Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с частными производными. Учебное пособие
.pdf
11
ze
xy−
=
2
.
В силу формулы (2.6), общее решение исходного уравнения есть функция
( )
21
,
Fu =
,
т.е.
=
−xy
ze
y
x
Fu ,
,
где
F
– произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргумен-
тов. Отметим, для того чтобы получить частное решение уравнения из общего,
необходимо конкретизировать функцию
F
. Например, если выбрать в качестве
F
функцию
2121
),( ttttF +=
,
то
xy
ze
y
x
u
−
+=
будет частным решением данного уравнения.
Пусть уравнение
1
( ,...., ) 0
n
g x x =
задает гладкую поверхность , которая
называется начальной поверхностью и на поверхности
задана некоторая
непрерывно дифференцируемая функция
1
( ,...., )
n
xx
. Поставим начальное
условие
1
1 ( ,...., ) 1
( ,...., ) ( ,...., )
n
n x x n
u x x x x
=
.
(2.7)
Функция
1
( ,...., )
n
xx
называется начальным значением
1
( ,...., )
n
u x x
. Уравне-
ние (2.1) и начальное условие (2.7) образуют задачу Коши. Решить задачу Коши
– значит, найти такое решение уравнения (2.1), которое удовлетворяет начальному условию (2.7).
Чтобы решить задачу Коши (2.1), (2.7), необходимо из системы уравнений
1
1 1 1
1 1 1
( ,...., ) 0,
( ,...., ) ,
...
( ,...., )
n
n
n n n
g x x
x x C
x x C
−−
=
=
=
выразить
1
,....,
n
xx
через
11
,...,
n
CC
−
и подставить найденные выражения в
1
( ,...., )
n
xx
.
Пример 2.2. Решить задачу Коши
12
42
2
1
2
1
( ) 0,
2
2
|.
2
x y z
xy
xu yu z x y u
zx
u
x
=−
− + + =
−
=
Решение. Запишем характеристическую систему, соответствующую дан-
ному уравнению
2
=
−
dx dy
xy
42
=
+dzz x y
.
Рассматривая равенство первой и второй дробей
y
dy
x
dx
−
=
2
,
находим
2
1
xyC =, RC
1
.
Таким образом, один из первых интегралов имеет вид
2
1
xy=
.
Далее, поскольку
x
C
y
1
2
=
,
то из равенства первой и третей дробей характеристической систему получаем
линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
2
1
'.
z
z C x
x
−=
Решим это уравнение, используя метод вариации произвольной постоянной.
Сначала рассмотрим однородное уравнение
0
dz z
dx x
−=
.
Разделяя переменные, находим
,z Cx=
CR
.
Полагая здесь
( )
C C x=
и подставляя
( )
z C x x=
в неоднородное уравнение,
для функции
( )
Cx
получаем обыкновенное дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными
'
1
.C C x=
Следовательно
2
1
2
( ) ,
2
Cx
C x C=+
2
C
R
.
Таким образом
13
3
1
2
=
Cx
z
2
+Cx
,
откуда
2
=C
2
1
2
−
Cx
z
x
23
2
=−
z y x
x
.
Тем самым найден еще один первый интеграл
23
2
2
z y x
x
=−
.
В силу формулы (2.6), общее решение исходного уравнения есть
−=
2
,
32
2
xy
x
z
xyFu
,
где
F
– произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргумен-
тов. Чтобы решить задачу Коши, рассмотрим систему уравнений
2
1
23
2
1,
,
.
2
=−
=
−=
xy
xy C
z y x
C
x
Выразим
,,x y z
через
12
,CC
1
1
2
2
11
1
,
,
1
.
2
=
=−
=+
x
C
yC
C
z
CC
Подставляя найденные
,,x y z
в начальное значение, имеем
2
12
2
2
.
2
zx
CC
x
−
=
Окончательно получаем решение поставленной задачи Коши
).2(
2
42
2
xyz
y
u −=
14
2.2 Квазилинейные уравнения
Равенство вида
( )
1
( , ) , ,
=
=
n
i
i
i
u
a u f u
x
xx
(2.8)
где
( , ),
i
aux
ni ,...,1=
,
( , )fux
– заданные непрерывные функции в некото-
рой области пространства
1+n
R
, для которых
=
n
i
i
ua
1
2
0),(x
называется квази-
линейным уравнением с частными производными первого порядка.
Уравнению с частными производными (2.8) сопоставим систему из
( )
1n +
-го обыкновенного дифференциального уравнения
( )
1
1
...
( , ) ( , ) ,
= = =
n
n
dx
dx
du
a u a u f ux x x
,
(2.9)
которая называется характеристической системой уравнения (2.8), а интегральные кривые системы (2.9) называются характеристиками уравнения (2.8).
Пусть найдено
n
линейно независимых первых интегралов
1 1 1
( ,.., , ),.., ( ,.., , )
n n n
x x u x x u
системы (2.9), тогда общее решение уравнения
(2.8) можно записать в неявном виде
1 1 1
( ( ,.., , ),..., ( ,.., , )) 0
n n n
F x x u x x u
=
,
(2.10)
где
F
– произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргумен-
тов.
