Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
142 Г
N
X
η
×
j=1
j
ρ
(m)kuj; B
+C8(ρ−1(m))(1 + (e − 1)−1C
N
X
η
×
j=1
j
ρ
(m)kuj; Hj(ω(Γ2(m) − 1; τ1(m0, m)))k. (6.2.27)
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
j
(ω(Γ2(m); τ1(m0, m), τ2(m0, m)))k+
0
0
(κ(m)) exp{T (m)ϕ(µ(m))}×
5
Так как ρ(m) ≤ M0ρ(m+ 1) в силу V(T), τ1(m0, m) = τ2(m0, m), Γ2(m) =
Γ1(m + 1), то последняя сумма в неравенстве (6.2.27) не превосходит
N
X
M
η
0
0
j=1
η
j
ρ
(m + 1)kuj; Hj(ω(Γ1(m + 1) − 1, τ2(m0, m + 1)))k.
Положим
A(m) = C8(ρ−1(m)) exp{−k(m) + T (m)ϕ(µ(m))},
B(m) = M
η
0
C8(ρ−1(m))(1 + C
0
0
(κ(m)) exp{T (m)ϕ(µ(m))}).
5
Применяя последовательно оценку (6.2.27) при m = m1+ 1 для оценки
правой части неравенства (6.2.27) при m = m1и полагая
m1= m0, . . . , E(m0, t0, b2, λ), получим
N
X
η
j
ρ
(m0)kuj; Hj(ω(Γ1(m0) − 1; t0))k ≤
j=1
E(m0,t0,b2,λ)−m
X
≤
r=0
N
×
X
j=1
η
j
ρ
(m0+ 1) kuj; B
j
0
При этом мы считаем, что
0
A(m0+ r)
(ω(Γ2(m0+ r); τ1(m0, m0+ r), τ2(m0, m0+ r)))k.
r−1
Q
B(m0+ s) = 1 при r = 0. Нетрудно видеть,
s=0
r−1
Y
B(m0+ s)×
s=0
что при r > 0
r−1
+
Y
s=0
r−1
X
ln(C8((ρ−1(m0+ s))(1 + C
s=0
B(m0+ s) = exp(r ln(M
0
(κ(m0+ s)))) +
5
η
0
)+
0
r−1
X
T (m0+ s)ϕ(µ(m0+ s))).
s=0
(6.2.28)
Далее имеем
r−1
X
T (m0+ s)ϕ(µ(m0+ s)) ≤ b
s=0
q
1
1
λb22
141
m0+r
[h(2
m0+r
)]
r−1
X
s=0
s−(r−1)
2
≤
АБСТРАКТНАЯ СХЕМА МЕТОДА 143
2.
q
≤ λb2b
1
2
1
m0+r+1
[h(2
m0+r+1
)] = T (m0+ r)ϕ(µ(m0+ r)).
Так как C8(ρ−1(m)) и C
κ(m) соответственно и 2
0
(κ(m)) не превосходят многочленов от ρ−1(m) и
5
m+1
h(2
m+1
) → ∞ при m → ∞, то если m0доста-
точно велико, имеем
r−1
r ln(M
r−1
X
≤
s=0
η
0
0
) +
X
ln(C8(ρ−1(m0+ s))(1 + C
s=0
0
(κ(m0+ s)))) ≤
5
T (m0+ s)ϕ(µ(m0+ s)) ≤ T(m0+ r)ϕ(µ(m0+ r)).
Следовательно, при достаточно большом m0(λ, b1, b2)
r−1
Y
B(m0+ s) = exp{2T (m0+ r)ϕ(µ(m0+ r))}. (6.2.29)
s=0
Из оценки (6.2.29) и оценки
ln(C8(ρ−1(m0+ r))) ≤ T (m0+ r)ϕ(µ(m0+ r)),
которая также справедлива при больших m0, получаем, что при достаточно
большом m
A(m0+r)
0
r−1
Y
B(m0+s) ≤ exp{−k(m0+r)+4T (m0+r)ϕ(µ(m0+r))}. (6.2.30)
s=0
Из неравенств (6.2.30), (6.2.28) следует (6.2.21). Лемма доказана.
