Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
22 Г
лава 3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ
α
(x
Π
(α)
1
1
β
3
α
3
y
Dβv
(xjk,ξj/δ)(α)
(β)
j
k,ξj
/δ)(α2)
(|β|−|α3|+|α2|)(1−ε)
j
ξ
δ
j
k
≡
, получаем
(y, D)vjk+
(y, D)vjk+ Jαvjk.
×
Сравнивая эти операторы с операторами Π
|α|(1−ε)
j
(xjk,ξj/δ)(α2)
R
[α]
[rε]+1
X
(y, D)vjk≡
(l+1)(r−γ)−|α2|
X
ξ
δ
+
γ=0
|α3|+|β|=(l+1)(r−γ)−|α|−|α2|+1
γ(β+α2)
≡
ξ
×P
j
δ
(α+α3)
|α|(1−ε)
Π
(x
(α)
k,ξj
j
x
ξ
k
j
,
/δ)(α2)
j
δ
Как нетрудно видеть, для дифференциального оператора Jα(y, D) спра-
ведлива оценка вида
≤ Cδ|ξj|
2|α|(1−ε)
j
ξ
δ
2(m−(r(l+1)+1)(1−ε))
Z
, D)vjk|2dy ≤
|Jα(y
X
|α2|+|β|≤2(l+1)r
Z
α
2
|y
Dβvjk|2|ξj|
2|β|(1−2ε)
dy.
(3.3.23)
Из оценок (3.3.22), (3.3.23) следует
r−1
X
|α1|=1
2|α|(1−ε)
δ
r−1
X
+
|β|=1
kQ
(α)
×
|α1|+|β|≤2(l+1)r
(l+1)r−|β|
X
|α|=0
2
uk
(s−|α|ε)
X
2(|α|+|β|)(1−ε)
δ
X
≤
j≥N (δ)
Z
|y
Z
(
+C
15
+C
δ
δ
kuk
2r(1−ε)
2
(m+s−(r+1)ε)
kuk
2
(m+s−r
+
ε)
+ kuk
Из оценки (3.3.24) немедленно следует
r−1
X
|α|=1
2|α|(1−ε)
δ
(α)
2
uk
(s−|α|ε)
kQ
X
×
|α1|+|β|≤2(l+1)r
≤ C
(
16
Z
|y
2s−n(1−ε)
j
0
C
α
1
Dβv
(xjk,ξj/δ)(α)
|Π
(β)
r−1
X
|α2|=0
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
X
j≥N (δ)
α
1
Dβv
ξ
15
δ
k|2|ξj|2|β|(1−2ε)
j
vjk|
2|α2|(1−ε)
δ
2s−n(1−ε)
j
0
ξ
δ
k|2|ξj|2|β|(1−2ε)
j
2
kQ
(
Cδ|ξj|
2(m−(r(l+1)+1)(1−ε))
dy+
2|β|(1−2ε)
j
ξ
δ
2
uk
(α2)
(s−|α2|ε)
)
. (3.3.24)
"
Cδ|ξj|
2(m−(r(l+1)+1)(1−ε))
dy+
×
dy)+
+
×
21
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 23
3.
+
+δ
r−1
X
|β|=1
2r(1−ε)
(l+1)r−|β|
X
|α|=0
2
kuk
(m+s−rε)
2(|α|+|β|)(1−ε)
δ
+ C
δ
kuk
2|β|(1−2ε)
j
ξ
δ
2
(m+s−(r+1)ε)
Z
|Π
+ kuk
k,ξj
j
(x
(β)
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
/δ)(α)
vjk|2dy#+
Суммируя оценки (3.3.19) и (3.3.25) получаем
(
Z
|Π
(x
k,ξj
j
Z
(xjk,ξj/δ)(α)
|Π
(β)
dy+
|yαDβvjk|2|ξj|
+ kuk
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
/δ)vjk|2
vjk|2dy+
2|β|(1−2ε)
dy−
dy#)−
−C
+Cδ|ξj|
−C
17
2kP uk
2
= 2kQuk
(s)
"
17
2r(1−ε)
δ
(l+1)r−|β|
r−1
X
|β|=1
2(m−(r(l+1)+1)(1−ε))
|α|=0
kuk
2
(s)
X
r−1
X
+
|α|=1
2
(m+s−rε)
X
≥
j≥N1(δ)
2(|α|+|β|)(1−ε)
δ
2|α|(1−ε)
δ
|α|+|β|≤2(l+1)r
+ C
δ
kuk
2s−n(1−ε)
j
0
ξ
δ
2|β|(1−2ε)
j
ξ
δ
Z
(xjk,ξj/δ)(α)vjk|2
|Π
X
2
(m+s−(r+1)ε)
u ∈ C
∞
(K). (3.3.26)
0
Z
)
.
