Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие

82 Г

лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ

kvk

τ;q,µ,s

kvk

 





=



ρ≤q,|l|≤µ



Gτ;q,µ,s

X

q+µ≤s

=

(



∂ρv

l

D

t

∂

τ

Z

2

kvk

σ;q,µ,s

0

∂ρv

l

, D

ρ

t

∂

)

dσ



1/2

t=τ

.

 









1/2

Обозначим через Hs(GT) класс функций, полученный замыканием множества бесконечно дифференцируемых функций в GTс компактным носителем по x относительно нормы kvk

GT;s

.

Лемма 5.4.1. Пусть uε(t, x) — решение гиперболического уравнения

Lε(u) = u

− ε∆u − (a

kj ε

u

)

x

k

j

+ b

k

u

x

ε

k

0

+ b

ut+ cεu = fε, ε = const > 0,

ε

(5.4.3)

в области Gε= {0 ≤ t ≤ T − ε, x ∈ Rm}, удовлетворяющей условиям

u|

= ϕε(x), ut|

t=0

= ψε(x), (5.4.4)

t=0

kj

k

где a

, b

ε

0

, b

, cε, fε, ϕεи ψε— бесконечно дифференцируемые функции в

ε

Gε, а fε, ϕεи ψεимеют компактный носитель по x. Пусть неравенство

αt(b

k

ξk)2≤ Aa

ε

kj

ξkξj+ a

ε

kj εt

ξkξ

j

(5.4.5)

выполняется для всех ξ и t из интервала 0 ≤ t ≤ t0, где t0— малое положительное число, меньшее, чем T − ε, α — постоянная с α > (2p + 6)−1(p — целое число такое, что p ≥ −1) и A — постоянная. Более того, предположим, что (5.4.5) выполняется для всех ξ и t из отрезка t0≤ t ≤ T −ε для некоторых (возможно, других) постоянных α и A. Тогда при 0 ≤ τ ≤ T −ε верна оценка

kuεk

2

≤ M1{kϕεk

τ,s

2 0;s+p+4

+kfεk

+ kϕεk

Gτ;0,s,s

2 0;s+p+3

+ kfεk

+ max

0≤µ≤t

2 0;p,p+s+2,p+s+2

kfεk

0

2 µ;p+1,s,p+1+s

+ kfεk

2 τ;s−2

}, (5.4.6)

где постоянная M1зависит от максимумов абсолютных значений производных функций a

kj

, a

ε

εx

k

, b

k ε

, b

0

ε

0

, b

и cεпо t и x до порядка s − 2, от

εt

kj

их производных по x до порядка s, от их производных вида Dl∂ρ/∂tρв t = 0 для порядков, удовлетворяющих условиям ρ ≤ p, |l| ≤ p + 2 + s, ρ + |l| ≤ p + 2 + s и, наконец, от их производных вида Dl∂ρ/∂tρ, где |l| ≤ s, ρ ≤ p + 1 в отрезке 0 ≤ t ≤ t0. Здесь предполагается, что s ≥ 2.

+

Доказательство. Пусть

vp= ϕε+ tψε+

t

2!

2

∂2u

∂

t

 

ε



+ ··· +



2

t=0

81

p+2

t

(p +

2)!

∂

p+2

∂

p+2

t

 

u

ε



, (5.4.7)



t=0

ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ(ЗАДАЧА КОШИ) 83

4.

где производные от uεпри t = 0 выражены с помощью уравнения (5.4.3) и уравнений, полученных из него дифференцированием по t, принимая во

kj

внимание начальные условия (5.4.4). Ясно, что vpзависит от a

0

b

, cε, fεи их производных по t и x до порядка p при t = 0 и от ϕεи ψεи

ε

, a

ε

εx

k

, b

,

ε

k

их производных до порядков p + 2 и p + 1 соответственно.