еорема 6.2.4. Пусть выполнены условия I(Т)–V(Т). Тогда если u ∈ A0и
Т
для любого m ≥ 0
ku; B0(ω(2
m+1
; 0, T ))k ≤ exp{a2
m+1
h(2
m+1
)}, (6.2.31)
a = const > 0, то u = 0 в B0(ω(l; 0, T )) при любом l > 0.
Доказательство. Применяя оценки (6.2.21) и (6.2.31), получим
N
X
η
j
ρ
(m0)kuj; Hj(ω(Γ1(m0) − 1; t0))k ≤
j=1
E(m0,t0,b2,λ)−m
X
≤
r=0
0
exp{Hr} =
E(m0,t0,b2,λ)−m
X
r=0
0
exp{H
(1)
}. (6.2.32)
r
где
Hr= −k(m0+ r) + 4T (m0+ r)ϕ(µ(m0+ r)) + a2
142
m0+r+1
h(2
m0+r+1
),
144 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
(1)
H
= (−λ + 4λb
r
+λ2
m0+r+1
q
1
(h(2
1
b2+ a)2
m0+r+1
m0+r+1
) − [h(2
m0+r+1
h(2
m0+r+1
)+
)])
Положим
λ = 2([a] + 1), b2= min(d(ω)M
σ
2−σ, t0λσM
1
σ
2−σ, 32−1b
1
Такой выбор b2обеспечивает выполнение условия t0λσ> b2M
−q
1
).
1
−σ
2σлем-
1
мы 6.2.2 и условия δT (m) ≤ d(ω), которое используется при доказательстве
леммы 6.2.2.
Так как при достаточно большом m0и m ≥ m0, в силу условия V(Т),
имеем [h(2
m+1
)] ≥ 8, то
N
X
η
j
ρ
j=1
E(m0,t0,b2,λ)−m
X
≤
r=0
≤ exp{−p(m0)}
(m0)kuj; Hj(ω(Γ1(m0) − 1; t0))k ≤
0
exp−
a
m0+r+1
2
h(2
m0+r+1
2
E(m0,t0,b2,λ)−m
X
0
exp{−p(m0)(2r− 1)},
r=0
)≤
г
де p(m0) =
m0+1
2
h(2
m0+1
).
При этом мы воспользовались тем, что
a
2
h(2
m0+1
) ≤ h(2
m0+1+r
).
Так как для любого целого r ≥ 0 имеем 2r−1 ≥ r, то окончательно получаем
N
X
η
j
ρ
(m0)kuj; Hj(ω(Γ1(m0) − 1; t0))k ≤ exp{−p(m0)}(1 − exp{−p(m0)})−1.
j=1
Выбирая m0так, чтобы exp{−p(m0)} ≤ 1/2, получим
N
X
η
j
ρ
(m0)kuj; Hj(ω(Γ1(m0) − 1; t0))k ≤ 2 exp{−p(m0)}.
j=1
Далее завершаем доказательство теоремы 6.2.3 таким же путем, как в
Т
ак же, как и в теореме 6.2.2, условия I(Т)–V(Т) в теореме 6.2.4 можно
заменить другими условиями, если подходящим образом ввести дополнительное независимое переменное x0.
Положим Ω(l; τ ) = ω(l; τ ) ×{|x0| < l}, l > 0, 0 ≤ τ ≤ T .
Введем следующие условия:
143
АБСТРАКТНАЯ СХЕМА МЕТОДА 145
2.
I(Т)а. Пусть выполнены условия I(Т) и Iа. Будем предполагать, что для
любой вектор-функции
vµ(x0, x, t) = exp{iµx0− ϕ(µ)t}u(x, t) = exp{iµx0}w
ϕ(µ)
(x, t),
где u ∈ A0, µ = const ≥ 1, определена для любых l > 0, 0 ≤ τ ≤ T ,
полунорма
kvµ; H(Ω(l; τ ))k =
(
N
X
j=1
µ
kv
; Hj(Ω(l; τ ))k
j
)
1/2
2
такая, что
µ
kv
; Hj(Ω(l1; τ))k ≤ kv
j
µ
; Hj(Ω(l2; τ))k,
j
j = 1, . . . , N , если l1≤ l2, и справедлива оценка
µ
kv
; Hj(Ω(l; τ ))k ≤ C9(l; µ)kw
j
ϕ(µ)
; Hj(ω(l; τ))k, (6.2.33)
j = 1, . . . , N , где C9(l; µ) > 0 не убывает по l и полиномиально зависит
от µ. Пусть C9(2m; µ)C
−1
(2m) ≤ C10(µ), m ≥ 1, где C10(µ) полиномиально
2
зависит от µ.
