках Σ3, принадлежащих Q0. Рассмотрим функцию
(
1/2
ψ(ρ) =
ε
1/2
ε
[1 −27−1(ρ2− δ2)3δ−6] при δ ≤ ρ ≤ 2δ.
при ρ ≤ δ,
В области Qδ{0 ≤ ρ < 2δ, 0 < ym< ψ(ρ)} рассмотрим функцию w =
K0(e−z− 1), где z = K1(ym+ ε
1/2
− ψ)ε
−1/2
. Здесь K0и K1— постоянные,
независимые от ε, которые мы выберем позже. Уравнение (1.5.4) в переменных y1, . . . , ymимеет вид
Lε(u) ≡ εµkju
yky
+ ενju
j
+ αkju
y
j
yky
+ βju
j
+ cu = f. (1.5.9)
y
j
Легко видеть, что в точках Σ коэффициент βm= β. По определению, β ≤ 0
на σ. Подсчитаем Lε(w). Имеем
Lε(w) = K0e
m−1
X
+
k,j=1
+"αmmK
m−1
X
+
αkjK1ψ
k,j=1
(ε"
−z
µkjK1ψ
2
1
µmmK
yky
ε−1− 2
−1/2
ε
yky
j
2
ε−1− 2
1
−1/2
ε
j
m−1
X
αmjK
j=1
− βmK1ε
m−1
X
µmjK
j=1
− νmK1ε
2
ψ
ε−1+
y
1
j
−1/2
−1/2
m−1
X
+
j=1
2
ψ
1
+
m−1
X
k,j=1
ε−1+
y
j
m−1
X
j=1
αkjK
βjK1ψ
m−1
X
k,j=1
νjK1ψ
2
ψ
1
−1/2
ε
y
j
µkjK
2
1
#
−1/2
ε
y
j
−1
ψ
y
ε
y
j
k
+ c)− cK0.
ψ
+
#
ψ
y
ε−1+
y
j
k
+
(1.5.10)
Отметим, что в области Qδмы имеем
|ψ| ≤ ε
1/2
, |ψ
| ≤ M3ε
y
j
1/2
, |ψ
yky
| ≤ M4ε
j
1/2
. (1.5.11)
В точках σ ∩ Q0коэффициент βm≤ 0. Так как по определению β < 0
в точках Σ0∩ Q0, являющихся предельными точками Σ3, получаем, что
βm≤ 0 в некоторой окрестности множества σ ∩Q0на Σ, которое обозначим
через G0.
Следовательно, в точках подобласти Q
0
области Qδ, проекции которых
δ
на плоскость ym= 0 принадлежат G0, выполняется неравенство
−βmK1ε
В точках Q0\ G0, очевидно, α
−1/2
≥ −K1M5. (1.5.12)
mm
≥ α0> 0, и, следовательно, для малых
ε в точках области Qδ, проекции которых на ym= 0 лежат в Q0\ G0,
выполняется неравенство α
mm
≥ α0/2 > 0. Назовем множество таких точек
35
36 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
1
Q
. В точках Q
δ
1
члены в скобках в уравнении (1.5.10) ограничены снизу
δ
постоянной, не зависящей от ε, так как в этих точках выполняются (1.5.11)
и (1.5.12), форма akjξkξjнеотрицательна, а члены в первой скобке больше,
чем M6K
большим, мы получим, что Lε(w) ≥ c0K0в Q
В точках Q
ном αmmK
2
ε−1, где M6= const > 0. Следовательно, выбирая K1достаточно
1
1
знак Lε(w) для достаточно маленького ε определяется чле-
δ
2
ε−1и, следовательно, Lε(w) ≥ c0K0в Q
1
0
.
δ
1
.
δ
Выбирая K0достаточно большим, получим
Lε(w ± u) ≥ c0K0± f > 0 в Qδ.
На границе Qδвыполнено неравенство
w ± u ≤ 0,
если K0достаточно велико, так как w ≤ 0 и u = 0 при ym= 0 и w ≤
−maxΩ|u| при ym= ψ и при большом K0. Следовательно, в силу принципа
максимума для эллиптического уравнения (1.5.4) мы имеем w±u ≤ 0 всюду
в Qδ. Так как w = u = 0 на Σ при ρ ≤ δ, в этих точках (w ± u)
следовательно, |u
| ≤ K0K1ε
y
m
−1/2
. Этого достаточно для доказательства
y
m
≤ 0 и,
(1.5.7) в точках¯G.
Оценка (1.5.8) на Σ получается аналогично. Рассмотрим функцию˜ψ(ρ),
определенную уравнениями
(
˜
ψ(ρ) =
ε при ρ ≤ δ,
ε[1 −27−1(ρ2− δ2)3δ−6] при δ ≤ ρ ≤ 2δ.
