Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
102 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Rβ(p1) для любого β ∈ M
. Отметим, что в этом случае ν − J(s, α, β) = 0,
p
1
если s = 1, α0= 0, α00= 0, β ∈ µ. Пусть s = 1 и пусть β не принадлежит
M
. Тогда если |α0| = 1, то имеем ν − J(s, α, β) > 0, так как
p
1
(2 − |α0|)
+ p1(1 + |ˆβ0|) + p2|ˆβ00|) < 1.
(1
2
00
Но если |α00| = 1 и L
α
(0, γ ˆη00) 6= 0, то, очевидно, L
1,β
(0, γη00) 6= 0 для
1,β
некоторого η006= 0. Следовательно, (1+|β0|)p1+p2|β00| > 1, и из соотношения
(5.5.23) следует, что в этом случае ν −J (s, α, β) > 0.
00
Если s = 2 и L
0
α
L
(0, γη00) 6= 0 и, следовательно, в силу условий (5.5.6) и (5.5.7), имеем
2,β
α0+α
2,β
(0, γ ˆη00) 6= 0, то существует точка η00такая, что
p1|β0| + p2|β00| ≥ 2 − |α0|. Следовательно, в этом случае ν − J (s, α, β) ≥ 0 и
ν −J (s, α, β) = 0 только, когда α00= 0, |α0| = 2 и β = 0.
Если n — общий знаменатель рациональных чисел σ0, qp1, qp2и q, то
каждый показатель ρ в разложении (5.5.21) имеет вид j/n, где j — целое
число. Пусть ν = ν0/n. Тогда из предыдущих рассмотрений и из (5.5.21)
следует, что
N
3
L
[ρ,N]
X
(W ) = W
j=0
Ajρ
(ν0−j)/n
, (5.5.24)
где Aj(y, ϕ0) — полиномы от производных ϕ0с аналитическими коэффициентами и число N3зависит от N.
Выше мы показали, что
X
β∈µ
y
β!
β
L
(0, ˆη00).
1,β
A0(y, ϕ0) ≡
X
|α0|=2
1
α0!
L
(α0)
2
(0,
γ ˆη00)(ϕ
0
α
0
)
y
0
···(ϕ
0
α
l
)
+ γ
y
l
(5.5.25)
Далее
мы получим разложение по степеням ρ для L
(α)
(W ) при |α| = 1.
[ρ,N]
Легко видеть, что при |α0| = 1 мы имеем
(α0)
L
[ρ,N]
ν−σ
= ρ
Если |α00| = 1 и D
(α00)
L
[ρ,N]
(W ) =
∂(γ ˆηk)
(W ) =
0
W
∂(D
00
α
= −i∂/∂yk, l + 1 ≤ k ≤ m, то легко видеть, что
∂
(L
[ρ,N]
∂
∂(D
∂
A
α
0
0
ϕ0)
ϕ0)
+
N
X
j=1
(L
0
α
(W ))ρ−1= W
3
[ρ,N]
−j
ρ
ρ
(W ))ρ
/n
B
ν−σ
0
−σ
0
(y, ϕ0).
j,α
N
4
X
j=1
0
= (5.5.26)
−j/n
ρ
C
j,α
00
(y, ϕ0).
(5.5.27)
Здесь B
j,α
0
и C
00
— линейные функции от производных ϕ0с коэффициен-
j,α
тами, которые аналитичны по y, а N4— целое число, зависящее от N.
101
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ КОРРЕКТНОСТИ(ЗАДАЧА КОШИ) 103
5.
Теперь найдем разложение для членов в правой части (5.5.20) вида
X
1
(α)
H ≡
Здесь a
|α|=2
α,β
L
[ρ,N]
α!
— некоторые постоянные.
При |α| = 2 имеем
Dα(wv) = w(v
α
где b
= const.
k,s
Отсюда мы получим
H = W w
(W )Dα(v
"
N
2
X
j=1
+Dαv +
β,λ2>−N
N
2
X
j=1
σ
ρ
X
|α|=2
σ
j
ρ
w) = W
j
j
ϕ
y
0
m
X
k,s=0
ρ
vΘ
!
α
0
···
α
b
k,s
λ2(α0β)
α
+
j
X
|α|=2
β,λ2>−N
D
s
β
y
β!
m
X
h
k=0
β
j
y
m
!
j
N
2
X
,k=1
y
β!