II(T)а. Предположим существование постоянных M (ω) ≥ 1 (M(ω) = 1,
если γ = ∅), ηj≥ 0, постоянных d(ω), 0 < d(ω) ≤ 1, C
j
(ρ) > 0, j = 1, . . . , N ,
3
таких, что для u ∈ A0и любых l > 0, 0 ≤ τ1< τ2≤ T, справедлива оценка
N
≤
N
X
j=1
X
j=1
µ
j
j
; B
(Ω(l + M(ω)ρ; τ1, τ2))k +
0
η
j
ρ
kv
C
j
(ρ)ρ
3
µ
j
j
; B
(Ω(l; τ1, τ2))k ≤
1
N
X
ρ
j=1
µ
η
j
kv
; Hj(Ω(l + M(ω)ρ; τ1))k,
j
η
j
kv
(6.2.34)
если ϕ(ρ) ≤ τ2− τ1; 0 < ρ ≤ d(ω). Последний член в (6.2.34) отсутствует,
если τ1= 0.
III(T)a. Пусть κ = ϕ(µ) ≡ µ
q3(j) > 0, j = 1, . . . , N , C
C1(2m)C2(2
m+1)−1
≥ C4для любого m ≥ 0. Будем предполагать, что
q
1
, q1= const > 0, µ ≥ 1, C
j
(l, µ) = C1(l)µ
1
q2(j)
, q2(j) > 0, j = 1, . . . , N , и
j
(ρ) = C3ρ
3
q3(j)
q1q3(j)
σ(j) =
− 1 > 0,
j = 1, . . . , N.
q2(j)
Нетрудно видеть, что из условий I(Т)а, II(Т)а, III(Т)а следуют условия
I(T)–III(T). При этом получаем оценку (6.2.15) при
,
Cj(ρ, κ) = C3C4ρ
q3(j)µq2(j)
, C6(κ) = C10(µ).
Поэтому справедливо следующее утверждение.
144
146 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Теорема 6.2.5. Пусть выполнены предположения I(T)а–III(T)а, IV(T),
V(T). Тогда если u ∈ A0и выполнено условие (6.2.31), то u = 0 в B0(ω(l; 0, T ))
при любом l > 0.
Этой теоремой мы воспользуемся при рассмотрении общих параболиче-
ских систем.
Теоремы 6.2.2 и 6.2.3 можно доказать другим путем, основываясь на следующей лемме. Из этой же леммы получим оценки, аналогичные принципу
Сен-Венана.
Лемма 6.2.3. Пусть условия I, II, III выполнены только для множеств
ω(l; τ1, τ2), 0 ≤ τ1< τ2≤ T , 0 < l ≤ l2, l2= const > 0, и функций u(x, t),
определенных в ω(l2; 0, T ). Тогда для любой u ∈ A0(ω(l2; 0, T )) при любыхˆt,
0 ≤ˆt ≤ T , и l1, 0 < l1< l2, справедлива оценка
N
X
j=1
η
ρ
j
kuj; B
j
(ω(l1; 0,ˆt))k ≤ exp{−k +ˆtµ
0
N
X
q
1
}
j=1
η
j
ρ
kuj; B
j
(ω(l2; 0,ˆt))k,
0
(6.2.35)
где положительные постоянные ρ, k, µ (k — целое число) связаны соотношениями
l2− l
ρ =
1
k ≤ d(ω),
ϕ(ρ) ≤ˆt; C0ρ
q3(j)µq2(j)
≥ e, j = 1, . . . , N, µ ≥ 1.
