Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
лава 4. ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ С ПОТЕРЕЙ ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
42Г
≤ C(K)kP uk
2
(−1/2)
+ kuk
Положим в оценках (4.2.16), (4.2.17) u = E
2
, u ∈ C
(0)
(1/2)
∞
(K). (4.2.17)
0
v, где функция v ∈ C
и получим
X
kvk
2
(1)
+
|α|=1
kP
(α)vk2
(1/2)
+ kP
(α)
vk
2
(−1/2)
≤
)
≤ C(K)(kP vk
2
(0)
+ kvk
2
(1/2)
+
X
|α|=1
kP
(α)
vk
2
(−1)
≤ C0(K)kP vk
2
(0)
Оценка (4.1.5) доказана.
3 Необходимость условий теоремы 4.1.1
Необходимость. Пусть функция ϕ ∈ C
K. Если точка (x0, η0) ∈ N такая, что J (x0, η0) = 0, то положим
∞
(Ω) равна 1 в окрестности компакта
0
∞
0
+ kvk
(4.2.18)
(K),
2
(0)
.
u(y) = ϕ(y)ψ((y − x0)λ
Если v(y) = ψ((y − x0)λ
ˆv(ξ) = λ
−n/2
1/2)eihy,λη0i
(ξ − λη0)
ˆ
ψ
1/2)eihy,λη0i
, то
1/2
λ
exp(ihx0,
, где λ > 0.
λη0− ξi).
Оператор Q : v → P ϕv имеет в окрестности K тот же символ, что и P . Мы
можем записать Q через интегральный оператор Фурье в следующем виде
(см., например, [53]):
Z
P ϕv(y) = Qv(y) = (2π)
=Zq(y, λη0+ ξλ
1/2
)ˆψ(ξ)e
Разложим функцию q(y, λη0+ ξλ
X
1
q(y, λη0+ λ
1/2
ξ) =
|α|≤2
α!
q
0(α)
(y
−n
, λη0)λ
q(y, η)ˆv(η)e
−ihx0,ξiλ
1/2
) в Ряд Тейлора по переменной ξ:
1/2
|α|/2ξα
ihx,ηi
dη =
+ihy,λη0+λ
1/2
ξi
dξ.
+ q1(y, λη0) + r(y, ξ, λη0).
(4.3.1)
При |ξ| ≤
λ
1/2
ост
аточный член r(y, ξ, λη0) не превосходит λ
1/2
|ξ|3. Если
1
2
1
1/2
λ
же |ξ| ≥
,
то оценивая остальные члены в сумме (4.3.1), получаем
2
|r(y, ξ, λη0)| ≤ C1|ξ|3λ
41
1/2
.
НЕОБХОДИМОСТЬ УСЛОВИЙ ТЕОРЕМЫ ??) 43
3.
Если обозначить через R оператор с символом r(y, ξ, λη0), то можно за-
писать, что для любой функции w ∈ C
0
∞
(Ω)
ZZ
hRu, wi =
ˆr(η −ξλ
1/2
, ξ, λη0)ˆψ(ξ)e
−ihx0,ξiλ
1/2
ˆw(λη0− η) dξ dη,
где ˆr(η, ξ, λη0) — преобразование Фурье функции r(y, ξ, λη0) по первому аргументу. Таким образом,
ZZ
|hRu, wi| ≤ C
N
(1 + |η − ξλ
1/2|)−N
(1 + |ξ|)3λ
1/2
|ˆψ(ξ)|| ˆw(λη0− η)|dξ dη ≤
≤ λ
1/2
C
2
≤ C3λ
Z
(1 + |ξ|)6|ˆψ(ξ)|2dξ
Z
1/2
X
|α|≤3
|Dαψ(y)|2dy
!
1/2
Отсюда следует, что
Z
X
|α|≤3
kRuk
2
(0)
≤ C3λ
Следовательно, справедлива оценка вида
Z
X
|α|≤3
1/2
X
|Dαψ(y)|2dy+
|α|≤3
|α|/2Dα
λ
+
+
2
kP uk
Z
X
|α|≤2
1
α!
q
0(α)
, λη0)Dαψ((y − x0)λ
(y
(0)
≤ C3λ
Z
= C3λ
Z
X
|α|≤2
1
α!
q
0(α)
x0+
y
1/2
λ
,
λη
0
!
