Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
122 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
2, [a] означает целую часть a. Легко проверить, что при любом целом m ≥ 1
условия (6.1.16) выполнены благодаря подходящему подбору b1. Поэтому
имеем
Z
ω(2m;0,τ2)
u2dx dt ≤ exp{(−λ + 2τ2b
2
λ2)2
1
2(m+1)
}
ω(2
m+1
Z
u2dx dt.
;0,τ2)
Мы здесь воспользовались условием, что u(x, 0) = 0 на ω0. Учитывая условие (6.1.19), получим при m + 1 = m
j
Z
ω(2
mj−1
u2dx dt ≤ exp{(−λ + 2τ2b
;0,τ2)
2
λ2+ a)2
1
2m
j
}. (6.1.20)
Так как τ2≤ min(T, (2b1λ)−2), то выполнено неравенство −λ + 2τ2b
2
λ2+a <
1
−1/2. Поэтому при mj→ ∞ из неравенства (6.1.20) получим
Z
u2dx dt = 0
ω∩{x,t: 0≤t≤τ2}
и, следовательно, u = 0 почти всюду в ω ∩{x, t : 0 ≤ t ≤ τ2}. Далее, проводя
последовательно рассуждения для конечного числа s множеств ω ∩ {x, t :
τ2< t < 2τ2}, . . . , ω ∩ {x, t : sτ2< t < T }, где sτ2< T ≤ (s + 1)τ2, получим,
что u = 0 почти всюду в ω.
ажем теперь теорему о единственности решения задачи (6.1.1)–(6.1.3)
Док
в классе растущих функций, аналогичную теореме С. Тэклинда [243]. Эта
теорема включает в себя теорему 6.1.1, если условие (6.1.19) выполняется
при любом целом достаточно большом m. Мы привели отдельно доказательство теоремы 6.1.1 ввиду его большей простоты, а также как простейший
пример применения метода.
Пусть h(r) — неубывающая, положительная функция такая, что
∞
Z
dr
= ∞. (6.1.21)
h(r)
1
дем предполагать, что h(r) > 1, h(r) → ∞ при r → ∞. Обозначим
Бу
T (m) = b2λ−12
m+1
[h(2
m+1)]−1
,
где b2— положительная постоянная, λ, m — целые положительные числа, [h]
означает целую часть h. Из условия (6.1.21) и того, что h(r) — неубывающая
функция, следует, что
∞
X
T (m) = ∞ (6.1.22)
m=m
0
121
ПРИМЕР ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 123
1.
при любом m0≥ 1. При заданных λ, b2, m0и t0найдем целое число
E
E(m0, t0, b2, λ) такое, что
P
m=m
T (m) ≥ t0. Выберем положительное число
0
δ ≤ 1 так, что
E
X
δ
m=m
T (m) = t0. (6.1.23)
0
Лемма 6.1.4. Пусть выполнены предположения (6.1.5)–(6.1.7). Тогда для
обобщенного решения u(x, t) задачи (6.1.1)–(6.1.3), для которого u0(x) = 0
на ω(2
E+1
; 0), при любых t0≤ T и m0≥ 1 справедлива оценка
Z
u2dx ≤
m
0
ω(2
−1;t0)
E(m0,t0,b2,λ)
X
≤
m=m
(
2M exp((−λ + 4b
0
2
1
λb2)2
m+1
[h(2
m+1
)] + (m − m0)M1)×
Z
×
ω(2
m+1
u2dxdt), (6.1.24)
;0,t0)
где b2— произвольная положительная постоянная, λ — любое целое положительное число, b1= (4Me)
1/2
, M — постоянная, определенная в лемме
6.1.1, M1= ln(3M).