M(ω)
(6.2.36)
Доказательство. Из оценки (6.2.3) при τ1= 0, τ2=ˆt, κ = µ
q
1
, ϕ(ρ) = ρ
q
1
следует, что для любого s = 0, 1, . . . , k − 1 и любого u ∈ A0(ω(l2; 0, T ))
справедливо неравенство
N
X
Cj(ρ, κ)ρ
j=1
κ
j
j
; B
(ω(l1+sρM(ω); 0,ˆt))k ≤ ≤
0
η
j
kw
N
X
j=1
κ
j
j
; B
(ω(l1+(s+1)ρM(ω); 0,ˆt))k.
0
η
j
ρ
kw
Так как для любого j = 1, . . . , N, в силу (6.2.36) и условия III, выполнено
неравенство e ≤ Cj(ρ, κ), то имеем
N
≤ e
−1
N
X
j=1
X
j=1
ρ
η
j
ρ
kw
η
κ
j
kw
; B
j
j
κ
; B
j
(ω(l1+ sρM(ω); 0,ˆt))k ≤
0
j
(ω(l1+ (s + 1)ρM(ω); 0,ˆt))k. (6.2.37)
0
Применяя последовательно неравенство (6.2.37) при s = s0для оценки правой части неравенства (6.2.37) при s = s0− 1 и полагая s0= 1, . . . , k − 1,
получим
N
X
j=1
κ
j
j
; B
(ω(l1; 0,ˆt))k ≤ exp{−k}
0
η
j
ρ
kw
145
N
X
j=1
κ
j
j
; B
(ω(l2; 0,ˆt))k. (6.2.38)
0
η
j
ρ
kw
АБСТРАКТНАЯ СХЕМА МЕТОДА 147
2.
Из оценок (6.2.1), (6.2.2), (6.2.38) следует неравенство (6.2.35). Лемма доказана.
помощью леммы 6.2.3 получим энергетические оценки, аналогичные
С
принципу Сен-Венана.
Теорема 6.2.6. Пусть условия I–III выполнены для множеств ω(l; τ1, τ2),
0 ≤ τ1< τ2≤ T, l ≤ R2и вектор-функций u(x, t), определенных в ω(R2; 0, T ).
Тогда для любой u ∈ A0(ω(R2; 0, T )) и любогоˆt, 0 <ˆt ≤ T , справедлива
оценка
N
≤ M2exp−
˜
b
(R2− R1)
4
X
kuj; B
j=1
(σ+1)/σ
j
(ω(R1; 0,ˆt))k ≤
0
N
−1/σ
ˆ
t
X
kuj; B
j=1
j
(ω(R2;
0
0,ˆt))k, (6.2.39)
где
˜
b = minj(e−1C0M(ω)
−q3(j)2−q2(j)/q
(σ(j)+1)(σ(j)q3(j))
1
)
,
M2= 2M(ω)
η
0
(4η0)
η
−η
0
0
e
, η0= maxjηj,
если
R2− R1≥ max(1, 2ˆt, (2˜b−1)
(q1−σ)/q
ˆ
t
1
, (2(d(ω)˜b)−1)
σ
ˆt,ˆ
1/q
1
t
). (6.2.40)
σ
Доказательство. Положим
l2= R2, l1= R1, k = [˜b(R2− R1)
(σ+1)σ
−1/σ
ˆ
t
], µ = (2ˆt)
−1/q
и покажем, что выполнены условия (6.2.36) леммы 6.2.3. Так как
((R2− R1)ˆt−1)
1/σ
≥ 2˜b−1d(ω)
−1
и R2− R1≥ 1,
то имеем
ρ = (l2− l1)(M(ω)k)−1≤
≤ M(ω)−1(R2− R1)[2d(ω)−1(R2− R1)]−1≤ d(ω)M (ω)−1≤ d(ω).
Из условия (6.2.40) следует, что
1/σ
(R2− R1)
−(1/σ−1/q1)
ˆ
t
≥ 2˜b
−1
и (R2− R1)ˆt
−1/q
1
≥ 1.
1/q
1
1
k
Отсюда получаем
ϕ(ρ)ˆt−1≤ M(ω)
−q
1
((R2− R1)ˆt
−1/q
q
1
1
)
[2(R2− R1)ˆt
−1/q
−q
1
1
]
≤ 1.