Пусть ˜w = K0(e
−˜z
− 1), где
˜z = K1(ym+ ε −˜ψ)ε−1.
В области˜Qδ{0 ≤ ρ < 2δ, 0 < ym<˜ψ(ρ)} подсчитаем Lε( ˜w). Имеем
(ε"
Lε( ˜w) = K0e
+
+αmmK
m−1
X
+
αkjK
k,j=1
−˜z
m−1
X
k,j=1
ψ
1
µkjK
2
ε−2+
1
˜
yky
µmmK
ε−1+
j
2
˜
ψ
1
k,j=1
2
1
y
k
m−1
X
ε−2− 2
˜
ψ
y
j
αkjK
m−1
X
j=1
Выражение в скобках, умноженное на ε, больше, чем M7K
m−1
X
µmjK
j=1
2
ψ
1
ε−2− νmK1ε−1+
2
˜
˜
ψ
ψ
ε−2− 2
y
j
k
˜
ε−1− βmK1ε−1+ c)− cK0. (1.5.13)
y
j
βjK
y
1
ψ
1
˜
y
ε−2+
j
m−1
X
j=1
m−1
X
j=1
m−1
k,j=1
νjK
αmjK
X
˜
ψ
1
µkjK
ε
y
j
2
˜
ψ
1
˜
ψ
1
yky
#
−1
+
ε−2+
y
j
2
ε−1для ма-
1
ε−1+
j
лого ε, где M7= const > 0; оставшиеся члены в правой части (1.5.13) можно
36
5. МЕТОД ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ 37
оценить снизу величиной M8K1ε−1. Следовательно, для достаточно большого K1и малого ε мы имеем Lε(w) ≥ c0K0.
Далее, рассматривая в˜Qδфункцию ˜w ± u, мы получим, как выше, что
˜w ±u ≤ 0 в˜Qδи |u
| ≤ K0K1ε−1на Σ. Следовательно, неравенство (1.5.8)
y
m
выполняется. Лемма доказана.
Замечание. В условиях леммы 1.5.1 предположение, что β < 0 в гранич-
ных точках Σ3, можно заменить требованием, чтобы β ≤ 0 в некоторой
окрестности границы Σ3.
Теорема 1.5.1. В уравнении (1.5.1) предположим, что c(x) ≤ −c0< 0,
f — ограниченная измеримая функция в Ω, g — ограниченная измеримая
функция на Σ2∪ Σ3и β ≤ 0 во внутренних точках Σ2∪ Σ0. Тогда в Ω существует слабое решение краевой задачи (1.5.1), (1.5.2), удовлетворяющее
неравенству (принципу максимума)
|u| ≤ maxsup
Доказательство. Пусть fn∈ C
(1)
(¯Ω), fn→ f при n → ∞ по норме L2(Ω)
и |fn| ≤ sup |f|, и пусть функции gnопределены в¯Ω, gn∈ C
при n → ∞ по норме L2(Σ2∪ Σ3) и |gn| ≤ sup
, sup |g|. (1.5.14)
c
0
(2,α)
(¯Ω), gn→ g
Σ2∪Σ
|g|. Пусть u
3
— решение
ε,n
задачи
|f|
Lε(u) = f
в Ω, u = gnна Σ. (1.5.15)
n
Согласно условиям гладкости, наложенным на область Ω, коэффициентам
уравнения (1.5.1) и функциям gnи fn, такое решение u
дачи (1.5.15) существует и принадлежит классу C
принципа максимума для решений u
эллиптического уравнения (1.5.15)
ε,n
(2,α)
эллиптической за-
ε,n
(¯Ω) (см. [206]). В силу
мы имеем неравенство
|f|
|u
Так как для z
ε,n
= u
| ≤ max
ε,n
− gnмы имеем
ε,n
, sup |g|. (1.5.16)
c
0
Lε(z
) = fn− Lε(gn) в Ω, z
ε,n
лемма 1.5.1 справедлива для z
для u
. Пусть v ∈ C
ε,n
(2)
(Ω ∪ Σ) и v = 0 на Σ1∪ Σ3. Применяя формулу
Грина, получаем:
Z
Z
fnv dx =
+
Z
Ω
Z
∂v
εu
ε,n
Σ
dσ +
∂¯n
Σ
Ω
∂v
g
n
∂¯ν
3
= 0 на Σ,
ε,n
при фиксированном n и, следовательно,
ε,n
Z
ε∆vu
dσ −
dx +
ε,n
Z
bgnv dσ −
Ω
L∗(v)u
Z
ε,n
εv
dx+
∂u
ε,n
dσ. (1.5.17)
∂¯n
Σ
2
37
Σ0∪Σ
2
38 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
Из (1.5.16) следует, что {u
довательность u
слабо сходится к unпри εk→ 0 в пространстве L2(Ω).
