Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
132 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
для любого m ≥ m0.
Теорема 6.2.1. Пусть выполнены условия I, II, II*, u ∈ A0, и для некото-
рой последовательности целых чисел mp→ ∞ имеем
ku; B0(ω(l2(mp); 0, T ))k ≤ exp{aκ(mp)}, (6.2.5)
a = const > 0. Тогда u = 0 в пространстве B0(ω(l; 0, T )) для любого l > 0
при условии, что для некоторого ε, 0 < ε < 1/2,
ε(mp) ≡ (1 − ε)k(mp) − (T0+ a)κ(mp) → ∞ (6.2.6)
при mp→ ∞.
Доказательство. Из оценок (6.2.3) при τ1= 0, τ2= T0следует, что для лю-
бого целого m > 0, любого s = 0, 1, . . . , k(m)−1 и любой u ∈ A0справедливо
неравенство
N
X
Cj(ρ(m), κ(m))ρ
j=1
N
X
≤
ρ
j=1
η
j
(m)kw
η
j
(m)kw
j
κ
; B
(ω(l1(m) + (s + 1)ρ(m)M(ω); 0, T0))k.
j
0
j
κ
; B
(ω(l1(m) + sρ(m)M(ω); 0, T0))k ≤
j
0
Так как для любого j = 1, . . . , N , в силу (6.2.4), выполнено условие
e ≤ Cj(ρ(m), κ(m)) при m ≥ m0,
то имеем
N
≤ e
−1
N
X
j=1
X
j=1
ρ
η
j
ρ
η
j
(m)kw
(m)kw
κ
j
j
κ
; B
(ω(l1(m) + sρ(m)M(ω); 0, T0))k ≤
j
0
j
; B
(ω(l1(m) + (s + 1)ρ(m)M(ω); 0, T0))k. (6.2.7)
0
Применяя последовательно неравенство (6.2.7) при s = s0для оценки правой части неравенства (6.2.7) при s = s0− 1 и полагая s0= 1, . . . , k(m) −1,
получим
N
X
η
j
ρ
(m)kw
j=1
≤ exp{−k(m)}
N
X
j=1
κ
j
η
ρ
j
; B
(ω(l1(m); 0, T0))k ≤
0
j
j
(m)kw
κ
; B
(ω(l2(m); 0, T0))k. (6.2.8)
j
0
131
АБСТРАКТНАЯ СХЕМА МЕТОДА 133
2.
Из оценок (6.2.1), (6.2.2), (6.2.8) следует, что
N
X
j=1
η
j
ρ
(m)kuj; B
j
(ω(l1(m); 0, T0))k ≤
0
≤ exp{−k(m) + T0κ(m)}ku; B0(ω(l2(m); 0, T0))k. (6.2.9)
Так как в силу условия II* ρ(m) ≥ (M (ω)k(m))−1и k(mp) → ∞ при mp→
−η
∞, то ρ
j
(mp) exp{−εk(mp)} → 0 при mp→ ∞, ε = const > 0. Из оценок
(6.2.9) и условия (6.2.5) для любого достаточно большого mpимеем
N
X
j=1
η
j
ρ
(mp)kuj; B
j
(ω(l1(m); 0, T0))k ≤ exp{−εk(mp) − ε(mp)}. (6.2.10)
0
Устремляя в этом неравенстве mpк ∞ и учитывая (6.2.6), для любого j такого, что ηj= min
1≤s≤N
ηs, получим uj= 0 в пространстве B
j
(ω(l1(m); 0, T0))
0
при любом m. Таким образом, суммирование в левой части неравенства
(6.2.10) распространяется только на такие значения j, для которых ηj>
min
1≤s≤N
ηj> min
ηs. Пусть индексы j в неравенстве (6.2.10) перенумерованы так, что
1≤s≤N
ηsпри j = 1, . . . , N и ηj= min
1≤s≤N
ηsпри j > N1. Тогда оценка
(6.2.10) справедлива, если заменить N на N1. С помощью тех же рассуждений, что и выше, получаем, что uj= 0 в B
для которых ηj= min
1≤s≤N
ηs. Продолжая, если нужно, этот процесс, полу-
1
j
(ω(l1(m); 0, T0)) для таких j,
0
чим, что u = 0 в B0(ω(l; 0, T0)) для любого l > 0.
