Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2215 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

142 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

такое, что u0(x0) = 1. Так как gradξa(x0, ξ0) 6= 0 при ξ0= grad ϕ(x0), функция u0существует, если окрестность Ω1точки x0достаточно мала. Для функции ujвозьмем решение уравнения

k=1

(k)

(x, grad ϕ)Dkuj+ Ajuj+ B

j−1

= 0.

−

Очевидно, что это уравнение также имеет бесконечно дифференцируемое решение в окрестности точки x0. Таким образом,

L(v) = e

itϕt−N

BN,

где функции BNне зависят от t и, следовательно, L(v) удовлетворяет требуемому условию (2.4.7). Теорема доказана.

Аналогичная теорема (см. [187]) выполняется также в случае дифференциального оператора произвольного порядка m1. Рассмотрим дифференциальный оператор P (x, D) порядка m1с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами в области Ω. Обозначим через p0(x, ξ) главную часть символа оператора P (x, D), т.е. сумму всех членов порядка m1полинома p(x, ξ). Предположим, что главная часть p0(x, ξ) символа оператора P (x, D) действительна при x ∈ Ω и ξ ∈ Rm. Если в некоторой точке x0∈ Ω существует действительный вектор ξ06= 0 такой, что p0(x0, ξ0) = 0, но ∂p0(x0, ξ0)/∂ξj6= 0 для некоторого j, то оператор P (x, D) не может быть гипоэллиптическим в области Ω.

5 Достаточные условия гипоэллиптичности

В этом разделе мы покажем, что выполнение некоторых априорных оценок для оператора P(x, D), примененного к функциям из класса C является достаточным условием гипоэллиптичности оператора P в области Ω. Оно является также условием гладкости слабых решений, если правая часть уравнения имеет соответствующую степень гладкости.

Сначала мы докажем вспомогательные предложения.

Пусть χ(x) ∈ C

∞

Rmи пусть k ≥ 0. Предположим, что χ(x) такова, что

∞

(Ω),

ˆχ(ξ) = O(|ξ|k) при ξ → 0 (2.5.1)

если ˆχ(tξ) = 0 для некоторого ξ ∈ Rmдля всех действительных t, то ξ = 0.

Определим χε(x) = ε−mχ(x/ε). Легко видеть, что ˆχ(ξ) = ˆχ(εξ).

Введем следующее определение полиномов и дифференциальных операторов, соответствующих им: для любых мультииндексов α и β

|α|

∂

(α)

(x, ξ) =

p(x, ξ)

∂ξ

, p

141

(x, ξ) = D

(α)

p(x, ξ),

5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ 143

|α|Dβ

(α) (β)

(x, ξ) =

∂

p(x, ξ)

∂ξ

(α)

∂

p(x, ξ), p

∂ξ

, P

(α)

, P

(α)

(β)

, P

(x, ξ) = Djp(x, ξ) для j = 1, . . . , m.

(j)

и P

получены из соответствующих по-

(j)

(x, ξ) =

Операторы P линомов с помощью замены вектора ξ на вектор (D1, . . . , Dm).

Рассмотрим следующее двухпараметрическое семейство норм:

kuk

s,γ

−m

|ˆu(ξ)|2(1 + |ξ|2)s(1 + |δξ|2)−γdξ,

где γ > 0, s ∈ R1, δ = const > 0. Очевидно, что эта норма эквивалентна норме пространства H

kuk

s,γ

. Также ясно, что

s−γ

% kuksпри δ & 0, если u ∈ Hs;

действительно,

kuks= supδkuk

. (2.5.2)

s,γ

Теорема 2.5.1 (см. [188]). Если функция χ удовлетворяет условиям (2.5.1) и (2.5.2) при k > s, то для любого N > γ существуют положительные постоянные C1, C2и CN, не зависящие от u и δ, такие, что при 0 < δ ≤ 1 неравенство

C1kuk

s1+s,γ

≤

ku ∗χεk

выполняется для любой функции u из H функции u из H

C1kuk

2 s+s

≤

выполняется неравенство

s+s

ku ∗χεk



1 +

−2s



dε

−γ

−2s

dε

+ CNkuk

s+s1−γ

Доказательство. По определению нормы H

ku ∗χεk



1 +



−γ

−2s

dε

где

F (ξ, δ) =

(1 + |ξ|2)

|ˆχ(εξ)|2ε

+ CNkuk

. Более того, для любой

2 s+s1−N

имеем

−m



−2s

1 +

2 s+s1−N

≤ C2kuk

. (2.5.4)

s+s

|ˆu(ξ)|2F (ξ, δ) dξ,



−γ

dε

. (2.5.5)

2 s+s1,γ

(2.5.3)

Здесь мы использовали формулу для преобразования Фурье свертки:

[

ϕ ∗ψ = ˆϕ ·ˆψ.