Доказательство. Положим в неравенстве (6.1.15) k = λ2
b1λ[h(2
E(m0,t0,b2,λ)
m+1
P
)], l1= 2m, l2= 2
m+1
− 1, τ1= τ (m + 1), τ2= τ (m), где τ(m) =
m+1
[h(2
m+1
)], µ =
δT (s), E(m0, t0, b2, λ) ≥ m ≥ m0, τ (E + 1) = 0.
s=m
Легко проверить, что условия (6.1.16) выполнены при любом m благода-
ря подходящему выбору постоянной b1и условию h(r) ≥ 1. Поэтому имеем
Z
ω(2m;τ(m+1),τ (m))
u2dx dt ≤ exp{−k + 2δT (m)µ2}
ω(2
m+1
Z
u2dx dt+
;τ(m+1),τ (m))
Z
+(e − 1)−1exp{2δT (m)µ2}
ω(2
m+1
−1;τ(m+1))
u2dx. (6.1.25)
В неравенстве (6.1.9) положим l2= 2m, l1= 2m−1, τ2= τ(m), τ1= τ(m+1),
m ≥ m0. Получим
Z
ω(2m−1;τ(m))
u2dx ≤ 2M
ω(2m;τ(m+1),τ (m))
Z
u2dx dt +
ω(2
Z
m+1
−1;τ(m+1))
u2dx.
(6.1.26)
122
124 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Мы воспользовались здесь тем, что 2
и (6.1.25) вытекает, что при m ≥ m
Z
u2dx ≤ 2M exp{−k + 2δT (m)µ2}
ω(2m−1;τ(m))
m+1
− 1 ≥ 2m. Из неравенств (6.1.26)
0
Z
u2dx dt+
m+1
ω(2
;τ(m+1),τ (m))
Z
+{2M(e − 1)−1exp{2δT (m)µ2} + 1}
ω(2
m+1
−1;τ(m+1))
u2dx. (6.1.27)
Обозначим
A(m) = 2M exp{−k+2δT (m)µ2}, B(m) = 2M (e−1)−1exp{2δT (m)µ2}+1.
Из (6.1.27) получаем, что при m0≤ m ≤ E(m0, t0, b2, λ) имеем
Z
ω(2m−1;τ(m))
u2dx ≤ A(m)
ω(2
m+1
Z
u2dx dt+
;τ(m+1),τ (m))
Z
+B(m)
ω(2
m+1
−1;τ(m+1))
u2dx. (6.1.28)
Заметим, что, согласно (6.1.23), τ(m0) = t0. Применяя неравенство (6.1.28)
при m = s + 1 для оценки последнего интеграла в правой части неравенства
(6.1.28) при m = s и полагая последовательно s = m0, . . . , E(m0, t0, b2, λ),
получим
0
A
m
m−1
Y
s=m
B(s)
0
ω(2
m+1
Z
u2dx dt!.
;τ(m+1),τ (m))
ω(2
m
Z
0
−1;t0)
u2dx ≤
E(m0,t0,b2,λ)
X
m=m
(6.1.29)
Здесь мы воспользовались начальным условием u(x, τ (E + 1)) = u(x, 0) ≡ 0
при |xj| ≤ 2
E+1
, j = 1, . . . , N ,
m−1
Q
B(s) = 1 при m = m0. Оценим
s=m
0
m−1
Q
s=m
B(s).
0
Так как 0 < δ ≤ 1, то
m−1
Y
B(s) ≤
s=m
0
≤ exp(M1(m − m0) + 2b2b
≤ exp{M1(m − m0) + 4b2b
m−1
Y
3M exp{2δT (s)µ2(s)} ≤
s=m
0
2
λ2m[h(2m)]
1
2
λ2m[h(2m)]}.
1
m−1
X
s=m
2
0
s+1−m
)
≤
Итак, из соотношения (6.1.29) получаем оценку
2M exp{(−λ + 2b2b
0
123
ω(2
m
Z
0
−1;t0)
u2dx ≤
E(m0,t0,b2,λ)
X
m=m
2
1
λ)2
m+1
[h(2
m+1
)]+
ПРИМЕР ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 125
1.
Z
+(m − m0)M1+ 4b2b
2
λ2m[h(2m)]}
1
ω(2
m+1
;τ(m+1),τ (m))
u2dx dt!.
Из этой оценки легко вытекает неравенство (6.1.24). Лемма доказана.