(3.3.25)
,
В силу (3.2.18), для любого t справедлива оценка
≤ C
δ
X
j>0
X
j>0
X
k
t+n(1−ε)
|ξj|
t
j
ξ
δ
|α|+|β|≤2(l+1)r
X
Z
|ψju|2dx = C
X
0
= C
δ
j>0
X
k
Z
|yαDβv
|ξj|
k|2|ξj|2|β|(1−2ε)
j
X
X
δ
j>0
k
Z
t
|vjk|2dy. (3.3.27)
|ξj|
t+n(1−ε)
dy ≤
Z
|ujk|2dx =
Следовательно, выбирая N (δ) так, чтобы при j ≥ N (δ) выполнялись
неравенства (3.3.9) и |ξj| ≥ Cδδ−r, получаем
(
Z
(xjk,ξj/δ)(α)vjk|2
vjk|
|Π
j
(x
ξ
2
δ
k,ξj
/δ)vjk|2
dy+
2|β|(1−2ε)
j
dy−
dy+
2kP uk
r−1
X
+
|β|=1
2
= 2kQuk
(s)
−C
r(l+1)−|β|
X
|α|=0
2
(s)
"
r(l+1)−1
X
18
|α|=1
2(|α|+|β|)(1−ε)
δ
≥
j≥N1(δ)
δ
X
0
2|α|(1−ε)
Z
2s−n(1−ε)
j
ξ
δ
Z
|Π
(xjk,ξj/δ)(α)
Π
(β)
22
24 Г
2(m−r
j
−C
18
2r(1−ε)
δ
kuk
2r(1−ε)
+δ
2
(m+s−rε)
+ C
ξ
δ
kuk
δ
u ∈ C
лава 3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ
Z
ε)
|vjk|2dy#)−
2
(m+s−(r+1)ε)
∞
(K). (3.3.28)
0
+ kuk
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
Из оценки (3.3.26) следует требуемый результат. Теорема доказана.
,
Следствие
3.1. Для любого компакта K ⊂ Ω, любого s ∈ R1и любого
целого t > 0 существуют постоянные C(K, s, t) и N(δ, t) такие, что
≤ kuk
1
2
j≥N (δ
2
≤ C(K, s, t)
(s)
X
,t)
0
j
ξ
δ
(
j≥N (δ,t)
2s−n(1−ε)
X
0
Z
2s−n(1−ε)
j
ξ
δ
u ∈ C
|v
k|2
j
dy − Cδkuk
2
(s−t(1−ε))
≤
Z
k|2
j
|v
∞
(K). (3.3.29)
0
dy − Cδkuk
2
(s−t(1−ε))
)
,
Следствие 3.2. Если для скалярного псевдодифференциального оператора
P в области Ω выполнено условие A
, то для любого компакта K ⊂ Ω
r,ε
и любого s ∈ R1существует постоянная C(K, s) такая, что справедлива
оценка вида
2
(γ)
j
k,ξj
(x
Z
(x
|Π
vjk|2dy +
, u ∈ C
/δ)vjk|2
k,ξj
j
/δ)(α)vjk|2
2|β|(1−ε)
∞
(K). (3.3.30)
0
dy ≥
dy+
2(m−r
j
ξ
δ
ε)
Z
dy), (3.3.31)
|vjk|2dy−
kuk
2
(m+s−rε)
≤ C(K, s)kP uk
2
(0)
Доказательство. В силу условия A
2s−n(1−ε)
0
ξ
j
ξ
δ
ε)
j
δ
2s−n(1−ε)
Z
X
|α|+|β|≤M
|Π
(
(x
(β)
Z
j
+
|β|=1
r(l+1)−|β|
r−1
X
−εδ(|ξj|)
≥ C
X
|α|=0
j≥N (δ)
X
0
j≥N (δ)
ξ
j
ξ
δ
X
0
2|β|(1−2ε)
j
δ
2(m−r
+ kuk
справедлива оценка
r,ε
Z
|Π
(l+1)r
X
|α|=1
k,ξj
/δ)(α)
|yαDβvjk|2|ξj|
где εδ(|ξj|) при фиксированном δ стремится к нулю при |ξj| → ∞.