Z
|ˆw(λη0− η)|2dη
1/2
Z
|w(y)|2dy
!
!
1/2
1/2
≤
.
|Dαψ|2dy. (4.3.2)
|Dαψ(y)|2dy+
,
λη
1/2
0
)
ψ(y)
) + q1(y, λη0)ψ((y − x0)λ
ψ(y) + q
1
x0+
y
1/2
λ
(4.3.3)
2
dy =
2
dy.
Разложим функции q
менной y в точке x0:
γ(α)
q
x0+
1/2
λ
+
γ(α)
y
,
λη
0
=
X
|γ1|=3−|α|−2γ
x0+
1/2
λ
X
|α|+|β|≤2−2γ
−|γ1|/2rα,γ
λ
42
y
0
λη
,
1
q
β!
(x0, y, λη0)y
γ
1
по формуле Тейлора по пере-
γ(α)
(β)
(x0,
λη0)λ
γ
1
−|β|/2yβ
.
+
лава 4. ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ С ПОТЕРЕЙ ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
44Г
Следовательно, справедлива оценка вида
Z
≤
|α|≤2
Z
X
1
0(α)
q
α!
X
|α|+|β|=2
x0+
1
α!1β!
p
0(α)
(β)
y
1/2
λ
(x0,
+C4λ
0
,
λη
λη0)λ
|α|+|β|≤3
|α|/2Dα
λ
(|α|−|β|)/2yβDα
X
ψ(y) + q
Z
|yαDβψ|2dy. (4.3.4)
Иэ оценок (4.3.3), (4.3.4) получаем
Z
kP uk
2
(0)
≤ λ
2
X
|α|+|β|=2
+C5λ
1
α!1β!
p
0(α)
(β)
X
|α|+|β|≤3
η0)yβDαψ + p1(x0, η0)ψ(y)
(x0,
Z
|yαDβψ(y)|2dy. (4.3.5)
Далее, применяя оценку (4.3.5) к оператору E
1
x0+
λ
y
1/2
,
λη
0
ψ(y)
ψ(y) + p1(x0, λη0)ψ(y)
2
, получаем
(1)
2
dy+
dy+
2
dy ≤
kE
(1)
uk
2
(0)
≥ λ
Z
2
|ψ(y)|2dy − C
X
6
|α|+|β|≤1
λZ|yαDβψ(y)|2dy. (4.3.6)
Из оценки (4.3.6) следует, что
≥(λ
kuk
Z
2
|ψ|2dy − C
2
(1)
≥kE
8
2
uk
(1)
(0)
X
|α|+|β|≤1
− C7kuk
λZ|yαDβψ(y)|2dy). (4.3.7)
Из неравенств (4.3.2), (4.3.5) и (4.3.7) получаем
Z
|ψ|2dy ≤ C
(
Z
X
9
|α|+|β|=2
−1
+λ
1
α!1β!
X
|α|+|β|≤3
0(α)
p
(x0,
(β)
η0)yβDαψ + p1(x0, η0)ψ
Z
|yαDβψ|2dy). (4.3.8)
2
(0)
≥
2
dy+
Из определения операторов Π
Z
X
|α|+|β|=2
1
α!1β!
p
0(α)
(β)
(x0,η0)
s
(x0,
(y, D) следует, что
η0)yβDαψ + p1(x0, η0)ψ
43
2
dy ≡
НЕОБХОДИМОСТЬ УСЛОВИЙ ТЕОРЕМЫ ??) 45
3.
X
≡
+
λ
(x0, η0)Z|Π
s
s
(x0,η0)2
s
ψ|2dy.
Так как J(x0, η0) = 0, то для любых s, l
n
X
+s
t=1
(a
+l
b
t
t
− a
+l
t
+s
b
)(x0, η0) = 0. (4.3.9)
t
Из условия p0(x, ξ) ≥ 0 следует полуопределенность матрицы {p
0(α)(x0
, η0)},
|α| = 2. Следовательно, существует ортогональная матрица C, приводящая
матрицу {p
0(α)(x0
, η0)} к диагональному виду. Сделав преобразование ко-
ординат, определяемое матрицей C, получаем
(x0,η0)
Π
s
(x0,η0)
Π
s
(y, D) ≡ λsDs+
X
(y, D) ≡
X
s
ζ
ytпри s = 1, . . . , s0,
t
s
ζ
ytпри s > s0.
t
Из равенства J(x0, η0) = 0 следует, что существует квадратичная форма
Q(y) такая, что для любого s = 1, . . . , s
−iQ(y)Π(x0,η0)
e
s
Положив ψ(y) = e
(y, D)e
iQ(y)
ψ1(εy1, . . . , εy
iQ(y)
ψ1(y) = λsDsψ1(y), ψ1∈ C
, ε−1y
s
0
0
∞
(Rn).