неравенства (6.1.24) получаем теорему единственности для задачи
Из
(6.1.1)–(6.1.3), аналогичную теореме С. Тэклинда [243]. Заметим, что для
доказательства неравенства (6.1.24) мы использовали только оценку (6.1.8)
для w(x, t) и оценку (6.1.9) для u(x, t).
Теорема 6.1.2. Пусть выполнены предположения (6.1.5)–(6.1.7). Тогда
если для обобщенного решения u(x, t) задачи (6.1.1)–(6.1.3), для которого u0(x) ≡ 0 на ω0, при некоторой постоянной a > 0 и при любых целых
m > m∗(m∗— некоторое число) выполнено неравенство
Z
u2dx dt ≤ exp{a2mh(2m)}, (6.1.30)
ω(2m;0.T
то u = 0 почти всюду в ω.
Доказательство. Согласно лемме 6.1.4, для обобщенного решения u(x, t)
задачи (6.1.1)–(6.1.3) справедлива оценка (6.1.24). Учитывая условие (6.1.30),
при m > m∗получаем
Z
u2dx ≤
m
0
ω(2
−1;t0)
E(m0,t0,b2,λ)
X
≤
m=m
{2M exp(−λ + 4b2λb
0
+2
m+1
([h(2
m+1
)] − h(2
Положим λ = 2([a] + 1), b2= (4b1)−2. Тогда −λ + 4b2b
2
+ a)2
1
m+1
))(−λ + 4b2b
m+1
h(2
m+1
) + (m − m0)M1+
2
λ)}. (6.1.31)
1
2
λ + a ≤ −λ/4. В силу
1
предположений относительно функции h(r), при достаточно большом m0и
m ≥ m0имеем
(m − m0)M1+ 2
Поэтому
m0> m
из неравенства (6.1.31) вытекает, что при достаточно большом
∗
Z
m
0
ω(2
−1;t0)
m+1
([h(2
u2dx ≤ 2M
m+1
)] − h(2
E(m0,t0,b2,λ)
X
m=m
0
m+1
))(−λ + 4λb2b
exp−
124
λ
2
) ≤
1
λ
m+1
2
h(2
m+1
m+1
2
8
). (6.1.32)
h(2
m+1
).
8
126 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Оценим правую часть неравенства (6.1.32). Имеем
E(m0,t0,b2,λ)
X
m=m
E(m0,t0,b2,λ)
×
Учитывая,
E(m0,t0,b2,λ)
exp−
0
X
m=m
0
m−m
что 2
X
m=m
0
E(m0,t0,b2,λ)
X
≤
m=m
E(m0,t0,b2,λ)
≤
X
m=m
≤1 − exp−
λ
m+1
2
h(2
m+1
)≤ exp−
8
exp−
(2
m+1
h(2
m+1
λ
8
0
− 1 ≥ m − m0, получаем
λ
m+1
exp−
(2
h(2
8
λ
exp−
0
exp−
0
8
m0+1
2
λ
2
8
λ
m0+1
m0+1
2
) − 2
m+1
h(2
h(2
) − 2
m0+1
h(2
m0+1
m0+1
m0+1
8
λ
m0+1
2
h(2
8
m0+1
h(2
m0+1
m−m
)(2
h(2
)). (6.1.33)
m0+1
0
− 1)≤
)(m − m0)≤
−1
)
. (6.1.34)
m0+1
))≤
)×
оценок (6.1.32)–(6.1.34) находим, что при достаточно большом m
Из
0
Z
u2dx ≤
m
0
ω(2
−1;t0)
≤ 2M exp−
m0+1
2
h(2
m0+1
)1 − exp−
λ
8
У
стремляя в последнем неравенстве m0к ∞, получим, что u(x, t0) = 0 при
λ
8
m0+1
2
h(2
m0+1
−1
)
.
почти всех x таких, что {x, t0} ∈ ω. Так как t0≤ T выбрано произвольно,
то u ≡ 0 почти всюду в ω. Теорема доказана.
