Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
72 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
как κ
0
(1, 0, . . . , 0) = 0, то при достаточно больших ρ существует такой ко-
2
рень µ(ρ) многочлена (5.3.16), что µ(ρ) → 0 при ρ → ∞. Из разложения в
ряд Пюизе корня λ(ρ) = ρµ(ρ) уравнения (5.3.16) следует, что
∞
X
λ(ρ) = ρµ(ρ) = ρ
p/q
j=0
Cjρ
−j/q
,
где Cj= const, а p и q — целые числа, причем p < q. Это означает, что
|λ(ρ)| ≤ C0ρs, где s < 1, C0= const.
Компоненты вектора Rρопределяем из системы (5.3.15). Так как для соответствующей матрицы минор наивысшего порядка, отличный от тождественного нуля, может иметь лишь изолированный нуль конечного порядка
при ρ = ∞, то для Rρпри больших ρ справедлива оценка
|Rρ| ≤ C1ρM,
где постоянные C1и M не зависят от ρ.
В решении (5.3.14) перейдем к переменным x. Имеем
!)
∗
η
x
k
Rρ.
k
u(ρ, x) = exp(iρ(ˆξ, x) + iλ(ρ) η
∗
(ˆξ, x) +
0
m
X
k=1
Так какˆξj6= 0, то легко видеть, что u(ρ, x) удовлетворяет всем условиям
теоремы 5.3.2 и, следовательно, система (5.3.10) имеет в Ω решения, не аналитические по xj. В случае, когда γkj= mk, аналогичная теорема доказана
И. Г. Петровским [219].
ассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений первого по-
Р
рядка с аналитическими коэффициентами вида
m
L(u) ≡
∂u
∂
X
+
x
0
Aj(x)
j=1
∂u
+ B(x)u = 0, (5.3.17)
∂
x
j
где Aj, B — матрицы порядка N × N . Введем обозначения
x = (x0, x1, . . . , xm) = (x0, x0), y = (y0, y1, . . . , ym) = (y0, y0).
Теорема 5.3.4. Пусть Ω1— окрестность начала координат в простран-
стве R
m+1
= (x0, x1, . . . , xm). Пусть в цилиндре
Q
(Ω1) = {(x0, x0, y0); (x0, x0) ∈ Ω1, |y0| ≤ γ1, γ1= const > 0}
γ
1
определена такая функция ϕ(x,y0), аналитическая по x0+ iy0, что при
некотором k ≥ 0
∂
∂
2k+1
2k+1
y
j
(Im ϕ(0, 0)) 6= 0,
71
s
∂
(Im ϕ(0, 0)) = 0
s
∂y
j
ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ РЕШЕНИЙ 73
3.
при 0 < s < 2k + 1, причем Im ϕ ≤ Im ϕ(0, 0) всюду в Ω1, а матрица
m
A(x0, x0+ iy0, gradxϕ) ≡ E
∂ϕ
∂
X
+
x
0
j=1
A
∂ϕ
j
∂
x
j
(5.3.18)
удовлетворяет следующему условию: для любой аналитической по x + iy
в Q
(Ω1) вектор-функции v(x, y0) форма
γ
1
2i
∗
, v!sign x
v
0
(5.3.19)
не меняет знак в Q
K(v, v) ≡
A −¯A
(Ω1), если ϕ не зависит от x0, и неотрицательна в
γ
1
общем случае; здесь (ψ, f) — скалярное произведение в CN, матрица¯A∗—
комплексно-сопряженная к A.
Тогда система (5.3.17) не аналитическая по переменной xjв любой та-
кой окрестности начала координат Ω, что Ω ⊂ Ω2⊂ Ω1при некоторой
области Ω2.