Легко видеть, что 1 −q2(j)(q3(j)q1)−1= σ(j)(σ(j) + 1)−1≡ p(j). Имеем
q3(j)µq2(j)
C0ρ
= C0M(ω)
−q3(j)2−q2(j)/q
146
1
×
148 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
×((R2− R1)
≥ C0M(ω)
−q3(j)2−q2(j)/q
1/p(j)
В силу условия (6.2.40), R2− R1≥ˆt. Так как
C0ρ
По условию˜b = minj(C0e−1M(ω)
−1/σ(j))q3(j)p(j)
ˆ
t
1
˜
b
q3(j)µq2(j)
q3(j)µq2(j)
C0ρ
−q3(j)p(j)
≥ C0M(ω)
−q3(j)2−q2(j)/q
[˜b(R2− R1)
((R2− R1)
(σ+1)/σ
1/σ(j)−1/σ
1
σ(j)
−q3(j)2−q2(j)/q
1/q3(j)p(j)
1
)
≥ e, j = 1, . . . , N.
−1/σ]−q3(j)p(j)
ˆ
t
−(1/σ(j)−1/σ))q3(j)p(j)
ˆ
t
1
≥ 0,
то
−
σ
−q3(j)p(j)
1
˜
b
.
. Поэтому
≥
Очевидно,
µ = k
1/q
1
(2ˆt)
−1/q
1
≥ {(R2− R1)(2ˆt)−1}
1/q
1
≥ 1.
Таким образом, условия (6.2.36) леммы 6.2.3 выполнены. Из оценки (6.2.35),
1
q
учитывая, чтоˆtµ
1
=
получаем
k,
2
N
X
j=1
η
j
ρ
kuj; B
j
(ω(R1; 0,ˆt))k ≤ exp
0
N
X
1
k
2
j=1
η
ρ
j
kuj; B
j
(ω(R2;
0
0,ˆt))k.
(6.2.41)
Так как ρ ≤ 1, то
.
N
X
kuj; B
j=1
j
(ω(R1; 0,ˆt))k ≤ ρ
0
Применяя неравенство r
−η
0
ρ
N
X
j=1
где M
≤ (M(ω)k)
kuj; B
0
= (4η0)
2
η
0
, получим
j
(ω(R1; 0,ˆt))k ≤ M
0
η
−η
0
0
e
M(ω)
k = [˜b(R2− R1)
η
−r/4
0
e
η
0
. Так как
(σ+1)/σ
−η
0
exp
≤ (4η0)
0
exp
2
−1/σ
ˆ
t
] ≥˜b(R2− R1)
N
X
k
kuj; B
2
j=1
η
−η
0
0
e
N
X
k
при r ≥ 0 и неравенство
kuj; B
4
j=1
(σ+1)/σ
j
0
j
(ω(R2;
0
(ω(R2;
0,ˆt))k.
0,ˆt))k (6.2.42)
−1/σ
ˆ
t
− 1,
то из оценки (6.2.42) получаем оценку (6.2.39). Теорема доказана.
еорема 6.2.7. Пусть условия I(T)–IV(T) выполнены для множеств ω(l; τ1, τ2),
Т
ω(l; τ1), 0 ≤ τ1< τ2≤ T , l ≤ R2, и вектор-функций u(x, t), определенных
в ω(R2; 0, T ). Тогда для любой u ∈ A0(ω(R2; 0, T )) и любогоˆt, 0 <ˆt ≤ T ,
R1< R2, справедливо неравенство
N
X
kuj; Hj(ω(R1− 1;ˆt))k ≤
j=1
147
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ149
3.
N
X
j=1
kuj; B
j
(ω(R2;
0
0,ˆt))k,
≤ M2C7(θ) exp−
˜
b
(R2− R1)
4
(σ+1)/σ
−1/σ
ˆ
t
θ−1= min(d(ω),ˆt), (6.2.43)
если выполнено условие (6.2.40).
Теорема 6.2.7 является непосредственным следствием оценки (6.2.39)
теоремы 6.2.6 и оценки (6.2.16) условия IV(T). Легко видеть, что из оценки
(6.2.39) теоремы 6.2.6 непосредственно следуют теоремы 6.2.2 и 6.2.3.