0
, . . . , ε−1yn), гдеZ|ψ1(y)|2dy =
s0+1
1, получим
X
+
λ
(x0, η0)Z|Π
s
s
(x0,η0)
s
ψ|2dy ≤ C10ε
n−2s0+2
, (4.3.10)
Z
n−2s
|ψ(y)|2dy = ε
0
, (4.3.11)
X
|α|+|β|≤3
Z
|yαDβψ(y)|2dy ≤ C10ε
n−2s0+6
. (4.3.12)
Положив λ−1= ε7и устремляя ε → 0, придем к противоречию в неравенстве (4.3.8).
Теорема доказана.
Замечание. Как
нетрудно видеть, положив v = ϕ(y)ψ((y−x0)λ
для любой функции ψ(y) ∈ C
∞
(Rn) из неравенств (4.1.5) и (4.3.5) получим,
0
1/2)eihx,λη0i
что для любого компакта K ⊂ Ω существует постоянная C(K) такая, что
|Π
n
ξ
x,ξ)(α)
|α|+|β|≤3
(y, D)ψ|2dy +Z|Π
X
Z
|yαDβψ(y)|2dy), ψ ∈ C
x,ξ)
(y, D)ψ|2dy#≤
(α)
∞
0
(Rn).
для любой точки (x, ξ) ∈ K × R
Z
2
λ
≤ C(K)
|ψ(y)|2dy +
(
Z
x,ξ)
|Π
(y, D)ψ|2dy + λ
X
|α|=1
"
Z
,
44
лава 4. ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ С ПОТЕРЕЙ ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
46Г
Следовательно, оператор P , удовлетворяющий условиям теоремы 4.1.1,
является оператором типа A
. Таким образом, справедлива следующая
2,1/2
теорема.
Теорема 4.3.1. Если дифференциальный оператор P порядка m удовле-
творяет условиям (4.1.1), (4.1.4), то для любого компакта K ⊂ Ω существует постоянная C(K) такая, что для любой функции u ∈ D0(Ω)
kϕuk
loc
, справедлива оценка вида
(s)
2
(m−1+s)
≤ C(K)kϕ1P uk
2
+ kϕ1uk
(s)
2
(γ)
,
такой, что P u ∈ H
где функции ϕ, ϕ1∈ C
m − 1 + s.
∞
(K) и ϕ1≡ 1 в окрестности supp ϕ, γ = const <
0
45
Г
лава 5
Дополнительные темы
1 Гипоэллиптичность
(аналитические коэффициенты)
Рассмотрим случай, когда коэффициенты оператора
L(u) = akj∂
x
∂
i
u + bi∂
x
i
u + cu, (5.1.1)
x
i
(оператор (2.7.1) второй главы первой части)— действительные аналитические функции. В этом случае необходимые и достаточные условия гипоэллиптичности можно сформулировать достаточно просто. В нашем рассмотрении важную роль играет следующая лемма об аналитических векторных
полях (см. [252, 210]).
Пусть Y1(x), . . . , Yl(x) — аналитические векторные поля, заданные в об-
ласти Ω пространства Rm, т.е., Yj(x) = (a
1
(x), . . . , a
j
m
(x)), где a
j
s
— аналити-
j
ческие функции в Ω, s = 1, . . . , m; j = 1, . . . , l. Обозначим через Yjдифференциальный оператор
m
Yj=
X
s=1
s
a
j
(x)
∂
, x ∈ Ω,
x
∂
s
соответствующий векторному полю Yj(x). Для любого мультииндекса I =
(α1, . . . , αt) определим дифференциальный оператор YI= ad Y
··· , ad Y
α
1
α
t−1
где αs= 1, . . . , l для s = 1, . . . , t. Обозначим через L(Y1, . . . , Yl) множество всевозможных линейных комбинаций операторов YIс коэффициентами, аналитическими в Ω.