Доказательство. Пусть в цилиндре Q
системы (5.3.17). Рассмотрим в Q
(Ω1) симметрическую систему диффе-
γ
1
(Ω1) определены коэффициенты
γ
1
ренциальных уравнений
L1(v) ≡ L(v) +
1
где¯∂j=
2
m
X
j=1
A
¯
∗
¯
∂jv =
j
∂
∂v
x
∂
∂
x
j
+ i
∂
1
, Sj=
∂
y
j
2
m
X
+
0
j=1
(Aj+¯A
(Sjv
∗
), Rj=
j
x
j
+ Rjv
1
2i
) + Bv = 0, (5.3.20)
y
j
(Aj−¯A
∗
), j =
j
1, . . . , m.
Если v — решение системы (5.3.20), то, положив
0
−iρϕ
v = e
Vρ,
получим для вектор-функции Vρсистему уравнений
m
L2(Vρ) ≡
∂V
∂
X
ρ
+
x
0
j=1
[SjV
ρx
+ RjV
j
] + BVρ− iρAVρ= 0, (5.3.21)
ρy
j
где A = A(x0, x0+ iy0, gradxϕ) — матрица (5.3.18).
Рассмотрим задачу Коши
L2(Vρ) = 0, Vρ|
= 1. (5.3.22)
x0=0
Так как матрицы Sjи Rjэрмитово симметричны, то, в силу известных
теорем (см. [58]), в некоторой окрестности Q начала координат в пространстве R
2m+1
= {x0, x0, y0} существует единственное бесконечно дифферен-
цируемое решение Vρзадачи (5.3.22). Так как элементы матриц Aj, B —
аналитические функции, то
m
X
L2(¯∂jVρ) +
k=1
∗
¯
¯
∂
A
j
k
(¯∂kVρ) = 0,
¯
∂jVρ|
= 0, j = 1, . . . , m,
x0=0
72
74 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
и, в силу теорем единственности, для симметричных систем¯∂jVρ≡ 0 в Q
для всех j = 1, . . . , m. Это означает, что компоненты Vρ— аналитические
функции переменных xj+ iyjв Q, j = 1, . . . , m. Без ограничения общности
мы можем предположить, что K(v, v) ≥ 0 в Q. В противном случае мы
придем к этому, рассматривая ϕ(−x).
Оценим теперь функцию Vρв Q равномерно по ρ. Умножая систему
(5.3.21) скалярно в CNна Vρ, интегрируя по области Kt= Q ∩ St, где S
совпадает со слоем 0 < x0< t, если t > 0, и со слоем t < x0< 0, если t < 0,
и, взяв действительные части полученного равенства, выводим, что
t
2Mρ+ (sign t)
где |Fρ| ≤ C
Z
|Vρ|2dx0dy0− 2 Re
σ
t
1
1 +
Z
|Vρ|2dx0dy0dx
K
t
Z
iρ(AVρ, Vρ) dx0dy0dx0= Fρ, (5.3.23)
K
t
!
, (sign t)Mρ≥ 0, постоянная C1не
0
зависит от ρ, σt= Q ∩ (x0= t), Mρравно интегралу по боковой поверхности
Kt.
Легко видеть, что
−Re{iρ(AVρ, Vρ)} = Im ρ(AVρ, Vρ) = ρ
A −¯A
∗
Vρ,
2i
V
ρ
и, значит, в силу условия теоремы, имеет знак x0. Поэтому из (5.3.23) вытекает, что при любом t
Z
|Vρ|2dx0dy0≤ C2, (5.3.24)
σ
t
где C2не зависит от ρ, t.
Оценим теперь, пользуясь индукцией, производные DαVρпо x0и y0.
Предположим, что для |α| ≤ s − 1 имеем оценку
Z
|α|
2|α|
ρ
, (5.3.25)
σ
где ρ ≥ 1 и постоянная C
|DαVρ|2dx0dy0≤ C
t
не зависит от ρ и t. Применим теперь к системе
|α|
(5.3.21) оператор Dα, где |α| = s, и обозначим vα= DαVρ. Имеем
X
L2(vα) +
Aβvβ= 0, (5.3.26)
|β|≤s
где элементы матрицы Aβрастут не быстрее ρ при |β| < s и ограничены по ρ
при |β| = s. Умножая скалярно в CNуравнение (5.3.26) на vα, суммируя по
всем α с |α| = s, интегрируя по Ktи взяв вещественную часть полученного
73
ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ РЕШЕНИЙ 75
3.