Из оценок (3.3.2) и (3.3.31) следует, что если C2δ
2r(1−ε)
≤
1
,
то
2
(
r(l+1)
X
|α|=1
23
Z
j
k,ξj
|Π
(x
/δ)(α)vjk|2
dy+
C
0
2
X
j≥N (δ)
0
2s−n(1−ε)
j
ξ
δ
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 25
3.
r−1
X
+
|β|=1
≤ kPuk
+C2C
δ
X
+
j≥N (δ)
r(l+1)−|β|
X
|α|=0
2
+ C2δ
(s)
X
0
|ξj|
j≥N (δ)
0
C0εδ(|ξj|)|ξj|
2|β|(1−2ε)
j
ξ
δ
2r(1−ε)
2(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))−n(1−ε)
kuk
2(m−rε+s)−n(1−ε)
Z
|Π
2
(m+s−rε)
(x
(β)
Из оценок (3.3.29) и (3.3.27) получаем
C2δ
+
j≥N (δ)
+
j≥N (δ)
2r(1−ε)
X
0
×
X
2
kuk
(m+s−rε)
2s−n(1−ε)
j
ξ
δ
X
|α|+|β|≤M
2s−n(1−ε)
j
0
ξ
δ
C2Cδ|ξj|
Z
|yαDβvjk|2|ξj|
+ C
0
C
2
2
kuk
δ
2r(1−ε)
δ
(m−(r+1)ε+s)
2(m−(r(l+1)+1)(1−ε))
k,ξj
j
/δ)(α)
+ C
δ
|α|+|β|≤M
2|β|(1−ε)
0
+ ε
(|ξj|)
δ
vjk|2dy +
2
kuk
(m+s−(r+1)ε)
X
|α|+|β|≤M
X
+ kuk
dy ≤ C
j
ξ
δ
2(m−r
j
ξ
δ
+ kuk
Z
|yαDβvjk|2|ξj|
Z
|yαDβvjk|2|ξj|
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
+ C0εδ(|ξj|)|ξj|
0
δ
2(m−r
2
kuk
(m−(r+1)ε+s)
Z
ε)
|vjk|2dy. (3.3.33)
Z
ε)
|vjk|2dy)≤
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
2|β|(1−ε)
2|β|(1−ε)
dy.
dy+
(3.3.32)
+
2(m−r
ε)
×
+
+
Выбирая δ так, чтобы C
0
δ
2
r(1−ε)
≤
1
,
затем выбирая N (δ) так, чтобы
4
были выполнены условия теоремы 3.3.1, и ε
(
r(l+1)
X
|α|=1
j
k,ξj
(x
(β)
+ kuk
0
в неравенстве (3.3.33), получаем
δ
Z
|Π
/δ)(α)
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
самым изменяя только постоянную C
2s−n(1−ε)
j
0
ξ
δ
2|β|(1−2ε)
j
δ
2
kuk
(m+s−(r+1)ε)
Z
|Π
r−1
X
+
|β|=1
≤ kPuk
C
0
4
r(l+1)−|β|
X
|α|=0
2
+ C
(s)
X
j≥N (δ)
ξ
0
δ
Из оценки (3.3.29) следует, что
2s−n(1−ε)+2(m−r
2
kuk
(m+s−rε)
≤
j≥N (δ)
+Cδkuk
X
2
(m−rε+s−1+ε)
j
0
ξ
δ
, u ∈ C
0
(|ξj|) ≤ 1/8 при j ≥ N(δ), тем
δ
k,ξj
j
(x
vjk|2dy +
/δ)(α)vjk|2
2(m−r
j
ξ
δ
dy+
Z
ε)
, u ∈ C
|vjk|2dy)≤
∞
(K).
0
(3.3.34)
Z
ε)
|vjk|2dy+
∞
(K). (3.3.35)
0
Из оценок (3.3.34), (3.3.35) следует требуемый результат. Следствие 3.2
доказано.
