Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с частными производными. Учебное пособие
.pdf
71
Вариант 18
1.
x
xyzxyzzxx
euuuuu =−+−− 4220
2.
04
2
=−++
yyyyyyxyxx
uuuuu
,
xuyu ==
2
2
1
,2
3.
0134
32
=+−+− uuueueue
xyy
y
xy
y
xx
y
4.
0812 =++
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
6,
6
1
2
6
1
−==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
5,
2
1
2
2
1
==
−=
−=
5.
4
9 cos3
9
=+
t xx
u u t x
,
0 0 2
9 , 0, 0
= = =
= = =
xx
t x x
u x u u
6.
xtxeuuuu
t
xxttt
88224sin3982
2
3
+++−+=−−
,
tutuuxu
xxt
t
t
−=+−=−=−=
====
3000
,3,1,3
7.
Rru = ,0
,
+=
6
11
5cos),(
Ru
Вариант 19
1.
052269 =−+−−− uuuuuu
yyzxyzzxx
2.
0152428
2
=−+++
yyyyxyyyxyxx
uuuuuu
,
xuxyyu =−=
2
2
1
),(
5
2
3.
uxuuyu
xyyxx
+=−−123
4.
015174 =−−
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
==
==5
2
5
,8
; б)
xuxu
xy
y
xy
8,23
4
3
2
4
3
==
=
=
5.
5
9 10cos
6
=+
tt xx
x
uu
,
0 0 0 3
10 , 0, 0, 0
= = = =
= = = =
tx
t t x x
u x u u u
6.
)101)(6(6
4
sin21610
22
txxtuuu
xxt
−++−=−
,
72
tutuxu
x
x
xt
6,36,
4
sin
3
60
4
0
==−=
===
7.
brau = ,0
,
4cos),(,12sin),( == buau
r
Вариант 20
1.
58655 =+++−+
xxzxyzzyyxx
uuuuuu
2.
04
2
=−++
yyyyyyxyxx
uuuuu
,
xyuxyu −==
21
,5
3.
0sinsin2
22
=+−+−
x
yyyxyxx
euuxuxyuy
4.
0572 =+−
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
4,3
2
==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
9,14
2
5
2
2
5
−=−=
−=
−=
5.
1
10 sin2
4
=−
t xx
u u t x
,
0 0 3
10 , 0, 0
= = =
= = =
t x x
u x u u
6.
36634
3
cos2934
2
3
2
+−+−+=+−
−
xxtx
x
euuuu
t
xxttt
,
12,,,2
300
2
0
−===−=
====
tutuxuxu
x
x
x
x
t
t
t
7.
Rru = ,0
,
−=
3
11
3sin),(
Ru
Вариант 21
1.
xyuuuuuu
yxzxyzzyyxx
610661010 =+++++
2.
443
2
=+++
yyxxxyxxxyxx
uuuuuu
,
2
,
2
5
2
22
2
22
1
yx
uyxyxu
+
=+−=
3.
uyuxuu
xyyxx
+=−+24
4.
010712 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
23
1
,
24
1
4
5
2
4
5
==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
23
24
,
3
2
2
3
2
==
=
=
5.
4 cos=+
tt xx
u u x
,
73
0 0 0 2
11 , 0, 0, 0
= = = =
= = = =
t x x
t t x x
u x u u u
6.
)81)(1(
2
3
sin5168
22
txxtuuu
xxt
−+++=−
,
tutuxu
x
x
xt
===
=== 10
4
0
,,
2
3
sin
2
7.
brau = ,0
,
7sin),(,5cos),( == buau
r
Вариант 22
1.
0524555
2
=−++−++ yuuuuuu
yyzxzzzyyxx
2.
02
222
=−−−
yyxxyyxyxx
uuuuu
,
22
2
2
1
;2 xyuxyxu −=+=
3.
yuuueueue
yxyy
x
xy
x
xx
x
=−−++ 32
32
4.
0212 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
13
4
,
3
2
3
−==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
−==
=
=
2
7
2
2
7
,3
5.
16 2 sin
2
=+
t xx
u u t x
,
0 0 3
11 , 0, 0
= = =
= = =
x
t x x
u x u u
6.
13524
4
7
cos2413
3
1
−−−−=−− xtx
x
euuuu
t
xxttt
,
18,4,4,1
2000
+====
====
tutuxuu
xx
x
t
t
t
7.