3 Априорные оценки для решений параболи-
ческих систем
В §§ 3 и 4 будут получены теоремы единственности решений краевых задач
для общих параболических систем в неограниченных областях и оценки,
аналогичные принципу Сен-Венана. Доказательства основаны на результатах § 2. Для проверки выполнения условий теорем § 2 необходимо установить некоторые априорные оценки решений параболических систем. Этому
и посвящен § 3.
Пусть ω — область в пространстве R
плоскостями {x,t: t = 0}, {x, t : t = T }, T = const > 0, и поверхностью
γ, лежащей между этими плоскостями и нигде не касающейся плоскостей
{x, t : t = const}. Будем рассматривать в области ω линейную систему с
комплексными коэффициентами вида
n+1
= (x1, . . . , xn, t), ограниченная
x,t
N
X
j=1
|α|+2bβ≤sk+t
X
j
αβ
a
kj
(x, t)D
β
∂
α
uj(x, t) = 0, k = 1, . . . , N, (6.3.1)
x
β
t
∂
где b — целое положительное число; s1, . . . , sN, t1, . . . , tN, m — совокупность
целых чисел, sj≤ 0, tj≥ 0, j = 1, . . . , N, и a
N
P
(tj+ sj) = 2bm, m > 0; D
j=1
α
x
= D
α
x
1
···D
1
αβ
(x, t) ≡ 0, если tj+ sj< 0,
kj
α
n
; α = (α1, . . . , αn), |α| = α1+
x
n
∂
··· + αn; D
x
j
= −i
|α|+2bβ=sk+t
, j = 1, . . . , n. Матрицу L0(x, t, ξ, σ) с элементами
∂
x
j
X
αβ
a
(x, t)ξασβ, k, j = 1, . . . , N,
kj
j
где ξ ∈ Rn, σ — комплексное число, назовем главной частью символа системы (6.3.1). В дальнейшем будем рассматривать равномерно параболические
системы (6.3.1) в ω.
Система вида (6.3.1) называется равномерно параболической в ω, если
существует положительная постоянная λ0такая, что для любых (x, t) ∈ ω
148
150 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
и ξ ∈ Rnкорни σ1, . . . , σmполинома P (x, t, ξ, σ) ≡ det L0(x, t, ξ, σ) относительно σ удовлетворяют неравенству
Re σs(x, t, ξ) ≤ −λ0|ξ|2b, s = 1, . . . , m, (6.3.2)
n
P
j=1
2
ξ
. Число λ0называется постоянной параболичности системы
j
где |ξ|2=
(6.3.1). Обозначим черезˆL0(x, t, ξ, σ) матрицу алгебраических дополнений
элементов матрицы L0(x, t, ξ, σ). ИмеемˆL0= P L
−1
0
.
На поверхности γ зададим общие краевые условия вида
N
X
j=1
|α|+2bβ≤qs+t
X
j
αβ
b
sj
(x, t)D
β
∂
α
uj(x, t) = 0, s = 1, . . . , bm, (6.3.3)
x
β
t
∂
где qs— некоторые целые числа.
Пусть (ˆx,ˆt) ∈ γ. Рассмотрим матрицу B0(ˆx,ˆt, ξ, σ) с элементами
X
|α|+2bβ=qs+t
αβ
b
sj
j
(x, t)ξασβ.
Пусть ν(ˆx,ˆt) = (ν1. . . , νn) — единичный вектор внешней нормали в точке
(ˆx,ˆt) к поверхности S
к S
вектор в точке (ˆx,ˆt). Из условия параболичности (6.3.2) вытекает,
ˆ
t
= γ ∩ {x, t : t =ˆt}, а η(ˆx,ˆt) — любой касательный
ˆ
t
что многочлен P (ˆx,ˆt, η(ˆx,ˆt) + τν(ˆx,ˆt), σ) относительно τ имеет bm корней
s
τ
(ˆx,ˆt, η, σ), s = 1, . . . , bm, с положительными мнимыми частями, если
+
Re σ ≥ −λ1|η(ˆx,ˆt)|2b, |σ|2+ η(ˆx,ˆt)4b> 0,
λ1= const и 0 < λ1< λ0(см. [122]). Положим
bm
M+(ˆx,ˆt, η, σ; τ ) ≡
Y
(τ − τ
s=1
s
(ˆx,ˆt; η, σ)).