Далее, применяя приведенные выше рассуждения к множеству ω ∩{x, t :
T0< t < 2T0}, если T0< T, и используя оценку (6.2.3) при τ1= T0, τ2= 2T0,
либо τ2= T , если 2T0> T , получим, что u = 0 в B0(ω(l; T0, 2T0)) для
любого l > 0. Таким же путем последовательно получаем, что u = 0 в
B0(ω(l; (p−1)T0, pT0)), если pT0< T, и в B0(ω(l; (p−1)T0, T )), если (p−1)T0<
T ≤ pT0, p — целое число. Следовательно, u = 0 в B0(ω(l; 0, T )) для любого
l > 0. Теорема доказана.
Введем
III (Структура констант). Пусть κ = ϕ(µ) ≡ µ
Cj(ρ, κ) = C0ρ
некоторые дополнительные предположения.
q3(j)µq2(j)
, q3(j), q2(j) = const > 0, j = 1, . . . , N, C0= const >
q
1
, q1= const > 0,
0. Предположим, что для любого j
q1q3(j)
σ(j) =
− 1 > 0. (6.2.11)
q2(j)
Т
аким образом, условие III уточняет структуру констант Cj(ρ, κ) в основ-
ной оценке (6.2.3).
Положим σ = maxjσ(j). Пусть σ(j0) = σ и пусть q3= q3(j0), q2= q2(j0).
132
134 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Лемма 6.2.1. Пусть выполнено условие III,
k(m) = λ2
ρ(m) = 2m(M(ω)k(m))−1, b1= maxj(e(2M(ω))
m+1
m+1)1/σ
[(2
], µ(m) = b1λ
q3/q
m+1)1/σ]q3/q
2
[(2
2
, κ(m) = µ(m)
C
−1
0
)
q3(j)
1/q2(j)
q
1
,
,
λ — целое положительное число. Тогда ϕ(ρ(m)) → 0 при m → ∞, µ(m) ≥ 1,
Cj(ρ(m), κ(m)) ≥ e, j = 1, . . . , N, (6.2.12)
и ρ(m) ≤ d(ω) при m ≥ m0, m0достаточно велико.
Доказательство. Согласно определению ρ(m) и ϕ(m), имеем
ϕ(ρ(m)) ≤ 2
q1m
(M(ω)λ2
m+1
m+1)1/σ])−q
[(2
1
≤ (2M(ω)λ)
−q
1
[2
(m+1)/σ]−q
1
.
Отсюда следует, что ϕ(ρ(m)) → 0 при m → ∞.
Очевидно, µ(m) → ∞, ρ(m) → 0 при m → ∞, и поэтому при достаточно
большом m ≥ m0выполнено условие µ(m) ≥ 1, ρ(m) ≤ d(ω). Далее для
любого j = 1, . . . , N
=
Cj(ρ(m), κ(m)) = C0µ(m)
q2(j)
= C0b
×M(ω)
q2(j)
b
1
C
(q3/q2)q2(j)
λ
1
−q3(j)λ−q3(j)(2m+1)−q3(j)[2(m+1)/σ]−q3(j)
q3(j)
0
(q2(j)/q2)q3−q3(j)[2(m+1)/σ](q2(j)/q2)q3−q3(j)
λ
q2(j)
m+1)1/σ](q3/q2)q2(j)(2m)q3(j)
[(2
ρ(m)
q3(j)
=
×
=
.
