Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

172 Г

лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА

Рассмотрим неубывающую функцию h(r) такую, что для любого r ≥

r0= const > 0 имеем

h(r) ≥ M1r

1/(2b−1)

, [h(2r)] ≤ M0[h(r)], M0, M1= const > 0, M1≥ 1,

(6.4.11)

∞

= ∞. (6.4.12)

(r)

Очевидно,

2b−1

что для такой функции h(r) выполнено условие V(T).

Таким образом, мы установили, что для решения u(x, t) задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) и функции h(r) выполнены условия I(Т)а–III(Т)а, IV(T), V(T). Поэтому из леммы 6.2.2 вытекает следующее утверждение.

Теорема 6.4.2. Пусть область ω, задача (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) удовле- творяют условиям теоремы 6.3.1. Пусть функция h(r) удовлетворяет условиям (6.4.11), (6.4.12). Тогда для любого решения u(x, t) однородной задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) такого, что uj∈ C

s+tj,b

(ω(l; 0, T )) при l > 0,

j = 1, . . . , N , справедлива оценка

[tj/2b]

β=0

j=1

ρ(m0)

t∗−t

E(m0,t0,b2,λ)

≤

m=m

t∗−t

(m)kuj; C



∂

 

∂

uj; C

s+tj−2bβ

(ω(Γ1(m0) − 1; t0))

exp{−k(m) + 4T (m)ϕ(µ(m))}×

0,b

(ω(Γ2(m); τ1(m0, m), τ2(m0, m)))k,

  

≤



где 0 < t0≤ T , m0— достаточно большое число, Γ1(m) = 2m, Γ2(m) =

m+1

, k(m) = λ2

τ1(m0, m) = τ2(m0, m + 1), τ2(m0, m) =

m+1

[h(2

m+1

)], µ(m) = λb1[h(2

m+1

)],

E(m0,t0,b2,λ)

δT (s),

s=m

ρ(m) = (M(ω)k(m))−1(Γ2(m) − Γ1(m) − 1),

T (m) = b2λ

1−2b2m+1

[h(2

m+1)]1−2b

, m — целое число, b1определено в лем-

ме 6.2.1, λ, b2— произвольные положительные числа, λ — целое число,

t0λσ> b2M

−σ

2σ.

Теорема 6.4.3. Пусть область ω, задача (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) удовле- творяют условиям теоремы 6.3.1 и функция h(r) удовлетворяет условиям (6.4.11), (6.4.12). Пусть u(x, t) = (u1(x, t), . . . , uN(x, t)) — решение однородной задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) такое, что uj∈ C

s+tj,b

(ω(l; 0, T )) для

любого l > 0, j = 1, . . . , N , и пусть

ku; C

0,b

(ω(2

m+1

; 0, T ))k ≤ exp{a2

m+1

h(2

m+1

)},

a = const > 0, для любого целого m > 0. Тогда u ≡ 0 в ω.

171

НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОБЛАСТИ(ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ)173

Применяя теорему 6.3.2, аналогичным путем можно получить следую-

щую теорему.

Теорема 6.4.4. Пусть область ω и задача (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) удовле- творяют условиям теоремы 6.3.2 и пусть для решения u(x, t) = (u1(x, t), . . . , uN(x, t)) однородной задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) та-

кого, что uj∈ W

2bs+tj,s+tj/2b

(ω(l; 0, T )), l > 0, j = 1, . . . , N , 1 ≤ p < ∞,

2bs > q∗, справедлива оценка

ku; Lp(ω(2

m+1

; 0, T ))k ≤ exp{a2

m+1

h(2

m+1

)},

a = const > 0. Тогда u ≡ 0 в ω.

Теорема единственности решения задачи Коши в классе Тэклинда для общей параболической системы методом введения параметра была также доказана Ха Тьен Нгоан.

Теперь установим некоторые асимптотические свойства решений параболических систем.