В частности, если
u
входит только в один из первых интегралов, например
в последний,
1
( ,.., , )
n n n
x x u
=
,
1
( ,.., )
i i n
xx
=
,
1,..., 1in=−
. Тогда ре-
шение (2.10) можно записать в виде
1 1 1
( ,.., , ) ( ,.., )
n n n
x x u g
−
=
.
Разрешив данное равенство относительно
u
, получим решение уравнения (2.8)
в явном виде.
Решение уравнения (2.8) может быть представлено и в параметрическом
виде
),,(
iii
Csxx =
,,...,1 ni =
),,...,,(
11 +=nn
CCCsuu
,
где
s
– параметр,
11
,,...,
+nn
CCC
– константы интегрирования.
15
Для этого нужно характеристическую систему записать в нормальном
виде
=
=
=
).,(
),,(
.........................
),,(
1
1
uf
ds
du
ua
ds
dx
ua
ds
dx
n
n
x
x
x
Пример 2.3. Найти общее решение уравнения
2
uu
xu
xy
+=
.
Решение. Выпишем характеристическую систему, соответствующую дан-
ному уравнению:
12
dx dy du
xu
==
.
Рассматривая равенство первой и второй дробей, затем первой и третьей после-
довательно, находим первые интегралы системы
2
12
,
x
x y ue
−
= − =
.
Следовательно, общее решение исходного уравнения выписывается неявно в
виде
2
( , ) 0
x
F x y ue
−
−=
,
где
F
– произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Поскольку u
входит только в один из первых интегралов, то решение можно записать в яв-
ном виде
2
()
x
u e f x y=−
,
где
f
– произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Пример 2.4. Найти общее решение уравнения
4 4 2 2
zz
xz yz x y
xy
− = −
.
Решение. Составим характеристическую систему
4 4 2 2
dx dy dz
xz yz x y
==
−−
.
Из равенства первой и второй дробей следует, что
dx dy
xy
=
−
.
16
Это уравнение с разделяющимися переменными, интегрируя которое, находим
1
C xy=
,
1
CR
.
Для нахождения второго семейства характеристик, применим свойство равных
дробей. Рассмотрим комбинацию первой и второй дробей и приравниваем ее к
третьей, получаем
4 4 2 2
,
dx dy dz
xz yz x y
+
=
−−
или
4
( ) ( )( )
dx dy dz
x y z x y x y
+
=
− − +
.
После сокращения на
xy−
, получим
4
()
()
d x y dz
z x y
+
=
+
.
Затем, разделяя переменные, имеем
4
( ) ( )x y d x y z dz+ + =
.
Интегрируя это равенство, находим
25
2
()
2 5 10
C
x y z+
=−
,
2
CR
или
52
2
2 5( )C z x y= − +
.
Запишем общее решение исходного уравнения в неявном виде
52
( ,2 5( ) ) 0F xy z x y− + =
,
где
F
– произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргумен-
тов. Снова, т.к.
z
входит в запись только одного из первых интегралов, то ре-
шение исходного уравнения можно выписать и в явном виде
2
5
( ) 5( )
,
2
f xy x y
z
++
=
где
f
– произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Пример 2.5. Решить задачу Коши
3
,
yx
uu
x y u
xy
ux
=
−=
=
.
17
Решение.
1 способ. Характеристическая система, соответствующая данному уравне-
нию, имеет вид
dx dy du
x y u
==
−
.
Независимые первые интегралы характеристической системы – функции
12
, xy yu
==
.
Тогда равенство
( , ) 0F xy yu =
,
где
F
– произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргумен-
тов, дает общее решение исходного уравнения. Так как искомая функция входит только в один из первых интегралов, то решение можно записать в явном
виде
()f xy
uy=
,
где
f
– произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Отсюда сле-
дует, что
()f xy yu=
.
Из начальных условий найдем функцию
f
.
Так как
3
ux=
при
yx=
, то
24
()f x x=
,
т.е.
2
()f t t=
.
Тогда решение задачи Коши имеет вид
2
u x y=
.
2 способ. Будем искать решение задачи Коши в параметрическом виде, для
этого запишем характеристическую систему данного уравнения в нормальном
виде:
,
,
.
dx
x
ds
dy
y
ds
du
u
ds
=
=−
=
Эта система имеет решение
1
s
x C e=
,
2
s
y C e
−
=
,
3
s
u C e=
,
18
где
s
– параметр,
1
C
,
2
C
,
3
C
– константы интегрирования. Для определения
1
C
,
2
C
,
3
C
воспользуемся начальными условиями, которые можно записать в
параметрическом виде:
3
0 0 0
, ,
s s s
x t y t u t
= = =
= = =
,
где
t
– параметр. Подчиняя найденное решение начальным условиям, получим
01s
x C t
=
==
,
02s
y C t
=
==
,
3
03s
u C t
=
==
.