(2M(ω))
q2(j)
Очевидно,
любого j = 1, . . . , N и
q3− q3(j)
q
2
q1q
q
= q2(j)
3
− 1
2
= σ, то
Для всех индексов j, для которых
q
3
−
q
2
q
3
q
2
q
3
>
q
2
q3(j)
q2(j)
q3(j)
≥
q2(j)
q3(j)
q2(j)
и,
так как σ(j) ≤ σ для
любого j = 1, . . . , N .
для
,
т.е. σ > σ(j), получаем,
что Cj(ρ(m), κ(m)) → ∞ при m → ∞, и поэтому Cj(ρ(m), κ(m)) > e при
достаточно большом m. Осталось рассмотреть те индексы j, для которых
q3(j)
q2(j)
=
q
3
т.е. σ(j) = σ. В этом случае имеем
,
q
2
Cj(ρ(m), κ(m)) = b
так как b1= maxj(e(2M(ω))
q3(j)
C
−1
0
q2(j)
C0(2M(ω))
1
1/q2(j)
)
.
−q3(j)
≥ e,
Таким образом, лемма доказана.
Т
еорема 6.2.2. Пусть выполнены условия I, II и III, u ∈ A0, и существует
последовательность mp→ ∞ такая, что для любого m
ku; B0(ω(2
mp+1
; 0, T ))k ≤ exp{a1(2
mp+1)(σ+1)/σ
}, a1= const > 0. (6.2.13)
p
Тогда u = 0 в B0(ω(l; 0, T )) для любого l > 0.
133
АБСТРАКТНАЯ СХЕМА МЕТОДА 135
2.
Доказательство. Покажем, что из условия III следует условие II*. Зададим
T0произвольно, κ(m) и k(m) определим, как в лемме 6.2.1. Тогда, согласно
лемме 6.2.1, при m ≥ m0(T0) выполнены неравенства
ϕ(ρ(m)) ≤ T0, ρ(m) ≤ d(ω), Cj(ρ(m), κ(m)) ≥ e, j = 1, . . . , N,
что означает выполнение условия II*.
Покажем, что из условия (6.2.13) следует условие (6.2.5). Действительно,
(m+1)/σ)σ+1
a1(2
≤ a12
σ+1[2(m+1)/σ]σ+1
≤ a1([2
Поэтому из условия (6.2.13) вытекает условие (6.2.5) при a = a12
= a12
(m+1)/σ
σ+1
(b1λ
] + 1)
q3/q
σ+1
2
)
−q
≤
1
κ(m).
σ+1
(b1λ
Покажем, что выполнено условие (6.2.6) теоремы 6.2.1 при достаточно
малом T0. Тогда теорема 6.2.2 вытекает из теоремы 6.2.1. Имеем
ε(m) ≡ (1 − ε)k(m) −(T0+ a)κ(m) =
= (1 − ε)λ2
≥ (1 − ε)λ[2
m+1[2(m+1)/σ
(m+1)/σ]σ+1
] − (T0+ a)(b1λ
− (T0+ a)[2
= {(1 − ε)λ − (T0+ a)(b1λ
q3/q
q
2
1
)
}[2
q3/q
(m+1)/σ]σ+1
(m+1)/σ]σ+1
q
2
)
(m+1)/σ]σ+1
1
[2
q3/q
(b1λ
.
q
2
1
)
Выберем
σ+1
(2
+ 1)
λ =
1 − ε
о видеть, что при таком выборе T0выполнено условие ε(m) → ∞ при
Легк
1
−q
−(σ+1)
+
1
1 и T0=
a1b
2
a
1
λ
1
.
m → ∞. Теорема доказана.
=
≥
q3/q
−q
2
1
)
.
Замечание. Легк
о видеть, что теорема 6.1.1 вытекает из теоремы 6.2.2, так
как условия I, II и III выполнены, если положить B0(˜ω) = L2(˜ω), N = 1,
η1= 0, q1= 2, q2= q3= 1 и за A0взять множество обобщенных решений
задачи (6.1.1)–(6.1.3), соответствующих u0(x) ≡ 0.