Заметим,
что совершенно так же можно доказать теоремы единственно-
сти, аналогичные теоремам 6.1.1 и 6.1.2, в случае, когда на γ задано гра-
∂u
ничное условие вида
∂
∂
∂
=
l
= 0, где
l
n
X
k,j=1
akjν
∂
, ν = (ν0, . . . , νn),
k
x
∂
j
— направление единичного вектора внешней нормали к γ,
на γ.
125
n
P
akjνkνj> 0
k,j=1
ПРИМЕР ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 127
1.
С помощью леммы 6.1.3 получим энергетические оценки, аналогичные
принципу Сен-Венана. Для параболических уравнений второго порядка такие оценки были получены в [90], более слабые оценки для решений уравнения теплопроводности получены ранее в [192, 164, 237].
Из доказательства леммы 6.1.3 нетрудно видеть, что оценка (6.1.15)
остается справедливой для обобщенного решения u(x, t) уравнения (6.1.1)
в ω(l2; 0, T ) с граничным условием u = 0 на γ ∩ ∂ω(l2; 0, T ) и начальным
условием u = 0 на ω0∩ ∂ω(l2; 0, T ).
Следующую теорему можно рассматривать как аналог принципа СенВенана.
Теорема 6.1.3. Пусть R1< R2и пусть в области ω(R2; 0, T ) выполнены
предположения (6.1.5)–(6.1.7). Тогда для обобщенного решения u(x, t) уравнения (6.1.1) в ω(R2; 0, T ) с граничным условием u = 0 на γ ∩ ∂ω(R2; 0, T )
и начальным условием u = 0 на ω0∩ ∂ω(R2; 0, T ) для любого t, 0 < t ≤ T ,
справедлива оценка
Z
ω(R1;0,ˆt)
u2dx dt ≤ 2 exp−˜b
(R2− R1)
ˆ
t
Z
2
ω(R2;0,ˆt)
u2dx
dt, (6.1.35)
где˜b = (8Me)−1, если
R2− R1≥ max(1, 8ˆtMe). (6.1.36)
Доказательство. Положим l2= R2, l1= R1, k = [(R2− R1)2(4ˆtMe)−1],
µ = (k(4ˆt)−1)
1/2
и покажем, что при таком выборе постоянных l2, l1, k, µ
выполнены соотношения (6.1.16) леммы 6.1.3. Действительно, в силу условий (6.1.36), имеем k = [(R2− R1)2(4ˆtMe)−1] ≥ 1. Далее,
(l2− l1)k−1≤ (R2− R1)
(R2− R1)
4ˆtM
e
2
− 1
−1
≤ 1,
так как R2− R1+ 1 ≤ (R2− R1)2(4ˆtMe)−1в силу условия (6.1.36). Кроме
того, имеем
p ≡ M µ−2k2(l2−l1)−2= M4ˆtk(R2−R1)−2≤ 4Mˆt
(R2− R1)
2
(R2−R1)−2= e−1.
4Mˆte
Из
оценки (6.1.15) получаем
Z
Z
1
u2dx dt ≤ exp−
k
u2dx
dt ≤
2
ˆ
t−1}
ω(R2;0,ˆt)
Z
u2dx
dt.
ω(R1;0,ˆt)
√
≤
e exp{−˜b(R2− R1)
2
Теорема доказана.
ω(R2;0,ˆt)
126
128 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Очевидным следствием теоремы 6.1.3 и леммы 6.1.2 является следующее
утверждение.
Теорема 6.1.4. Пусть в области ω(R2; 0, T ) выполнены предположения
(6.1.5)–(6.1.7). Тогда для обобщенного решения u(x, t) уравнения (6.1.1) в
ω(R2; 0, T ) с граничным условием u = 0 на γ ∩ ∂ω(R2; 0, T ) и с начальным
условием u = 0 на ω0∩ ∂ω(R2; 0, T ) для любого t, 0 < t ≤ T , справедлива
оценка
Z
2
u2dx ≤ 4M exp{−˜b(R2− R1)
ˆ
t−1}
Z
u2dx dt (6.1.37)
ω(R1−1;ˆt)
ω(R2;0,ˆt)
где˜b = (8Me)−1, если выполнено условие (6.1.36) и R1> 1.