Рассмотрим в области ω(R2; 0, T ) систему (6.3.1) с граничными условиями (6.3.3) на γ ∩∂ω(R2; 0, T ) и начальными условиями (6.3.5) при ϕh(x) ≡ 0 на ω0∩ ∂ω(R2; 0, T ), h = 1, . . . , m. Пусть в ω(R2; 0, T ) выполнены предположения (6.3.2), (6.3.4), (6.3.6), (6.3.12), γ удовлетворяет предположениям теоремы 6.3.1. Тогда для решений u(x, t) задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) в ω(R2; 0, T ) выполнены условия I(T)a, II(T)a, III(T)a, IV(T). Применяя теорему 6.2.7 и пользуясь таким же выбором пространств и полунорм, входящих в условия теорем § 2, как и выше, получим следующее утверждение.

Теорема 6.4.5. Для любого решения u(x, t) =u1(x, t), . . . , uN(x, t)одно- родной задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) в ω(R2; 0, T ) такого, что

uj∈ C

t, 0 <ˆt ≤ T , справедлива оценка

s+tj,b

(ω(R2; 0, T )), j = 1, . . . , N , s > q∗= max(0, q1, . . . , qbm), и любого

β=0



∂

 

∂

(R2− R1)

uj; C

s+tj−2bβ

−1/(2b−1)

1/2b

), t∗= maxjtj,

−(s+tj)2(s+tj)/2b)q/(s+tj)

(4η0)

−η

, η0= maxj(t∗− tj),

(ω(R1− 1;ˆt))



j=1

, q = 2b/(2b − 1),

[tj/2b]

j=1

∗

≤˜C7M2θ

s+t

exp−

где θ−1= min(d(ω), M (ω)−1,ˆt

M2= 2(M(ω))

b = minj(e−1C0M(ω)

постоянная˜C7определяется оценкой (6.4.10), если

R2− R1≥ max1, 2ˆt,ˆt

1/2b

, (2˜b−1)

2b−1

172

1/2b

, (2(d(ω)˜b)−1)

kuj; C

   

≤

0,b

(ω(R2;

2b−1

t. (6.4.14)

0,ˆt))k,

(6.4.13)

174 Г

лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА

Используя теорему 6.4.5, установим некоторые асимптотические свой-

ства решений параболических систем при |x| → ∞ и t → 0.

Пусть ωR= ω ∩ {x, t; |x| > R, 0 < t < T}, R = const > 0. Рассмотрим

множества

ω(ˆx; l; τ1, τ2) = ω ∩ {x, t : |ˆxj− xj| < l, j = 1, . . . , n; τ1< t < τ2},

ω(ˆx; l; τ1) = ω ∩ {x, t : |ˆxj− xj| < l, j = 1, . . . , n; t = τ1},

0 ≤ τ1≤ τ2≤ T, l ≤ (|ˆx| − R)n

−1/2

Заметим, что все эти множества лежат в ωR. Рассмотрим в ωRсистему (6.3.1) с граничными условиями (6.3.3) на γR= γ ∩∂ωRи начальными условиями (6.3.5) на ω

= ω0∩ ∂ωR. Пусть выполнены предположения (6.3.2),

(6.3.4), (6.3.6), (6.3.12). Фиксируем точку (ˆx,ˆt) ∈ ωR. Для множеств

ω(ˆx; l; τ1, τ2), ω(ˆx; l; τ1), 0 ≤ τ1≤ τ2≤ T, l ≤ (|ˆx| − R)n

−1/2

и вектор-функций u ∈ A0(ˆx), где A0(ˆx) — множество решений однородной задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) в ω(ˆx; (|ˆx| − R)n

uj∈ C

s+tj,b

(ω(ˆx; (|ˆx| − R)n

−1/2

; 0, T ) таких, что

; 0, T )), j = 1, . . . , N,

выполнены условия I(Т)–IV(T) § 2. Поэтому из теоремы 6.2.7 получаем следующие утверждения.