24
26 Г
лава 3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ
Теорема 3.3.2. Для любого дифференциального оператора P , удовлетво-
ряющего в области Ω условию A
при m − rε > 0, для любого компакта
r,ε
K ⊂ Ω, любого s ∈ R1существует постоянная C(K, s) такая, что для
любой функции u ∈ D0(Ω) такой, что P u ∈ H
kϕuk
m+s−rε
≤ C(K, s)kϕ1P uk
loc
, справедлива оценка вида
(s)
2
+ kϕ1uk
(s)
2
, (3.3.36)
(γ)
где функции ϕ, ϕ1∈ C
∞
(K) и ϕ1≡ 1 в некоторой окрестности supp ϕ.
0
Сначала докажем следующую лемму.
Лемма 3.3.1. Если псевдодифференциальный оператор P в области Ω удо-
влетворяет условию A
, то для любого компакта K ⊂ Ω, любого s ∈ R
r,ε
и любых мультииндексов α, β, |α| + |β| ≥ 1, справедлива оценка
(β)
kP
(α)
uk
2
≤ C(K, s, α, β)kP uk
(s)
2
(s+ε|β|−|α|(1−ε))
u ∈ C
∞
(K). (3.3.37)
0
+ kuk
2
(s+m+ε|β|−|α|(1−ε)−rε+ε−1)
Доказательство. В силу оценки (3.3.1), получаем
r−1
X
+
|β1|=1
+Cδ|ξj|
(α)
(β)
uk
"
(l+1)r
2
≤ C1(K, s, α, β)
(s)
X
kP
×
|α1|=0
(l+1)r−|β1|
X
|α1|=0
2(m−|α|−(r(l+1)+1)(1−ε))
+C
kuk
δ
2(|α1|+|β1|)(1−ε)
δ
2
(m−|α|+s−(r+1)ε)
2|α1|(1−ε)
δ
Z
(x
|R
Z
(xjk,ξj/δ)(α1)
|R
(β1)
X
|α1|+|β1|≤M
+ kuk
2
(m−|α|+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
(
j≥N (δ)
j
k,ξj
Z
X
/δ)(α1)vjk|2
|y
j
0
ξ
δ
vjk|2dy +
α
β
1
D
2s−n(1−ε)
×
dy+
ξ
δ
j
k|2|ξj|2|β1|(1−2ε)
1
v
2|β1|(1−2ε)
j
#
+
dy)+
, (3.3.38)
1
,
где дифференциальные операторы R
(xjk,ξj/δ)(α1)
R
(β1)
[rε]+1
ψ(y) ≡
(l+1)(r−γ)−|α1|−|β1|
X
γ=0
|α2|+|β2|=0
X
γ(α+α1+α2)
Сравнивая
(xjk,ξj/δ)(α1)
R
(β1)
×P
(β+β1+β2)
операторы R
j
ξ
ψ(y) ≡
δ
(α)
(β)
(|β|−|α|)(1−ε)
и Π
x
(α)
(β)
(xjk,ξj/δ)(α1)
(β1)
1
α2!1β2!
j
ξ
k
j
,
β
2
y
δ
получаем
k,ξj
j
(x
Π
(β+β1)
25
имеют вид
ξ
δ
α
2
D
ψ(y).
/δ)(α+α1)
(|α1|+|α2|−|β1|−|β2|)(1−ε)
j
ψ + J
(α,α1)
(β,β1)
(y, D)ψ,
×
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 27
3.