Как было указано в § 1, для получения основной оценки (6.1.8) можно
воспользоваться вспомогательным уравнением, вводя дополнительное независимое переменное. Этот подход будет использован в § 4 при изучении
общих параболических систем. Такому подходу соответствует модифицированная абстрактная схема, которую мы приводим ниже.
Введем следующие условия.
Iа. Пусть выполнено условие I и для любой области Ω(l; τ1, τ2) = ω(l; τ1, τ2)×
{−l < x0< l}, l > 0, пространства R
n+2
x0,x,t
определено банахово пространство
B0(Ω(l; τ1, τ2)) вектор-функций v(x0, x, t), заданных в Q(l; τ1, τ2) и таких,
что B0(Ω(l1; τ1, τ2)) ⊂ B0(Ω(l; τ1, τ2)), если l1> l. В любом пространстве
B0(˜Ω), где˜Ω = Ω(l; τ1, τ2), l > 0, 0 ≤ τ1< τ2≤ T , выделено множество
A0(˜Ω), на котором определена полунорма k·; B1(˜Ω)k. Множество A0(˜Ω) ⊂
134
136 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
A0(˜Ω1), если˜Ω1⊂˜Ω, причем для любого f ∈ A0(˜Ω) имеем kf; B1(˜Ω1)k ≤
kf; B1(˜Ω)k. Пусть для любого вещественного µ ≥ 1 и любой u ∈ A0(ω(l; τ1, τ2))
вектор-функция vµ(x0, x, t) = exp{iµx0−ϕ(µ)t}u(x, t) принадлежит A0(Ω(l; τ1, τ2))
при любых l > 0, 0 ≤ τ1< τ2≤ T, и справедливы неравенства
µ
j
j
; B
(Ω(l; τ1, τ2))k ≥ C
1
µ
j
; B
(Ω(l; τ1, τ2))k ≤ C2(l)kw
0
j
kv
kv
Постоянные C
j
(µ, l)kw
1
j
(µ, l), C2(l) не убывают по l и положительны, C2(l) ≥ 1.
1
j
ϕ(µ)
j
ϕ(µ)
; B
j
; B
(ω(l; τ1, τ2))k, (6.2.1a)
0
j
(ω(l; τ1, τ2))k. (6.2.2a)
0
ϕ(µ) — неотрицательная функция µ.
IIa. Пусть существуют постоянные C
j
(ρ) > 0, ηj≥ 0, j = 1, . . . , N, d(ω),
3
0 < d(ω) ≤ 1, и M (ω) ≥ 1 (M (ω) = 1, если γ = ∅) такие, что для любых
l > 0, 0 < ρ ≤ d(ω), 0 ≤ τ1< τ2≤ T , любой вектор-функции u ∈ A
справедливо неравенство
N
X
j=1
C
j
(ρ)ρ
3
µ
η
j
kv
j
; B
(Ω(l; τ1, τ2))k ≤
1
j
N
X
j=1
µ
η
j
ρ
kv
j
; B
(Ω(l + M(ω)ρ; τ1, τ2))k,
0
j
(6.2.3a)
если ϕ(ρ) ≤ τ2−τ1и либо τ1= 0, либо u = 0 в B0(ω(l + M (ω)ρ; 0, τ1)). Здесь
µ
v
= exp{iµx0− ϕ(µ)t}uj(x, t), j = 1, . . . , N.
j
IIIa. Предположим, что ϕ(µ) ≡ µ
q1, q3(j), q2(j) > 0, j = 1, . . . , N , и C1(2m)C2(2
j
q
1
, C
(µ, l) = µ
1
q2(j)
m+1)−1
C1(l), C
≥ C4для любого m ≥
j
(ρ) = C3ρ
3
q3(j)
q1q3(j)
0, C3, C4= const > 0, σ(j) =
− 1 > 0, j =
1, . . . , N.
q2(j)
Нетрудно видеть, что из условий Ia, IIa, IIIa следуют условия I, II, III с
постоянной C0= C3C4. Поэтому справедливо следующее утверждение.