Для функции u = uε− vpмы получим уравнение

Lε(u) = f − Lε(vp) ≡ F(t, x). (5.4.8)

Легко видеть, что F и ее производные по t до порядка p включительно

равны нулю при t = 0. Пусть w =

Z

τ

u(σ, x) dσ. Умножим (5.4.8) на weθt,

t

где θ — положительная постоянная, которая будет выбрана позже, и проинтегрируем по области Gτ. Пусть τ ≤ t0. Преобразуем отдельные члены получающегося уравнения

[Lε(u), eθtw]

= [F, eθtw]

G

τ

G

τ

(5.4.9)

с помощью интегрирования по частям. Очевидно,



[(a

ε∆u, eθtw]

kj

u

x

ε

k

[utt, eθtw]

)

, eθtw]

x

j

1

(u,

=

G

τ

eθtu)

2

+ueθt, θ2w −

t=τ

1

= −

G

τ

εθ[w

2 1

= −

G

τ

[(θ

2

eθtw

,

x

k

kj

a

+ a

ε

kj εt

x

)w

k

]

G

x

k

−

τ

, eθtw

1 2

ε(w

]

x

j

3

θ

u

w

,

G

τ

)

k

(a

t=0

k

j

ε

w

,

, w

)

x

k

.

t=0

j

x

1 2

2

,

x

k

−

G

τ

Далее мы получим

0

[b

ut, eθtw]

ε

= [u, eθtb

G

τ

0

u − (b

ε

0

eθt)tw]

ε

;

G

τ

[b

k ε

u

x

, eθtw]

k

G

= −[b

τ

k

u, eθtw]

εx

k

− [b

w

G

τ

, eθtu]

x

ε

k

.

G

τ

Из последнего уравнения следует оценка

|[b

k ε

u

, eθtw]

x

k

| ≤ M2τ2[u, t−1eθtu]

G

τ

α

k

[tb

+

G

τ

w

x

ε

2

k

,

eθtb

k

w

]

x

ε

k

1

[u,

+

G

τ

2α

t−1eθtu]

(5.4.10)

где M2— постоянная, зависящая от sup

k

|b

|. Теперь оценим [F, eθtw]

εx

G

k

τ

G

. Ин-

τ

тегрируя по частям и пользуясь тем, что F и ее производные по t до порядка p включительно равны нулю при t = 0, получим

[F, eθtw]



p+1

∂

=

G

τ

F

, W

p+1

t

∂

p+1



,

G

τ

где

τ

Z

W

µ+1

=

Wµ(σ, x) dσ, µ = 0, 1, . . . , p; W0= eθtw.

t

,

G

τ

82

84 Г

лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ

Так как

|W

p+1

|2≤ e

2θTτ2p+3

τ

Z

u2(σ, x) dσ,

0

получаем

2p+6

|[F, eθtw]

τ

| ≤

G

τ

4δ

e

T

θ

|kF k|

2 p+1,t

+ δ[u, eθtt−1u]

0

, (5.4.11)

G

τ

где постоянная δ > 0 выбрана таким образом, что

α−1+ 2δ < 2p + 6, |kF k|

2 p+1,τ

= max

0≤σ≤τ



∂

p+1

t

F

∂

,

∂

p+1

t



F

.

t=σ

Пользуясь оценками (5.4.10), (5.4.11) и условием (5.4.5) и полагая θ равным A, мы получим из (5.4.9), что при τ ≤ t

τy0(τ) ≤ (α−1+ 2δ)y(τ ) + M3τy(τ ) + M4τ

где y(τ ) = [u, t−1eθtu] солютных значений функций b

, постоянная M3зависит от максимумов в G

G

τ

0

, b

ε

0

εt

0

2p+6

k

, b

, cεи от T , а M4= eθTδ−1/2. Из

εx

k

|kF k|

2

, (5.4.12)

p+1,t

0

аб-

t

0

(5.4.12) следует, что

τ

Z

y(τ ) ≤ τ

(α−1+2δ)eM3τ

|kF k|

2 p+1,t

−M3ττ2p+6−1−α−1−2δ

e

0

dτ ≤ M5τ

2p+6

|kF k|

2 p+1,t

(5.4.13)

так как по предположению 2p + 6 − 1 −α−1− 2δ > −1. Следовательно,

(u, eAτu)

t=τ

≤ M6τ

2p+6

|kF k|

2

, M6= const > 0. (5.4.14)

p+1,t

0

Теперь воспользуемся индукцией, чтобы оценить производные от u по x до порядка s включительно. Предположим, что мы уже получили оценку вида

(Dlu, Dlu)

t=τ

≤ Elτ

2p+6

X

|β|≤|l|

|kDβF k|

2 p+1,t

0

(5.4.15)

для всех |l| ≤ q − 1; здесь Elзависит от максимумов абсолютных значений

kj

k

a

, a

εx

, b

k

ε

0

, b

, cεи их производных по x до порядка q −1 включительно.