где, как нетрудно видеть, оператор J
(α,α1)
J
(β,β1)
×
|α2|+|β2|≤M(α,β)
jk
v
X
2
(0)
≤ Cδ|ξj|
2|β2|(1−2ε)
|ξj|
2(m+|β|(1−ε)−|α|ε−(r(l+1)+1)(1−ε))
Из оценок (3.3.38), (3.3.39) следует
(α)
2
uk
2(|α1|+|β1|)(1−ε)
≤ C(K, s, α, β)
(s)
2(ε|β|−|α|(1−ε))+2|β|(1−2ε)
j
ξ
δ
j
ξ
δ
+ Cδ|ξj|
(
(l+1)r
X
×
|α1|=0
r
X
+
|β1|=1
+Cδ|ξj|
kP
(β)
2|α1|(1−ε)
δ
r(l+1)−|β1|
X
δ
|α1|=0
2(m−|α|−(r(l+1)+1)(1−ε))
(α,α1)
(β,β1)
удовлетворяет оценке вида
Z
α
β
2
|y
X
j≥N (δ)
2(ε|β|−|α|(1−ε)+(|β|+|β1|)(1−2ε))
2(m−(r(l+1)+1)(1−ε)−|α|ε+|β|(1−ε))
2
D
vjk|2dy. (3.3.39)
2s−n(1−ε)
j
0
ξ
δ
Z
j
(x
Π
(β)
k,ξj
/δ)(α+α1)
×
×
J
jk
v
(j)
α1,β
1
2
(v
dy+
,k
j
(j)
I
)+
(v
j,k
))+
где
+C
δ
2
kuk
(m−|α|−(r+1)ε+s)
J
(j)(vj,k
I
) =
+ kuk
(j)
α1,β
j,k
(v
) =
1
X
|α1|+|β1|≤M(α,β)
2
(m+s−|α|−(r(l+1)+1)(1−ε))
Z
(xjk,ξj/δ)(α+α1)
Π
(β+β1)
Z
α
β
1
D
1
|y
Далее, в силу оценки (3.3.34), справедлива оценка
Z
+ C
|Π
(
(x
(β1)
0
δ
X
Z
(l+1)r
|Π
|α1|=1
k,ξj
j
/δ)(α1)
2
kuk
(m+s+ε|β|−|α|(1−ε)−(r+1)ε)
+
r−1
X
|β1|=1
X
C
0
4
(l+1)r−|β1|
|α1|=0
0
j≥N (δ)
X
≤ kPuk
2(s+ε|β|−|α|(1−ε))
j
ξ
δ
2|β1|(1−2ε)
j
ξ
δ
2
(s+ε|β|−|α|(1−ε))
2
+kuk
(m+s+|β|ε−|α|(1−ε)−(r(l+1)+1)(1−ε))
jk
v
vjk|2|ξj|
j
k,ξj
(x
/δ)(α1)vjk|2
vjk|2dy +
, u ∈ C
∞
0
(K).
(3.3.40)
2
dy
2|β1|(1−2ε)
dy
dy+
2(m−r
j
ξ
δ
ε)
Z
+
. (3.3.41)
|vjk|2dy)≤
Из оценок (3.3.40), (3.3.41) и (3.3.27) получаем
(α)
kP
+kuk
(β)
2
uk
2
(m+s+ε|β|−|α|(1−ε)−(r(l+1)+1)(1−ε))
≤ C2(K, s, α, β)kP uk
(s)
Лемма доказана.
26
2
(s+ε|β|−|α|(1−ε))
, u ∈ C
∞
0
+
(K).
28 Г
лава 3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ
Доказательство теоремы 3.3.2. Рассмотрим функцию ϕ0∈ C
следовательность функций ϕj∈ C
supp ϕj, j ≥ 0. Если u ∈ D0(Ω), χ ∈ C
∞
(K) таких, что ϕ
0
∞
(Ω) и χ = 1 на K, то существует
0
≡ 1 в окрестности
j+1
∞
(K) и по-
0
t ∈ R1такое, что χu ∈ Ht. Отсюда следует, что ϕju ∈ Htдля любого j ≥ 0.
Далее введем в рассмотрение операторы E
σ(E
) ≡ χ(x)(1 + |ξ|2)
(s)
s/2
, σ(E
Рассмотрим семейство функций vδ∈ H
vδ= EδE
(t)
Очевидно supp vδ⊂ supp χ и vδ→ v = E
В силу следствия 3.2, для любой функции v ∈ H
, E
(δ)
, где
−m/2
(s)
) ≡ χ(x)(1 + |δξ|2)
(δ)
(m)
ϕ0u.
ϕ0u в норме L2(Ω) при δ → 0.
(t)
(m+s)
такой, что supp v ∈
.
K, справедлива оценка
2
kvk
(m+s−rε)
≤ Cγ(K, s)kP vk
2
(s)
+ kvk
2
, (3.3.42)
(γ)
где γ = const < m + s − rε.
Действительно, существует последовательность vj∈ C
vj→ v при j → ∞ в H
. Следовательно, kP vj−P vk
(m+s)
∞
(K) такая, что
0
→ 0 при j → ∞.
(s)
Таким образом,
lim
j→∞
kvk
2
(m+s−r
≤ Cγ(K, s)
ε)
lim kP
vjk
2
(s)
+ kvjk
2
≤ Cγ(K, s)kP vk
(γ)
2
(s)
+ kvk
2
(γ)
.
Оценка (3.3.42) доказана.