142

144 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

Пусть |ξ| ≥ 1. В интеграле (2.5.5) введем новую переменную интегрирования

t = ε|ξ|. (2.5.6)

Таким образом мы получим

F (ξ, δ) = (1 + |ξ|2)

≤ (1 + |ξ|2)

|ξ|2s(1 + |δξ|2)

|ξ|

(

−γ

≤ C3(1 + |ξ|2)

−2s

   

ˆχt

s+s

   



ˆχt

|ξ|







|ξ|

(1 + |δξ|2)



  

−2s



1 +

−γ

δ2|ξ|

∞



  



ˆχt

−γ

|ξ|



≤



  

2(γ−s)

(2.5.7)

так как ˆχ принадлежит классу S и поскольку, согласно (2.5.1),

   

ˆχt

|ξ|





  

≤ C4t

для малых t, где k > s. При |ξ| ≤ 1 интеграл (2.5.5) равномерно ограничен по ξ и δ в силу условия (2.5.1); следовательно, мы можем быть уверены, что существует постоянная C5такая, что при |ξ| ≤ 1

s+s

F (ξ, δ) ≤ C5(1 + |ξ|2)

(1 + |δξ|2)−γ. (2.5.8)

)

≤

Из (2.5.7) и (2.5.8) следует, что

ku ∗χεk



−2s

1 +



−γ

dε

≤ C6kuk

2 s+s1,γ

Чтобы оценить интеграл (2.5.5) снизу при |ξ| ≥ 1, мы опять введем новую переменную t = ε|ξ|. Получим

F (ξ, δ) ≥ (1 + |ξ|2)

≥ C

|ξ|2s4−γ(1 + |δξ|2)

(1 + |ξ|2)

s+s



1/2

  

−γ

(1 + |δξ|2)−γ.

ˆχt

|ξ|





  

−2s

≥

Последнее неравенство следует из того факта, что ˆχ(tξ/|ξ|) — аналитиче- ская функция от t и интеграл

1/2

  

ˆχt



|ξ|





  

−2s

в силу (2.5.2), является непрерывной функцией от η = ξ/|ξ|, положительной во всех точках η единичной сферы.

143

5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ 145

Далее, для |ξ| ≤ 1 и любого N > 0,

F (ξ, δ) + (1 + |ξ|2)

s+s1−N

≥ 2−N(1 + |ξ|2)

s+s

(1 + |δξ|2)−γ,

так как F (ξ, δ) ≥ 0. Отсюда следует первое неравенство из (2.5.3).

Неравенство (2.5.4) следует из (2.5.3), если в этих неравенствах устре-

мить F (ξ, δ) ≥ 0 к нулю и использовать соотношение (2.5.2).

Следующая лемма (см. [185]) аналогична теореме 2.2.2 и доказывается

аналогичными методами.

Лемма 2.5.1. Пусть P (x, D) — дифференциальный оператор порядка m с коэффициентами из пространства C

∞

(Rm). Пусть χ

α ε

≡ ε

−|α|xα

χε(x) и

пусть N — положительное целое число. Тогда для любой функции u из

s+s1+m1−N+1/2



 

P (x, D)(u ∗ χε) −

 

|α|≤N−1

≤ CNkuk

|α|ε|α|

2 s+s1+m1−N+1/2

α!

(x, D)u) ∗χ

(α)

, (2.5.9)



 



−2s

dε

≤

если k в условии (2.5.1) достаточно велико и s ≤ N − 1/2.

Доказательство. Пусть

v(x, ε) = P (x, D)(u ∗χε) −

|α|≤N−1

|α|ε|α|

α!