εk,n
} слабо компактно в L2(Ω). Пусть подпосле-
ε,n
Переходя к пределу в (1.5.17) при εk→ 0, мы получим, что unудовлетворяет интегральному тождеству
Z
Z
Z
Z
∂v
unL∗(v) dx =
Ω
fnv dx −
Ω
g
Σ
3
dσ +
n
∂¯ν
bgnv dσ. (1.5.18)
Σ
2
Последний интеграл в (1.5.17) стремится к нулю при εk→ 0. Это очевид-
но, поскольку в δ-окрестности Γδграницы Γ множества Σ0∪ Σ2производную ∂u
/∂n можно оценить при фиксированном n с помощью неравенства
ε,n
(1.5.8), так как v = 0 на Γ и площадь Σ конечна, а на (Σ0∪Σ2) \Γδусловие
β ≤ 0 выполняется, так что (1.5.7) выполняется для u
на (Σ0∪ Σ2) \Γδ.
ε,n
Следовательно, этот интеграл можно сделать как угодно малым, выбирая
достаточно малые δ и ε.
Из последовательности {un} выберем подпоследовательность, слабо сходящуюся в L2(Ω) к функции u при nk→ ∞. Тогда, переходя к пределу в
интегральном тождестве (1.5.18) при nk→ ∞, мы получим утверждение
теоремы. Оценка (1.5.14) для функции u следует из неравенства (1.5.16)
для функций u
ε,n
.
Теорема 1.5.2. Если функция g непрерывна в окрестности Σ3∪Σ2на Σ,
то слабое решение u(x), построенное в теореме 1.5.1, непрерывно в точках Σ3и точках Σ2, являющихся внутренними точками или пределами
внутренних точек Σ2, и принимает заданные значения g.
Доказательство. Пусть P0— точка из Σ3∪ Σ2. Преобразуем уравнение
(1.5.4) с помощью локальных координат y1, . . . , ymв окрестности точки P0;
эти координаты выбраны таким образом, что Σ лежит в плоскости ym= 0 и
ym> 0 в Ω. Пусть уравнение (1.5.4) имеет в новых координатах вид (1.5.9).
В окрестности точки P0для ym≥ 0 рассмотрим функцию
m−1
X
w = y
ν
m
+
j=1
2
y
, γ = const, 0 < γ < 1.
j
Легко видеть, что если P0— точка из Σ3, то
m−1
X
+ ε
2µjj+ ενmγy
j=1
αjj+ γβmy
ν−1
m
+
ν−1
+
m
m−1
X
βj2yj+ cw < 0
j=1
+ε
Lε(w) = εµmmγ(γ − 1)y
m−1
X
νj2yj+ αmmγ(γ − 1)y
j=1
ν−2
m
ν−2
m
+ 2
m−1
X
j=1
в некоторой окрестности P0для ym> 0, так как для малых значений y
знак Lε(w) определяется членом αmmγ(γ − 1)y
ν−2
. Если P0— внутренняя
m
m
точка Σ2или предел внутренних точек Σ2, то по определению Σ2в этой
38
5. МЕТОД ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ 39
точке βm− α
окрестности P0ym> 0 определяется членами αmmγ(γ − 1)y
Так как α
α
mm
y
mm
= α
mm
γ(γ − 1)y
y
m
< 0, и знак Lε(w) для достаточно малого ε в некоторой
m
mm
ym+ O(y
y
m
ν−1
m
2
) и
m
+ γβmy
ν−1
= γ(βm− α
m
mm
y
m
+ γα
mm
y
m
ν−2
m
)y
+ γβmy
ν−1
,
m
ν−1
m
эти члены образуют величину, меньшую нуля, если γ > 0 достаточно мало.
Можно считать, что gnсходятся к g при n → ∞ равномерно на Σ2∪ Σ3в
окрестности P0. Пусть u
V±= ∓gn(P0) + δ ± u
m
P
j=1
2
y
< ρ, ym> 0}. В этой области
j
в области Gρ{
— решение задачи (1.5.15). Рассмотрим функции
ε,n
+ C1w, C1, δ = const > 0,
ε,n
Lε(V±) = c(∓gn(P0) + δ) ±fn+ C1Lε(w) < 0,
если постоянная C1достаточно велика. На границе Gρпри ym= 0 имеем
V±≥ 0, так как C1w ≥ 0 и, более того, ±[u
больших n, если ρ достаточно мало. Так как u
P
ε и n в силу (1.5.16), получаем, что для
j=1
−gn(P0)] + δ > 0 при ym= 0 и
ε,n
равномерно ограничены по
ε,n
m
2
y
= ρ выполняется неравенство
j
V±> 0, если C1достаточно велико. Согласно принципу максимума, V±≥ 0
в Gρ, т.е. в Gρвыполняется соотношение
.
