Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с частными производными. Учебное пособие
.pdf
51
7. Решение задач для уравнений параболического типа
методом разделения переменных
7.1 Решение смешанных задач методом разделения переменных
Применение метода разделения переменных для решения смешанных задач
для уравнений параболического типа рассмотрим на примере следующей задачи для одномерного уравнения теплопроводности:
Ratxwuau
xxt
+= ),,(
2
,
(7.1)
)(),(),(),0( ttluttu
==
,
(7.2)
),()0,( xfxu =
(7.3)
решение которой будем искать в области
0,0 = tlxQ
.
Так же, как в пункте 6.3, сведем решение задачи (7.1)-(7.3) к решению за-
дачи с однородными краевыми условиями
),(
~
2
txwVaV
xxt
+=
,
(7.4)
0),(),0( == tlVtV
,
(7.5)
),(
~
)0,( xfxV =
(7.6)
где
),,(),(),( txWtxutxV −=
)(),(),(),0( ttlWttW
==
,
),,(),(
~
2
txwWWatxw
txx
+−=
)0,()()(
~
xWxfxf −=
.
Например, в качестве
),( txW
можно взять функцию
).()(1),( t
l
x
t
l
x
txW
+
−=
Решение смешанной задачи (7.4)-(7.6) будем искать аналогично как реше-
ние смешанной задачи для неоднородного уравнения гиперболического типа с
однородными краевыми условиями (см. пункт 6.2) в виде ряда
==1
)()(),(
k
kk
tTxXtxV
,
где для
,...2,1=k
функция
)(xX
k
есть решение задачи Штурма-Лиувилля
==
=+
,0)(,0)0(
,0)()(
lXX
xXxX
kk
kkk
а
)(tT
k
– решение уравнения
52
=
=+
l
k
k
k
kkkk
dxtxwxX
X
w
twtTatT
0
2
2
.),(
~
)(
1
~
),(
~
)()(
Тогда имеем, что
2
=
l
k
k
,
x
l
k
xX
k
sin)( =
,
,
2
)(
0
2
2
==
l
kk
l
dxxXX
,...2,1=k
,
а
RAAdweetT
kkk
t
l
ka
t
l
ka
k
+=
−
,)(
~
)(
0
22
,
,...2,1=k
Следовательно, функция
t
l
ka
k
kk
t
l
ka
eAdwex
l
k
txV
22
1
0
)(
~
sin),(
−
=
+=
является решением уравнения (7.4) (если, конечно, этот ряд и ряды, получен-
ные из него однократным дифференцированием по
t
и двукратным по x, схо-
дятся) и удовлетворяет краевым условиям (7.5).
Постоянные
k
A
определим из начального условия (7.6):
===1
sin)(
~
)0,(
k
k
x
l
k
AxfxV
.
Разложим функцию
)(~xf
в ряд Фурье по собственным функциям
)(xX
k
:
==1
)(
~
)(
~
k
kk
xXfxf
,
где
=
l
k
k
k
dxxXxf
X
f
0
2
)()(
~
1
~
,
,...2,1=k
В силу линейной независимости собственных функций
)(xX
k
имеем
=
l
k
dxx
l
k
xf
l
A
0
sin)(
~
2
,
Итак, решение задачи (7.4)-(7.6) имеет вид
t
l
ka
k
l
k
t
l
ka
edxx
l
k
xf
l
dwex
l
k
txV
22
1
00
sin)(
~
2
)(
~
sin),(
−
=
+=
53
Тогда решение исходной задачи (7.1)-(7.3) определяется формулой
+
+=
−
=
t
l
ka
k
l
k
t
l
ka
edxx
l
k
xf
l
dwex
l
k
txu
22
1
00
sin)(
~
2
)(
~
sin),(
)()(1 t
l
x
t
l
x
+
−+
7.2 Упражнения
Решить смешанные задачи:
1.
=
==
=+−=
=
==
.0
,0
,0,,,0,sin
0
0
2
t
lxx
xxt
u
uu
bconstbalxx
l
buuau
2.
=
==
=+=
=
==
−
.0
,0
,,,0,
2
cos
0
0
2
t
lxx
x
t
xxt
u
uu
constbalxx
l
beuau
3.
=
==
+−−++=
=
==
.0
,2,0
,0,cos2424
0
0
222
t
x
x
x
x
xxt
u
tuu
xxtxtxuuu
4.
=
==
++−=
=
==
.sin
,,0
,22
0
10
xeu
tuu
txuuu
x
t
xx
xxxt
54
8. Решение краевых задач для уравнений эллиптического типа методом
разделения переменных в круговых областях
Решение краевых задач для уравнений эллиптического типа методом раз-
деления переменных рассмотрим на примере двумерного уравнения Лапласа
0=u
,
где
2
2
2
2
yx
+
=
. В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения в кру-
говых областях, поэтому нам удобнее перейти к полярным координатам
sin,cos ryrx ==
. В этом случае уравнение Лапласа примет вид
0
11
2
=++
rrr
u
r
u
r
u
.