0
,
Теорема 6.2.3. Пусть выполнены условия Ia, IIa, IIIa, и для вектор-функции
u(x, t) ∈ A0выполнено условие (6.2.13). Тогда u = 0 в B0(ω(l; 0, T )) при любом l > 0.
Далее укажем условия, приводящие к теоремам единственности, явля-
ющимся аналогом теорем Тэклинда [243].
Положим ω(l; τ) = ω ∩ {x, t : |xj| < l, j = 1, . . . , n; t = τ }.
I(T). Пусть выполнено условие I. Предположим, что для вектор-функции
u ∈ A0при любом l > 0 и любом τ , 0 ≤ τ ≤ T , определена полунорма
ku; H(ω(l; τ))k =
N
P
kuj; Hj(ω(l; τ))k
j=1
1/2
2
такая, что
kuj; Hj(ω(l; τ))k ≤ kuj; Hj(ω(l1; τ))k ≤ kuj; Hj(ω(l2; τ))k,
j = 1, . . . , N , если l1< l2, причем u = 0 в B0(ω(l; 0, T )), если ku; H(ω(l; τ ))k =
0 при любом τ, 0 ≤ τ ≤ T . Будем предполагать, что для любой вектор-
135
АБСТРАКТНАЯ СХЕМА МЕТОДА 137
2.
функции wκ(x, t) = e
−κt
u(x, t), где u ∈ A0и κ = const ≥ 1, также опреде-
лена полунорма kwκ; H(ω(l; τ ))k, l > 0, 0 ≤ τ ≤ T, и справедлива оценка
κ
kw
; Hj(ω(l; τ))k ≤ C5(κ) exp{−τ κ}kuj; Hj(ω(l; τ))k, (6.2.14)
j
где постоянная C5> 1 и полиномиально зависит от κ.
II(T). Предположим существование постоянных d(ω), 0 < d(ω) ≤ 1,
Mω ≥ 1 (Mω = 1, если γ = ∅), постоянных Cj(ρ, κ) > 0, j = 1, . . . , N,
C6(κ) ≥ 1, неотрицательной функции ϕ(ρ) таких, что для u ∈ A0, любых
l > 0, 0 ≤ τ1< τ2≤ T, 0 < ρ ≤ d(ω), κ ≥ 1 справедлива оценка
N
X
Cj(ρ, κ)ρ
j=1
N
X
≤
j=1
+C6(κ)
ρ
η
j
N
X
j=1
kw
η
j
kw
j
κ
; B
j
ρ
(ω(l + M (ω)ρ; τ1, τ2))k+
0
η
κ
j
kw
; Hj(ω(l + M (ω)ρ; τ1))k, (6.2.15)
j
κ
j
j
; B
(ω(l; τ1, τ2))k ≤
0
если ϕ(ρ) ≤ τ2− τ1. Последний член в (6.2.15) отсутствует, если τ1= 0.
q
III(Т). Пусть κ = ϕ(µ) ≡ µ
q3(j)µq2(j)
C0ρ
, q3(j), q2(j) > 0, и σ(j) = q
1
, q1= const > 0, µ ≥ 1, Cj(ρ, κ) =
q3(j)
1
q2(j)
− 1 > 0, j =
1, . . . , N, C0=
const > 0, C6(κ) — полиномиально зависит от µ. Положим σ = maxjσ(j).
IV(T). Существует постоянная d(ω) такая, что 0 < d(ω) ≤ 1, и для любых
l > 0, 0 ≤ τ1< τ2≤ T, u0∈ A0справедливо неравенство
kuj; Hj(ω(l; τ2))k ≤
(
≤ C7(θ)
N
X
j=1
kuj; B
j
(ω(l + 1; τ1, τ2))k +
0
N
X
kuj; Hj(ω(l + 1; τ1))k),
j=1
(6.2.16)
где θ−1= min(d(ω), (τ2− τ1)). Последний член в (6.2.16) отсутствует, если
τ1= 0. Постоянная C7(θ) полиномиально зависит от θ и не убывает при
возрастании θ.
