Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 228 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 71

Доказательство. Мы докажем (1.8.13) по индукции. При µ = 1 это нера- венство доказано в лемме 1.8.1. Предположим, что (1.8.13) выполняется для plпри l ≤ µ0, где 1 ≤ µ0< µ, и докажем его при µ0+ 1. Применим оператор D ное уравнение на D

к правой и левой сторонам уравнения (1.8.2), умножим получен-

u, и просуммируем по всевозможным¯Sl= (s1, . . . , sl),

sj= 1, . . . , m. Таким образом мы получим следующее уравнение для суммы квадратов всех производных uεпорядка l, которую мы обозначим pl:

ρ=1

kj x

ρ=1

akjp

l xkx

l−1

xkx

l−1

 



u +

u члены, допускающие оценку



≤ K



l−1

ν=1

ρ,µ=1

ρ<µ

bkp

pν+ K2,

+ cpl−

u = 0; (1.8.14)

ε∆pl− ε

здесь мы обозначили через R

где постоянные K1и K2не зависят от ε. Предположим, что v = p

, где C

— постоянная, которую мы выберем позже. С помощью

akjD

xkx

l−2

µ0+1

(1.8.14) мы получим при l = µ0и l = µ0+ 1 следующее уравнение для v:

µ0+1

ρ=1

akjD

µ0+1

kj x

µ0+1

µ0−1

u + Q

xkx

µ0+1

−

u#+

 



= 0,





µ0+1

1 2

−

µ0+1

 







ε∆v +

−ε

µ0+1

ρ=1

µ0+1

ρ,κ=1

ρ<κ

µ0+1

akjD

kj x

akjv

kj x

µ0+1

xkx

µ0+1

xkx

µ0−1

bkv

µ0+1

+ cv − C

− C

µ0+1

xkx

µ0+1

u + C

µ0+1

u +

(1.8.15)

где члены Q

допускают оценку

| ≤ K

ν=1

pν+ K

72 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

с постоянными K3и K4, не зависящими от ε. Очевидно, что выполняется неравенство

 



l−1

xkx

  

≤



2Mml



l−1

xkx



Mml

2γ





, (1.8.16)

где γ = const > 0. Мы используем лемму 1.7.1, чтобы оценить первый член в правой части (1.8.16). Очевидно,

akjD

l−1

akjD

l−1

xkx

l−1

xjx

Сумма

ρ=1

l−1

xkx

может содержать не более, чем ml членов с одним и тем же сомножителем D

l−1

Mml

. Следовательно, согласно уравнению (1.7.1), имеем

xkx

ρ=1



l−1

xkx



≤

l−1

akjD

l−1

xkx

l−1

. (1.8.17)

xjx

Мы используем неравенства (1.8.16), (1.8.17) с l = µ0и l = µ0+ 1, где γ = 1 и γ = 2 соответственно, чтобы оценить члены в квадратных скобках в левой части (1.8.15).

В следующем суммировании мы предполагаем, что (k, j) 6= (sρ, sκ),

(j, k) 6= (sρ, sκ), ρ < κ. Тогда

≤

    

(

1 2

µ0+1

ρ,κ=1

k,j=1

µ0+1

ρ,κ=1

 



  



 



µ0+1

µ0−1

µ0+1

  



xkx



ρ,κ=1

µ0+1

kj x

  

≤

 



µ0−1

xkx

)



Последнюю сумму можно записать в виде

µ0+1

1 2

µ0+1

ρ,κ=1

k,j=1

   

sρs xkx







µ0+1





Кроме того, очевидно, выполняется оценка

    

µ0+1

ρ=1

sρ6=k

µ0+1

  

≤

 

8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 73

≤

µ0+1

k=1

1 2

ρ=1

sρ6=k



  





µ0+1



1 2

k=1

µ0+1

ρ=1

sρ6=k



  







Запишем последнюю сумму в виде

µ0+1

1 2

µ0+1

k6=s

ρ=1

k=1







µ0+1



Предположим, что v принимает свое наибольшее значение в точке Q1, лежащей внутри ω.