ε

εt

Мы покажем, что та же самая оценка выполняется при |l| ≤ q ≤ s.

Для этого мы применим оператор Dlк правой и левой частям (5.4.8), умножим полученное уравнение на e

θ1tDl

w, проинтегрируем по Gτи про-

суммируем по всем l таким, что |l| = q. Тогда получим

,

0

[DlLε(u), e

θ1tDl

w]

= [DlF, e

G

τ

θ1tDl

w]

, |l| = q. (5.4.16)

G

τ

Преобразуем интегралы в (5.4.16) с помощью интегрирования по частям таким же образом, как это было сделано при выводе (5.4.14). Имеем

|[DlF, e

θ1tDl

w]

| ≤ δ[Dlu, e

G

τ

θ1tt−1Dl

83

u]

G

τ

+ M7τ

2p+6

|kDlF k|

2 p+1,t

;

0

ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ(ЗАДАЧА КОШИ) 85

4.

[Dl(a

−

1≤|γ|≤q

X

kj

u

x

ε

k

−

Cγ[Dγa

)

x

j

1 2

θ1tDl

, e

[(θ1a

kj

D

ε

k

j

ε

l−γ

w]

+ a

u

x

G

τ

kj εt

, e

k

= −

)Dlw

θ1tDl

1

j

k

Dlw

(a

ε

2

θ1tDl

, e

x

k

w

]

, Cγ= const . (5.4.17)

x

G

j

τ

x

w

k

, e

x

j

θ1tDl

]

−

G

τ

w

)

x

−

t=τ

j

Оценим последний член этого уравнения. Интегралы вида

kj

[a

εx

l−γ

D

ρ

u

θ1tDl

, e

x

k

w

]

,

x

G

j

τ

где |γ| = 1, можно оценить по лемме 1.7.1 первой главы Части I, согласно которой неравенство

kj

(a

v

)2≤ Ma

xkx

εx

j

ρ

выполняется для всех функций v ∈ C ко от вторых производных функций a

kj

v

xkx

ε

(Rm), а постоянная M зависит толь-

(2)

kj

. Интегрируя по частям и принимая

ε

xjx

ν

(5.4.18)

во внимание (5.4.18), мы получим, что при |γ| = 1 и |l| = q

=



kj εx

[a

ρ

kj εx

w

u]

D

l−γ

Dlu, e

ρ

]

x

G

j

 

G

τ

u

τ

+ A



[a

 

=

kj

+[a

kj εx

ρ

(D

εxρx

l−γ

 

[a

k

D

w)

l−γ

xkx

u, e

, e

j

θ1tDl

, e

x

k

θ1tDl−γ

kj

+ [a

εxρx

q

≤ A

1

w

D

ρ

q

+ M8[a

1

x

j

xkx

l−γ

]

G

j

u, e

 

=

τ

]

+

G

τ

θ1tDl−γ

kj ε

D

l−γ

w

xkx

]

G

j

, e

γ

 

=

τ

θ1tDl−γ

w

xjx

]

,

G

γ

τ

где символ A

q

означает интегралы, допускающие оценку

j

|A

q

| ≤ N

j

X

τ[Dlu, t−1e

|l|≤q

θ1tDl

u]

G

τ

с постоянными Nj, зависящими только от коэффициентов (5.4.3). Постоянная N1зависит от akjи их производных по x до третьего порядка включительно. С помощью интегрирования по частям преобразуем интегралы в последнем члене (5.4.17), соответствующем |γ| ≥ 2. Мы имеем

X

Cγ[Dγa

|γ|≥2

X

= −

Cγ[(Dγa

|γ|≥2

Постоянная N2зависит от максимумов абсолютных значений a

kj ε

D

l−γ

u

θ1tDl

, e

x

k

)

x

j

k

, e

w

θ1tDl

x

w]

]

G

j

τ

q

= A

G

τ

.