(x, D)u) ∗χ

(α)

Мы подсчитаем преобразование Фурье от функции v по x. Имеем

ˆv(η, ε) = (2π)

−

|α|≤N−1

α!

−m

ˆp(η − ξ, ξ)ˆu(ξ)ˆχ(εξ)−

ˆp(η − ξ, ξ)(ξ − η)αˆu(ξ)ε

|α|ˆχ(α)

(εη)#dξ.

С помощью формулы Тейлора мы получим

ˆv(η, ε) = (2π)

−m

ˆp(η − ξ, ξ)ˆu(ξ)RN(ε, ξ, η) dξ,

где

RN(ε, ξ, η) =

|α|=N

α!

|α|

(ξ − η)αˆχ

(α)

(εη + εθ(ξ − η)),

(α)

и ˆχ

, как обычно, обозначает производную ∂

По теореме 2.1.9

kvk

sup(v, w)

kwk

144

−s

|α|

ˆχ(ξ)/∂ξα.

146 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

Следовательно, мы оценим (v, w)0. По равенству Парсеваля

(v, w)0= (2π)

−2m

ˆp(η − ξ, ξ)ˆu(ξ)RN(ε, ξ, η) ˆw(η) dξ dη =

= (2π)

−2m

ˆu(ξ)(1 + |ξ|2)

(s+s1+m1−N+1/2)/2

ˆw(η)(1 + |η|2)

−s1/2

Hε(ξ, η) dξ dη,

(2.5.10)

где

Hε(ξ, η) = ˆp(η − ξ, ξ)(1 + |η|2)

s1/2

(1 + |ξ|2)

(s+s1+m1−N+1/2)/2

RN(ε, ξ, η).

Легко видеть, что для любого M

|RN(ε, ξ, η)| ≤ C1εN(1 + |ξ − η|2)

N/2

(1 + |εη|2)−M, (2.5.11)

если |ξ − η| ≤ |η|/2, и

|RN(ε, ξ, η)| ≤ C2εN(1 + |ξ − η|2)

N/2

(2.5.12)

для любых ξ и η.

Так как коэффициенты оператора P(x, D) принадлежат классу C

∞

(Rm),

из леммы 2.2.3 следует, что

|ˆp(η − ξ, ξ)| ≤ C3(1 + |ξ|2)

m1/2

(1 + |η − ξ|2)

−N1/2

где N1— произвольное положительное число. Пусть |ξ −η| ≤ |η|/2. Так как s −N + 1/2 ≤ 0, по (2.5.11) мы имеем

|RN(ε, ξ, η)| ≤ C4εN(1 + |ξ − η|2)

|Hε(ξ, η)| ≤ C5(1 + |ξ|2)

×(1 + |η|2)

(s1+s−N+1/2)/2ε(2s+1)/2

N/2(ε2

−(s+s1−N+1/2)/2

+ |εη|2)

(1 + |η − ξ|2)

(s−N+1/2)/2

(N−N1)/2

Применяя лемму 2.2.1, мы найдем, что при |ξ − η| ≤ |η|/2

|Hε(ξ, η)| ≤ C6ε

s+1/2

(1 + |η − ξ|2)

(N−N1+|s|+|s−N+1/2|)/2

Если |ξ − η| > |η|/2, то, используя тот факт, что

(1 + |η|2) ≤ (1 + 4|ξ − η|2) ≤ 4(1 + |ξ − η|2),

а также неравенство (2.5.12) и неравенство, доказанное в лемме 2.2.1, мы имеем

|Hε(ξ, η)| ≤ C7(1 + |η − ξ|2)

≤ C8(1 + |η − ξ|2)

(N−N1)/2

(N−N1+|s+s1−N+1/2|+N −s−1/2)/2εs+1/2

(1 + |ξ|2)

−(s+s1−N+1/2)/2εN

(1 + |η|2)

(s1)/2

так как 1/2 + s < N и 0 ≤ ε ≤ 1.

145

≤

5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ 147

Выберем N1таким большим, что

−N1+ N + |s|+

  

s −N +



 



≤ −(m + 1)



2N − N1+

  

s + s1− N +



 



− s ≤ −m −



Тогда можно применить лемму 2.2.4 к интегралу (2.5.10). Имеем:

|(v, w)0| ≤ C9kwk

−s

kuk

s+s1+m1−N+1/2

s+1/2

Отсюда следует, что

kvk

Умножая (2.5.13) на ε

−(2s+1)

≤ C

kuk

s+s1+m1−N+1/2

s+1/2

. (2.5.13)

и интегрируя по ε от 0 до 1, мы получим

требуемое неравенство (2.5.9).