Теорема 6.4.6. Пусть u(x, t) =u1(x, t), . . . , uN(x, t)— решение однородной задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) в ωRтакое, что uj∈ C

s+tj,b(ω0

), j = 1, . . . , N, для любой конечной области ω0⊂ ωR, s > q∗. Пусть для любой точки (ˆx,ˆt) ∈ ωRтакой, что

(|ˆx| − R)n

−1/2

> 2 max1, 2ˆt,ˆt

1/2b

, (2˜b−1)

2b−1

1/2b

, (2(d(ω)˜b)−1)

2b−1

t,

(6.4.15)

q/2

1/(2b−1)2q)1/ε

|ˆx| − R ≥ (8˜b−1an

, (6.4.16)

справедливо неравенство

kuj; C

j=1

0,b

(ω(ˆx; (|ˆx| − R)n

; 0, T ))k ≤ exp{a(|ˆx| − R)

q−ε

}, (6.4.17)

где ε, a = const > 0, ε < q = 2b/(2b − 1). Тогда для всех точек (ˆx,ˆt) ∈ ωR, удовлетворяющих условиям (6.4.15), (6.4.16), имеем

j=1

[tj/2b]



∂

 

∂

β=0

≤˜C7M2θ

s+t

uj; C

∗

s+tj−2bβ

exp−

ω

−q

ˆx;

/22−q

(|ˆx|

(|ˆx| − R)

− R) −1;ˆt

−1/(2b−1)





  

≤



θ−1= min(d(ω), M (ω)−1,ˆt

173

1/2b

). (6.4.18)

НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОБЛАСТИ(ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ)175

Доказательство. Пусть (ˆx,ˆt) ∈ ωR. Очевидно, из условия (6.4.15) вытекает

условие (6.4.14) при R2= (|ˆx| − R)n получаем

−1/2

, R1=

1 2

R2.

Из оценки (6.4.13)

[tj/2b]

j=1

≤˜C7M2θ

β=0



∂

 

∂

s+t

uj; C

∗

exp−

s+tj−2bβ

ω

−q

ˆx;

/22−q

− R)n

(|ˆx|

(|ˆx| − R)

−1/2

−1/(2b−1)



− 1;ˆt



kuj; C

j=1

0,b

(ω(ˆx; (|ˆx| − R)n

−1/2

; 0,ˆt))k. (6.4.19)

Учитывая условие (6.4.17), из оценки (6.4.19) выводим, что

j=1

β=0

   

[tj/2b]

≤˜C7M2θ

∂

s+t

uj; C

∗

s+tj−2bβ

exp−

ω

−q

ˆx;

/22−q

−1/2

(|ˆx|

(|ˆx| − R)

− R) −1;ˆt

−1/(2b−1)



−(|ˆx| − R)



−q

−1/(2b−1)2−q

− a(|ˆx| − R)n



−ε

−

  

≤



  

≤



−q

−1/(2b−1)2−q

В силу условия (6.4.16) имеем

−a(|ˆx| − R)n−ε≥ 0. По-

этому справедлива оценка (6.4.18). Теорема доказана.

еорема 6.4.7. Пусть u(x, t) =u1(x, t), . . . , uN(x, t)— решение однород-

ной задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) в ωRтакое, что uj∈ C

s+tj,b(ω0

), j = 1, . . . , N, для любой конечной области ω0⊂ ωR, s > q∗. Пусть для любой точки (ˆx,ˆt) ∈ ωRтакой, что



t <2−qε

a−1n

−q

2b−1

(|ˆx| − R)n

−1/2

> 2 max1, 2ˆt,ˆt

1/2b

, (2˜b−1)

2b−1

1/2b

, (2(d(ω)˜b)−1)

2b−1

t,

(6.4.20)

выполнено неравенство

kuj; C

j=1

0,b

(ω(ˆx; (|ˆx| − R)n

−1/2

; 0, T ))k ≤ exp{a(|ˆx| − R)q}, (6.4.21)

a = const > 0, 0 < ε < 1. Тогда для всех точек (ˆx,ˆt) ∈ ωR, удовлетворяю-

щих условиям (6.4.20), имеем

j=1

[tj/2b]

β=0



∂

 

∂

uj; C

s+tj−2bβ

ω

ˆx;

174

1 2

−1/2

− R) −1;ˆt

(|ˆx|



  