2

kj

, a

ε

εx

k

и их

производных по x до порядка q. Ясно, что

 

[Dl(b

k

u

ε

≤

θ1tDl

), e

x

k

 

A





q

4

α



+

2

w]

tb

G

τ

k

Dlw

ε



=

k



[b

Dlu

ε

θ1tbk

e

,

x

k



x

k

Dlw

ε

, e

θ1tDl



x

k

w]

G

τ

+

G

2α

τ

+ A

1

[Dlu,



q



3

 

≤

[b

θ1tt−1Dl

e

k

Dlu, e

ε

θ1tDl

u]

G

w

]

x

k

.

τ



q



+ A

G

τ

≤

4

84

86 Г

лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ

Постоянная N4зависит от b

k

и их производных по x до порядка q.

ε

Интегрируя по частям, получим

[Dl(b

0

ε

ut), e

θ1tDl

w]

G

τ

= [Dl(b

0

u), e

ε

θ1t(Dl

u − θ1Dlw)]

G

τ

− [Dl(b

0

εt

u), e

θ1tDl

w]

G

Используя оценки, полученные для отдельных членов (5.4.16), а также условие (5.4.5), выбирая достаточно большую постоянную θ1> 0, а также вос- пользовавшись предположением индукции (5.4.15), мы получим из (5.4.16), что

0

τy

≤ (α−1+ 2δ)yq+ Kqτyq+˜Kqτ

q

P

где yq=

ных по x от a

|l|=q

[Dlu, e

kj

, a

ε

производных от a

θ1tt−1Dl

kj

, b

εx

k

kj

и a

ε

u]

и постоянные Kqи˜Kqзависят от производ-

G

τ

k

0

, b

и cεдо порядка q включительно, а также от

εt

по x до второго порядка, когда q = 1. Из (5.4.19)

k

kj εx

ε

2p+6

X

|γ|≤q

|kDγF k|

2

, (5.4.19)

p+1,t

0

следует, что при |l| = q ≤ s

X

(Dlu, Dlu)

t=τ

≤ Eqτ

2p+6

|kDγF k|

|γ|≤q

2 p+1,t

; (5.4.20)

0

τ

= A

q

.

5

это и есть требуемая оценка.

Чтобы оценить производные вида Dlutпри |l| ≤ s−1, рассмотрим уравнение

[DlLε(u), e

−θ2tDl

ut]

= [DlF, e

G

τ

−θ2tDl

ut]

, θ2= const, (5.4.21)

G

τ

и преобразуем его отдельные члены с помощью интегрирования по частям. Получим

[Dlu

ε[Dl∆u, e

−θ2tDl

, e

−θ2tDl

ut]

G

τ

=

τ

= −

1 2

ε

(Dlu

2

(Dlut,

x

e

,

e

k

−θ2tDl

ut)

u

x

t=τ

)

k

+ [θ2e

t=τ

−

−θ2tDl

ε

[Dlu

2

ut, Dlut]

,

θ2e

x

k

G

−θ2tDl

;

τ

u

]

x

G

k

Легко видеть, что

1

[Dl(a

X

+

|γ|≥1

kj

u

x

ε

k

Cγ[(Dγa

+

)

x

1 2

j

, e

[(a

−θ2tDl

j

k

− θ2a

εt

kj

l−γ

D

ε

ut]

kj ε

u

G

τ

)Dlu

)

x

k

=

x

2

x

, e

j

k

j

(a

Dlu

ε

−θ2tDl

, e

k

−θ2tDl

, e

x

k

u

]

x

G

j

τ

ut]

, Cγ= const .

G

τ

+

u

)

x

+

t=τ

j

.

τ

Очевидно, выполнены неравенства

|[Dlb

k ε

u

x

, Dlute

k

−θ2t

]

| ≤ [Dlut, e

G

τ

−θ2tDl

85

ut]

X

+ M

G

τ

8

|γ|≤|l|+1

[Dγu, e

−θ2tDγ

u]

;

G

τ

ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ(ЗАДАЧА КОШИ) 87

4.