Ранг системы операторов {Y1, . . . , Yl} в точке x0определяется как макси-
мальное число линейно независимых операторов в множестве L(Y1, . . . , Yl),
рассматриваемых в точке x0.
Y
,
α
t
Лемма 5.1.1. Пусть Y1(x), . . . , Yl(x) — аналитические векторные поля,
заданные в области Ω пространства Rm, и предположим, что в точке
46
48 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
x0∈ Ω ранг системы операторов {Y1, . . . , Yl} равен k, где 1 ≤ k < m. Тогда
в окрестности точки x0существует аналитическое многообразие V размерности k такое, что x0∈ V , и в каждой точке этого многообразия все
векторы, соответствующие операторам из L(Y1, . . . , Yl), являются касательными к V в той же самой точке.
Доказательство. Будем предполагать, что x0— начало координат. Снача-
ла покажем, что в окрестности U0точки x0существует невырожденное
преобразование координат
ys= Fs(x1, . . . , xm), s = 1, . . . , m, (5.1.2)
заданное аналитическими функциями Fs, а также k дифференциальных
операторов Y
, . . . , Y
I
1
, принадлежащих L(Y1, . . . , Yl), таких, что в новых
I
k
координатах y эти операторы можно представить в виде
j−1
Y
I
= ej+
j
X
s=1
s
ysY
, j = 1, . . . , k, (5.1.3)
j
где ej= ∂/∂yjи Y
s
— некоторые операторы, соответствующие аналити-
j
ческому векторному полю в окрестности точки x0. Так как ранг системы
{Y1, . . . , Yl} в точке x0равен k ≥ 1, мы знаем, что существует векторное
поле Y
(x) такое, что Y
I
1
(0) 6= 0 и Y
I
1
∈ L(Y1, . . . , Yl). Легко показать, что в
I
1
этом случае в окрестности U1точки x0существует аналитическое преобразование координат вида (5.1.2) такое, что в этой окрестности Y
≡ ∂/∂y1.
I
1
Следовательно, если k = 1, то получается соотношение (5.1.3). Если k > 1,
то, очевидно, существует векторное поле˜Y
и, кроме того,˜Y
I
2
= q
1
(y)e1+ Y
2
, Y
I
I
2
(y) такое, что˜Y
I
2
(0) 6= 0, где Y
2
∈ L(Y1, . . . , Yl)
I
2
(y) ортогонально к
I
2
e1(y) во всех точках некоторой окрестности U2точки x0. Очевидно, что
(y),
0
0
j
0
= y
(y2, . . . , ym),
j
Y
∈ L(Y1, . . . , Yl) и в некоторой окрестности U3точки x
I
2
Y
(y) = Y
I
2
где Y
лаем замену координат y
1
(y) — аналитическое векторное поле. В пространстве y2, . . . , ymсде-
2
0
j
тор, соответствующий векторному полю Y
e2= ∂/∂y
0
. Таким образом, в новых координатах y
2
(0, y2, . . . , ym) + y1Y
I
2
0
= y
(y2, . . . , ym), j = 2, . . . , m, для которой опера-
j
(0, y2, . . . , ym), преобразуется в
I
2
1
2
0
=y1, y
1
j = 2, . . . , m, которые мы снова обозначим y, имеем
Y
I
1
= e1, Y
≡ e2+ y1Y
I
2
1
.
2
При k > 2 докажем соотношение (5.1.3) по индукции. Предположим, что
мы выбрали систему координат y1, . . . , ymи s операторов из L(Y1, . . . , Yl)
таким образом, что
j−1
Y
I
= ej+
j
X
ρ=1
ρ
yρY
, j = 1, . . . , s, (5.1.4)
j
47
ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ (АНАЛИТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ)49
1.