≤



176 Г

лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА



≤˜C7M2θ

s+t

∗

exp−

2−q(1 − ε)

−q

(|ˆx| − R)

−1/(2b−1)

. (6.4.22)

Доказательство. Очевидно, из условий (6.4.20) вытекает условие (6.4.14) теоремы 6.4.5 при R2= (|˜x| − R)n

−1/2

, R1= R2/2. Поэтому, согласно тео-

реме 6.4.5, имеет место неравенство

j=1

≤˜C7M2θ

[tj/2b]

s+t

β=0

∗

exp−



∂

 

∂

uj; C

s+tj−2bβ

−1/(2b−1)

ω



ˆx;

j=1

kuj; C

0,b

(|ˆx|

(ω(

− R) −1;ˆt

ˆx; (|ˆx| − R)n



   

−1/2

≤

; 0,ˆt))k.

Учитывая условия (6.4.21), (6.4.20), находим

j=1

≤˜C7M2θ

[tj/2b]

s+t

β=0

∗

exp−



∂

 

∂

uj; C

s+tj−2bβ

ω

ˆx;

(|ˆx|

− R) −1;ˆt



(1 − ε)

−1/(2b−1)

− R

−1/(2b−1)

bˆt





  

− a2qn

≤



≤



≤˜C7M2θ

s+t

∗

exp−

(1 − ε)

−1/(2b−1)

аким образом, получаем неравенство (6.4.22). Теорема доказана.

Очевидно,

что теоремы 6.4.6 и 6.4.7 дают оценки фундаментального решения и функции Грина для общей краевой задачи для параболической системы.

Аналогичные оценки были получены ранее в [82, 215, 64].

5 Еще один пример применения метода

В настоящем параграфе рассмотрим задачу Коши для одного эволюционного уравнения, которое не принадлежит классу параболических уравнений. Для решений этого уравнения получим оценки вида (6.2.15), (6.2.16). Это дает возможность применить теоремы §2 и получить теоремы единственности решений задачи Коши в классах растущих функций, обобщающие теорему Тэклинда, оценки, аналогичные принципу Сен-Венана, и изучить асимптотические свойства решений. Легко видеть, что по этой же схеме можно исследовать гораздо более общие классы уравнений. Однако мы ограничимся здесь для простоты рассмотрением одного конкретного представителя таких уравнений. На этом примере проявляются характерные черты метода введения параметра. Точно так же для рассматриваемого класса уравнений может быть исследована краевая задача в неограниченной области. Уравнения такого типа рассматривались в [18, 19].

175

ЕЩЕ ОДИН ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА 177

Итак, рассмотрим в области ω = R



∂

Lu ≡

+ L1(x, t, Dx)

∂

× {0 < t < T } уравнение



∂

+ L2(x, t, Dx)u+

∂

∂u

+A1(x, t, Dx)

+ A2(x, t, Dx)u = 0. (6.5.1)

∂

Будем предполагать, что L1(x, t, Dx), L2(x, t, Dx) — линейные дифференциальные операторы с комплекснозначными коэффициентами порядков 2m и 2m2соответственно, причем m1≥ m2,

= −i

Dx= (D

Пусть L

∂

, . . . , D

(x, t, ξ), j = 1, 2, — главная часть символа Lj(x, t, ξ) дифферен-

, D

α x

= D

α x

···D

, α = (α1, . . . , αn), |α| = α1+ ··· + αn,

циального оператора Lj(x, t, Dx) и пусть

Re L

(x, t, ξ) ≥ pj|ξ|

(6.5.2)

где pj= const > 0, для любых (x, t) ∈ ω, ξ ∈ Rn. Тогда для любой функции

ψ(x) ∈ C

), любогоˆt, 0 ≤ˆt ≤ T , имеет место неравенство Гординга

(см., например, [8]),

Re(Lj(x,ˆt, Dx)ψ, ψ) ≥

kψk

− Kjkψk

j = 1, 2, (6.5.3)

где

(v, w)(t) =

Kj= const > 0, C

v(x, t)