Тогда из (1.8.15) и оценок, полученных выше, следует, что в точке Q



 



µ0+1

 

akjD

µ0+1

ρ=1











sρs



xkx

µ0+1









µ0+1

+ Q



≥ 0,

Mm(µ0+ 1)

v + cv + τ v −

µ0+1

1 2

µ0+1

1 2

µ0+1

ρ,κ=1

ρ<κ

µ0+1

ρ=1

k6=s

ρ,κ=1

ρ6=κ

sρs

k,j=1 (k,j)6=(sρ,sκ) (j,k)6=(sρ,sκ)



k,j=1



 









µ0+1





(1.8.18)

где τ — сколь угодно малое положительное число. Если Q1принадлежит

ω \ Eδ, то для достаточно больших C

v < M

где постоянная M

не зависит от ε. Однако, если Q1∈ Eδ, то, принимая

µ0+1

из (1.8.18) следует, что в точке Q

, (1.8.19)

µ0+1

во внимание условие (1.8.11), мы также видим из (1.8.18), что (1.8.19) выполняется в точке Q1. Как следствие, (1.8.13) выполняется при l = µ0+ 1. Лемма доказана.

Лемма 1.8.3. Пусть σ1— замкнутое множество точек на Σ такое, что g = 0 в окрестности σ1, и такое, что в каждой точке из σ1или akjnknj6=

0, или β < 0, где функция β определена с помощью (1.5.6). Предположим, что Ω ∈ A

в¯Ω, и что решение uεзадачи (1.8.2), (1.8.3) принадлежит C

, коэффициенты уравнения (1.8.2) и функции f и g ограничены

(2)

(0)

(¯Ω) и имеет

непрерывные производные первого порядка в точках множества σ1, где

c < 0 в¯Ω. Тогда

max

|grad uε| ≤ C1, (1.8.20)

74 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

где постоянная C1не зависит от ε.

Доказательство. Пусть точка P1принадлежит σ1. В окрестности точки P

введем локальные координаты y1, . . . , ymс началом координат в точке P и такие, что поверхность Σ вблизи P1, заданная уравнением (1.5.5), лежит в плоскости ym= 0. Кроме того, предположим, что ym> 0 в точках Ω. В новых координатах уравнение (1.8.2) принимает вид

Lε(u) = εµkju

По предположениям, в точках множества σ1либо α Пусть ψ(y1, . . . , y

m−1

yky

+ ενku

+ αkju

yky

+ βku

+ cu = f. (1.8.21)

> 0, либо βm< 0.

) — гладкая функция, определенная на Σ в 2δ-окрестности

P1для достаточно малого δ, такая, что ψ = 1 в δ/2-окрестности точки P

и ψ = 0 вне δ-окрестности точки P1, 0 ≤ ψ ≤ 1. В замкнутой области Q

{0 ≤ ym≤ τ ψ} рассмотрим функцию w = e

δ,τ

m−1

+ ε

(εµkjγ2τ2ψ

k,j=1

m−1

k,j=1

m−1

k=1

(αkjγ2τ2ψ

νkγτψ

− ενmγ +

Lε(w) = e

m−1

−2

k=1

m−1

−2

αkmγ2τψ

k=1

γ(τ ψ−ym)

εµkmγ2τψ

γ(τ ψ−ym)

+ εµkjγτψ

+ αkjγτψ

m−1

k=1

. Имеем

yky

βkγτψ

) + εµmmγ2−

) + αmmγ2−

− βmγ + c#.

(1.8.22)

Так как в каждой точке области Q

> 0, или βm< 0, легко видеть, что Lε(w) > max |f | в Q

для достаточно малых δ и τ или

δ,τ

, где τ выбрано достаточно малым и γ достаточно велико. При этом τ и γ можно выбирать независимо от ε. Следовательно, функции v±= w ± uεмогут принимать положительные максимумы только на границе области Q точках Σ имеем v±= e

γτ ψ

, а на оставшейся части границы Q

, имеем v±=

δ,τ

. В

1 ±uε. Так как uεравномерно ограничено по ε, можно выбрать постоянную γ настолько большой, что eγτ> 1 + max¯Ω|uε|. Это означает, что функции v±принимают свои наибольшие положительные значения при ym= 0 в

точках δ/2-окрестности точки P1, где ψ = 1. Таким образом, в этих точках

Так как u

εy

ченной для u

(v±)

= 0 при j 6= m, утверждение леммы следует из оценки, полу-

εy

≤ 0 и |u

| ≤ γeγτ.