Rru = ,0
,
−=
4
9
4cos),(
Ru
Вариант 23
1.
034469 =−+−−+
yxyzxyyyxx
uuuuuu
2.
088442417
222
=−−+++++
xyxxyyxyxxxyyyxxxyyyxx
uuuuuuuuuuu
,
yxuyxu 2,)(
4
1
2
2
1
−=+=
3.
xuuyuuy
xyyxyxx
cos22
2
=++−
74
4.
012235 =++
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
17
2
,
5
1
4
2
4
==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
6,
5
3
2
5
3
−==
−=
−=
5.
3
4 12sin
4
=+
tt xx
x
uu
,
0 0 0 2
12 , 0, 0, 0
= = = =
= = = =
tx
t t x x
u x u u u
6.
)131)(43(2
4
3
cos31613
22
txxtuuu
xxt
−−++=−
,
tutuxu
xx
x
t
4,6,
4
3
cos
2
20
4
0
==−=
===
7.
brau = ,0
,
9cos),(,6sin),( == buau
r
Вариант 24
1.
2164444 =−++++ uuuuuu
zxzxyzzxx
2.
042
2
=−++
xxyyyyxyxx
uuuuu
,
yxyuxu −== 3,
2
2
1
3.
02
22
=−++−
+
xyuuueueue
xyy
x
xy
yx
xx
y
4.
0576 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
==
=
=
3
5
2
3
5
,
; б)
xuxu
xy
y
xy
13
2
,
6
1
2
1
2
2
1
−==
=
=
5.
4 12 cos2=+
t xx
u u t x
,
0 0 5
12 , 0, 0
= = =
= = =
xx
t x x
u x u u
6.
12122
6
5
cos296
3
4
+−+−=−+ xtx
x
euuuu
t
xxttt
,
26,2,2,2
3000
−===−=
====
tutuxuu
xx
x
t
t
t
7.
Rru = ,0
,
+=
6
7
8sin),(
Ru
Вариант 25
1.
08342823 =−+−+++
yxzxyzzyyxx
uuuuuu
2.
12
22
=−+−
xyxyyyyyxx
uuuuu
,
75
2
,
22
21
xy
uxyu
−
=−=
3.
0sin2
2
=+−+− yuueueu
xyy
x
xy
x
xx
4.
03108 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
8,7
4
1
2
4
1
−==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
==
=
=
2
3
2
2
3
,
5.
2
9 sin
3
=+
tt xx
x
uu
,
0 0 0 3
13 , 0, 0, 0
= = = =
= = = =
t
t t x x
u x u u u
6.
)241)(23(
2
7
cos4424
22
txxtuuu
xxt
−−+−=−
,
tutuxu
xx
x
t
==−=
=== 10
4
0
,3,
2
7
cos
6
7.
brau = ,0
,
4sin),(,3cos),( == buau
r
Вариант 26
1.
018412949 =−−−++
xyzxzzzxx
uuuuu
2.
163 =+−++ xuuuuu
yyyxyxxxx
,
y
x
uxyxu 16
2
,32
3
2
2
1
−
−
=+=
3.
xuuuyuyuy
xyyxyxx
=−++
22
cos82sin2sin
4.
03108 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
8,7
4
1
2
4
1
−==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
==
=
=
2
3
2
2
3
,
5.
1
cos3
9
=+
t xx
u u t x
,
0 0 4
13 , 0, 0
= = =
= = =
xx
t x x
u x u u
6.
1366
6
5
sin396
3
4
−+−++=−−
−
xtxt
x
euuuu
t
xxttt
,
tutuxuu
x
x
xt
t
t
−=+=−==
====
3000
,2,1,2
7.
Rru = ,0
,
−=
3
8
cos),(
Ru
76
Вариант 27
1.
04126494 =+−−+++
xyzxzxyzzyyxx
uuuuuuu
2.
0232
24
=−+−+ yuuuu
xxxxyyy
,
2
21
)12(2,82 yyxuxxyu −−=−=
,
3.
09
22
=−+−+ uuuexuuy
yyy
x
xxx
4.
081415 =−−
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
13
1
,
15
1
5
2
2
5
2
==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
−==
=
=
3
4
2
3
4
,
5.