X

9

|γ|≤|l|

[Dγut, e

−θ2tDγ

ut]

G

τ

k

0

и b

ε

соответ-

ε

|[Dlb

0

ut, Dlute

ε

−θ2t

]

| ≤ +M

G

τ

с постоянными M8и M9, зависящими от производных по x от b ственно, до порядка |l|. Рассматривая уже доказанное неравенство (5.4.20) и выбирая достаточно большую постоянную θ2, мы получим из (5.4.21) индукцией по |l|, что при |l| ≤ s − 1

(Dlut, Dlut)

t=τ

≤ M10τ

2p+6

X

|kDγ+ F k|

|γ|≤s

2 p+1,t

+ M

0

11

|γ|≤s−1

X

[DlF, Dl]

.

G

τ

(5.4.22)

Здесь постоянные M10и M11зависят от a

kj

, a

ε

εx

k

, b

, cε, b

ε

k

0

, b

ε

и от произ-

εt

kj

водных по x до порядка s включительно.

Применяя оператор Dl∂ρ/∂tρ, где ρ ≥ 0 и |l| + ρ ≤ s − 2, к правой и ле-

вой частям (5.4.8), получим оценки, с помощью которых производные вида

Dl∂

ρ+2

u/∂t

ρ+2

(ρ ≥ 0, |l| + ρ ≤ s − 2) можно выразить через производные

от u, которые уже были оценены выше. Таким образом, мы получим (5.4.6) при τ ≤ t0.

Аналогично получим оценку (5.4.6) при t0≤ τ ≤ T − ε. Чтобы оце-

нить (u, u)

, рассмотрим (5.4.9) и преобразуем его члены, стоящие в ле-

t=τ

вой части, точно так же, как это было сделано при τ ≤ τ0. Однако вместо неравенства (5.4.10) рассмотрим неравенство

|[b

k ε

u

, eθtw]

x

k

| ≤ M12[u, eθtu]

G

τ

α

1

+

k

[b

w

x

ε

2

k

eθtb

,

α

k

[tb

+

G

τ

k

w

]

x

k

Gτ\G

ε

w

x

ε

2

k

+

t

0

,

2α

eθtb

1

k ε

[u,

w

x

eθtu]

k

]

G

t

Gτ\G

1

2α

t

0

[u,

,

t−1eθtu]

G

+

0

где α1— постоянная такая, что α1≤ αt при t ≥ t0, и используем оценку (5.4.13) для y(t0) = [u, t−1eθtu]

. Оценим правую часть (5.4.9) с помощью

G

t

0

неравенства

|[F, eθtw]

где постоянная M13зависит только от T . Полагая z = [u, eθtu]

| ≤ [F, eθtF ]

G

τ

| + M13[u, eθtu]

G

τ

,

G

τ

и выби-

G

τ

рая достаточно большую постоянную θ, мы получим при τ ≥ t0из (5.4.9) неравенство

z0(τ) ≤ M14z(τ ) + M15|kF k|

где M14, M15и M16зависят от максимумов абсолютных значений b

0

b

и от t0. Из (5.4.23) следует требуемая оценка.

εt

Аналогично

оценим (Dlu, Dlu)

2 p+1,t

, |l| ≤ s при τ > t0. Оценки производ-

t=τ

+ M16[F, F ]

0

, (5.4.23)

G

τ

0

ε

, b

k εx

k

ных Dlutи производных вида Dl∂ρu/∂tρпри ρ ≥ 2, |l| + ρ ≤ s и τ ≥ t получаются точно так же, как при τ ≤ t0.

Из оценки для u и соотношения u = uε− vpследует требуемая оценка

для uε.

+

t

0

и

0

86

88 Г

лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ

Теорема 5.4.1. Пусть коэффициенты уравнения (5.4.1) удовлетворяют неравенству

αt(bkξk)2≤ Aakjξkξj+ a

kj t

ξkξ

j

(5.4.24)

для всех ξ и t из 0 ≤ t ≤ t0, где t0— некоторое малое положительное число, меньшее, чем T, где α — постоянная, удовлетворяющая условию