В силу (3.3.37), аналогично доказывается, что при |α|+ |β| ≥ 1
(α)
kP
(β)
2
uk
≤ C(K, s, α, β)kP uk
(s)
2
(s+ε|β|−|α|(1−ε))
2
+kuk
(s+m+ε|β|−|α|(1−ε)−rε−1+ε)
(3.3.43)
для любой функции u ∈ H
(m+s+ε|β|−|α|(1−ε))
.
В силу (3.3.42), для любого δ получаем
kvδk
2
(m−rε)
≤ C
kP vδk
1
2
(0)
+ kvδk
2
. (3.3.44)
(0)
Далее, докажем оценку
j
kP vδk
2
(0)
≤ C
kϕjP uk
2
2
(t)
+
X
l=1
kEδE
(t)
2
ϕluk
(m−rε−l(1−ε))
+ kϕjuk
2
, (3.3.45)
(t)
где j достаточно велико и t ≤ s. В обобщенном смысле справедлива цепочка
равенств
m
X
=
[P, EδE
P vδ≡ [P, EδE
m
X
] +
(t)
|α|=1
1
α!
ϕ
0(α)
(t)
P
]ϕ0u + EδE
(α)
EδE
ϕ1u + EδE
(t)
(t)
|α|=0
1
α!
(t)
ϕ
ϕ0P
0(α)
P
u +
(α)
|α|=1
ϕ1u =
m
X
1
α!
[EδE
(t)ϕ0(α)
P
(3.3.46)
(α)
]ϕ1u.
27
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 29
3.
В силу (3.3.43), получаем
m
X
|α|=1
1
ϕ
α!
0(α)
P
(α)
EδE
(t)
ϕ1u
2
(0)
≤ C
kP EδE
3
(t)
ϕ1uk
2
(ε−1)
+ kEδE
(t)
ϕ1uk
2
(m−r
ε−1+ε)
(3.3.47)
Далее оценим коммутаторы в (3.3.46). В дальнейшем мы заменим опе-
ратор P на χ1P , где χ1∈ C
∞
(Ω), u χ1≡ 1 на supp χ, тем самым изменив
0
константу в оценке (3.3.36). Из работы Кона и Ниренберга [53, теорема 4]
следует, что
.
X
σ([P, EδE
])(x, ξ) ≡
(t)
−(−Dx)αp(x, ξ)χ1(x)χ(x)∂
1
(−Dx)αχ(x)(1
α!
α
α
ξ
Из (3.3.48) немедленно следует оценка
(
k[P, EδE
(t)
]ϕ0uk
2
(0)
≤ C
4
kEδE
(t)
ϕ0uk
В силу (3.3.43), получаем
m
X
kP
EδE
(α)
(t)
|α|=1
ϕ0uk
, ϕ
(t)
2
(−|α|(1−ε))
(α)
P
(α)
(
m
X
≤ C
5
kP EδE
|α|=1
Для коммутаторов [EδE
но,
t/2
χ1P
. (3.3.48)
+kϕ1uk
(α)
(x, ξ)−
2
(t)
(1 + |δξ|2)
m
X
2
+
(0)
|α|=1
+ |δξ|2)
−m/2
kP
(α)
−m/2
(1 + |ξ|2)
(1 + |ξ|2)
EδE
(t)
ϕ0uk
t/2
2
(−|α|)
(3.3.49)
(t)
ϕ0uk
(−|α|)
≤
2
)
+ kEδE
(t)
ϕ0uk
2
(m−rε−1+ε)
. (3.3.50)
] получаем аналог оценки (3.3.49), а имен-
)
.
≤ C
6
(
m−|α|
X
|β|=1
kP
k[EδE
(α)
(β)
EδE
(t)
(t)
, ϕ
(α)
ϕ1uk
(α)
P
2
(−|β|)
]ϕ1uk
2
(0)
+ kEδE
(t)
Из оценки (3.3.43) следует
≤ C
kP EδE
7
(t)
kP
2
ϕ1uk
(−(|α|+|β|)(1−ε))
(α)
(β)
EδE
(t)
ϕ1uk
+ kEδE
2
(−|β|)
(t)
≤
ϕ1uk
Суммируя оценки (3.3.47)–(3.3.52), получаем, что
kP vδk
2
(0)
≤ C
kϕ0P uk
8
2
+ kP EδE
(t)
(t)
ϕ1uk
28
2
(ε−1)
+ kϕ1uk
≤
2
ϕ1uk
(0)
2
(m−rε−1+ε)
2
(t)
)
. (3.3.51)
. (3.3.52)
+ kEδE
(t)
ϕ1uk
2
(m−rε−1+ε)
(3.3.53)
.