−C1w − δ ≤ u
− gn(P0) ≤ C1w + δ, (1.5.19)
ε,n
где постоянные C1, δ и ρ не зависят от ε или n. Очевидно, что эти неравенства также справедливы для u(x), слабого предела u
в L2(Ω). Следова-
ε,n
тельно, непрерывность предельной функции u(x) в P0следует из (1.5.19).
Теорема доказана.
Теперь докажем теорему о существовании слабого решения задачи (1.5.1),
(1.5.2) в пространствах Lp(Ω).
Теорема 1.5.3. Пусть коэффициенты (1.5.1) таковы, что c(x) < 0 в Ω∪Σ,
f ∈ Lp(Ω), c∗≡ a
kj
xkx
j
− b
j
+ c < 0 в Ω ∪Σ и β ≥ 0 во внутренних точках
x
j
Σ2∪Σ0. Тогда в Ω существует слабое решение краевой задачи (1.5.1), (1.5.2)
при g = 0 в пространстве Lp(Ω), т.е., существует функция u(x) ∈ Lp(Ω),
1 ≤ p < ∞, удовлетворяющая интегральному тождеству
для любой функции v в C
Z
uL∗(v) dx =
Ω
(2)
(Ω ∪Σ), равной нулю на Σ1∪ Σ3. Для
Z
vf dx (1.5.20)
Ω
этого слабого решения справедлива оценка
kuk
Lp(Ω)
≤
p
min
[−c∗+ (1 − p)c]
Ω∪Σ
39
kfk
. (1.5.21)
Lp(Ω)
40 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
Если условие c∗< 0 в Ω ∪ Σ не выполняется, то такое слабое решение
задачи (1.5.1), (1.5.2) при g = 0 существует при достаточно больших p
таких, что −c∗+ (1 − p)c ≥ 0 в Ω ∪ Σ.
Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы 1.5.1. Функция f аппроксимируется по норме Lp(Ω) функциями f
(1)
из C
(Ω ∪Σ). Пусть u
— решение уравнения
ε,n
n
Функции u
Lε(u) = f
ограничены по норме Lp(Ω) равномерно по ε и n. Это следу-
ε,n
в Ω, u
n
= 0 на Σ.
ε,n
ет из (1.2.7), доказанного в теореме 1.2.1. Из равномерной ограниченности
нормы u
ций в Lp(Ω). Выбирая слабо сходящуюся подпоследовательность u
в Lp(Ω) следует слабая компактность этого семейства функ-
ε,n
εk,n
при
εk→ 0, переходя к пределу при εk→ 0 в (1.5.17) и вспоминая, что gn= 0,
как в доказательстве теоремы 1.5.1, мы получим, что предельная функция
un(x) удовлетворяет интегральному тождеству (1.5.10). Из (1.2.7) следует,
что оценка
p
kunk
Lp(Ω)
≤
min
[−c∗+ (1 − p)c]
Ω∪Σ
kfnk
Lp(Ω)
выполняется для un(x). Далее, выбирая из семейства {un} слабо сходящуюся в Lp(Ω) при nk→ ∞ подпоследовательность и переходя к пределу этой
подпоследовательности в уравнении
Z
L∗(v)undx =
Ω
Z
vfndx,
Ω
мы получим, что предельная функция u удовлетворяет интегральному тождеству (1.5.20). Очевидно, что u(x) также удовлетворяет (1.5.21).
Метод эллиптической регуляризации можно применить для нахождения
слабого решения задачи (1.5.1), (1.5.2) при g = 0 в пространстве H, которое
было построено в § 4.
Теорема 1.5.4. Пусть f ∈ L2(Ω) и пусть неравенство
1
b
2
1
j
x
j
−
kj
a
2
− c ≥ const > 0
xkx
j
выполнено в области Ω, причем β ≤ 0 во внутренних точках Σ2∪ Σ0.
Тогда существует функция u в пространстве H, построенная в § 4, удовлетворяющая (1.4.4) для любой функции v ∈ C
(1)
(Ω ∪ Σ), равной нулю
на Σ3∪ Σ1. Это решение является слабым пределом в L2(Ω) при ε → 0,
n → ∞, последовательности гладких решений u
где fn∈ C
Lε(u) = f
(2)
(Ω ∪Σ), fn→ f при n → ∞ по норме пространства L2(Ω).
в Ω, u = 0 на Σ,
n
уравнения
ε,n
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]