Лемма 2.5.2. Пусть P (x, D) — линейный дифференциальный оператор порядка m1с коэффициентами из пространства C бого целого числа N > 0 и любой функции u из H

∞

(Rm). Тогда для лю-

s+s1+m1−γ

выполняется

неравенство

≤

1≤|α|≤N−1

k(P

(α)

u) ∗χ

(α)

u) ∗χεk

s1−|α|

−2(s−|α|)

−2s



1 +



1 +



δ ε

−γ



−γ

dε

+ C

≤

kuk

−N

(2.5.14)

где s, s1∈ R1и N1> 0 — достаточно большое число.

Доказательство. По (2.5.3) имеем

1≤|α|≤N−1

k(P

(α)

u)∗χ

−2(s−|α|)





−γ

dε

≤ ≤ C

1≤|α|≤N−1

(α)

(2.5.15)

Здесь мы применили теорему 2.5.1 к функции χ

можно, потому что преобразование Фурье функции χαравно i

вместо χε; это воз-

|α|∂|α|

ˆχ/∂ξ

и, следовательно, также удовлетворяет условиям (2.5.1) и (2.5.2) для некоторого k. Снова применяя теорему 2.5.1, мы получим

(α)

s1+s−|α|,γ

≤ C

1≤|α|≤N−1

k(P

146

u) ∗χεk

(α)

s1−|α|

−2s



1 +



−γ

dε

s1+s−|α|,γ

148 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

+C3kP

Так как N0> 0 — произвольное число, kP

(α)

s1+s−|α|−N

(α)uks+s1−|α|−N

. (2.5.16)

≤ C4kuk

−N

(2.5.14) следует из (2.5.15) и (2.5.16). Лемма доказана.

Теперь мы докажем основную теорему о гладкости обобщенных решений и гипоэллиптичности оператора P (x, D) в области Ω.

Здесь K обозначает произвольное замкнутое ограниченное множество в

Rm.

Теорема 2.5.2. Пусть P — линейный дифференциальный оператор по- рядка m1с коэффициентами из класса C

∞

(Rm), для которого выполнены

следующие условия:

I. Для любого компактного множества K ⊂ Ω существует постоян-

ная s0= s0(K) такая, что для достаточно большого N > 0 выполняется неравенство

kuk

≤ C(K, N )kuk

где −N < s0и u — произвольная функция из C

+ C(K)kP uk

−N

, (2.5.17)

∞

(K).

II. Для любого компактного множества K ⊂ Ω, любого s ∈ R1и лю-

бого δ1> 0 существует постоянная C(K, s, δ1, N) такая, что для достаточно большого N > 0 выполняется неравенство

j=1

где −N < s + s0, u ∈ C

(j)

≤ δ1kP uk

∞

(K).

+ C(K, s, δ1, N)kuk

s+1

, (2.5.18)

−N

IIIa. Для любого компактного множества K ⊂ Ω \M, где M — некоторое

ограниченное замкнутое множество в Ω, для любого s ∈ R1и любого достаточно большого N выполняется неравенство

j=1

(j)uk2

≤ C(K, s)kP uk

s−µ

где µ = µ(K) > 0, −N < s + s0, u ∈ C

+ C(N )kuk

∞

(K).



, (2.5.19)

−N

IIIb. Для любого компактного множества K ⊂ Ω, любого s ∈ R1, любого

δ1> 0 и любого достаточно большого N > 0 выполняется неравен-

ство

j=1

(j)uk2

≤ δ1kP uk

где −N < s + s0, u ∈ C

∞

(K).

+ C(δ1, N, s, K)kuk

147

, (2.5.20)

−N

5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ 149

Тогда для любой обобщенной функции u из D0(Ω) такой, что P u ∈

loc

(Ω), мы имеем оценки



, (2.5.21)

kϕuk

≤ C(ϕ1)ϕ1kP uk

s+s

+ kϕuk

где функции ϕ, ϕ1∈ C

∞

(Ω), ϕ1≡ 1 на supp ϕ и, кроме того, или ϕ ≡ 1 на

M, или supp ϕ∩ M = ∅; γ = const < s + s0.