равенства, как и при доказательстве оценки (5.3.24), выводим, что
0
|α|
(
1+
K
Z
t
X
|vα|2dx0dy0dx0+ρ
|α|=s
Z
X
2
K
t
|vα|2dx0dy0dx
|α|<s
σ
Z
t
X
|vα|2dx0dy0≤ C
|α|=s
(5.3.27)
Здесь мы воспользовались также условием vα|
= 0. Пользуясь предпо-
x0=0
ложением индукции (5.3.25), из соотношения (5.3.27) получим, что оценка
(5.3.25) верна и при |α| = s.
Согласно теоремам вложения С. Л. Соболева [121],
max
σ
t
|Vρ| ≤ C
X
3
|α|≤m+1
kDαVρk
L2(σt)
≤ C4ρ
(m+1)
,
где постоянные C3и C4не зависят от t и ρ.
Итак, для системы (5.3.17) при условиях теоремы 5.3.4 мы построили в
окрестности начала координат семейство аналитических решений
−iρϕ
Vρ, (5.3.28)
где |Vρ| ≤ C4ρ
(m+1)
uρ= e
при ρ ≥ ρ0> 1. Покажем, что для решений (5.3.28)
системы (5.3.17) не выполнена оценка (5.3.4) равномерно по ρ. Пусть Ω2=
Q ∩ {x, y0; y0= 0}, Ω ⊂ Ω2и G — любая такая подобласть Ω, что¯G ⊂ Ω.
Имеем
)
.
0
sup
m+2
Q
(G)
δ
где H(G) = Q
Im ϕ(0, 0, . . . , yj, 0, . . . , 0) = a0+ a
где a
= const 6= 0, |b
2k+1
|Vj(uρ)| ≥ sup
m+2
(G) ∩ {x, y0; x0= 0}. По предположению теоремы
δ
|Vj(uρ)| = N sup
H(G)
| ≤ C
2k+1
2k+1|yj
H(G)
2k+2
|
−iρϕ
|e
2k+1
2k+1
y
j
| = N sup
+ b
2k+1(yj
, a0= const. Поэтому легко
H(G)
ρ Im ϕ
e
),
,
видеть, что
2k+1
|δ
2k+1
ρa
0
e
, (5.3.29)
Q
sup
m+2
δ
|Vj(uρ)| ≥ N e
(G)
(1/2)ρ|a
если δ достаточно мало. С другой стороны, если за пространство BN(Ω)
возьмем пространство с нормой
N
kuk
= maxΩ|u|,
B
то
kuρk
B
N
≤ C4ρ
(m+1)
maxΩe
ρ Im ϕ
≤ C4ρ
(m+1)eρ Im ϕ(0,0)
= C4ρ
(m+1)eρa
0
.
(5.3.30)
Из неравенств (5.3.29) и (5.3.30) легко вытекает, что оценка (5.3.4) не выполняется для семейства решений uρ. Теорема 5.3.4 доказана.
74
76 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Выведем некоторые следствия из теоремы 5.3.4. Рассмотрим случай одного линейного уравнения первого порядка с аналитическими коэффициентами вида
m
X
u
+
x
0
l=1
al(x)u
+ a(x)u = fx. (5.3.31)
x
l
Пусть Im aj(x)x0не меняет знак в окрестности начала координат в пространстве R
2m+1
= (x, y0). Тогда из теоремы 5.3.4 вытекает, что уравнение
(5.3.31) не аналитическое по xj. В этом случае можно взять ϕ = xj+ iyj.
Для уравнения
ut+ itsux= 0, (5.3.32)
рассмотренного в [208], это означает, что если s нечетно, то уравнение
(5.3.32) имеет неаналитические решения. В [208] доказано также, что если s четно, то все решения уравнения (5.3.32) аналитичны.
