Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с частными производными. Учебное пособие
.pdf
21
где
),( yxuu =
.
Коэффициенты характеристической формы
2
2
2
121
),(
+= yQ
зависят от y. Следовательно, уравнение Трикоми в разных точках пространства
2
R
имеет разный тип.
Если
0y
, то
2
2
2
121
),(
+=Q
,
где
11
y=
,
22
=
, коэффициенты
121==
, в этом случае уравнение
Трикоми принадлежит эллиптическому типу.
Если
0y
, то
2
2
2
121
),(
+−=Q
,
где
11
y−=
,
22
=
, коэффициенты
1,1
21
=−=
, в этом случае ис-
ходное уравнение принадлежит гиперболическому типу.
Если
0=y
, то
2
221
),(
=Q
,
коэффициенты
1,0
21
==
, в этом случае уравнение Трикоми принадлежит
параболическому типу. В итоге мы заключаем, что уравнение Трикоми являет-
ся уравнением смешанного типа.
Характеристическую форму (3.2) можно привести к каноническому виду
методом Лагранжа. Суть данного метода продемонстрируем на линейном урав-
нении второго порядка с тремя переменными:
.
222
321
231312332211
fauauaua
uauauauauaua
zyx
yzxzxyzzyyxx
=++++
++++++
Составим характеристическую форму, соответствующую этому уравнению
.22
2),,(
32233113
2112
2
333
2
222
2
111321
aa
aaaaQ
++
++++=
(3.3)
Случай I. Характеристическая форма (3.3) содержит квадрат хотя бы од-
ного переменного
3,2,1, =i
i
. Для определенности предположим, что коэф-
фициент
0
11
a
. Сгруппируем все слагаемые, содержащие
1
, и дополним их
до полного квадрата трехчлена, затем вычтем лишние слагаемые, чтобы сохранилось тождество. В результате описанной процедуры
1
будет входить только
в полный квадрат:
.2)2(
1
)(
1
),,(
3223
2
333
2
222
232
13321312
222
12
11
2
313212111
11
321
aaaaaaa
a
aaa
a
Q
+++++−
−++=
22
Случай II. Характеристическая форма (3.3) не содержит квадратов пере-
менных
3,2,1, =i
i
и имеет вид
322331132112321
222),,(
aaaQ ++=
.
Тогда квадрат хотя бы одного переменного можно получить невырожденной
заменой
33212211
,,
=−=+=
.
Действительно, в результате такого преобразования имеем
.)(2)(222
)(2)(2
))((2),,(
322313312313
2
212
2
112
3212332113
212112321
aaaaaa
aa
aQ
−++++−=
=−+++
+−+=
Далее, действуя как в первом случае, приводим характеристическую форму к
каноническому виду.
Пример 3.5. Рассмотрим уравнение
yxuuuuuuu
yzxzxyzzyyxx
−=++−+++ 822
2
1
2
1
2
.
Составим характеристическую форму
323121
2
3
2
2
2
1321
822
2
1
2
1
2),,(
+−+++=Q
.
Приведем данную форму к каноническому виду. Заметим, что эта форма со-
держит
2
1
. Сгруппируем все слагаемые, содержащие
1
, и выделим полный
квадрат.
32
2
321321
9)2(
2
1
),,(
+−+=Q
.
Теперь характеристическая форма не содержит квадратов переменных
i
,
3,2,1=i
, поэтому сделаем замену
.
~~
,
~~
,
~
)2(
2
1
3233221321
−=+==−+
Получаем
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1321
)
~
3()
~
3(
~~
9
~
9
~
)
~
,
~
,
~
(
−+=−+=Q
.
После замены
332211
~
3,
~
3,
~
===
2
3
2
2
2
1321
),,(
−+=Q
.
Коэффициенты характеристической формы имеют вид
1,1
321
−===
.
В соответствии с классификацией данное уравнение принадлежит гиперболическому типу.
В случае двух независимых переменных
x
и y уравнение (3.1) можно пе-
реписать в виде
23
),(),(),(),(
),(),(2),(
2
22
2
2
yxfuyxg
y
u
yxe
x
u
yxd
y
u
yxc
yx
u
yxb
x
u
yxa
=+
+
+
+
+
+
.
(3.4)
Процесс классификации уравнения (3.4) можно упростить. Для определенности
будем считать, что
0a
. Характеристическая форма, соответствующая урав-
нению (3.4) имеет вид
2
221
2
121
2),(
cbaQ ++=
.