εy

Лемма 1.8.4. Пусть σ1— замкнутое множество точек на Σ таких, что g = 0 в окрестности σ1, и akjnknj6= 0 в каждой точке из σ1. Предполо-

жим, что Ω ∈ A классу C

(Ω), µ ≥ 1, g — ограниченная функция и решение uε(x) задачи

(µ)

(1.8.2), (1.8.3) принадлежит классу C

(µ+2)

, коэффициенты (1.8.2) и функция f принадлежат

(µ+2)

(¯Ω). Предположим, что в точ-

ках¯Ω∩E функции Bl, определенные при помощи (1.8.12), неотрицательны

8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 75

при l ≤ µ. И наконец, предположим, что (1.7.1) выполняется для области Ω и c < 0 в Ω. Тогда в каждой точке множества σ1при l ≤ µ

pl≤ Ml+ C

maxΣpl, (1.8.23)

где постоянные Mlи Clзависят только от max

pν= Σ

uε)2.

|uε| и maxΣpνпри ν ≤ l−1;

Ω

Доказательство. Так как c < 0 в Ω ∪ Σ, мы знаем, что uεравномерно ограничено по ε. При µ = 1 неравенство (1.8.23) было доказано в лемме 1.8.3 с постоянной C1= 0. Теперь мы докажем (1.8.23) для µ = 2. При µ > 2 доказательство аналогично. Пусть точка P1принадлежит σ1. В окрестности точки P1введем локальные координаты y1, . . . , ymтаким образом, чтобы σ1лежала в плоскости ym= 0 и ym> 0 во всех точках из Ω. В области Qδ{0 < ym< κψ/γ} рассмотрим функцию w = e

ψ(y1, . . . , y γ и κ — постоянные. Пусть K0= max

) — функция, определенная в доказательстве леммы 1.8.3, а

m−1

|. Выберем достаточно большое

εy

δ,ρ

κ, чтобы выполнялось неравенство eκ> 1 + K0. В координатах y1, . . . , y

−γym+κψ

, где

получаем

Lε(w) = e

−ενmγ +

−γym+κψ

m−1

κνkψ

k=1

m−1

k,j=1

εµmmγ2− 2ε

+ αmmγ2− 2

αkjκψ

yky

m−1

k=1

− βmγ +

µmkγκψ

m−1

αmkγκψ

k=1

m−1

βkκψ

k=1

m−1

+ ε

(µkjκ2ψ

k,j=1

m−1

(αkjκ2ψ

k,j=1

+ c#≥ a0γ

+ µkjκψ

yky

)−

при γ ≥ γ0, где γ0— достаточно большое число a0> 0, а a0и γ0не зависят от ε.

Пусть ρ 6= m. Дифференцируя уравнение (1.8.21) по yρ, получим

Lε(u

) = f

− α

yky

− β

− εµ

kj y

yky

− εν

− c

u. (1.8.24)

Согласно неравенству (1.8.13) при l = 2, которое было доказано в лемме 1.8.2 при условии Bt< 0 на¯Ω ∩ Eδдля t = 1, 2, из (1.8.24) следует, что

|Lε(u

)| ≤ K1+ K

εy

maxΣp2,

где положительные постоянные K1и K2зависят от maxΣp1. Пусть



1/2



γ = γ0+a

−1 0



K1+ K

maxΣp

76 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Рассмотрим функции v±= w ± u

Lε(w ± u

) ≥ a0γ2−K1+ K

εy

, ρ 6= m. Ясно, что

εy

maxΣp



> 0

в Qδ. Так как c < 0 в Ω ∪ Σ, принцип максимума утверждает, что функции v±принимают наибольшее положительное значение на границе Qδ. На той

части границы, где ψ = 1, мы имеем v±= eκ, а на оставшейся части границы, лежащей в плоскости ym= 0, имеем v±≤ eκ. Постоянная κ была выбрана таким образом, что при ym= κψ/γ выполняется неравенство

v±≤ 1 + max

| ≤ 1 + K0< eκ;

εy

поэтому v±принимает наибольшее положительное значение при ym= 0, где ψ = 1. Следовательно, в точке P

(v±) ≤ 0 и |u

Так как α

6= 0 в P1, из (1.8.21) следует, что в точке P

| ≤ γeκ.

εyρy

m−1

εymy

| ≤ K3+ K

ρ=1

εyρy

| ≤ K3+ K5γ,

где постоянные K3, K4и K5зависят от maxΣp1. Следовательно, по выбору γ, имеем

p2≤ M2+ C

maxΣp2,

в точке P1, что и требовалось доказать.