V(T). Пусть неубывающая функция h(s) обладает следующими свойствами: для любого s ≥ 1 имеем [h(2s)] ≤ M0[h(s)], h(s) ≥ M1s
1/σ
, M0, M1=
const > 0, M1≥ 1,
s−1[h(s)]
∞
X
m=1
σ−q
m+1
2
1
→ 0 при s → ∞, (6.2.17)
m+1)]−σ
[h(2
136
= ∞. (6.2.18)
138 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
При этом условие (6.2.17) может быть опущено, если оценка (6.2.15) в условии II(Т) имеет место при любых τ1, τ2таких, что τ2−τ1> 0, т.е. в оценке
(6.2.15) отсутствует условие ϕ(ρ) ≤ τ2− τ1(как, например, в § 1).
Прежде чем переходить к доказательству теоремы единственности, проведем некоторые построения. Для любых m0> 0, 0 ≤ t0≤ T, b2> 0 и целого
λ > 0 определим целое число E(m0, t0, b2, λ) из условий
E(m0,t0,b2,λ)
X
T (m) ≥ t0, (6.2.19)
m=m
0
E(m0,t0,b2,λ)−1
X
T (m) < t0, (6.2.20)
m=m
0
где T(m) = b2λ−σ2
m+1
[h(2
m+1)]−σ
. Это возможно в силу условия (6.2.18).
Через δ обозначим постоянную, 0 < δ ≤ 1, такую, что δ
t0.
Оценим δ снизу. Из условия (6.2.20) следует, что
δ = t
E
X
0
m=m
0
= 1 − T (E(m0, t0, b2, λ))
T (m)
!
−1
≥
E−1
X
m=m
T (m)
0
E
X
m=m
0
E
X
m=m
T (m)
T (m)
0
!
Нетрудно видеть, что
=
E
X
m=m
T (E(m0, t0, b2, λ))
0
m−E
2
[h(2
E+1)]σ
[h(2
E(m0,t0,b2,λ)
X
m=m
m+1)]−σ
!
0
−1
≤
T (m)
m=m
!
E
X
−1
E(m0,t0,b2,λ)
X
m=m
!
−1
−1
.
=
!
m−E
2
0
0
=
−1
T (m) =
2
,
≤
3
если E
> m0, т.e. t0> T (m0) ≡ b2λ−σ2
m0+1
[h(2
m0+1)]−σ
. В силу условий
V(T), последнее неравенство выполняется, если t0> b2λ−σM
b2λ−σ2
m0+1
Следовательно, при t0λσ> b2M
τ2(m0, m) =
m0+1)]−σ
[h(2
E(m0,t0,b2,λ)
X
s=m
≤ b2λ−σ2
m0+1
[M12
−σ
2σимеем δ ≥ 1/3. Положим
1
δT (s), τ1(m0, m) =
137
(m0+1)/σ]−σ
E(m0,t0,b2,λ)
s=m+1
≤ b2λ−σM
X
−σ
2σ, так как
1
−σ
1
δT (s)
2σ.
АБСТРАКТНАЯ СХЕМА МЕТОДА 139
2.
для любого m = m0, . . . , E(m0, t0, b2, λ) − 1; τ1(m0, E(m0, t0, b2, λ)) = 0. Очевидно, что τ2(m0, m0)=t0. Пусть σ(j0) = σ, q2= q2(j0), q3= q3(j0). Положим
Γ1(m) = 2m, Γ2(m) = 2
m+1
, k(m) = λ2
m+1
[h(2
m+1
)],
µ(m) = b1λ
q3/q
m+1)]q3/q
2
[(2
2
, T (m) = b2λ−σ2
m+1
[h(2
m+1)]−σ
,
Γ2(m) − Γ1(m) − 1
ρ(m) =
,
M(ω)k(m)
де m, λ — целые положительные числа.