α > (2p + 6)−1, p — целое число такое, что p ≥ −1, а A — некоторая посто-

янная. Также предположим, что (5.4.24) выполняется для всех ξ и для t из отрезка t0≤ t ≤ T , возможно, с другими постоянными α и A. Предпо- ложим, что akj, a

kj

, bk, b0, c, b

x

k

0

и их производные до порядка s, s ≥ 2, по

t

x и до порядка s − 2 по x и t ограничены в GT; более того, предположим, что при 0 ≤ t ≤ t0производные вида Dl∂ρ/∂tρот akj, a

kj

, bk, b0и c, где

x

k

ρ ≤ p + 1 и |l| ≤ s, ограничены так же, как и производные от тех же функций вида Dl∂ρ/∂tρпри ρ ≤ p, |l| ≤ p + s и ρ + |l| ≤ p + s, вычисленные при t = 0. Пусть функции f(t, x), ϕ(x) и ψ(x) имеют компактный носитель по x. Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (5.4.1), (5.4.2). Это решение удовлетворяет следующей оценке для почти всех τ из интервала 0 ≤ τ ≤ T :

kuk

2

τ,s

≤ M

1



kϕk

2 0;s+p+4

+kfk

+ kψk

2

Gτ;0,s,s

2 0;s+p+3

+ kfk

+ max

0≤σ≤t

2 0;p,p+s+2,p+s+2

kfk

0

2 σ;p+1,s,p+1+s

+ kfk



, (5.4.25)

2 τ;s−2

+

при условии, что f, ϕ и ψ имеют конечные нормы, входящие в (5.4.25); здесь M1— постоянная, зависящая от коэффициентов уравнения (5.4.1) и от их производных, указанных выше. Если 2(s−2) ≥ m+1, то существует единственное классическое решение задачи (5.4.1), (5.4.2).

Доказательство. Введем сглаживающий оператор

Z

Pε[v](t, x) =

ωε(x − y)v(t, x) dy,

m

R

где ωε(x − y) — бесконечно дифференцируемая функция от x и y, зависящая только от расстояния r(x, y) между точками x и y и удовлетворяющая условию ωε≥ 0 при ωε= 0 для r ≥ ε. Пусть

˜

Pε[v](t, x) =

∞

Z

˜ωε(τ − t)Pε[v](τ, x) dτ ;

0

∞

Z0Z

R

˜ωε(σ)ε(x) dx dσ = 1,

m

где ˜ωε— бесконечно дифференцируемая функция от σ такая, что ˜ωε(σ) = 0 при σ ≤ 0 и σ ≥ ε, где ˜ωε≥ 0 для всех σ. Рассмотрим уравнение (5.4.3) с условиями (5.4.4), где

ϕε= Pε[ϕ], ψε= Pε[ψ], a

0

b

=˜Pε[b0], cε=˜Pε[c], fε=˜Pε[f].

ε

kj

=˜Pε[akj], b

ε

87

k

=˜Pε[bk],

ε

(5.4.26)

ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ(ЗАДАЧА КОШИ) 89

4.

Эти функции определены при t ≤ T − ε. Мы покажем, что если условие (5.4.24) теоремы 5.4.1 выполнено, то для достаточно малого ε и 0 ≤ t ≤ T −ε для сглаженной функции выполняется условие (5.4.5). Применяя оператор

˜

Pεк правой и левой частям (5.4.24), мы получим

˜

Pε[αt(bkξk)2] ≤ A˜Pε[akjξkξj] +˜Pε[a

kj t

ξkξj].

Очевидно, что

˜

Pε[αt(bkξk)2] ≥ αt˜Pε[(bkξk)2] ≥ αt(˜Pε[bkξk])2≥ αt(b

˜

Pε[a

kj

ξkξj] =

t

∂

˜

Pε[akjξkξj] = a

∂

t

kj εt

ξkξj;

˜

Pε[akjξkξj] = a

k

ξk)2,

ε

kj ε

ξkξj,

и, следовательно, коэффициенты (5.4.3) удовлетворяют условию (5.4.5) при t ≤ T − ε.

Рассмотрим задачу Коши в области G

для уравнения (5.4.3) с коэф-

T −ε

фициентами, заданными (5.4.26), и начальными условиями (5.4.4). Так как (5.4.3) гиперболично при ε > 0, известно, что задача (5.4.3), (5.4.4) имеет решение uε(t, x), бесконечно дифференцируемое по G

. Так как условие

T −ε

(5.4.5) выполняется, uε(t, x) удовлетворяет условию (5.4.6). Следовательно, из множества uε(t, x) можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся по норме пространства H

s−1

(GT) и слабо сходящуюся в Hs(GT) при ε → 0.