(G) — множество функций в области G ⊂ R

w(x,

t) dx, kvk

(t) =

|α|≤s

v, D

v)(t),

, обладаю-

щих непрерывными производными до порядка s включительно и имеющих компактный носитель в G. Далее предположим, что Aj(x, t, Dx), j = 1, 2, — линейные дифференциальные операторы с комплекснозначными коэффициентами порядков 2m1−1 и 2m1+ 2m2−1 соответственно. Для простоты будем предполагать, что коэффициенты уравнения (6.5.1) имеют ограниченные в ω производные до порядка 2m1включительно. Будем рассматривать только классические, т.е. обладающие в ω непрерывными производными, входящими в уравнение (6.5.1), решения u(x, t) задачи Коши

Lu = 0 в ω, (6.5.4)

∂u

(x, 0) = u(x, 0) = 0 при x ∈ R

∂

. (6.5.5)

Для любых мультииндексов α, β положим

(α)

(x, ξ) = D

(β)

∂

β x

∂

f(x, ξ),

∂

≡

∂

···

∂

, f

∂

(β)

= D

f, f

(α)

∂αf

∂

176

178 Г

лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА

α = (α1, . . . , αn). Через [A, B] обозначим коммутатор операторов A, B, т.е. [A, B] = AB − BA. Через L

(α)

(x, t, ξ). Пусть

(β)

ϕ(x) = ϕ0(x)N, N = m1+ 2m2, ϕ0(x) ∈ C

(α)

(x, t, Dx) обозначим оператор с символом

(β)

∞

ϕ0(x) ≥ 0 в R

, ϕ0(x) = 1 в области {x; |xj| < R1, j = 1, . . . , n} и ϕ0(x) ≡ 0

вне областиnx; |xj| < R2−

ρ,

j = 1, . . . , no,

R2, R1, C

|a|

(

|D |D

где ϕ1∈ C ϕ1≥ 0 в R

ϕ0| ≤ C

= const > 0, R2> R1. Легко видеть, что в R

ϕ| ≤ C

x α

ϕ| ≤ C

∞

, C

−|α|ϕ(N−|α|)/N

|α|

), ϕ1≡ 1 нa supp ϕ0, ϕ1≡ 0 вне {x : |xj| < R2, j = 1, . . . , n},

= const > 0. Справедливы следующие леммы.

|a|

ϕ1ρ

−|α|

|α|

−|α|

в R

, ρ = min(1, R2− R1),

для любых α, |α| < N, для любых α, |α| ≥ N,

Лемма 6.5.1. Пусть функция f ∈ C˜s(R числа. Тогда справедливо неравенство

|α|=˜s

≤ kϕ

(˜s+˜k)/NDα

kϕ

(˜s+˜k)/Nfk2

˜s

≤ K

− K

|α|≤˜s

|α|≤˜s−1

−2(˜s−|α|)kϕ(˜k+|α|)/NDα

n x

(6.5.6)

) и ˜s,˜k — целые положительные

−2(˜s−|α|)kϕ(˜k+|α|)/NDα

2 0

≤

, (6.5.7)

где K3, K4= const > 0.

Доказательство. Применяя формулу Лейбница, для любого мультииндек-

са α, |α| ≤ ˜s, получим

(ϕ

(˜k+˜s)/N

f) ≡

|β|≤|α|

β!

(ϕ

(˜k+

˜s)/N

)

(β)

(Dα)

(β)

f. (6.5.8)

Из равенств (6.5.8) и оценок (6.5.6) очевидно вытекает неравенство (6.5.7).