+
Относительно граничных условий (6.3.3) и системы (6.3.1) будем предпо-
лагать, что выполнены условия дополнительности в любой точке (x, t) ∈ γ.
В точке (ˆx,ˆt) выполнено условие дополнительности для системы (6.3.1) и
граничных условий (6.3.3), если строки матрицы
A(ˆx,ˆt, η(ˆx,ˆt)+τν(ˆx,ˆt), σ) ≡ B0(ˆx,ˆt, η(ˆx,ˆt)+τν(ˆx,ˆt), σ)ˆL0(ˆx,ˆt, η(ˆx,ˆt)+τν(ˆx,ˆt), σ)
линейно независимы по модулю полинома M+(ˆx,ˆt, η, σ; τ ) относительно τ
при условии, что Re σ ≥ −λ1|η(ˆx,ˆt)|2b, |σ|2+ η(ˆx,ˆt)4b> 0.
Положим
bm−1
X
s=0
s
q
(ˆx,ˆt, η, σ)τ
hj
!
s
≡ A(ˆx,ˆt, η + τν, σ)( mod M+(ˆx,ˆt, η, σ; τ )).
149
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ151
3.
Рассмотрим матрицу Q(ˆx,ˆt, η, σ) с элементами q
s
(ˆx,ˆt, η, σ), имеющую bm
hj
строк (h = 1, . . . , bm) и bmN столбцов (s = 0, . . . , mb−1; j = 1, . . . , N). Пусть
∆k(ˆx,ˆt, η, σ), k = 1, . . . , N1, — миноры порядка bm матрицы Q и пусть
∆(ˆx,ˆt, η(ˆx,ˆt), σ) = maxk|∆k(ˆx,ˆt, η(ˆx,ˆt), σ)|.
Условие дополнительности выполнено равномерно на γ, если
∆γ≡ inf ∆(ˆx,ˆt, η(ˆx,ˆt), σ) > 0, (6.3.4)
где нижняя грань берется по всем (ˆx,ˆt) ∈ γ,
Re σ ≥ −λ1|η(ˆx,ˆt)|2b, |σ|2+ η(ˆx,ˆt)4b= 1.
На ω0= ∂ω ∩ {x, t : t = 0} зададим начальные условия вида
N
X
j=1
X
|α|+2bβ≤rh+t
j
αβ
c
hj
(x, t)D
где rh— некоторые целые отрицательные числа; c
αβ
c
≡ 0, если rh+ tj< 0.
hj
α
x
β
∂
β
∂
t
uj(x, t)|
= ϕh(x), h = 1, . . . , m, (6.3.5)
t=0
αβ
(x, t) определены в ¯ω и
hj
Рассмотрим матрицу C0(x, t, ξ, σ) с элементами
X
|α|+2bβ=rh+t
αβ
c
hj
j
(x, t)ξασβ.
В точке (ˆx,ˆt) ∈ ¯ω выполнено условие дополнительности для системы
(6.3.1) и начальных условий (6.3.5), если строки матрицы
H(ˆx,ˆt, σ) = C0(ˆx,ˆt, 0, σ)ˆL0(ˆx,ˆt, 0, σ)
линейно независимы по модулю σm.
Пусть
Рассмотрим матрицу H(ˆx,ˆt) с элементами d
m−1
X
s=0
s
d
hj
(ˆx,ˆt)σ
!
s
≡ H(ˆx,ˆt, σ)( mod σm).
s
(ˆx,ˆt), имеющую m строк,
hj
h = 1, . . . , m, и mN столбцов s = 0, . . . , m − 1; j = 1, . . . , N . Пусть Ek(ˆx,ˆt),
k = 1, . . . , L1, — миноры матрицы H(ˆx,ˆt) порядка m, и пусть
∆(ˆx,ˆt) = maxk|Ek(ˆx,ˆt)|.
Для системы (6.3.1) и начальных условий (6.3.5) будем требовать выполнения условия дополнительности равномерно в ¯ω, т.е. будем предполагать,
что
∆0= inf¯ω∆(ˆx,ˆt) > 0. (6.3.6)
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]