!
α
m
Dkv),
σj+σ
ρ
a
+ i
α,β
k
Dα(v
N
2
X
j=1
α
Θ
kj
w). (5.5.28)
σ
j
ρ
Dαϕ
+
#
j
λ2(α0β)
ρ
N
2
X
σ
j
ρ
ϕ
j=1
N
2
X
σ
j
ρ
ϕ
j=1
"
a
α
kj
v
α,β
j
Dkv!+ Dαv#, (5.5.29)
+
где Θ
α
зависит от производных от ϕkи ϕj, а Θ
kj
α
j
и h
α
зависят от про-
kj
изводных ϕj. Найдем оценку для λ2(α0, β) при |α| = 2. Учитывая, что
p1|β0| + p2|β00| ≥ 2 − |α0|, если L
(α0+α00)
2,β
(0, ˆη00) 6= 0 для некоторого ˆη00, мы
получим из соотношения (5.5.23), что
(2 − |α0|)
ν−λ2(α0, β)−(2−|α0+α00|(1−σ0)) ≥
q(1−p1(1+|ˆβ0|)−p2|ˆβ00|)
= (2−|α0|)σ0.
2
Отсюда следует, что
λ2(α0, β) ≤ ν − [(2 −|α0|)σ0+ 2 − |α0+ α00|(1 − σ0)] ≤ ν − 2σ0,
так как |α0+α00| = 2. Рассматривая разложения (5.5.24)–(5.5.29) и используя
формулу (5.5.20), получим
L
[ρ,N]
× D
(uρ)=W w(vρ
N
2
0
α
v + vi
X
ρ
j=1
ν−σ
N
X
j=1
4
"
0
−j/n
ρ
|α0|=1
N
3
X
ν
j=0
Ajρ
−j/n
+ ρ
!
0
σ
α
D
ϕ
j
j
X
+
|α00|=1
X
C
j,α
∂(D
00
∂A
D
α
α
0
0
ϕ0)
00
+
v + vi
N
X
j=1
N
X
j=1
3
/n
−j
ρ
2
σ
j
ρ
D
B
0
j,α
00
α
j
ϕ
!
×
!#
+
102
104 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
где r
"
N
+ρ
ν−2σ
X
0
|α|=2
v
j,k=1
X
2
σj+σ
k
ρ
#
Θ
N
X
+Dαv
k=0
— некоторые функции, не зависящие от v, ϕkи ρ.
α,k
α
kj
N
X
+
j=1
5
r
ρ
α,k
2
ρ
−κ/n
σ
α
j
Θ
j
v +
m
X
k=0
α
h
Dkv!+
kj
!)
, (5.5.30)
Чтобы определить функцию ϕ0, рассмотрим дифференциальное уравнение
A0(y, ϕ0) = 0, (5.5.31)
где A0(y, ϕ0) определяется уравнением (5.5.25).
Так как L
(0, ˆη00) 6= 0 в силу выбора ˆη00иˆβ, отсюда следует, что поли-
1,ˆβ
ном по y
β
X
β∈µ
y
β!
L
1,β
(0, ˆη00)
∗
, . . . , y
0
∗
) такая, что y
m
b(y) ≡
имеет
, по крайней мере, один коэффициент, отличный от нуля. Поэтому в
окрестности начала координат есть точка y∗= (y
и b(y∗) 6= 0.
Мы покажем, что уравнение (5.5.31) можно решить для ϕ
0
. Для этого
y
0
рассмотрим
0
∗
> 0
X
A0(y∗, ζ0, . . . , ζl) =
|α0|=2
1
α0!
L
(α0)
2
(0, ˆη00)ζ
α
0
0
,
. . . , ζ
α
l
+ γb(y∗).
l
Уравнение
A0(y∗, ζ0, 0, . . . , 0) ≡ a
(2,0,...,0)
2
(0)ζ
+ γb(y∗) = 0
0
для ζ0имеет простой корень F (y∗) такой, что Im F (y∗) < 0, если выбрать
знак числа γ соответствующим образом. Следовательно, в некоторой окрестности G1точки y∗и в окрестности начала координат в пространстве (ζ1, . . . , ζl)
определена аналитическая функция ζ0= F (y, ζ1, . . . , ζl), удовлетворяющая
уравнению A0(y, ζ0, . . . , ζl) = 0, и Im F (y, ζ1, . . . , ζl). По теореме Коши—
Ковалевской в окрестности G2⊂ G1точки y∗существует аналитическое
решение ϕ0(y) уравнения
ϕ
0
y
0
= F (y, ϕ
0
, . . . , ϕ
y
1
0
y
l
(5.5.32)
с условием
m
ϕ0|
y0=y
∗
0
= i
X
bkj(yk− y
k,j=1
∗
)(yj− y
k
∗
), (5.5.33)
j
где kbkjk— действительная симметричная положительно определенная матрица.