Дифференциальные операторы P , удовлетворяющие условиям I–III глобально гипоэллиптичны, т.е. если u ∈ D0(Ω) и P u ∈ C∞(Ω), то u ∈ C∞(Ω). (Если множество M пусто, то операторы P u, очевидно, гипоэллиптичны в обычном смысле (см. § 4).)

Для доказательства теоремы 2.5.2 мы используем следующие вспомогательные результаты.

Лемма 2.5.3. Пусть оператор P удовлетворяет условиям II и IIIb теоре- мы 2.5.2. Тогда для любого компактного множества K ⊂ Ω, любого s ∈ R1, любого δ1> 0 и любого достаточно большого N > 0 выполняется оценка

(α)

(β)

≤ δ1kP uk

+ C(δ1, s, K, N, α, β)kuk

s+|β|

, (2.5.22)

−N

где постоянная −N < s + s0, функция u принадлежит пространству

∞

(K) и α и β — произвольные мультииндексы.

Доказательство. Мы докажем (2.5.22) по индукции. При |α| = 1, |β| = 0 и |α| = 0, |β| = 1 оценка (2.5.22) выполняется в силу условий II и

IIIb. Пусть α = (α1, . . . , αm) и α0= (α1, . . . , αj+ 1, . . . , αm). Мы покажем, что если (2.5.22) выполняется для мультииндекса α, то оно выполняется и для α0. Действительно, из формулы Лейбница (2.1.1) следует равенство

(α)

, Zj]u = P

(β)

в K и принадлежащую множеству C

(α0)

u, где Zj— оператор умножения на функцию, равную x

(β)

∞

(Rm). Следовательно,

(α0)

(β)

= k[P

(α)

(β)

Согласно (2.2.15), kZjP

(α)

(β)

Zjuk

+ kP

(α)

(β)

≤ C2kP

, Zj]uk

(α)

(β)

≤ δ2kP uk

≤ C

2 s+|β|



kZjP

(α)

(β)

+ C(δ2, s, K, N )kuk

Используя тождество P Zju = ZjP u + P

kP Zjuk

2 s+|β|

≤ C



kP uk

(α)

(β)

(j)

s+|β|

. По предположению индукции

u, мы получим

+ kP

(j)uk2

(α)

(β)

s+|β|

Zjuk

−N



. (2.5.23)

+ δ2kP Zjuk



2 s+|β|

Чтобы оценить последнее слагаемое, мы используем неравенство (2.5.20) из условия IIIb. Выбирая δ2подходящим образом, мы получим из (2.5.23), что

(α0)

(β)

≤ δ1kP uk

+ C(δ1, s, K, N, α, β)kuk

s+|β|

148

−N

150 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

Теперь предположим, что β = (β1, . . . , βm) и β0= (β1, . . . , βj+ 1, . . . , βm). Предположим, что (2.5.22) выполняется для β. Мы покажем, что оно также выполняется для β0. Очевидно,

(α)

(β0)

= [kP

(α)

(β)

, Dj]uk

≤ C



(α)

(β)

2 s+1

+ kP

(α)

(β)

Djuk



. (2.5.24)

По предположению индукции

(α)

(β)

2 s+1

+ kP

(α)

(β)

Djuk

≤ δ



kP uk

2 s+|β|+1

+ kPDjuk

2 s+|β|



+ CNkuk

−N

(2.5.25)

Так как P Dju = DjP u − P

kP Djuk

2 s+|β|

≤ 2kP uk

u, мы получаем из условия II, что

(j)

≤ 2kP uk

2 s+|β|+1

+ δ2kP uk

+ kP

2 s+|β0|

+ CNkuk

(j)

2 s+|β|



≤

. (2.5.26)

−N

Из оценок (2.5.24)–(2.5.26) следует, что

(α)

(β0)

≤ δ1kP uk

2 s+|β0|

+ C(δ1, N, s, K, α, β0)kuk

−N

что и следовало доказать.