4 sin
2
=−
tt xx
x
uu
,
0 0 0 2
14 , 0, 0, 0
= = = =
= = = =
t
t t x x
u x u u u
6.
ttxxxtuuu
xxt
8
1
)81)(4(4cos4
16
1
8
22
−+++−=+
,
tutuxu
x
x
x
x
t
12,4,4cos
3
40
4
0
===
===
7.
brau = ,0
,
2sin),(,5cos),( == buau
r
Вариант 28
1.
484844 =+−+++ uuuuuu
xyzxzzzyy
2.
062=+−++ yuuuuu
xyyyyxyxx
,
3
21
,6 yuxyu −==
3.
0422
4)(24
=−−++
−−
yuuueueue
yyy
y
xy
yx
xx
x
4.
0812 =++
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
6,
6
1
2
6
1
−==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
5,
2
1
2
2
1
==
−=
−=
5.
3
4 3 sin
2
=−
t xx
u u t x
,
0 0 7
14 , 0, 0
= = =
= = =
x
t x x
u x u u
6.
1293
4
3
cos43
3
1
−+−−=−+
−
xtx
x
euuuu
t
xxttt
,
46,3,3,4
2000
+−=−=−==
====
tutuxuu
xx
x
t
t
t
77
7.
Rru = ,0
,
+=
4
15
7sin),(
Ru
Вариант 29
1.
yuuuuuuu
zyzxzxyzzyyxx
=−−+−++ 242452
2.
04861483
222
=−−++++
yyxyyyxyyyxxxyyyxx
uuuuuuuuu
,
2
,
21
yx
uxyu
−
==
3.
0252
2
=+−++
yxyyxyxx
uuuyyuu
4.
032 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
2
,
2
x
uxu
xy
y
xy
=−=
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
==
==3
2
3
,
5.
9 cos=+
tt xx
u u x
,
0 0 0 3
15 , 0, 0, 0
= = = =
= = = =
t x x
t t x x
u x u u u
6.
)51)(5(sin245
22
txxtuuu
xxt
−++−=−
tutuxu
xxt
10,5,sin
5
50
4
0
===
===
,
7.
brau = ,0
,
8sin),(,3cos),( == buau
r
Вариант 30
1.
222222 =−−−+++
yyzxzxyzzyyxx
uuuuuuu
2.
09
222
=−++ yuuuu
xyyxyyy
,
xyu
y
u 3,
2
2
3
1
==
3.
uuuxyu
yyyxx
=+−228
4.
0103 =−+
yyxyxx
uuu
а)
xuxu
xy
xy
4,14
2
2
2
−==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
2,13
2
2
2
=−=
=
=
5.
2 sin2=+
t xx
u u t x
,
0 0 3
15 , 0, 0
= = =
= = =
t x x
u x u u
6.
1616842cos484
2
5
4
−−+−−=−+
−
xxtxxeuuuu
t
xxttt
,
78
8,,,2
200
2
0
+−=−=−==
====
tutuxuxu
x
x
x
x
t
t
t
7.
Rru = ,0
,
−=
6
5
3cos),(
Ru
79
Заключение
Настоящее учебное пособие содержит теоретические сведения по теории
уравнений с частными производными, большое количество задач с решениями,
а также упражнения для самостоятельной работы. В пособии рассматриваются
такие вопросы, как основные понятия уравнений с частными производными,
уравнения с частными производными первого порядка и методы их решения,
понятие характеристической формы и классификация уравнений с частными
производными второго порядка, приведение к каноническому виду линейного
уравнения с частными производными второго порядка с двумя независимыми
переменными, решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка
гиперболического типа, решение смешанных задач для уравнений с частными
производными второго порядка гиперболического и параболического типов ме-
тодом разделения переменных (методом Фурье), решение краевых задач в круговых областях для уравнений с частными производных второго порядка эл-
липтического типа методом Фурье.
80
Список литературы
1. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. –
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 400 с.
2. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. –
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 402 с.
3. Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А.
Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в
примерах и задачах. – СПб.: Лань, 2010. – 432 с.
4. Владимиров В.С., Вашарин А.А., Каримова Х.Х., Михайлов В.П.,
Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Сборник задач по уравнениям
математической физики. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 288 с.
5. Могилевский И. Ш., Шаров Г.С. Сборник задач по уравнениям с частными
производными. – Тверской гос. ун-т. – Тверь: Изд-во ТверГУ, 2004. – 103 с.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]