При l > 2 оценка (1.8.23) получается таким же образом. Во-первых, оценим в точке P1те производные порядка l, которые содержат одно дифференцирование по ym, затем найдем остальные производные порядка l с помощью уравнения (1.8.2) и уравнений, полученных из него дифференцированием по y1, . . . , ym. Лемма доказана.

Простым следствием лемм 1.8.1 и 1.8.3 является теорема о существовании ограниченных производных первого порядка для обобщенного решения задачи (1.1.4), (1.1.5).

Замечание 1.8.1. При условиях леммы 1.8.4 и при l ≤ µ неравенство

pl≤ Ml+ C

max

выполняется в каждой точке множества σ1, где Q1— некоторая окрестность σ1, Mlи Clзависят от maxΩ|uε| и max

pν, ν ≤ l − 1. Позже мы используем

это замечание при доказательстве теорем 1.8.3–1.8.8.

8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 77

Теорема 1.8.1. Предположим, что граница Σ области Ω такова, что Σ2∪ Σ3и Σ0∪ Σ1не имеют общих точек, и Ω ∈ A

. Пусть g = 0 на

(2)

Σ2∪ Σ3. Кроме того, пусть выполняются следующие условия.

1) Коэффициенты уравнения (1.1.4) и функция f принадлежат классу

(Ω ∪G

(1)

жества Σ0∪ Σ1, и akjξkξj≥ 0 в Ω ∪G

) при некотором δ16= 0, где G

— δ1-окрестность мно-

для всех ξ.

2) При некотором δ > 0 выполняется неравенство

sup

Eδ∩(Ω∪G

B1< 0,

)

где Eδ— δ-окрестность множества точек, в которых det kakjk = 0.

3) В точках Σ2функция β, определенная с помощью (1.5.6), отрицательна, c < 0 в Ω ∪G

, и выполнены предположения теоремы 1.6.2

о единственности слабого решения.

4) Неравенство (1.7.1) выполняется в точках Ω ∪G

. (Условие 4) мож-

но заменить требованием, что в некоторой окрестности¯Ω функции

akj∈ C

и akjξkξj≥ 0 при всех ξ).

(2)

Тогда слабое решение задачи (1.1.4), (1.1.5) удовлетворяет условию Лип-

шица в¯Ω.

Доказательство. Рассмотрим область Ω1такую, что Ω1⊂ (Ω ∪ G

), Ω

содержит Σ0∪ Σ1∪ Ω и граница области Ω1, которую мы обозначим через

S1, содержит Σ2∪ Σ3. Пусть Ω1∈ A

. В Ω1рассмотрим уравнение

(2)

ε∆u + a∆u + L(u) = f, (1.8.25)

где a(x) — гладкая функция такая, что a = 0 в Ω и a > 0 в¯Ω1\¯Ω. Пусть uε(x) — решение уравнения (1.8.25), удовлетворяющее условию

= 0. (1.8.26)

Так как на S1или akjnknj+ anknk6= 0, или β < 0, из лемм 1.8.1 и 1.8.3 следует, что производные первого порядка от функции uε(x) ограничены в Ω1равномерно по ε. Как показано в доказательстве теоремы 1.5.1, при ε → 0 функция uεсходится к слабому решению u(x), удовлетворяющему интегральному тождеству

∆(av)u dx +

Ω

для любой функции v ∈ C

(2)

(¯Ω) такой, что v = 0 на Σ1\Σ2. Легко показать,

L∗(v)u dx =

Ω

fv dx (1.8.27)

Ω

что u(x) — тоже слабое решение задачи (1.1.4), (1.1.5) в области Ω с g = 0 на Σ2∪ Σ3, т.е. интегральное тождество

L∗(v)u dx =

Ω

fv dx (1.8.28)

Ω

78 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

выполняется для любой функции v в C (1.8.27) следует, что (1.8.28) выполняется для функций v из C нулю на Σ3и в¯Ω1\Ω. Пусть v1— любая функция из C

(2)

(¯Ω), равной нулю на Σ1∪ Σ3. Из

(2)

(¯Ω), равных

(2)

(¯Ω), равная нулю

на Σ3∪ Σ1. Тогда в (1.8.28) мы заменим u(x) функцией v1ϕδ, где функция ϕδбесконечно дифференцируема, ϕδ= 0 в δ-окрестности множества Σ0∪Σ и в Ω1\ Ω, ϕδ= 1 в Ω вне 2δ-окрестности множества Σ0∪ Σ1и, наконец, 0 ≤ ϕδ≤ 1. Будем предполагать, что в локальных координатах y1, . . . , y

функция ϕδзависит только от ym, и что

|ϕ

| = O(δ−1), ϕ

δ ymy

= O(δ−2).