Доказательство. Применяя неравенство (6.1.35) для оценки правой части
неравенства (6.1.9) при ρ = 1, l1= R1− 1, l2= R1, τ1= 0 и τ2=ˆt, получим
неравенство (6.1.37). Теорема доказана.
Заметим,
что следствием оценки (6.1.37) является теорема 6.1.1 о един-
ственности решения задачи (6.1.1)–(6.1.3).
Метод введения параметра позволяет получить оценки решений урав-
нения (6.1.1) при больших значениях |x|. Эти оценки являются следствием
теоремы 6.1.4. Рассмотрим область
ωR= ω ∩ {x, t : |x| > R, 0 < t < T}, R = const > 0.
Функцию u(x, t) будем называть обобщенным решением уравнения (6.1.1)
в области ωRс граничным условием u = 0 на γ ∩∂ωRи начальным условием
u = 0 на ω0∩ ∂ωR, если для любого ограниченного открытого множества
G ⊂ ωRфункция u(x, t) является обобщенным решением уравнения (6.1.1)
в G с граничным условием u = 0 на γ ∩∂G и начальным условием u = 0 на
ω0∩ ∂G.
Обозначим
ω(ˆx; l; τ1, τ2) = ω ∩ {x, t : |xj− ˆxj| < l (j = 1, . . . , n); τ1< t < τ2},
ω(ˆx; l; τ1) = ω ∩ {x, t : |xj− ˆxj| < l (j = 1, . . . , n); t = τ1}.
Теорема 6.1.5. Пусть в ωRвыполнены предположения (6.1.5)–(6.1.7) и
пусть для обобщенного решения u(x, t) уравнения (6.1.1) в ωRс граничными условием u = 0 на γ ∩ ∂ωRи начальным условием u = 0 на ω0∩ ∂ω
R
для любой точки (ˆx,ˆt) ∈ ωRтакой, что
(|ˆx| − R)n
(|ˆx| − R)n
≥ 2 max{1, 8ˆtMe}, (6.1.38)
≥ (an
1−ε/2
8˜b
−1
1/ε
ˆ
t)
, (6.1.39)
справедлива оценка
Z
2−ε
}, (6.1.40)
ω(ˆx;(|ˆx|−R)n
−1/2
u2dx dt ≤ exp{a(|ˆx| − R)n
;0,ˆt)
127
ПРИМЕР ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 129
1.
где ε, a = const > 0, ε < 2. Тогда для всех точек (ˆx,ˆt) ∈ ωR, удовлетворяющих условиям (6.1.38), (6.1.39), имеем
2
. (6.1.41)
R2.
Тогда, очевидно,
ωˆx;
Доказате
Z
u2dx ≤ 4M exp−
1
(|ˆx|−R)n
2
−1/2
−1;ˆt
льство. Возьмем R2= (|ˆx|−R)n
−1/2
˜
b
(|ˆx|
8n
, R1=
− R)
ˆ
t
1
2
из условия (6.1.38) следует неравенство (6.1.36). Поэтому в ω(ˆx; R2; 0, T ) к
обобщенному решению u(x, t) уравнения (6.1.1) в ωRc граничным условием
u = 0 на γ ∩∂ωRи начальным условием u = 0 на ω0∩∂ωRприменима теоре-
ма 6.1.4, так как ω(ˆx; R2; 0, T ) переходит в ω(R2; 0, T ) при соответствующем
переносе начала координат. Из оценки (6.1.37), учитывая условие (6.1.40),
получаем
1−ε/2
≤ 4M exp−
˜
b
2
−1
ˆ
R
t
2
8
Z
˜
b
u2dx ≤ 4M exp−
4
ω(ˆx;R2/2−1;ˆt)
ак как из условия (6.1.39) следует
т
2
ˆ
R
t−1+aR
2
2−ε
2
n
,
˜
−
b
2
R
2
8
ˆ
t−1+ aR
2−ε
2
1−ε/2
n
≤ 0.