Лемма 2.5.4. Пусть дифференциальный оператор P удовлетворяет усло- виям II и IIIa теоремы 2.5.2. Тогда для любого компактного множества K ⊂ Ω \M , любого s ∈ R1и любого достаточно большого N > 0 выполня- ется неравенство

(α)

(β)

≤ C(α, β, s, K)kP uk

если |α| ≥ 1, u ∈ C

∞

(K).

2 s+|β|−µ

+ C(N )kuk



, (2.5.27)

−N

Доказательство. Оценка (2.5.27) доказывается так же, как лемма 2.5.3. При |α| + |β| = 1 (2.5.27) выполняется в силу условия IIIa. Если α = (α1, . . . , αm), |α| ≥ 1 и α0= (α1, . . . , αj+ 1, . . . , αm), то, как при доказательстве леммы 2.5.3, мы имеем

(α0)

(β)

= k[P

(α)

(β)

, Zj]uk

≤ C



(α)

(β)

+ kP

(α)

(β)

Zjuk



. (2.5.28)

По предположению индукции

(α)

(β)

(α)

+ kP

(β)

+kP Zjuk

Zjuk

2 s+|β|−µ

≤ C(α, β, s, K)kP uk

+ C(N )kuk

−N



2 s+|β|−µ

Следовательно, используя условие IIIa и оценку (2.5.28), мы получим



. (2.5.29)

−N

(α0)

(β)

≤ C(α0, β, s, K)kP uk

2 s+|β|−µ

+ C(N )kuk

Если β = (β1, . . . , βm) и β0= (β1, . . . , βj+ 1, . . . , βm), то

(α)

(β)

= k[P

(α)

(β)

, Dj]uk

≤ C

149



(α)

(β)

2 s+1

+ kP

(α)

(β)

Djuk



5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ 151

Используя предположение индукции, равенство P Dju = DjP u − P

(j)

u и

условие II, мы получим

(α)

(β0)

≤ C(α, β0, s, K)kP uk

2 s+|β0|−µ

+ C(N )kuk

−N



Из последнего неравенства и (2.5.29) следует требуемое неравенство (2.5.27).

Доказательство теоремы 2.5.2. Сначала мы покажем, что неравенство (2.5.21) выполняется для функций ϕ ∈ C ство функций таких, что ψj∈ C

∞

(Ω \M ). Пусть ψj, j = 0, 1, . . ., — семей-

∞

(Ω\M ) и, кроме того, ψ

≡ 1 на supp ψj,

j+1

где ψ0= ϕ.

Пусть ve= ψju ∗χε. Так как u ∈ D0(Ω) и ψj∈ C следует, что функции ψju ∈ Htдля некоторого t ∈ R1и всех j, если supp ψ

∞

(Ω), из теоремы 2.1.10

лежат в некотором фиксированном компактном множестве в Ω \M .

Следующее тождество очевидно:

P (ψju ∗ χε) ≡ (ψjP u) ∗χε+ ([P, ψj]ψ

u) ∗ χε+ [P (ψju ∗ χε) − (P ψju) ∗ χε].

j+1

(2.5.30)

Мы оценим два последних члена в правой части (2.5.30).

Если N > s1+ s + m1− t + 1/2, то для любого положительного γ >

s1+ s + m1− t мы применим лемму 2.5.1 и неравенство (1 + δ2/ε2)−γ< 1, γ > 0, чтобы получить

≤

1≤|α|≤N−1

kP (ψju ∗χε) −(P ψju) ∗χεk

k(P

ψju) ∗χ

(α)

−2(s−|α|)



−2s

1 +



1 +



−γ



−γ

dε

≤

dε

+ CNkψjuk

(2.5.31)

где все интегралы в (2.5.31) конечны, так как ψju ∈ Ht, и (2.5.3) выполнено. По лемме 2.5.2

≤

1≤|α|≤N−1

k(P

ψju) ∗χεk

(α)

ψju) ∗χ

(α)

s1−|α|

−2(s−|α|)

−2s



1 +



δ ε

1 +



−γ



−γ

dε

+ C

dε

≤

kψjuk

−N

(2.5.32)

где t > −N1, N1> 0 — произвольное достаточно большое число, так как ψju ∈ Htи t > s1+ s + m1−γ. Мы применим лемму 2.5.1 к оператору P

150

(α)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2215 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]