Имеем

L∗(v1)ϕδu dx +

Ω

(L∗(ϕδ) −c∗ϕδ)v1u dx +

Ω

akjϕ

u dx =

fv1ϕδdx.

Ω

(1.8.29) Покажем, что при δ → 0 это неравенство превращается в (1.8.28) для функции v = v1. Для этого достаточно доказать, что два последних интеграла в левой части (1.8.29) стремятся к нулю при δ → 0. Очевидно, что эти интегралы взяты по 2δ-окрестности множества Σ0∪ Σ1, где ϕ

δ x

и ϕ

δ xkx

могут

отличаться от нуля. Мы обозначим эту окрестность через h2δ. В этих интегралах перейдем к локальным координатам y1, . . . , ymтаким, что граница Σ0∪ Σ1лежит в плоскости ym= 0. Так как ϕδзависит только от ym, эти интегралы имеют вид

где α

2δ

(αmmϕ

δ ymy

= O(δ2), β

+ β∗mϕ

∗m

)v1uκ dy +

= 0 во внутренних точках Σ0и κ — некоторая

2δ

αmmϕ

uκ dy, (1.8.30)

ограниченная функция. Напомним, что по предположению v1= 0 в точках

Σ1. Так как мера области h2δимеет порядок δ, отсюда, очевидно, следует, что интеграл (1.8.30) стремится к нулю при δ → 0. Теорема доказана.

Теорема 1.8.2. Пусть выполнены следующие условия.

1) Граница Σ области Ω такова, что никакие два из множеств¯Σ2,¯Σ3,

Σ0∪ Σ1не имеют общих точек, Ω ∈ A

(µ+2)

, g = 0 на Σ2∪ Σ3.

2) Для некоторого δ1> 0 коэффициенты уравнения (1.1.4) и функция f принадлежат классу C

(µ)

в Ω ∪G

— δ1-окрестность Σ0∪ Σ1, а G akjξkξj≥ 0 в Ω ∪G

∪ G

для любых ξ и µ ≥ 2.

и классу C

— δ1-окрестность множества Σ2,

(2µ+1)

в G

; здесь G

3) Для некоторого δ > 0 при l ≤ µ выполняется неравенство

sup

Eδ∩Ω∪G

∪G

Bl< 0. (1.8.31)



8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 79

4) В области Ω ∪G

akj∈ C

и akjξkξj≥ 0 в окрестности Ω, c < 0 в Ω ∪G

(2)

∪ G

выполняется неравенство (1.7.1) или иначе

∪ G

5) Выполнены предположения теоремы 1.6.2.

Тогда слабое решение u(x) задачи (1.1.4), (1.1.5) принадлежит классу

(¯Ω).

(µ)

Доказательство. Рассмотрим область Ω1такую, что Ω1⊂ (Ω ∪G

∪G

Ω1содержит Σ2∪ Σ0∪ Σ1∪ Ω и граница Ω1, которую мы обозначим через S1, содержит Σ3. Пусть Ω1∈ A

(µ+2)

В области Ω1построим функцию w такую, что L(w) −f = 0 на Σ2вместе со всеми своими производными вплоть до порядка µ −1 включительно. Сначала построим функцию w локально в окрестности произвольной точки P1границы множества Σ2. С этой целью введем локальные координаты

y1, . . . , ymв окрестности P1такие, чтобы граница множества Σ2лежала в

плоскости ym= 0. В этой окрестности уравнение (1.1.4) в новых координатах принимает вид

L(u) ≡ αkju

yky

+ βku

+ cu = f. (1.8.32)

Очевидно, что α

= 0 в точках Σ2и, в силу условия (2), α

j = 1, . . . , m и k 6= m, α

= 0 и, следовательно, b = βm− α

= 0 при

= βm< 0.