(3.5)
Выделяя полный квадрат, приведем ее к каноническому виду
2
2
2
2
2121
),(
a
acb
a
b
aQ
−
−
+=
.
Видно, что тип уравнения (3.4) зависит от знака дискриминанта
acb −
2
квад-
ратичной формы (3.5). А именно:
• если
0
2
− acb
, то уравнение (3.4) принадлежит гиперболическому типу;
• если
0
2
− acb
, то уравнение (3.4) принадлежит эллиптическому типу;
• если
0
2
=− acb
, то уравнение (3.4) принадлежит параболическому типу.
Пример 3.6. Определить тип уравнения
12 =+−+ uxuuu
yyxyxx
.
Решение. Дискриминант
xacb +=− 1
2
. Если
1−=x
, то дискриминант
равен нулю и данное уравнение принадлежит параболическому типу в области
−−= yx ,1
. Если
1−x
, то дискриминант больше нуля и данное
уравнение принадлежит гиперболическому типу в области
−− yx ,1
. Если
1−x
, то дискриминант меньше нуля и данное
уравнение принадлежит эллиптическому типу в области
−− yx ,1
.
3.2 Классификация нелинейных уравнений
второго порядка
Рассмотрим нелинейное уравнение второго порядка с двумя независимыми
переменными
0),,,,,,,( =
yyxyxxyx
uuuuuuyxF
,
(3.6)
где F – непрерывно дифференцируемая функция по всем своим аргументам.
Характеристическая форма, соответствующая уравнению (3.6) имеет вид
2
221
2
121
),(
yyxyxx
u
F
u
F
u
F
Q
+
+
=
.
(3.7)
24
Поскольку коэффициенты формы (3.7) зависят не только от точки
),( yx
,
но также от решения
),( yxu
и частных производных функции
),( yxu
, то
классификация уравнения (3.6) по типам производится на данном решении,
аналогично как это делалось при рассмотрении линейного уравнения второго
порядка.
Пример 3.7. Определить тип нелинейного уравнения второго порядка с
двумя независимыми переменными на заданных решениях.
04462
23
=+−+−+
yyyxxxyxxxx
uuuuuu
,
2
,,2
2
32
2
1
x
uyuyxu ==+=
.
Решение. Прежде чем проводить классификацию данного нелинейного
уравнения, необходимо убедиться прямой подстановкой, что действительно за-
данные функции являются решениями этого уравнения. Характеристическая
форма, соответствующая данному уравнению, имеет вид
2
221
2
1
2
21
2)66(),(
yyxxxyxx
uuuuQ ++−+=
.
(3.8)
На решении
yxu 2
2
1
+=
имеем
0,0,2
111
===
yyxyxx
uuu
,
и
2
2
2
2121
2
121
18
1
18
1
18218),(
1
−
+=+=
u
Q
.
Заменой
22211
6
2
,
18
1
18
=
+=
приводим характеристическую
форму к каноническому виду
2
2
2
121
1
),(
−=
u
Q
.
Поскольку коэффициенты характеристической формы в каноническом виде
1,1
21
−==
, то в соответствии с классификацией на решении
1
u
рас-
сматриваемое уравнение принадлежит гиперболическому типу.
На решении
yu =
2
имеем
0
222
===
yyxyxx
uuu
и
( )
2
1
2
121
66),(
2
−=−=
u
Q
.
Отсюда видно, что на решении
2
u
исходное уравнение принадлежит параболи-
ческому типу.
На решении
2
2
3
x
u =
имеем
25
0,1
333
===
yyxyxx
uuu
и
2121
3
),(
=
u
Q
.
После замены
212211
,
−=+=
получим
2
2
2
121
3
),(
−=
u
Q
.
Поскольку коэффициенты характеристической формы разного знака и нет нулевых, то на решении
3
u
данное уравнение принадлежит гиперболическому
типу.
Заметим, что данное дифференциальное уравнение содержит две простран-
ственные переменные
x
и
y
. Поэтому его классификацию можно проводить и
по знаку дискриминанта
acb −
2
квадратичной формы (3.8). На решении
1
u
имеем
012=− acb
, т.е. уравнение принадлежит гиперболическому типу.
На решении
2
u
имеем
0
2
=− acb
, т.е. данное уравнение имеет параболиче-
ский тип, а на решении
3
u
дискриминант
0
4
1
2
=− acb
и исходное уравне-
ние принадлежит гиперболическому типу.