(8.1)
Найдем общее решение уравнения (8.1) при условии, что оно является пе-
риодическим по переменной
с периодом, равным
2
. Будем искать решение
уравнения (8.1) в виде произведения двух функций
)()(),(
= rRru
.
(8.2)
После подстановки (8.2) в уравнение (8.1) получим
0
11
2
=
+
+
R
r
R
r
R
.
Умножая обе части последнего уравнения на
R
r
2
и, разделяя переменные,
имеем
−=
+
−=
)(
)()(
)(
)(
2
rR
rRrrRr
.
Таким образом, мы получили два обыкновенных дифференциальных уравнения
0=+
,
(8.3)
и
0'"
2
=−+ RrRRr
.
(8.4)
При
0
решением уравнения (8.3) является функция
,)(
−−−
+= ebea
Rba ,
,
которая периодической не является.
При
0
решением уравнения (8.3) является функция
kkkkk
ba sincos)( +=
,
Rba
kk
,
,
которая является периодической с периодом
2
при
2
kk=
,
,...2,1=k
. То-
гда
kbka
kkk
sincos)( +=
,
,...2,1=k
55
При
0=
уравнение (8.3) имеет вид
0=
. Его решением является
функция
00
)( ab +=
,
которая является периодической только при
0
0
=b
. Тогда собственному зна-
чению
0=
соответствует собственная функция
0)(
00
== consta
.
Уравнение (8.4) является уравнением Эйлера. Для его решения произведем
замену переменного
t
er =
. В результате получаем уравнение
0)()(" =− tRtR
.
Таким образом, каждому собственному значению
2
kk=
будет соответство-
вать дифференциальное уравнение
0)()(
2''
=− tRktR
kk
,
общим решением которого является функция
kt
k
kt
kk
eetR
−
+=)(
,
R
kk
,
,
,...2,1=k
После обратной замены
rt ln=
имеем
k
k
k
kk
rrrR
−
+=)(
,
,...2,1=k
Для собственного значения
0=
, имеем уравнение
0)(" =tR
. Его решением
является линейная функция
ttR
000
)(
+=, R
00
,
.
После обратной замены
rt ln=
находим
rrR ln)(
000
+=
.
Итак, общее решение уравнения Лапласа (8.1) представляется в виде ряда
++==
=
rBArRru
k
kk
ln)()(),(
00
0
krDrCkrBrA
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
cos)(sin)(
11
=
−
=
−
++++
,
(8.5)
где
,...2,1,,
,,,,
000000
===
====
kaDaC
bBbAaBaA
kkkkkk
kkkkkk
– некоторые постоянные.
56
8.1 Решение краевых задач для уравнения Лапласа в круге
Найдем внутри круга радиуса
R
, т.е. в области
20,0:),( = Rrr
, ограниченное решение двумерного
уравнения Лапласа (записанного в полярных координатах)
0
11
2
=++
rrr
u
r
u
r
u
,
удовлетворяющее краевому условию
)(),(
fRu =
.
(8.6)
Поскольку решение данной задачи должно быть ограниченным, то в формуле
(8.5) константы
kk
DBB ,,
0
,
,...2,1=k
нужно взять равными нулю. Тогда
общее решение уравнения Лапласа внутри круга имеет вид
krCkrAAru
k
k
k
k
k
k
cossin),(
11
0
=
=
++=
.
(8.7)
Удовлетворим его краевому условию (8.6):
)(cossin),(
11
0
fkRCkRAARu
k
k
k
k
k
k
=++=
=
=
.
Разложим функцию
)(f
в ряд Фурье по тригонометрической системе
kk cos,sin,1
, получаем
=
=
++=
1 1
21
0
cossin)(
k k
kk
kfkfff
,
где коэффициенты
21
0
,,
kk
fff
определяются по формулам:
=
2
0
0
)(
2
1
dff
,
=
2
0
1
sin)(
1
dkff
k
,
=
2
0
2
cos)(
1
dkff
k
,
,...2,1=k
.
(8.8)
Тогда
00
fA =
,
k
kk
RfA−=
1
,
k
kk
RfC−=
2
,
,...2,1=k
Найденные
kk
CAA ,,
0
,
,...2,1=k
подставляем в (8.7).
57
Получаем решение уравнения Лапласа внутри круга, удовлетворяющее
краевому условию (8.6):
.coscos)(
1
sinsin)(
1
)(
2
1
),(
1
2
0
1
2
0
2
0
k
R
r
dkf
k
R
r
dkfdfru
k
k
k
k
=
=
+
+
+=
8.2 Решение краевых задач для уравнения Лапласа вне круга
Будем искать вне круга радиуса
R
, т.е. в области
20,:),( = Rrr
, ограниченное на бесконечности решение
двумерного уравнения Лапласа (записанного в полярных координатах)
0
11
2
=++
rrr
u
r
u
r
u
,
удовлетворяющее краевому условию
)(),(
fRu =
.