где ej∂/∂yjи Y
ρ
(y) — аналитические векторные поля. Теперь мы покажем,
j
что если s < k, то это же самое верно при s + 1. По предположению леммы
в окрестности x0существует векторное поле˜Y
(y) такое, что˜Y
I
s+1
I
s+1
∈
L(Y1, . . . , Yl) и
s
X
где Y
0
и Y
s+1
где Y
j=1
q
s+1
j
(y)ej+ Y
˜
Y
0
(y) ортогонально к ej(y) при j ≤ s, q
s+1
I
s+1
=
(0) 6= 0. По формуле Тейлора имеем
0
Y
(y) = Y
s+1
0
— некоторые аналитические векторные поля. В плоскости y
j,s+1
0
(0, . . . , 0, y
s+1
, . . . , ym) +
s+1
0
, (5.1.5)
s+1
j
— аналитические функции
s+1
s
X
j=1
yjY
0
j,s+1
(y),
s+1
, . . . , y
применим преобразование координат, при котором оператор, соответствующий векторному полю Y
0
(0, . . . , 0, y
s+1
, . . . , ym), примет вид e
s+1
s+1
= ∂/∂y
0
s+1
Тогда из неравенства (5.1.5) следует, что в новых координатах, которые мы
опять обозначим y,
s
X
j=1
q
j
s+1
(y)ej+ e
s+1
˜
Y
I
s+1
=
+
s
X
j=1
yjY
0
. (5.1.6)
j,s+1
m
.
Используя равенства (5.1.4) (верные по предположению индукции), чтобы
представить ejпри j ≤ s, мы получим из (5.1.6), что
s
где Y
∈ L(Y1, . . . , Yl) и Y
I
s+1
X
Y
= e
I
s+1
j
(y) — некоторые векторные поля, аналитич-
s+1
s+1
+
j=1
yjY
j
s+1
,
ные в окрестности x0, что и требовалось доказать.
Гиперплоск
ость Ek= {y
= 0, . . . , ym= 0} является многообрази-
k+1
ем V в координатах y, для которых выполняется соотношение (5.1.3). Покажем, что если YI— любой оператор в L(Y1, . . . , Yl) относительно координат y, то скалярное произведение ej(y) с YI(y) равно нулю в точках
Ek, принадлежащих некоторой окрестности x0, когда j ≥ k + 1. Так как
f(y) = (ej(y), YI(y)) — аналитическая функция от y, достаточно доказать,
что все производные этой функции по y1, . . . , ykравны нулю в начале координат.
Покажем, что в некоторой окрестности U0точки x
s−1
∂f
= (ej(y), Y
∂
y
s
s
(y)) +
I
X
ρ=1
ρ
yρA
, j ≥ k + 1, s ≤ k, (5.1.7)
s
0
где Y
s
∈ L(Y1, . . . , Yl) и A
I
∂f
y
∂
1
ρ
— некоторые аналитические функции. Имеем
s
= (ej(y), (ad e1YI)(y)) = (ej(y), Y
48
1
(y)),
I
50 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
так как ad e1YI∈ L(Y1, . . . , Yl). Будем действовать индукцией по s. Предположим, что (5.1.7) выполняется при s ≤ s0< k и покажем, что оно выполняется также при s = s0+ 1. Используя соотношение (5.1.3) при j = s0+ 1,
получим
!
∂
y
s0+1
∂f
= (ej(y), (ad e
= (ej(y), (ad Y
= (ej(y), Y
YI)(y)) = ej(y), ad Y
s0+1
s
0
X
YI)(y)) −
I
s0+1
ρ=1
s
0
0
(y)) −
I
X
aρ(ej(y), Y
ρ=1
I
s0+1
(ej(y), (ad yρY
ρ
(y)) −
s0+1
s
0
−
ρ
s0+1
s
0
X
X
ρ=1
YI)) =
yρY
ρ
s0+1
yρAρ, (5.1.8)
ρ=1
Y
!
I
(y)!=
где aρи Aρ— некоторые аналитические функции и Y
0
∈ L(Y1, . . . , Yl). Из
I
(5.1.3) при j = s0+ 1 следует, что
s
0
+
X
ρ=1
yρY
ρ,s0+1
, (5.1.9)
где Y
ρ,s0+1
ρ
Y
s0+1
= ad eρY
I
s0+1
— оператор, соответствующий аналитическому векторному по-
лю. Поэтому из (5.1.8) и (5.1.9) следует, что
где A
s
0
∂f
= (ej(y), Y
∂
y
s0+1
0
— аналитические функции. Так как при ρ ≤ s0мы имеем
ρ
0
(y)) +
I
X
aρ(ej(y), (ad eρY
ρ=1
I
s0+1
)(y)) +
s
0
X
ρ=1
yρA
0
,
ρ
∂
и Y
I
s0+1
(ej(y), (ad eρY
∈ L(Y1, . . . , Yl), из предположения индукции следует, что левую
I
s0+1
)(y)) =
y
∂
ρ
(ej(y), Y
)(y)) (5.1.10)
I
s0+1
сторону (5.1.10) можно записать в виде (5.1.7). Следовательно, (5.1.7) также
верно при s = s0+ 1.