3.3 Классификация систем двух линейных уравнений
с частными производными первого порядка
Систему двух линейных уравнений с частными производными первого по-
рядка относительно неизвестных функций
vu,
, зависящих от
n
xx ,...,
1
, мож-
но записать в виде
( )
( )
=+++
=+++
=
=
n
i
nxixi
n
i
nxixi
xxfvduсvbua
xxfvduсvbua
ii
ii
1
122222
1
111111
).,...,(
),,...,(
(3.9)
Классификация системы (3.9) по типам происходит по виду характеристической формы (характеристического детерминанта)
==
==
=
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
ba
ba
Q
1
2
1
2
1
1
1
1
1
),...,(
точно так же, как это было сделано для линейного уравнения второго порядка.
26
Пример 3.8. Определить тип системы уравнений
=−+−
=+−+
.0
9
8
,092
2
yuvuu
xvuu
xxy
yyx
Решение. Соответствующий данной системе характеристический детерми-
нант имеет вид
.882
9
8
92
),(
2
221
2
1
112
221
21
+−=
−
−+
=Q
Поскольку
082)4(
22
=−−=− acb
, то данная система принадлежит пара-
болическому типу.
Пример 3.9. Определить тип системы уравнений
=+−
=−−
.cos,2yvvvu
zeuvu
zyx
x
yxx
Решение. Для данной системы уравнений характеристический детерми-
нант имеет вид
.22
2
),,(
322131
2
1
2
2
231
121
321
−−++=
−
−−
=Q
С помощью метода Лагранжа данную форму приводим к каноническому виду
=+−+−=
32
2
3
2
321321
)(),,(
Q
2
2
2
23
2
321
4
1
2
1
)(
+
−−+−=
.
После замены
232323211
2
1
,
2
1
,
=−=+−=
, получим
2
3
2
2
2
1321
),,(
+−=Q
.
Таким образом, в соответствии с классификацией данная система гиперболиче-
ского типа.
3.4 Упражнения
Определить тип уравнений:
1.
.03222 =−+−++ uuuuuu
zyzyyxyxx
2.
.0sin48455
2
=+−−−+++ xyzuuuuuuu
yzxzxyzzyyxx
3.
.024106624 =++++−+ uuuuuuu
yzxzxyzzyyxx
27
4.
.0sin3
2
=++−++
− y
yyzxzxy
xexuyuxuuu
5.
.0244543 =+−+−+++
z
yxyzxyzzyyxx
xyeuuuuuuu
6.
.0=−+ uyuxu
yyxx
Определить тип нелинейных уравнений второго порядка с двумя незави-
симыми переменными на заданных решениях:
7.
.,0)2(
2222
yxuuuuu
yyxyxxxx
+==−−+
8.
.,5,2,04
32
2
1
2
xuxyuyuuuuuu
yyyyyyxyxx
====−++
9.
.
2
1
,0343474
223
xyxuyxuuuuu
yxyyxyxx
+==++++−+−
10.
2
2
22
1
3
2),(
2
1
,0463 yuyxuuuu
yyxyxx
=+==−+−
.
11.
.2,08)(25
22
xyxuyxuuuu
xyyxyxx
+==−+−+−
Определить тип систем уравнений:
12.
=+++−
=−++−
.023623
,08342
uvuvu
uvuvu
yyxx
yyxx
13.
=−+++
=−++
.0sin3133
,0272
xevuvu
uuvu
y
yyxx
yxx
14.
=−++
=−+++
.0623
,0cos31712915
uvvu
yxvuvu
yxx
yyxx
15.
=++−+
=−−+−
.0222
,032
uvuvu
uvuvu
yzxy
zzyx
16.
=−+−+
=+−+−
.02
,0232
uvvuu
uvvuu
zxzx
zyyx
Определить тип систем уравнений в зависимости от значения веществен-
ного параметра k:
17.
=+
=−
.0
,0
xy
yx
vu
kvu
18.
=−+
=+−
.0
,0
ukvu
vkvu
yx
yxy
19.
=++
=+−
.02,0vvu
kvkvu
yx
yxy
28
4 Приведение к каноническому виду уравнений
с частными производными второго порядка
4.1 Приведение к каноническому виду линейных уравнений
с частными производными второго порядка
с двумя независимыми переменными
Линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя
независимыми переменными можно записать в виде
),(),(),(),(
),(),(2),(
2
22
2
2
yxfuyxg
y
u
yxe
x
u
yxd
y
u
yxc
yx
u
yxb
x
u
yxa
=+
+
+
+
+
+
,
(4.1)
где
fgedcba ,,,,,,
– известные действительные гладкие функции, при-
чем
cba ,,
не обращаются одновременно в ноль. Для определенности будем
считать, что
0a
.