г
Лемма 6.2.2. Пусть выполнены условия I(T)–V(T). Тогда для любого u ∈
A0, любого t0, 0 < t0≤ T, справедлива оценка
N
X
η
j
ρ
(m0)kuj; Hj(ω(Γ1(m0) − 1; t0))k ≤
j=1
E(m0,t0,b2,λ)
X
≤
m=m
N
X
η
×
j=1
j
ρ
(m)kuj; B
если m0достаточно велико, t0λσ> b2M
exp{−k(m) + 4T (m)ϕ(µ(m))}×
0
j
(ω(Γ2(m); τ1(m0, m), τ2(m0, m)))k, (6.2.21)
0
−σ
2σ.
1
Доказательство. Имеем
ϕ(ρ(m))
= δ
δ
T (m)
≤ 3(2M(ω))
т
ак как из условия t0λσ> b2M
Γ2(m) − Γ1(m) − 1
−1
M(ω)k(m)
−q
−1
1
b
λ
2
−σ
1
q
σ−q
1
[h(2
1
(b2λ−σ2
m+1)]σ−q
m+1
1
2
m+1)]−σ)−1
[h(2
−(m+1)
≤
,
2σследует, что δ ≥ 1/3. В силу условия
(6.2.17), ϕ(ρ(m))(δT (m))−1→ 0 при m → ∞. Следовательно, если m0достаточно велико, то для любого m ≥ m0имеем ϕ(ρ(m)) ≤ δT (m). Поэтому
оценка (6.2.15) справедлива при
ρ = ρ(m), l = Γ1(m) + rM (ω)ρ(om), τ1= τ1(m0, m), τ2= τ2(m0, m),
m = m0, . . . , E(m0, t0, b2, λ), r = 0, . . . , k(m) −1.
Следовательно,
N
≤
N
X
j=1
η
ρ
j
(m)kw
κ(m)
j
X
j=1
; B
q3(j)
C0ρ
j
(ω(Γ1(m) + (r + 1)M(ω)ρ(m); τ1(m0, m), τ2(m0, m)))k+
0
(m)µ
q2(j)
(m)ρ
η
j
(m) Jj≤
138
140 Г
N
+C6(κ(m))
X
j=1
η
ρ
j
(m)kw
κ(m)
j
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
; Hj(ω(Γ1(m) + (r + 1)M(ω)ρ(m); τ1(m0, m)))k.
(6.2.22)
где kw
κ(m)
j
j
; B
(ω(Γ1(m) + rM (ω)ρ(m); τ1(m0, m), τ2(m0, m)))k. Положим
0
b1= maxj{(e(2M(ω))
q3(j)
C
−1
0
1/q2(j)
)
}.
Тогда точно так же, как при доказательстве оценки (6.2.12), получим, что
C0ρ
q3(j)
(m)µ
q2(j)
(m) ≥ e, j = 1, . . . , N,
при m ≥ m0, если m0достаточно велико.
Следовательно, при m ≥ m0справедливо неравенство
−1
(
N
X
j=1
η
j
ρ
(m)Jj(r + 1)+
+C6(κ(m))
N
X
j=1
X
j=1
η
ρ
N
η
j
ρ
(m)Jj(r) ≤ e
j
(m)kw
κ(m)
; Hj(ω(Γ1(m) + (r + 1)M(ω)ρ(m); τ1(m0, m)))k).
j
(6.2.23)
где
Jj(r) = kw
κ(m)
j
j
; B
(ω(Γ1(m) + rM (ω)ρ(m); τ1(m0, m), τ2(m0, m)))k.