Заметим, что условие теоремы 5.3.4 на форму K(v, v) выполнено, если
при некоторой матрице C матрица C−1AC имеет диагональный вид, а ее
собственные значения λjтаковы, что Im λjx0имеют один и тот же знак в
окрестности начала координат пространства (x, y0) для всех j = 1, . . . , N;
∂ϕ
≡ 0. Имеет место следующая теорема.
x
∂
0
Теорема 5.3.5. Пусть собственные значения µl, l = 1, . . . , N , матри-
цы K =
A −¯A
∗
таковы,
что µlx0для всех l = 1, . . . , N неотрицатель-
2i
ны в окрестности начала координат в пространстве (x, y0). Тогда система (5.3.17) не аналитична по xjесли функция ϕ удовлетворяет условиям
теоремы 5.3.4.
Очевидно, сводя одно уравнение к системе, можно получить некоторые
условия существования неаналитических решений для линейных уравнений
любого порядка.
Рассмотрим теперь некоторые непосредственные применения теорем 5.3.1
и 5.3.2 к уравнениям второго и более высокого порядков. Введем обозначения t = (x0, . . . , xk, 0, . . . , 0), y = (0, . . . , 0, x
z = (0, . . . , 0, x
, . . . , xm). Тогда любая точка x пространства R
l+1
, . . . , xl, 0, . . . , 0),
k+1
m+1
пред-
ставима в виде x = t + y + z. Пусть
ξ0= (ξ0, . . . , ξk, 0, . . . , 0), ξ00= (0, . . . , 0, ξ
000
ξ
= (0, . . . , ξ
, . . . , ξm),
l+1
, . . . , ξl, 0, . . . , 0),
k+1
Dt=− i
∂
∂
, . . . , −i
∂
x
0
∂
Dy=0, . . . , 0, −i
, 0, . . . , 0, Dz=0, . . . , 0, −i
x
k
∂
∂
, . . . , −i
x
∂
k+1
75
x
∂
l
∂
∂
x
l+1
, 0, . . . , 0, .
, . . . , −i
∂
,
∂
x
m
ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ РЕШЕНИЙ 77
3.
Теорема 5.3.6. Пусть символы дифференциальных операторов с аналитическими коэффициентами A(t, y, z, Dt, Dy), B(t, y, z, Dt, Dz), C(t, y, z, Dz)
заданы при |y| ≤ K, |z| ≤ K, K = const, и при всех t. Пусть при неко-
тором τ > 0, любом ρ ≥ 1, при некоторых M1> M2, любом ξ0иˆξ00=
(0, . . . , 0,ˆξ
, 0, . . . , 0), где ξ
k+1
= 1, имеем
k+1
A(ρ−τt, y, z, ρτξ0, ρˆξ00) = ρ
B(ρ−τt, y, z, ρτξ0, ρˆξ00) = ρ
Пусть при некоторомˆξ
000
6= 0
C(t, y, z, γˆξ
M
1
A(t, y, z, ξ0,ˆξ00) ≡ ρ
M
2
B(t, y, z, ξ0,ˆξ00) ≡ ρ
000
) = γ
h
M
1
a(t, ξ0), (5.3.33)
M
2
b(t, ξ0). (5.3.34)
для любого комплексного числа γ, любых t и |y| ≤ K, |z| ≤ K, целое число
h ≥ [M1− M2] + 1, [s] означает целую часть s. Тогда если существует
такая функция v(t) ∈ L2(R
C1она (как элемент из D0(R
k+1
), что v(t) 6≡ 0 и при некотором λ = const ∈
k+1
)) удовлетворяет уравнению
a(t, Dt)v + λb(t, Dt)v = 0, (5.3.35)
то уравнение
P u = A(t, y, z, Dy)u + C(t, y, z, Dz)B(t, y, z, Dt, Dy)u = f(x) (5.3.36)
не является аналитическим по переменной x
в любой области
k+1
Ω = {x; |t| + |y| + |z| < K1}, K1= const ≤ K.
Доказательство. Будем искать решение уравнения P u = 0 в виде
000)λ1/h
}v(ρτt),
где µ =
M1− M
uρ= exp{iρx
2
Подставляя функцию uρв уравнение P u = 0, получим
.