Тогда решение задачи Коши в параметрическом виде запишется так:
3
, ,
s s s
x te y te u t e
−
= = =
.
Выражая параметры
ts,
из первых двух уравнений, можно записать решение
в явном виде. Из первых двух равенств следует, что
2
xy t=
, тогда
2
u x y=
.
2.3 Упражнения
Найти решение уравнений, удовлетворяющих указанным условиям:
1.
.0,,0)2( ===−+ xyuuyeu
y
x
x
2.
.1,,02 ===++ xyzuuuu
zyx
3.
.,cos, xyxuxyuu
yx
===−
4.
.1,,
22
===+ xyuxxyuuy
yx
5.
.2,21,)()( =−−=+=+++ yxxzyxzxzzzy
yx
6.
.01,1),3(
2
=+=−=− yzxyxzyzxz
yx
7.
.,,
2
yzxyuuyzuzuxu
zyx
===++
19
3 Понятие характеристической формы и классификация уравнений с
частными производными второго порядка
Равенство вида
nji
xx
u
x
u
x
u
uxxF
jin
n
,...,1,,0,...,...,,...,,,,...,
2
1
1
==
называется дифференциальным уравнением с частными производными второго
порядка относительно неизвестной функции
),...,()(
1 n
xxuu =x
.
Классификация уравнений с частными производными второго порядка ос-
нована на свойствах характеристической формы
=
=
n
ji
ji
xx
n
ji
u
F
K
1,
1
),...,(
,
которая является квадратичной.
3.1 Классификация линейных уравнений
второго порядка
Линейное уравнение с частными производными второго порядка можно
записать в виде
)()()()(
1, 1
2
xxxx
= =
=+
+
n
ji
n
j
j
j
ji
ij
fuc
x
u
b
xx
u
a
,
(3.1)
где
)(),(,,...,1,),(),( xxxx fcnjiba
jij
=
– заданные в области
n
RD
дей-
ствительные гладкие функции, причем
=
n
ji
ij
a
1,
2
0)(x
.
Характеристическая форма, соответствующая уравнению (3.1), имеет вид
=
=
n
ji
jiijn
aQ
1,
1
)(),...,(
x
.
В каждой точке
Dx
данная квадратичная форма, с помощью невырожденно-
го преобразования
ni
nii
,...,1),,...,(
1
==
, может быть приведена к
каноническому виду
=
=
n
i
iin
Q
1
2
1
),...,(
,
(3.2)
где коэффициенты
ni
i
,...,1, =
могут принимать значения
1,0,1−
, при-
чем число отрицательных и нулевых коэффициентов формы (3.2) не зависит от
способа приведения этой формы к каноническому виду.
Если все
1=
i
или все
ni
i
,...,1,1 =−=
, то уравнение (3.1) принад-
лежит эллиптическому типу в точке
Dx
.
20
Если все коэффициенты
i
отличны от нуля и все не одного знака, то
уравнение (3.1) принадлежит гиперболическому типу в точке
Dx
.
Если же хотя бы один из
i
равен нулю (все
i
не могут равняться нулю,
т.к. вырождение порядка уравнения исключается), то уравнение (3.1) в точке
Dx
принадлежит параболическому типу.
Говорят, что уравнение (3.1) принадлежит эллиптическому, гиперболиче-
скому или параболическому типу в области D, если оно принадлежит эллиптическому, гиперболическому или параболическому типу в каждой точке области
D
.
Когда в разных точках области
D
уравнение (3.1) принадлежит различным
типам, то говорят, что оно является уравнением смешанного типа в этой обла-
сти.
Пример 3.1. Рассмотрим уравнение Пуассона в многомерном случае
fu =
,
где
),,...,(),,...,(
11 nn
xxffxxuu ==
2
2
2
1
2
...
n
x
u
x
u
u
++
=
.
Характеристическая форма, соответствующая данному уравнению, имеет
вид
22
11
...),...,(nnQ
++=
.
Здесь все коэффициенты
ni
i
,...,1,1 ==
, поэтому в соответствии с класси-
фикацией уравнение Пуассона принадлежит эллиптическому типу.
Пример 3.2. Для многомерного однородного волнового уравнения вида
uu
tt
=
,
где
),,...,(
1
txxuun=
, составим характеристическую форму
2
1
22
2
2
1121
...),...,,(
++
+−−−−=
nnn
Q
.
Коэффициенты
1,,...,1,1
1
==−=
+ni
ni
. Таким образом, волновое
уравнение принадлежит гиперболическому типу.
Пример 3.3. Для многомерного однородного уравнения теплопроводности
вида
uu
t
=
,
где
),,...,(
1
txxuun=
, характеристическая форма имеет вид
2
1
22
1121
0...),...,,(
++
+−−−=
nnn
Q
,
т.е.
0,,...,1,1
1
==−=
+ni
ni
. Следовательно, уравнение теплопроводно-
сти принадлежит параболическому типу.
Пример 3.4. Рассмотрим уравнение Трикоми
0
2
2
2
2
=
+
y
u
x
u
y
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]