Лемма

6.5.2. Пусть Q(x, t, Dx) — линейный дифференциальный оператор

порядка s с комплекснозначными коэффициентами, ограниченными вместе с производными до порядка s1включительно в R

f, g ∈ Cs(R

) и s1, k — целые положительные числа такие, что 2s1+k−s ≥

. Пусть функции

0, s > s1≥ 0. Тогда справедливы неравенства

−2(N−k−s1)

|[Q, ϕ

(s1+k)/N

]g, ϕ

(s1+k)/N

f)| ≤ ερ

−2(N−k−s1)kϕ(s1+k)/Nfk2

177

ЕЩЕ ОДИН ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА 179

+Cερ

|α|≤s−s1−1

|α|≤s1−1

−2(N−k)kϕk/Nfk2

−2(N+s−2s1−k−|α|)kϕ(2s1−s+k+|α|)/NDα

|α|=s

(3s1−s+k)/NDα

kϕ

+ ερ

−2(N+s−3s1−k)

где K5, ε = const > 0, ε < 1, Cε— постоянная, зависящая от ε;

−2(N−k−s1)

+Cερ

|(Qg, ϕ

|α|≤s−s

|α|≤s−1

−2(N−k)kϕk/Nfk2

2(s1+k)/N

−2(N+s−2s1−k−|α|)kϕ(2s1−s+k+|α|)/NDα

+ ερ

)| ≤ ερ

−2(N+s−3s1−k)

−2(N−k−s1)kϕ(s1+k)/Nfk2

|α|=s

(3s1−s+k)/NDα

kϕ

2 0

, (6.5.9)

(6.5.10)

где K6, ε, Cε= const > 0, ε < l, причем вместо ϕmпри m = 0 в правой части неравенств (6.5.9), (6.5.10) нужно поставить ϕ1. Если s1= 0, то член

|α|≤s−1

−2(N+s−2s1−k−|α|)kϕ(2s1−s+k+|α|)/NDα

в оценках (6.5.9), (6.5.10) отсутствует.

Доказательство. Из формулы Лейбница следует, что

[Q, ψ]g =

|α|=1

Очевидно,

|α|=1

справедливо тождество

α!

(α)

(g) ≡

s−s1−1

|γ|=1

CγQ

где Cγ= const > 0. Полагая ψ = ϕ

α!

(γ)

(ψ

(γ)

(s1+k)/N

(α)

(g).

|γ|=s−s

C7ψ

(γ)

, из (6.5.11) получаем

(g), (6.5.11)

−2(N−k−s1)

−2(N−k−s1)kϕ(s1+k)/Nfk2

≤ ερ

|γ|=s−s

Cγ|((ϕ

|([Q, ϕ

+ Cερ

(s1+k)/N

−2(N−k−s1)

)

(γ)

178

]g, ϕ

(g), ϕ

(s1+k)/N

s−s1−1

|γ|=1

(s1+k)/N

f)| ≤

(s1+k)/N

k(ϕ

−2(N−k−s1)

f)|ρ

)

(γ)

s−s1−|γ|

180 Г

Легко видеть, что

лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА

s−s1−1

|γ|=1

k(ϕ

(s1+k)/N

≤ K

)

(γ)

|α|≤s−s1−1

s−s1−|γ|

s−s1−1

|γ|=1X|β|≤s−s1−|γ|

s−s1−|α|

|σ|=1

k(ϕ

(s1+k)/N

Так как для любого σ, |σ| ≤ s − s1− |α|, имеем

(s1+k)/N

|(ϕ

)

(σ)

|2≤ C

−2(s−s1−|α|)ϕ2(2s1+k+|α|−s)/N

(α)

то из оценок (6.5.12), (6.5.13) получаем

s−s1−1

|γ|=1

k(ϕ

(s1+k)/N

)

(γ)

≤ K

−2(N−k−s1)

|α|≤s−s1−1

−2(N+s−2s1−k−|α|)kϕ(2s1+k+|α|−s)/NDα

Далее, в силу (6.5.13), имеем

)

(σ)

s−s1−|γ|

((ϕ

(s1+k)/N

. (6.5.12)

)

(γ)

, (6.5.13)

≤

. (6.5.14)

g)k

≤

Cγ|((ϕ

|γ|=s−s

−2(N−2s1−k+s−|α|)kϕ(2s1+k−s+|α|)/NDα

+ ερ

(s1+k)/N

−2(N−k+s−3s1)

)

(γ)

|α|=s

(g), ϕ

(3s1−s+k)/NDα

kϕ

(s1+k)/N

f)| ≤

. (6.5.15)