+ iρµ(z,ˆξ
k+1
h
для v(ρτt) уравнение
A(t, y, z, Dt, ρ, 0, . . . , 0)v + C(t, y, z, λ
1/hρµ
000
ˆ
ξ
)B(t, y, z, Dt, ρ, 0, . . . , 0)v = 0.
(5.3.37)
Заметим, что по условию
C(t, y, z, λ
1/hρµ
000
ˆ
ξ
) = (λ
1/hρµ)h
= λρ
M1−M
2
.
В уравнении (5.3.37) сделаем замену переменных t0= tρτи воспользуемся
соотношениями (5.3.33) и (5.3.34). Тогда для v(t0) получим уравнение
a(t0, D
0
)v + λb(t0, D
t
0
)v = 0 в R
t
k+1
.
По предположению теоремы существует решение v(t0) уравнения (5.3.35).
Пусть область Ω = {|t| ≤ r,|y| ≤ r, |z| ≤ r} и норма в пространстве B(Ω)
определена равенством
kuk
2
B(Ω)
=
Z
|u|2dx.
Ω
76
78 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Легко видеть, что uρпри 1 ≤ ρ < ∞ имеет конечную норму в B(Ω).
Кроме того,
Z
|v(ρτt)|2dt dy dz ≤ C
Ω
Z
−τ(k+1)dt0
≤ C6ρ
R
k+1
|v(t0)|2ρ
5
−τ(k+1)
,
где постоянные C5и C6не зависят от ρ.
Покажем, что уравнение (5.3.36) не аналитическое по переменной x
k+1
Предположим противное. Пусть уравнение P u = 0 является аналитическим
по x
. Тогда по теореме 5.3.1 для решений uρуравнения P u = 0 в Ω, при-
k+1
надлежащих пространству B(Ω), справедлива оценка (5.3.4). Легко видеть,
что
kuk
B(Ω)
≤ C7ρ
−τ(k+1)/2eC8ρ
µ
, (5.3.38)
.
где µ =
M1− M
Пусть t∗∈ R
жит¯Q
m+2
δ
(G) при достаточно больших ρ. Имеем
2
h
< 1, C7, C8=
k+1
и v(t∗) 6= 0. Точка zρ= (ρ−τt∗, −iδ, 0, . . . , 0) принадле-
Q
sup
m+2
δ
|V
(G)
k+1(uρ
const.
)| ≥ |V
k+1(uρ(zρ
))| = |v(t∗)|eδ. (5.3.39)
Так как µ < 1, то оценки (5.3.38), (5.3.39) показывают, что при больших
ρ для uρне выполняется неравенство (5.3.4). Полученное противоречие до-
казывает теорему 5.3.6 .
Ук
ажем теперь условия, при которых существует решение v(t) уравнения (5.3.35) с требуемыми свойствами. Пусть операторы a(t, Dt) и b(t, Dt)
таковы, что Ha(u) ≡ [au, u] и Hb(u) ≡ [bu, u] определяют нормы в S(R
(см. например, [134]). Здесь [f, ψ] =
замыкания пространства S(R
k+1
) по нормам Ha(u) и Hb(u) соответственно.
Z
f¯ψ dt. Через Haи Hbобозначим
k+1
R
k+1
Пусть Ha(u, v) и Hb(u, v) — соответствующие скалярные произведения.
)
Лемма 5.3.1. Пусть a и b — такие формально самосопряженные операто-
ры, что всякое множество функций, ограниченное в Ha, компактно в Hb.
Тогда при некотором λ = const существует обобщенное решение v(t) ∈ H
a
уравнения (5.3.35).