103
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ КОРРЕКТНОСТИ(ЗАДАЧА КОШИ) 105
5.
Разлагая решение ϕ0(y) задачи (5.5.32), (5.5.33) в ряд Тейлора в точке
y = y∗, мы получим
m
X
j=0
∗
)(yj− y
k
∂2ϕ0(y∗)
∂
y0∂y
j
∗
j
(yj− y
∗
)#(y0− y
j
∗
0
)+
) + O(|y −y∗|3). (5.5.34)
ϕ0(y) ="ϕ
m
X
+
k,j=1
0
(y∗) =
y
0
ibkj(yk− y
1
2
Так как Im ϕ
0
(y∗) < 0, можно выбрать достаточно малую окрестность
y
0
G3точки y∗так, чтобы соотношение
выполнялось в G
Im ϕ0(y) ≥ C
−
= G3∩ {y0≤ y
3
|y0− y
0
∗
}, где C0= const > 0.
0
∗
0
| +
m
X
j=1
|yj− y
!
∗
2
|
j
(5.5.35)
Таким образом, для функции ϕ0в (5.5.18) выберем решение ϕ0(y) задачи
(5.5.32), (5.5.33), построенное выше. Положим
σj= σ0−
=
n
,
j = 1, . . . , nσ0− 1 = N2.
n
nσ0− j
j
Функции ϕjв (5.5.18) определяются последовательно, если приравнять
нулю сумму всех членов в разложении (5.5.30), содержащих сомножитель
ν−j/n
ρ
, т.е. мы определим ϕjпоследовательно как решения уравнений
X
|α0|=1
∂A
i
∂(D
α
0
0
ϕ0)
!
D
0
α
ϕj+
Φj(y, ϕ0, . . . , ϕ
j−1
) = 0 (5.5.36)
с условиями
y0=y
∗
= 0, j = 1, . . . , nσ0− 1, (5.5.37)
y
0
ϕj|
где Φj— известные аналитические функции. Так как ∂A0/∂D0ϕ06= 0 при
y = y∗, отсюда следует, что решения ϕjзадачи (5.5.36), (5.5.37) существуют
в достаточно малой окрестности G4точки y∗. Подставляя в (5.5.30) функции ϕ0и ϕj, j = 1, . . . , nσ0− 1, построенные таким образом, мы получим,
что в G
L
[ρ,N]
где˜Qj,˜B
4
(uρ) = W wρ
N
X
8
X
+
j,α
0
j=1
и˜C
|α00|=1
"
N
6
ν−σ
−j/n
ρ
j,α
X
j=0
j,α
00
−j/n
ρ
D
00
α
˜
Qjv +
v + ρ
−σ
|α0|=1
0
0
˜
C
00
— некоторые известные функции и N6, N7и N8— неко-
X
X
|α|=2
N
X
j=0
∂(D
5
ρ
∂A
α
−j/n
0
0
ϕ0)
N
7
X
+
j=1
r
Dαv#, (5.5.38)
α,j
/n
−j
ρ
B
!
˜
0
D
j,α
торые числа, зависящие от N .
0
α
v+
104
106 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Будем искать функцию u в виде
N
1
X
j=0
−j/nvj
ρ
(y) (5.5.39)
v =
и подставим ее в уравнение (5.5.38). Приравнивая нулю сумму членов из
правой части (5.5.38), содержащих сомножитель ρ
ν−σ0−j/n
, j = 0, 1, . . . , N1,
мы получим уравнения для последовательного определения функций vjвида
α
0
0
ϕ0)
!