≤ Cερ

−2(N−k−s1)

−2(N−k)kϕk/Nfk2

|α|≤s1−1

Очевидно, если s1= 0, то в (6.5.15) отсутствует последний член. Из оценок (6.5.11), (6.5.14), (6.5.15) следует неравенство (6.5.9). Легко видеть, что

−2(N−k−s1)

≤ ρ

−2(N−k−s1)

+ρ

−2(N−k−s1)kϕ(s1+k)/Nfk2

≤ ερ

−2(N−k−s1)

+ρ

|(Qg, ϕ

|(Q(ϕ

|([Q, ϕ

2(s1+k)/N

(s1+k)/N

+ Cερ

−2(N−k−s1)kϕ(s1+k)/Ngk2

(s1+k)/N

g), ϕ

]g, ϕ

f)| ≤

(s1+k)/N

f)|+

f)| ≤

s−s

f)|. (6.5.16)

Применяя оценку (6.5.9) и неравенство (6.5.7) при ˜s = s −s1,˜k = 2s1+ k − s для оценки kϕ

(s1+k)/Ngk2

, из соотношений (6.5.16) получим (6.5.10).

s−s

Лемма доказана.

179

ЕЩЕ ОДИН ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА 181

Лемма 6.5.3. Пусть функция f ∈ Cs(R

) и s, k — целые положительные

числа, s > 1. Тогда справедливо неравенство

≤ ε

|α|=s

(k+s)/NDα

kϕ

|β|≤s−1

−2(s−|β|)kϕ(k+|β|)/NDβ

+ Cερ

−2skϕk/Nfk2

, Cε, ε = const > 0. (6.5.17)

≤

Доказательство. Легко видеть, что для любого мультииндекса β, |β| ≥ 1, имеем

≤ ρ

−2(s−|β|)

+ρ

−2(s−|β|)kϕ(k+|β|)/NDβ

(k+|β|+1)/NDβ+γ

|(ϕ

|((ϕ

2(k+|β|)/N

f, ϕ

)

(γ)

f, D

≤

β−γ

f)|, (6.5.18)

(k+|β|−1)/NDβ−γ

f)|+

где |β| ≥ 1, |γ| = 1. Отсюда для любого s1, 1 ≤ s1≤ s − 1, находим, что

|β|=s

−2(s−|β|)kϕ(k+|β|)/NDβ

|α|=s1−1

≤ ε

−2(s−|α|)kϕ(k+|α|)/NDα

|α|=s1+1

−2(s−|α|)kϕ(k+|α|)/NDα

, (6.5.19)

где C

= const > 0. Суммируя (6.5.19) по s1от 1 до s − 1 и выбирая

достаточно малым ε1, получим

≤ ε

где C

kϕ

|α|=s

= const > 0.

1≤|β|≤s−1

(k+s)/NDα

−2(s−|β|)kϕ(k+|β|)/NDβ

2 0

+ C

|β|≤s−2

−2(s−|β|)kϕ(k+|β|)/NDβ

≤

, (6.5.20)

Применяя неравенства (6.5.19) при s1= s − 2, . . . , 1 и подходящем выборе ε1для оценки последней суммы в правой части неравенства (6.5.20), получим оценку (6.5.17).

Лемма

Положим w

6.5.4. Пусть u(x,t) — решение задачи Коши (6.5.4), (6.5.5) в ω.

= e

−κt



∂

+ L

∂

u, w

= e

−κt

u, κ = const ≥ 1. Тогда при



любых τ1, τ2, R2, R1, ρ таких, что 0 ≤ τ1< τ2≤ T, R2> R1> 0, 0 < ρ ≤ min(R2− R1, 1), справедлива оценка

+kw

κkw

; L2(ω(R1; τ1, τ2))k2+ κρ

; L2(ω(R1; τ2))k2+

|α|≤m1+m

−2(m1+m2)kwκ

−2(m1+m2−|α|)kDα

; L2(ω(R1; τ1, τ2))k2+

; L2(ω(R1; τ2))k2≤

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]