Теорема доказана.
еорема 6.1.6. Пусть в ωRвыполнены предположения (6.1.5)–(6.1.7) и
Т
пусть для обобщенного решения u(x, t) уравнения (6.1.1) в ωRс граничным
условием u = 0 на γ ∩ ∂ωRи начальным условием u = 0 на ω0∩ ∂ωRдля
любой точки (ˆx,ˆt) ∈ ωRтакой, что
(|ˆx| − R)n
−1/2
≥ 2 max(1, 8M eˆt),ˆt ≤ ε˜b(4an)−1, (6.1.42)
справедлива оценка
Z
u2dx dt ≤ exp{a(|ˆx| − R)n2}, (6.1.43)
ω(ˆx;(|ˆx|−R)n
−1/2
;0,ˆt)
где ε, a = const > 0, 0 < ε < 1. Тогда для (ˆx,ˆt) ∈ ωR, удовлетворяющих
условиям (6.1.42), имеем
ωˆx;
Z
1
(|ˆx|−R)−1;ˆt
2
u2dx ≤ 4M exp−
128
˜
b(1 − ε)
4n
(|ˆx| − R)
ˆ
t
2
. (6.1.44)
130 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Доказательство. Очевидно, из условий (6.1.42) вытекает условие (6.1.36)
теоремы 6.1.4, если положить R2= (|ˆx| − R)n
−1/2
, R1=
1
R2.
Поэтому,
2
согласно теореме 6.1.4, имеет место неравенство
ωˆx;
Z
u2dx ≤ 4M exp−
1
−1/2
n
2
(|ˆx|−R)−1;ˆt
˜
b
2
−1
ˆ
R
t
2
4
ω(
ˆx;R2;0,ˆt)
Z
u2dx dt.
Учитывая условия (6.1.42) и (6.1.43), получаем
Z
u2dx ≤ 4M exp−
1
2
−1/2
n
(|ˆx|−R)−1;ˆt
ωˆx;
≤ 4M exp−
˜
b(1 − ε)
4
R
2
−1
ˆ
t
2
≤ 4M exp−
˜
bε
2
ˆ
R
ак как −
т
Абстрактная схема метода
2
4
t−1+ aR
2
2
n ≤ 0 сог
2
ласно условию (6.1.42). Теорема доказана.
exp−
˜
b(1 − ε)
4ˆt
R
˜
bε
4
˜
b
4
R
2
2
2
ˆ
R
t−1+ aR
2
2
ˆ
t−1+ aR
2
,
2
n≤
2
2
n≤
2
Метод, который был использован в § 1 для доказательства теорем единственности для вырождающегося параболического уравнения второго порядка в неограниченной области, можно применить к различным классам
эволюционных уравнений и систем. Анализируя приведенные в § 1 доказательства теорем, находим, что эти доказательства основаны на некоторых
априорных оценках решений в конечных областях. Только при выводе этих
оценок используется тот факт, что u(x, t) является соответствующим решением дифференциального уравнения. Поэтому аналогичные теоремы могут
быть доказаны также для псевдодифференциальных уравнений, нелинейных дифференциальных уравнений и систем, для которых имеют место
подходящие локальные априорные оценки решений. Такими оценками являются оценка (6.1.8) или (6.1.13) для доказательства теоремы 6.1.1 и оценки
(6.1.8) и (6.1.9) для доказательства теоремы 6.1.2. Исходя из этих оценок,
получаем доказательство теорем по определенной схеме. Чтобы эту схему рассуждений не повторять для каждого конкретного класса уравнений
или систем, в настоящем параграфе мы докажем некоторые общие теоремы
единственности в абстрактных пространствах. Доказательства теорем единственности для конкретных классов уравнений или систем сводятся при
этом к установлению некоторых априорных оценок или, другими словами,
к проверке выполнения условий этих общих теорем. Возможны различные
обобщения и модификации приведенной здесь абстрактной схемы.
129
АБСТРАКТНАЯ СХЕМА МЕТОДА 131
2.