0
α
D
vj+˜Q0vj+ ψj(y
, v0, . . . , v
j−1
) = 0, (5.5.40)
X
|α0|=1
∂A
∂(D
где ψj— известные аналитические функции. Для vj(y) в разложении (5.5.39)
возьмем решения уравнения (5.5.40) с начальными условиями
y0=y
y0=y
∗
= 1, (5.5.41)
0
∗
= 0, j = 1, . . . , N1, (5.5.42)
0
v0|
vj|
которые, очевидно, существуют в некоторой достаточно малой окрестности
точки y∗. При таком построении функции uρв некоторой окрестности G ⊂
Ω1точки y∗мы имеем
L
где |Q(y, ρ)| ≤ C1ρ
ν−σ0−(N1+1)/n
Пусть функция ϕ(y) ∈ C
ности G0точки y∗. Обозначим G−= G ∩ {y0≤ y
(uρ) = W wQ(y, ρ), (5.5.43)
[ρ,N]
и постоянная C1не зависит от ρ.
∞
(G), ϕ ≥ 0 в G и ϕ ≡ 1 в некоторой окрест-
0
∗
} и G
0
−
= G0∩ {y0≤ y
0
∗
}.
0
Очевидно, существует постоянная C2≥ 0 такая, что
m
X
|y0− y
для точек множества G−\G
∗
| +
0
−
. Рассматривая представление (5.5.15) символа
0
|yj− y
j=1
∗
|2> C
j
2
(5.5.44)
оператора Ls, уравнение (5.5.43) и оценки (5.5.35), (5.5.44), мы получим, что
для больших ρ
sup
−
G
X
|DαL(ϕuρ)| ≤ C3sup
|α|≤k
−
G
|W w|ρ
ν−σ0−(N1+1)/n+k
+ ρ
−N+k+2
+
+C4ρMexp−
1
C0C2ρ
σ
0
,
2
г
де C3, C4и M — постоянные, не зависящие от ρ.
Выберем N и N1такие, что −N +k+2 ≤ −kδ −1 и ν −σ0−(N1+1)/n+k ≤
−kδ − 1. Тогда для достаточно большого ρ
ρkδsup
−
G
X
|DαL(ϕuρ)| ≤ C5ρ
|α|≤k
105
−1
sup
−
G
|W w| + 1,
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ КОРРЕКТНОСТИ(ЗАДАЧА КОШИ) 107
5.
где постоянная C5не зависит от ρ.
Так как оценка (5.5.35) справедлива для ϕ0в3G−и ϕj= 0 при y0= y
и j ≥ 1, для достаточно больших ρ выполняется оценка
∗
0
sup
−
G
|W w| =
exp i
N
X
j=0
2
ϕjρ
!
σ
j
≤ 1.
Выберем ρ = ρ0таким большим, чтобы, кроме того, выполнялось соотношение
kδ
Cρ
0
г
де C — постоянная, входящая в неравенство (5.5.14) для некоторого ком-
sup
−
G
X
|α|≤k
|DαL(ϕu
ρ
)| <
0
1
, (5.5.45)
2
пактного множества K1, содержащего G. Можно предположить, что ϕuρ=
0 в окрестности плоскости x0= h, где заданы начальные условия, так как
ˆx0≥ h и y
∗
> 0. Следовательно, имеем
0
∂
ϕu
|
ρ
0
Рассмотрим функцию f (y), равную L(ϕu
∞
C
(G) и
0
x0=h
Cρ
= 0,
kδ
sup
0
G
X
|α|≤k
(ϕu
∂
x
0
|Dαf| ≤
)|
ρ
0
) в G−и такую, что f(y) ∈
ρ
0
x0=h
= 0.
1
.
2
Т
получаем, что в Ω существует решение u0задачи
0
∂u
x
∂
0
= 0,
x0=h
|u0| ≥ 1. Таким об-
Ω
1
где u0= ϕu
при y0≤ y
ρ
0
L(u0) = f, u0|
∗
.
0
x0=h
=
По построению |ϕuρ(y∗)| = 1 и, следовательно, sup
разом, мы получим, что оценка (5.5.14) не выполняется для u0, что противоречит предположению, что задача Коши (5.5.1), (5.5.2) корректна и что
условие (5.5.8), (5.5.9) не выполняется.
Теорема доказана.
Интересно
сравнить необходимые условия корректности задачи Коши
для уравнения (5.5.1), полученные в теореме 5.5.1, с достаточными условиями, полученными в § ??.
Пусть
L(u) ≡ u
x0x
0
− x
2k
0
u
x1x
1
+ ax
s
u
= 0, (5.5.46)
x
0
1
где a = const и k и s — неотрицательные целые числа.