Доказательство. Здесь мы применим рассуждения, которые обычно ис-
пользуются в аналогичных задачах (см. [68]). Так как Ha(u) и Hb(u) неотрицательны, то
Ha(u)
inf
k+1
u∈S(R
сть vnобразуют минимизирующую последовательность, vn∈ S(R
Пу
Hb(u)
)
= λ ≥ 0.
k+1
),
Hb(vn) = 1, n ∈ N. В силу предположений леммы, существует последова-
тельность vn, которая сходится в Hbпри n → ∞ к некоторому элементу
77
ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ РЕШЕНИЙ 79
3.
v0∈ Hb. Очевидно, что для любого τ ∈ R1и любой функции w ∈ S(R
k+1
)
Ha(vn+ τw) ≥ λHb(vn+ τw), (5.3.40)
и поэтому
|Re[(a − λb)vn, w]| ≤ (Ha(w) −λHb(w))
1/2
(Ha(vn) − λHb(vn))
1/2
.
Следовательно,
lim
Re[(a − λb)vn, w] = 0. (5.3.41)
n→∞
Заменив w на iw в соотношении (5.3.41), получим
lim
Im[(a − λb)vn, w] = 0,
n→∞
и, следовательно,
lim
[(a − λb)vn, w] = 0. (5.3.42)
n→∞
Последнее соотношение выполнено равномерно относительно тех w, для
которых Ha(w) −λHb(w) ≤ C8= const. Так как
Ha(vn− vs) − λHb(vn− vs) ≤ C9= const,
то из соотношения (5.3.42) следует, что
lim
[(a − λb)vn, vn− vs] = 0.
n→∞
Меняя местами s и n и складывая полученные соотношения, выводим равенство
lim
n,s→∞
[Ha(vn− vs) − λHb(vn− vs)] = 0.
Отсюда вытекает, что из сходимости vnк v0при n → ∞ в Hbследует сходимость этой последовательности в Haи, кроме того, Ha(v0) = λHb(v0). Из
соотношения (5.3.42) следует, что Ha(v0, w) −λHb(v0, w) = 0. Это означает,
что v0является обобщенным решением уравнения (5.3.35).
еорема 5.3.7. Пусть операторы A, B, C удовлетворяют условиям тео-
Т
ремы 5.3.6 и леммы 5.3.1, и пусть Ha∈ L2(R
не является аналитическим по переменной x
k+1
). Тогда уравнение (5.3.36)
в любой области Ω =
k+1
{x; |t| + |y| + |z| < K1}.
Эта теорема является следствием теоремы 5.3.6 и леммы 5.3.1.
Теорема 5.3.8. Пусть P1(Dt), P2(Dy), P3(Dz) — однородные эллиптические операторы с постоянными коэффициентами порядка 2ν no совокупности переменных t, y, z соответственно. Тогда уравнение
P1(u) + |t|2sP2u + |t|2dP3u = f, (5.3.43)
где s, d — целые неотрицательные числа, является аналитическим в окрестности начала координат тогда и только тогда, когда s = d.
78
80 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Доказательство. Аналитичность уравнения (5.3.43) при s = d доказана в
[29] методом Морри—Ниренберга [209]. Если s 6= d, то уравнение (5.3.43)
не является аналитическим в окрестности начала координат пространства
m+1
R
согласно теореме 5.3.7. Действительно, пусть s > d. Тогда, полагая
A = P1(ξ0) + |t|2sP2(ξ00), B = |t|2d, C = P3(ξ
000
),
ν
имеем при τ =
ν + s
A(ρ−τt,
B(ρ−τt, y, z, ρτξ0, ρˆξ00) ≡ |t|2dρ
y, z, ρτξ0, ρˆξ00) ≡ ρ
2τν
P1(ξ0)+|t|2sρ
−2τd
−2τs+2ν
P2(ˆξ00) = ρ
, C(t, y, z, γˆξ
2τν
(P1(ξ0)+|t|2sP2(ˆξ00)),
000
) = γ2ν≡ γh,
причем условие h ≥ [M1− M2] + 1 выполнено только при условии s > d.
Уравнение (5.3.35) в нашем случае имеет вид
P1(Dt)v + |t|2sv + λ|t|2dv = 0.