Кривая
constyx =),(
, где
– решение нелинейного уравнения с част-
ными производными первого порядка
02
2
2
=
+
+
y
c
yx
b
x
a
(4.2)
называется характеристической кривой (характеристикой) уравнения (4.1).
В условиях достаточной гладкости коэффициентов
ba,
и c уравнения
(4.1) всегда можно найти такое невырожденное преобразование
),( yx
=
,
),( yx
=
переменных
yx,
, при помощи которого это уравнение приводит-
ся к каноническому виду.
Невырожденное преобразование
),( yx
=
,
),( yx
=
зависит от ти-
па уравнения.
В случае, когда уравнение (4.1) гиперболического типа, т.е.
0
2
− acb
,
мы имеем две различные действительные характеристики
constyx =),(
1
,
constyx =),(
2
. Примем в этом случае
),(),(
1
yxyx
=
,
),(),(
2
yxyx
=
.
В случае, когда уравнение (4.1) параболического типа, т.е.
0
2
=− acb
,
имеем одну действительную характеристику
constyx =),(
. Положим тогда
),(),( yxyx
=
,
),(),( yxyx
=
, где
),( yx
– произвольная непрерывно
дифференцируемая функция, независимая с
),( yx
.
В случае эллиптичности уравнения (4.1), т.е. при
02− acb
, действи-
тельных характеристик нет. Решение характеристического уравнения (4.2) име-
29
ет вид
),(),(),(
21
yxiyxyx
=
. В качестве новых переменных будем
брать
),(Re),( yxyx
=
,
),(Im),( yxyx
=
.
Обозначим
( )
),(),,(),(
yxuv =
. В результате замены переменных
),( yx
=
,
),( yx
=
, частные производные первого и второго порядков от
u
по x и y преобразуются следующим образом:
xx
vv
x
u
+
=
,
yy
vv
y
u
+
=
,
xxxxxxxx
vvvvv
x
u
+
+
+
+
=
2
2
22
2
2
2
2
2
2
,
,
)(
2
2
2
2
22
xyxyyx
xyyxyx
vvv
vv
yx
u
+
+
+
++
+
=
yyyyyyyy
vvvvv
y
u
+
+
+
+
=
2
2
22
2
2
2
2
2
2
.
Подставляя их в уравнение (4.1), получим канонический вид
HvC
v
B
v
A
vv
=+
+
+
+
2
2
2
2
– в эллиптическом случае,
HvC
v
B
v
A
v
=+
+
+
2
или
1111
2
2
2
2
HvC
v
B
v
A
vv
=+
+
+
−
– в гиперболическом случае,
HvC
v
B
v
A
v
=+
+
+
2
2
– в параболическом случае.
Пример 4.1. Привести уравнение
0932 =−+−+ uxuuuu
yyyxyxx
к каноническому виду.
Решение. Данное уравнение является уравнением гиперболического типа,
так как
02
4
1
2
+=− acb
. И мы имеем в этом случае две действительные
характеристики. Составим уравнение для определения характеристик:
30
02
22
=−+
yyxx
или
0=−
yx
,
02 =+
yx
.
Это линейные однородные уравнения с частными производными первого по-
рядка. Сопоставим каждому из них характеристическую систему
21
,
11
dy
dx
dy
dx
=
−
=
.
Находим первые интегралы, и в соответствии с общей теорией имеем
xyyxyxyx 2),(,),(
21
−=+=
.
В результате замены переменных
xyyxyxyx 2),(,),( −=+=
частные
производные первого и второго порядков по
x
и y преобразуются следующим
образом:
,,2
vvuvvu
yx
+=−=
,2,44
vvvuvvvu
xyxx
−−=+−=
vvvu
yy
++= 2
,
где
( )
),(),,(),(
yxuv =
. Подставляя эти значения в исходное уравне-
ние, после упрощения получаем
09))((9 =−+−+− vvvv
,
или
0)(
9
=++
−
+ vvvv
– канонический вид заданного уравнения.
Пример 4.2. Привести уравнение
08241042 =−++−
yyyxyxx
uuuu
к каноническому виду.
Решение. Данное уравнение является уравнением эллиптического типа, так
как
0204
2
−=− acb
. Составим уравнение характеристик:
01042
22
=+−
yyxx
или
0)21( =−
yx
i
.
Получили линейные однородные уравнения с частными производными первого
порядка. Сопоставим им характеристические системы
)21(1 i
dy
dx
−
=
.
Находим первые интегралы, и в соответствии с общей теорией имеем
ixyxyx 2),( +=
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]