0
Применяя последовательно неравенство (6.2.23) при r = r0для оценки правой части неравенства (6.2.23) при r = r0−1, r0= 1, . . . , k(m) −1, и используя условие I(T), получим
N
X
j=1
η
j
ρ
(m)kuj; B
×
j
(ω(Γ1(m); τ1(m0, m), τ2(m0, m))) ≤ exp{−k(m) + δT (m)ϕ(µ(m))}×
0
N
X
j=1
η
j
ρ
(m)kuj; B
j
(ω(Γ2(m); τ1(m0, m), τ2(m0, m)))k+
0
+C5(κ(m))C6(κ(m)) exp{δT (m)ϕ(µ(m))}e−1×
k(m)−1
X
×
r=0
Отсюда следует, что если положить C
e
−r
N
X
j=1
N
X
ρ
j=1
η
j
ρ
(m)kuj; B
η
j
(m)kuj; Hj(ω(Γ1(m) + (r + 1)M(ω)ρ(m); τ1(m0, m)))k.
0
(κ(m)) = C5(κ(m))C6(κ(m)), то
5
j
(ω(Γ1(m); τ1(m0, m), τ2(m0, m)))k ≤
0
139
АБСТРАКТНАЯ СХЕМА МЕТОДА 141
2.
N
≤ exp{−k(m) + T (m)ϕ(µ(m))}
0
+C
(κ(m))(e − 1)−1exp{T (m)ϕ(µ(m))}
5
X
j=1
η
j
ρ
(m)kuj; B
X
j=1
N
j
(ω(Γ2(m); τ1(m0, m), τ2(m0, m)))k+
0
η
j
ρ
(m)kuj; Hj(ω(Γ2(m) − 1; τ1(m0, m)))k
(6.2.24)
для любого m = m0, . . . , E(m0, t0, b2, λ). Последний член в (6.2.24) отсутствует при m = E(m0, t0, b2, λ).
Так как, согласно условию V(T),
δT (m) ≤ b2λ−σ2
m+1
h[(2
m+1)]−σ
то δT (m) ≤ d(ω), если b2≤ d(ω)M
≤ b2λ−σ2
σ
2−σ. Применяя оценку (6.2.16), получим
1
m+1
[M12
(m+1)/σ]−σ
≤ 2σb2M
−σ
1
,
для j = 1, . . . , N
kuj; Hj(ω(Γ1(m) − 1; τ2(m0, m)))k ≤
(
N
≤ C7((δT (m))−1)
X
+
s=1
X
kus; B
s=1
N
kus; Hs(ω(Γ1(m); τ1(m0, m)))k). (6.2.25)
s
(ω(Γ1(m); τ1(m0, m), τ2(m0, m)))k+
0
Так как ϕ(ρ(m)) ≤ δT (m) при m ≥ m0, δ ≥ 1/3, ρ(m) ≤ 1, то, умножая
η
(6.2.25) на ρ
≤ C7(ρ
−q
j
(m) и суммируя по j от 1 до N , получаем
N
X
η
j
ρ
(m)kuj; Hj(ω(Γ1(m) − 1; τ2(m0, m)))k ≤
1
(m))ρ
j=1
η0−η
+
N
X
j=1
0
(m)N
ρ
(
N
X
η
j
ρ
(m)kuj; B
j=1
η
j
(m)kuj; Hj(ω(Γ1(m); τ1(m0, m)))k), (6.2.26)
j
0
(ω(Γ1(m); τ1(m0, m), τ2(m0, m)))k+
где η0= minjηj, η0= maxjηj.
Положим C8(ρ−1(m)) = C7(ρ
−q
1
(m))ρ
η0−η
0
(m)N.
Очевидно, C8(ρ−1(m)) не превосходит некоторого многочлена от ρ−1(m).
Из оценок (6.2.26), (6.2.24) и условия I(T) вытекает, что
N
X
η
j
ρ
(m)kuj; Hj(ω(Γ1(m) − 1; τ2(m0, m)))k ≤
j=1
−q
≤ C8(ρ
1
(m)) exp{−k(m) + T (m)ϕ(µ(m))}×
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]