Легко видеть, что предельная функция u(t, x) удовлетворяет неравенству (5.4.25).

Замечание

5.4.1. Требование гладкости коэффициентов (5.4.1) в теоре-

ме 5.4.1 можно ослабить, применив теоремы вложения Соболева при выводе (5.4.20) и (5.4.22), как это было сделано для гиперболических уравнений в [121] и для уравнений вида (5.4.1) в [127].

Замечание 5.4.2. В случае уравнений вида (5.4.1) с двумя независимыми переменными

utt− λ2(t)K2(t, x)uxx+ a(t, x)ux+ b(t, x)ut+ c(t, x)u = f(t, x), (5.4.27)

где λ(0) = 0, λ0(t) ≥ 0, λ(t) > 0 при t > 0 и K(t, x) ≥ const > 0, из теоремы 5.4.1 следует, что задача Коши (5.4.27), (5.4.2) корректна, если

αta2≤ 2λtλK2+ λ2(K2)

t

(5.4.28)

и если коэффициенты уравнения, функция f и начальные функции ϕ и ψ достаточно гладки. Если λ = tβи K = 1, то условие (5.4.28) принимает вид

1−β

t

|a| < (2β(2p + 6))

1/2

. (5.4.29)

Задача (5.4.27), (5.4.2) изучалась в [7, 154, 69, 226]. В [69] метод интегральных уравнений использовался для получения условий корректности задачи (5.4.27), (5.4.2), близких к (5.4.29). В [7, 174] было показано, в частности, что

88

90 Г

лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ

при λ(t) = tβи β > 1 задача (5.4.27), (5.4.2) может оказаться некорректной. В [205] было получено явное решение задачи Коши для уравнения

u

− t2uxx= aux, t > 0, 0 ≤ x ≤ 1,

где a = const, a = 4n + 1, n ≥ 0 — целое число, а начальные условия имеют вид

u|

= µ(x), ut|

t=0

= 0.

Это единственное решение



2

t

2

k

x

∂

.

u(t, x) =

n

X

l=0

k!(n − k)!Γk +

√

2k

t

π

∂kµx +



1 2

Эта формула показывает зависимость между величиной a и требуемой степенью гладкости начальных функций. Такая зависимость указана в неравенстве (5.4.29).

Замечание 5.4.3. Из условия (5.4.24) теоремы 5.4.1 следует, что если akj(t0, x0)ξkξj= 0 для некоторого вектора ξ в точке (t0, x0), то для того же самого ξ уравнение akj(t0, x0)ξkξj= 0 выполняется для всех t ≤ t0, так как по (5.4.24) имеем, что функция Z(t) = akj(t0, x0)ξkξjудовлетворяет условию Zt+ AZ ≥ 0 при Z = 0 в t = t0.

Чтобы можно было рассматривать более общие гиперболические уравнения, вырождающиеся внутри области, докажем следующую лемму.

Лемма 5.4.2. Пусть uε(t, x) — решение гиперболического уравнения (5.4.3) в области G

с условиями (5.4.4), где a

T −ε

но дифференцируемы в G

k

, b

, cε, b

ε

и fε, ϕεи ψεимеют компактный носитель

T −ε

0

, fε, ϕεи ψεбесконеч-

ε

kj

по x. Предположим, что для любого ξ неравенство

α(T −t − ε)(b

k

ξk)2≤ Aa

ε

kj

ξkξj− a

ε

kj

ξkξj+ a

εt

kj

ξkξj(T −t − ε)−1α−1(5.4.30)

ε

выполняется на отрезке t1≤ t ≤ T −ε, где t1— некоторое число, меньшее, чем T, α — постоянная, удовлетворяющая условию α > (2p + 1)−1(p — неотрицательное целое число), и A — постоянная. Далее, предположим, что то же самое неравенство выполняется с некоторыми (возможно, другими) постоянными α > 0 и A > 0 на отрезке 0 ≤ t ≤ t1. Тогда оценка

kuεk

2

Gε;s

≤ C

1



kfεk

2

Gε;s+p−2

+ kfεk

2

Gε;0,s+p,s+p

+ kϕεk

0;s+p+1

+ kψεk



0;s+p

(5.4.31)

выполняется с постоянной C1, зависящей от максимумов абсолютных значений коэффициентов a

kj

, a

ε

εx

k

, b

k ε

0

, b

и cεи от их производных до

ε

kj

порядка s + p −2 по x и t и от их производных до порядка s + p по x; здесь Gε= G

T −ε

.