Легко проверить, что Haи Hbудовлетворяют условиям леммы 5.3.1 при
s > d. Таким образом, при s > d уравнение (5.3.43) не является аналитическим по переменной x
в окрестности начала координат. Если s < d,
k+1
то точно так же получаем, меняя местами y и z, что уравнение (5.3.43)
не аналитическое по переменной x
в любой окрестности начала коор-
l+1
динат. Таким образом, существование собственной функции оператора вида (5.3.35) выделяет класс неаналитических уравнений, и обратно, доказав
аналитичность решений уравнения вида (5.3.36), получаем соответствующее утверждение о спектре оператора (5.3.35).
В [151] другим путем доказано, что уравнение (5.3.43) при ν = 1, s = 1,
d = 0 не является аналитическим. Это утверждение можно получить и
непосредственно из теоремы 5.3.2, так как уравнение
u
+ t2uyy+ uzz= 0 (5.3.44)
имеет семейство решений
2
t
√
uρ(x) = expiρy − ρ
ρ(z − 1),
+
2
к
оторое не удовлетворяет оценке (5.3.4) по переменным y и t. Легко доказать, продолжая решения уравнения (5.3.44) по z в комплексную область
(см. [219, 202]) и используя результаты работы [214] о задаче Коши для
слабо гиперболических уравнений, что все решения уравнения (5.3.44) аналитичны по z.
4
Вырождающиеся гиперболические уравнения
(задача Коши)
Рассмотрим класс уравнений второго порядка, характеристическая форма
которых имеет одно отрицательное собственное значение в каждой точке
79
ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ(ЗАДАЧА КОШИ) 81
4.
рассматриваемой области, а остальные собственные значения положительны или равны нулю. Естественно назвать такие уравнения слабо гиперболическими. Часто они также называются вырождающимися гиперболическими уравнениями. Задачу Коши для таких уравнений можно изучать
методами, аналогичными методам, примененным в главах 2 и 3 при изучении уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической
формой. Построение решения задачи Коши проводится методом гиперболической регуляризации.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения
utt− (akj(t, x)u
)
x
+ bk(t, x)u
x
j
k
+ b0(t, x)ut+ v(t, x)u = f (t, x) (5.4.1)
x
k
в области GT{0 ≤ t ≤ T, x ∈ Rm} с начальными условиями
u|
= ϕ(x), ut|
t=0
= ψ(x), (5.4.2)
t=0
где x ∈ Rmи akj(t, x)ξkξj≥ 0 в GTдля всех действительных ξ = (ξ1, . . . , ξm).
В этом параграфе мы получим достаточные условия того, что задача
(5.4.1), (5.4.2) поставлена корректно; в § 5 получены также некоторые необходимые условия. В частном случае, когда x ∈ R1, akjξkξj= 0 при t = 0 и
akjξkξj> 0 при t 6= 0, t > 0, задача (5.4.1), (5.4.2) изучалась во многих ста-
тьях (см., например, [7, 154, 226] и др.; подробная библиография приведена
в [117]). Интерес к этой задаче возник, в частности, в связи с изучением задачи Трикоми для уравнений смешанного типа [247]. Необходимые условия
корректности задачи Коши рассматриваются в [200, 198, 199, 207, 239, 46,
103, 102] и др.
Введем обозначения:
Z
Gτ= {0 ≤ t ≤ τ, x ∈ Rm}, [Φ, Ψ]
=
G
τ
ΦΨ dtdx,
G
τ
Z
kvk
(Φ, Ψ)
τ;s
(
=
=
t=τ
X
|l|+ρ≤s
Φ(τ, x)Ψ(τ, x) dx,
m
R
∂ρv
D
l
∂
l
, D
ρ
t
∂ρv
t
∂
)
ρ
1/2
,
t=τ
где
|l|
Dl=
∂
l
1
x
···∂xm1
1
∂
, |l| = l1+ ··· + lm.
l
m
(Отметим, что это определение Dlотличается сомножителем (−i)
деления, использованного в главе ??.) Обозначим
kvk
Gτ;s
=
(
τ
Z
2
kvk
σ;s
0
80
dσ
)
1/2
;
|l|
от опре-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]