Пусть u = 0 на Σ2. Из (1.8.32) и уравнения, полученного из него дифференцированием по ym, можно найти все производные u по ymна Σ2до порядка

µ включительно. Для w в окрестности P1возьмем многочлен от ymстепени µ, совпадающий на Σ2с u вместе со всеми своими производными до порядка µ включительно. Очевидно, L(w) −f = Ψ, где Ψ = O(y классу C

(µ)

) и Ψ принадлежит

Для того чтобы построить w во всей области Ω1, рассмотрим покрытие области¯Ω1областями ωj, j = 1, . . . , N , такими, что если ωjсодержит точки Σ2, то в области ωjможно перейти к локальным координатам y и определить функцию wjтак же, как было сделано выше в окрестности P1. В областях ωj, не содержащих точек из Σ2, положим wj≡ 0. Пусть {ψj} — разбиение единицы, соответствующее покрытию множества¯Ω1областями ωj(см. главу 2, § 1). Тогда функция w = Σ

ψjωj, определенная в¯Ω1,

удовлетворяет требуемому условию. Действительно, в окрестности Σ2мы имеем L(w) −f = O(y

), так как на пересечении двух областей ωj, каждая

из которых содержит точки из Σ2, функции wjотличаются только на функцию, равную нулю на Σ2вместе со всеми своими производными вплоть до порядка µ. Мы можем предположить, что ωjсодержит точки только одного

из множеств Σ2, Σ1∪ Σ0или Σ3. Рассмотрим функцию˜f = f − L(w) в Ω1. Очевидно, что˜f равна нулю на Σ2вместе со всеми своими производными до порядка µ −1 включительно и принадлежит классу C

(Ω1). В области

(µ)

Ω1рассмотрим уравнение

Lε(u) = ε∆u + a∆u + L(u) = f1, (1.8.33)

80 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

где функция a ∈ C

(¯Ω1), a = 0 в Ω и a > 0 в¯Ω1\¯Ω, ε = const > 0, функция

(µ)

f1≡ 0 на тех частях Ω1\ Ω, граница которых содержит Σ2, и f1=˜f на оставшихся частях области Ω1. Очевидно, f1∈ C

(Ω1). Рассмотрим

(µ)

решение uε(x) уравнения (1.8.33) в области Ω1, удовлетворяющее условию вида

uε|

= 0 (1.8.34)

на границе S1. Так как неравенство

anknk+ akjnknj> 0

выполняется во всех точках границы S1, на основе предположений теоремы и лемм 1.8.2 и 1.8.4 можно заключить, что решение uεимеет производные в Ω1до порядка µ включительно, равномерно ограниченные по ε. Следовательно, при ε → 0 функция uε(x) → ˜u(x), функция ˜u(x) ∈ C

(Ω1), ˜u(x)

(µ)

удовлетворяет уравнению L(˜u) =˜f в Ω, и ˜u = 0 на Σ3.

Покажем, что ˜u = 0 на Σ2. В областях Ω1\¯Ω, содержащих точки Σ2на

своей границе, функция ˜u(x) удовлетворяет уравнению

a∆˜u + L(˜u) = 0

и, более того, равна нулю на S1. Так как точки из Σ2области Ω являются точками типа Σ1для таких областей Ω1\¯Ω, то, в силу теоремы единственности 1.6.2, в этих областях ˜u ≡ 0, т.е., ˜u = 0 на Σ2. Следовательно, u = ˜u + w является решением задачи (1.1.4), (1.1.5) и принадлежит классу C

(µ)

(¯Ω).

Теорема доказана.

Условие 2) теоремы 1.8.2 о возможности продолжения коэффициентов уравнения (1.1.4) в окрестность множества Σ2с сохранением гладкости и неотрицательности характеристической формы akjξkξjсущественно, как показывает следующий пример, взятый из [193].

Функция u = yreρy, где r и ρ — положительные постоянные, удовлетворяет уравнению

+ (1 − r)uy− (1 + r + ρy)ρu = 0 (1.8.35)

на отрезке [0, 1] оси y. Коэффициенты уравнения бесконечно дифференцируемы, точка y = 0 границы области Ω{0 < y < 1} принадлежит Σ2, а точка y = 1 принадлежит Σ3. Ясно, что для достаточно большого ρ коэффициент при u в (1.8.35) сколь угодно велик по модулю и отрицателен. Однако, если r < µ и r — не целое число, то u имеет не более чем [r] ограниченных производных, где [r] — целая часть r.

Очевидно, что уравнение (1.8.35) нельзя продолжить в окрестность точки y = 0 с сохранением гладкости и неотрицательности коэффициента при второй производной. Неравенство (1.7.1) для этого уравнения не выполнено.

Условие теоремы 1.8.2 о том, что никакие два из множеств¯Σ2,¯Σ3и Σ1∪

Σ0не имеют общих точек, тоже существенно, как показывает следующий

пример.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 228 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]