106
108 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
По теореме 5.4.1 задача Коши в области Ω = {0 ≤ x0< T , −∞ < x1<
+∞} с начальными условиями при x0= 0 корректна, если s ≥ k −1. Из тео-
ремы 5.5.1 мы получим, что условие s ≥ k −1 также является необходимым
условием корректности задачи Коши.
Пусть
L(u) ≡ u
x0x
0
− x
2k
1
u
x1x
1
+ ax
s
u
= 0, (5.5.47)
x
1
1
где a = const и k и s — неотрицательные целые числа. По теореме 5.4.1
задача Коши для уравнения (5.5.47) корректна в области
Ω{0 ≤ x0< T, −∞ < x1< +∞}
с начальными данными при x0= 0, если s ≥ k. Теорема 5.5.1 показывает,
что это условие также необходимо.
Теорему, аналогичную теореме 5.5.1, можно доказать для уравнений лю-
бого порядка.
107
лава 6
Г
Метод введения параметра
Введение
В этой главе рассматриваются вопросы единственности решений краевых
задач для эволюционных уравнений в неограниченных областях в классах
растущих функций, вопрос об априорных оценках специального вида, которые можно назвать аналогом энергетических оценок, выражающих принцип Сен-Венана в теории упругости, а также вопрос об оценках, характеризующих поведение решений при |x| → ∞ и при |x| → 0. Частным случаем таких оценок являются оценки функции Грина и фундаментального
решения. Эти вопросы изучаются с помощью метода введения параметра,
который был разработан и применялся ранее для исследования параболических систем в [80, 81, 82, 215, 216]. В этой главе этот метод получает свое
дальнейшее развитие.
Приведем здесь различные модификации метода введения параметра.
Для иллюстрации рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности
в области ω = {x, t : x ∈ R
∂u
∂
n
, 0 < t < T } с начальным условием
x
n
X
j=1
∂2u
= 0 (6.1)
2
∂
x
j
−
t
u |
Будем предполагать, что в ω
|u(x, t)| ≤ C exp{a|x|2}, (6.3)
где C > 0, a > 0 — постоянные. Введем дополнительную независимую переменную x0и параметр µ > 0. Функция v(x0, x, t) = exp{iµx0−µ2t}u(x, t) для
любого вещественного значения параметра µ > 0 удовлетворяет уравнению
∂v
−
t
∂
= 0. (6.2)
t=0
n
X
∂2v
= 0 (6.4)
2
x
∂
j=0
j
108
110 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
в области Ω = ω × {−∞ < x0< ∞} и начальному условию
v|
= 0. (6.5)
t=0
Известно (см., например, [83]), что функция v(x0, x, t) является аналити-
ческой функцией переменной x0. Рассмотрим последовательности областей
s
G
{x0, x, t : |x| < s, |x0| < s, 0 < t < τ } и g
τ
s
{x, t : |x| < s, 0 < t < τ },
τ
s = 1, 2 . . .; τ = const ≤ T .
Существует число δ > 0, не зависящее от s и τ, такое, что для аналитического продолжения v(x0+ iy0, x, t) по x0+ iy0справедлива оценка
[83]
sup
Qδ(G
|v(x0+ iy0, x, t)| ≤ 2 sup
s
)
τ
|v(x0, x, t)|, (6.6)
s+1
G
τ
где
Qδ(G
s
) = {x0, y0, x, t : (x0, x, t) ∈ G
τ
s
, |y0| < δ}.
τ
Легко видеть, что
sup
Qδ(G
|v(x0+ iy0, x, t)| = sup
s
)
τ
Gδ(G
|e
s
)
τ
e
u(x, t)| ≥ eµδsup
−µ2t
0
−µ2t
|e
s
g
τ
u(x, t)|.
−µy
(6.7)
Поэтому из оценок (6.6) и (6.7) вытекает, что
sup
s
g
τ
|e
−µ2t
u(x, t)| ≤ 2e
−µδ
sup
s+1
g
τ
|e
−µ2t
u(x, t)|. (6.8)
Рассмотрим неравенство (6.8) при s = s0и затем для оценки правой
части этого неравенства используем последовательно неравенство (6.8) при
s = s0+ 1, . . . , s0+ l − 1. Таким образом, получаем
sup
s
g
τ
−µ2t
|e
0
u(x, t)| ≤ 2lexp{−lµδ} sup
g
s0+l
τ
|e
−µ2t
u(x, t)|.