Рассмотрим неограниченную область ω в пространстве R
n+1
= (x1, . . . , xn, t)
x,t
между плоскостями t = 0, t = T , T = const > 0. Пусть граница ∂ω области
ω такова, что ∂ω = γ ∪ ω0∪ ωT, где ω0= ¯ω ∩ {t = 0}, ωT= ¯ω ∩ {t = T }.
Пусть в области ω для системы S ограниченных множеств
ω(l; τ1, τ2) = ω ∩ {x, t : |xj| < l (j = 1, . . . , n); τ1< t < τ2},
где l > 0 и 0 < τ1< τ2≤ T, определены банаховы пространства B0(ω(l; τ1, τ2))
вектор-функций u = (u1, . . . , uN), uj∈ B
j
(ω(l; τ1, τ2)) — банаховы простран-
0
ства функций, заданных в ω(l; τ1, τ2), причем
N
ku; B0k2=
X
kuj; B
j=1
j
0
k2.
Потребуем, чтобы из условия ω(l1; τ2, τ3) ⊂ ω(l; τ0, τ1) следовало B0(ω(l; τ0, τ1)) ⊂
B0(ω(l1; τ2, τ3)). Здесь и в дальнейшем будем считать, что банахово про-
странство A вложено в банахово пространство B, т.е. A ⊂ B, если для любого f ∈ A имеем f ∈ B и kfkB≤ kf kA. В любом пространстве B0(˜ω), где
ω ⊂ S, выделено множество A0(˜ω) такое, что A0(˜ω1) ⊂ A0(˜ω), если ω ⊂ ˜ω1.
Будем говорить, что вектор-функция u, определенная в ω, принадлежит
множеству A0, если для любой ˜ω ∈ S имеем u ∈ A0(˜ω).
Введем следующие условия:
I (Свойства норм). Для любого вещественного параметра κ ≥ 0 и лю-
бой вектор-функции u ∈ B0(ω(l; τ1, τ2)) вектор-функция wκ≡ exp{−κt}
принадлежит B0(ω(l; τ1, τ2)), и справедливы оценки
kw
kw
j
κ
; B
(ω(l; τ1, τ2))k ≥ exp{−τ2κ}kuj; B
j
0
j
κ
; B
(ω(l; τ1, τ2))k ≤ exp{−τ1κ}kuj; B
j
0
j
(ω(l; τ1, τ2))k, (6.2.1)
0
j
(ω(l; τ1, τ2))k, (6.2.2)
0
j = 1, . . . , N.
II (О с н о в н а я оценка). Предположим существование постоянных
d(ω), 0 < d(ω) ≤ 1, M (ω) ≥ 1, (M (ω) = 1, если γ = ∅), nj≥ 0, постоянных
Cj(ρ, κ), j = 1, . . . , N , неотрицательной функции ϕ(ρ) таких, что для любой
вектор-функции u ∈ A0, любых l > 0, 0 ≤ τ1< τ2≤ T , 0 < ρ ≤ d(ω), κ ≥ 1,
справедлива оценка
N
X
Cj(ρ, κ)ρ
j=1
η
j
kw
j
κ
; B
(ω(l; τ1, τ2))k ≤
j
0
N
X
j=1
η
j
ρ
kw
j
κ
; B
(ω(l + M (ω)ρ; τ1, τ2))k,
j
0
(6.2.3)
если ϕ(ρ) ≤ τ2− τ1и либо τ1= 0, либо u = 0 в B0(ω(l + M (ω)ρ; 0, τ1)).
II* (Соотношение между константами). Предположим существование
для любого целого m ≥ m0постоянных κ(m) ≥ 1, k(m) > 0 (k(m) — целое число), постоянной T0, 0 < T0≤ T , таких, что если положить ρ =
ρ(m) = (l2(m) −l1(m))(M(ω)k(m))−1, l2(m) = 2
m+1
, l1= 2m, κ = κ(m), то
ρ(m) ≤ d(ω), ϕ(ρ(m)) ≤ T0и
Cj(ρ(m), κ(m)) ≥ e, j = 1, . . . , N, (6.2.4)
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]