30 Г
лава 3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ
Применяя индукцию по j, получаем следующую оценку
(
kP vδk
2
(0)
≤ C
j
X
9
kϕlP uk
l=0
2
(t−l(1−ε))
+
j
X
k=1
kEδE
(t)
2
ϕluk
(m−rε−k(1−ε))
+ kϕjuk
2
(t)
(3.3.54)
при j(1 −ε) ≥ m.
Итак, оценка (3.3.45) доказана.
Далее, справедлива следующая оценка
j
≤ C
10
(
j
X
l=0
kϕlP uk
X
kEδE
l=1
2
(t−l(1−ε))
(t)
X
+
l=2
2
ϕluk
(m−rε−l(1−ε))
j
kEδE
(t)
2
ϕluk
(m−rε−l(1−ε))
≤
+ kϕ
j+1
uk
2
(t)
)
.
(3.3.55)
Доказательство оценки (3.3.55) аналогично доказательству оценки (3.3.45).
Из (3.3.55) немедленно следует, что
)
j
X
l=1
kEδE
(t)
2
ϕluk
(m−rε−l(1−ε))
≤ C
11
kϕ
j+1
P uk
2
(t−1+ε)
+ kϕ
j+1
uk
2
. (3.3.56)
(t)
Таким образом, при j(1 − ε) ≥ m справедлива оценка
2
kvδk
m−rε
≤ C
откуда следует, что ϕ0u ∈ H
kϕ
12
m−rε+t
j+1
P uk
(t)
+ kϕ
j+1
2
при t ≤ s. Если s ≥ t1= t + m − rε,
uk
2
, (3.3.57)
(t)
то, заменяя в вышеприведенном доказательстве t на t1, получим, что для
любой функции ψ0∈ C
kEδE
(t1)
ψ0uk
где последовательность функций ψj∈ C
1 на носителе ψj, j ≥ 0, и ϕ0≡ 1 на множестве
∞
0
2
(m−rε)
(K) такой, что ϕ0≡ 1 на носителе функции ψ0,
≤ C
13
kψ
j+1
2
P uk
∞
0
+ kψ
(t
)
(K) удовлятворяет условиям ψ
S
j+1
uk
2
, (3.3.58)
(t
)
supp ψj.
j
j+1
Применяя индукцию, для любого s ∈ R1из (3.3.58) получаем оценку
(3.3.36).
Теорема 3.3.2 доказана.
≡
Следствие
вию типа A
3.3. Дифференциальный оператор P , удовлетворяющий усло-
, гипоэллиптичен в области Ω.
r,ε
29
лава 4
Г
Гипоэллиптичность с
потерей одной производной
1 О некоторых фундаментальных оценках
В этом параграфе мы рассмотрим класс псевдодифференциальных операторов P порядка m, удовлетворяющих следующим условиям:
A) p0(x, ξ) ≥ 0 для любой точки (x, ξ) ∈ Ω × S
B) p1(x, ξ) = −
p1(
x, ξ) для любой точки (x, ξ) ∈ Ω ×S
n−1
,
n−1
такой, что p0(x, ξ) = 0.
(4.1.1)
Для любой точки (x, η) характеристического многообразия N = {(x, η) ∈
Ω × S
n−1
; p0(x, ξ) = 0} рассмотрим симметрическую матрицу
U(x, η) =
0(kj)
p
p
0(j)
(k)
(x, ξ) p
(x, ξ) p
0(k)
(j)
0
(kj)
!
(x, ξ)
, k, j = 1, . . . , n.
(x, ξ)
Определим субглавный символ p1s(x, η) = p1(x, η) +
i
j)
0(
(x, η).
p
j
2
В силу условия A), матрица U(x, η) неотрицательно полуопределена в
любой точке (x, η) ∈ N характеристического многообразия. Пусть
{Yj= (¯aj,¯bj), ¯aj= (a
j
= b
(x, η), . . . , b
1
j
(x, η)), j = 1, . . . , s(x, η)}
n
j
(x, η), . . . , a
1
j
(x, η),¯bj=
n
— собственные векторы, соответствующие положительным собственным значениям λ
+
(x, η) > 0. Положим
j
J(x, η) = |p1s(x, η)| +
s(x,η)
X
j,k=1
30
q
+
+
λ
λ
|
(IYj, Yk)|, (4.1.2)
j
k
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]