Из последнего неравенства вытекает, что
sup
|u(x, t)| ≤ 2lexp{−lµδ + µ2τ} sup
s
0
g
τ
|u(x, t)|. (6.9)
s0+1
g
τ
Заметим, что для получения оценки (6.9) мы использовали только то,
что u(x, t) определена и удовлетворяет уравнению (6.1) лишь в области g
s0+l
τ
и что u(x, 0) = 0 при |x| < s0+ l.
Из оценки (6.9) можно получать теоремы единственности, оценки, аналогичные принципу Сен-Венана, асимптотические свойства решений. Учитывая условие (6.3) и полагая µ = λl, находим
sup
|u(x, t)| ≤ C exp{−l2δλ + λ2l2τ + a(s0+ l)2} · 2l.
s
0
g
τ
Определим λ и τ1из условий δλ = 4a, 4τ1λ = δ, и пусть τ = min{T, τ1}.
Тогда имеем
λδ
sup
|u(x, t)| ≤ 2lC exp{2as
s
0
g
τ
109
2
}exp−
0
2
l
. (6.10)
4
111
s
При l →
∞ из неравенства (6.10) вытекает, что u(x, t) ≡ 0 в g
0
. Так как
τ
s0— произвольное целое число, то u ≡ 0 в ω при t ≤ τ . Если τ < T , то,
применив последовательно предыдущие рассуждения к функции u(x, t) и
слоям τ ≤ t ≤ 2τ, . . . , pτ ≤ t ≤ T , где pτ < T и (p + 1)τ ≥ T , получим, что
u ≡ 0 в ω.
По этой схеме получены доказательства теорем единственности решения
задачи Коши и общих краевых задач в неограниченных областях в классах
растущих функций для параболических систем в работах [80, 81, 215].
δ
Полагая µ = λl, τ = T , λ =
,
из неравенства (6.9) получаем, что при
2T
A = exp{2Tδ−2(ln 2)2}
2
δ
sup
|u(x, t)| ≤ A exp−
s
0
g
T
8T
2
l
sup
s0+l
g
T
t)|. (6.11)
|u(x,
Неравенство (6.11) можно рассматривать как аналог энергетической оценки, выражающей принцип Сен-Венана в теории упругости. Согласно сделанному выше замечанию, эта оценка справедлива для решения уравнения
(6.1) в g
s0+l
, удовлетворяющего условию u(x, 0) = 0 при |x| < s0+ l. Анало-
T
гичные оценки для решений общих параболических систем таким же путем
были получены в работах [215, 216, 64].
Будем теперь предполагать, что функция u(x, t) задана и удовлетворяет
уравнению (6.1) в области ωR= {x, t : |x| > R, 0 < t < T } и u(x, 0) = 0 при
|x| > R. Рассмотрим области g
s
(ˆx) = {x, t : |x − ˆx| < s, 0 < t < τ }. Точно
τ
так же, как доказана оценка (6.9), получаем, что при |ˆx| − (l + 1) > R
sup
|u(x, t)| ≤ 2lexp{−lµδ + µ2τ} sup
1
g
(ˆx)
τ
g
1+l
τ
|u(x, t)|. (6.12)
(ˆx)
Если для функции u(x, t) в ωRвыполнено условие
|u(x, t)| ≤ C exp{a|x|2}, (6.13)
−1
то, полагая в (6.12) µ = λl, λ = 8aδ−1, τ = min
δ2a
Tи выбирая целое
,
32
число l так, что |ˆx| − (l + 1) ≥ R и |ˆx| − (l + 2) < R, получим оценку
sup
|u(x, t)| ≤ C1exp−
1
g
(ˆx)
τ
λδ
(|ˆx|
8
− R)
2
, (6.14)
где постоянная C1зависит от C, a, δ.
Оценка (6.14) указывает характер убывания решения u(x, t) при |ˆx| →
∞, если известно, что для u(x, t) выполнена оценка (6.13) и, кроме того,
u(x, 0) = 0 при |x| > R. Оценки такого типа для решения общих параболи-
ческих систем получены по этой же схеме в [82, 215, 216, 64].
Изложим далее некоторую модификацию рассмотренного выше метода
введения параметра, которая используется в настоящей книге.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]