89

ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ(ЗАДАЧА КОШИ) 91

4.

Доказательство. Умножим уравнение (5.4.3) на ut(T − t − ε)Ne

−θt

и проинтегрируем по области Gε{0 ≤ t ≤ T − ε, x ∈ Rm}. Здесь θ = const > 0 и N = 2p + 1. Преобразуем члены получающегося уравнения с помощью интегрирования по частям следующим образом:

1

ε

=

ut, ut(T −t − ε)

[N

2

−θt

]

G

1

ε

(ut,

−

2

ε

k

ε

θ

= −

e

−θt

[N

u

, u

x

2

k

1

ε

]

+

G

ε(u

2

, ut(T −t − ε)Ne

1

j

ε

]

−

G

−θt

k

u

[a

x

ε

2

k

1

ε

+

(a

2

]

G

N−1e−θt

ut(T −ε)N)

(T −t − ε)

x

k

u

(T −ε)N)

,

x

k

−θt

ε

]

=

G

, N(T −t − ε)

k

j

u

, u

x

ε

k

(T −ε)N)

x

j

ε

]

G

;

t=0

N−1e−θt

t=0

N−1

u

x

j

t=0

+

;

e

]

G

−θt

.

ε

−

ε

]

−

G

=

[utt, ut(T −t − ε)Ne

1

[ut,

+

2

[εu

, ut(T −t − ε)Ne

xkx

k

ε

−

[u

, (T −t − ε)Nu

x

k

2

1

j

k

u

, u

[a

x

εt

2

k

1

[a

−

2

(T −t − ε)Ne

x

j

k

j

u

, u

x

ε

k

−θt

]

G

ut(T −t − ε)Nθe

−θt

]

G

x

kj

[(a

u

)

x

ε

(T −t − ε)Nθe

x

j

x

j

k

−θt

Легко видеть, что оценка

≤

2(N − δ)



k



[b

u

, ut(T −t − ε)Ne

x

ε

k

1

[b

k

u

, (T −t − ε)

x

ε

k

−θt

N+1bk

 

ε

]

≤

G

−θ

u

x

ε

t

e

]

k

Gε\G

+

t

1

+

α

N − δ

+

[ut,

2

k

[b

u

, (T −t − ε)

x

ε

2

k

N+1bk

ε

ute

u

x

−θt

(T −t − ε)

−θ

t

e

]

k

N−1

]

Gε\G

1

2α

[ut,

ute

+

G

t

1

+

t

1

−θt

(T −t − ε)

N−1

]

G

t

1

верна, если δ > 0 — малое число такое, что (2p + 1)−1< 1/(N − δ) < α, где α — постоянная в неравенстве (5.4.30). Кроме того,

0

[b

ut, ut(T −t − ε)Ne

ε

≤ C2[ut, ut(T −t − ε)Ne

≤ [fε, fε(T −t − ε)Ne

−θt

ε

]

+ [cεu, ut(T −t − ε)Ne

G

ε

]

+ C3[u, u(T −t − ε)Ne

G

ε

]

+ [ut, ut(T −t − ε)Ne

G

−θt

]

G

−θt

][fε, ut(T −t − ε)Ne

−θt

ε

]

, C2, C3= const .

G

ε

≤

Отсюда видно, что для любой гладкой функции v и N ≥ 3 выполняется соотношение

−(T −ε)

N−2v2

|

t=0

=

T −ε

Z

2(T −t −ε)

0

N−2

vtv dt −

T −ε

Z

(N −2)(T −t−ε)

0

N−3v2

dt.

Отсюда получаем, что при N ≥ 3



N −



3

(T −t − ε)

2

N−3



v

, v

ε

G

≤ T

N−2

(v, v)

+ 2[(T −t − ε)

t=0

N−1

vtvt]

ε

.

G

(5.4.32)

−θt

ε

]

≤

G

90