(8.9)
Поскольку решение данной задачи должно быть ограниченным на бесконечно-
сти, то в формуле (8.5) константы
kk
CAB ,,
0
,
,...2,1=k
нужно положить
равными нулю. Тогда общее решение уравнения Лапласа вне круга имеет вид
krDkrBAru
k
k
k
k
k
k
cossin),(
11
0
=
−
=
−
++=
.
(8.10)
Подчиним его краевому условию (8.9):
)(cossin),(
11
0
fkRDkRBARu
k
k
k
k
k
k
=++=
=
−
=
−
.
Разлагаем функцию
)(f
в ряд Фурье по системе
kk cos,sin,1
, получаем
ряд
=
=
++=
1 1
21
0
cossin)(
k k
kk
kfkfff
,
где коэффициенты
21
0
,,
kk
fff
,
,...2,1=k
определяются по формулам (8.8).
Тогда имеем
00
fA =
,
k
kk
RfB1=
,
k
kk
RfD2=
,
,...2,1=k
Найденные
kk
DBA ,,
0
,
,...2,1=k
подставляем в (8.10).
58
Получаем решение уравнения Лапласа вне круга, удовлетворяющее крае-
вому условию (8.9):
.coscos)(
1
sinsin)(
1
)(
2
1
),(
1
2
0
1
2
0
2
0
k
r
R
dkf
k
r
R
dkfdfru
k
k
k
k
=
=
+
+
+=
8.3 Решение краевых задач для уравнения Лапласа
в кольце
В кольце
20,:),( = rr
рассмотрим краевую за-
дачу
0
11
2
=++
rrr
u
r
u
r
u
,
(8.11)
)(),(
fu =
,
)(),(
gu =
.
(8.12)
Как показано выше, общее решение уравнения Лапласа (8.11) задает фор-
мула (8.5). Удовлетворяем это решение краевым условиям (8.12), получаем
),(cos)(
sin)(ln),(
1
1
00
fkDC
kBABAu
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
=++
++++=
=
−
=
−
).(cos)(
sin)(ln),(
1
1
00
gkDC
kBABAu
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
=++
++++=
=
−
=
−
(8.13)
Функции
)(f, )(g
разлагаем в ряд Фурье по тригонометрической системе
kk cos,sin,1
, получаем
=
=
++=
1 1
21
0
cossin)(
k k
kk
kfkfff
,
=
=
++=
1 1
21
0
cossin)(
k k
kk
kgkggg
,
(8.14)
где
=
2
0
0
)(
2
1
dff
,
=
2
0
1
sin)(
1
dkff
k
,
59
=
2
0
2
cos)(
1
dkff
k
,
,...2,1=k
,
=
2
0
0
)(
2
1
dgg
,
=
2
0
1
sin)(
1
dkgg
k
,
=
2
0
2
cos)(
1
dkgg
k
,
,...2,1=k
Тогда в силу линейной независимости собственных функций
kk cos,sin,1
из (8.13) и (8.14) получаем следующие системы алгебраических уравнений:
=+
=+
,ln
,ln
000
000
gBA
fBA
=+
=+
−
−
,
,
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
gBA
fBA
=+
=+
−
−
,
,
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
gDC
fDC
разрешая которые, находим
0
A
,
0
B
,
k
A
,
k
B
,
k
C
,
k
D
,
,...2,1=k
Подставляем
эти коэффициенты в (8.5), получаем решение задачи (8.11), (8.12).
8.4 Упражнения
1. Найти функцию
),(ru
, гармоническую вне круга радиуса
R
с центром в
начале координат, такую, что
3sincos2 −=
=Rr
u
.
2. Найти функцию
),(ru
, гармоническую в кольце
21 r
, такую, что
=+=
== 21
,sin
rr
uu
.
3. Найти функцию
),(ru
, гармоническую внутри круга радиуса
R
с центром
в начале координат, такую, что
3
sin=
=Rr
r
u
.
4. Найти гармоническую функцию в круговом секторе
Rr 0
,
0
,
удовлетворяющую условиям
sin=
=Rr
u
,
0
0
==
==
uu
.
60
5. Найти функцию
),(ru
, гармоническую внутри единичного круга, такую,
что
4
1
cos=
=r
u
.
6. Найти функцию
),(ru
, гармоническую в кольце
21 r
такую, что
sin,cos1
2
2
1
=+=
== rr
uu
.
7. Найти стационарное распределение температуры
),(ru
внутри бесконеч-
ного цилиндра радиуса R, если на одной половине поверхности цилиндра
( )
0
поддерживается температура
0
T−
, а на другой половине
( )
0−
– температура
0
T
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]