Теперь покажем, что для любого мультииндекса α = (α1, . . . , αk) выполняется уравнение вида
k−1
X
ρ=1
ρ
yρA
, (5.1.11)
α
где Y
∂
∂
y
1
α
∈ L(Y1, . . . , Yl) и A
I
|α|
α
1
f(y)
= (ej(y), Y
α
···∂y
k
k
ρ
— аналитические функции. При |α| = 1 это урав-
α
α
(y)) +
I
нение уже доказано. Предположим, что (5.1.11) доказано для всех α вида
(α1, . . . , αs, 0, . . . , 0), s < k, и докажем его для всех α вида (α1, . . . , αs, α
Если α
∂
= 1, то из предположения индукции и (5.1.7) следует, что
s+1
y
∂
s+1
|α0|
∂
α
1
∂
y
···∂y
1
!
f
α
s
s
=
∂
(ej(y), Y
∂
y
s+1
0
α
I
(y)) +
s−1
X
ρ=1
yρA
49
ρ
α0,1
=
, 0, . . . , 0).
s+1
ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ (АНАЛИТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ)51
1.
s
X
ρ=1
yρA
ρ
,
α
= (ej(y), Y
α
(y)) +
I
0
где α0= (α1, . . . , αs, 0, . . . , 0), Y
α
∈ L(Y1, . . . , Yl) и A
I
функции. Далее предположим, что при p ≤ p
p
∂
p
∂
y
s+1
|α0|
∂
f
α
1
∂
y
···∂y
1
= (ej(y), Y
α
s
s
α
I,p
0
(y)) +
0
s
X
ρ=1
yρA
ρ
— аналитические
α0,1
ρ
, (5.1.12)
α0,p
и покажем, что это уравнение также выполняется при p = p0+ 1. Имеем
s
X
ρ=1
ρ
˜
y
A
ρ
, (5.1.13)
α0,p
0
где Y
p0+1
∂
p0+1
y
∂
s+1
0
α
∈ L(Y1, . . . , Yl) и˜A
I,p
0
|α0|
∂
α
1
∂
y
···∂y
1
f
α
s
s
=
∂
(ej(y), Y
∂
y
s+1
ρ
— аналитические функции. Из (5.1.7) и
α0,p
0
α
I,p
0
(y)) +
0
(5.1.13) следует, что (5.1.12) выполняется при p = p0+ 1.
Отметим, что в начале координат (ej(y), YI(y)) = 0, если YI∈ L(Y1, . . . , Yl)
и j ≥ k + 1, так как в начале координат ej(y) при j = 1, . . . , k принадле-
жат векторным полям, соответствующим операторам из L(Y1, . . . , Yl) и по
условию они образуют базис для L(Y1, . . . , Yl) в начале координат. Из этого
замечания и формулы (5.1.11) следует, что все производные функции f(y)
по y1, . . . , ykравны нулю в y = 0, что и требовалось доказать.
Рассмотрим векторные поля Q(x) и L
торами Q и L
0(j)
, где
0(j)
(x) с соответствующими опера-
0(j)
L
(x) = (aj1(x), . . . , ajm(x)), Q(x) = (b1(x)−a
kj(x)
и a
и bk(x) — коэффициенты оператора (5.1.1).
Лемма 5.1.2. Пусть ранг системы операторов {Q, L
1k
(x), . . . , bm(x)−a
x
k
0(1)
, . . . , L
0(m)
mk
(x))
x
k
} равен
k в точке x0∈ Ω, где 1 ≤ k < m, и пусть коэффициенты оператора
r
X
P u ≡
j=1
2
X
u + iX0u + γu, (5.1.14)
j
аналитичны в области Ω. Тогда существует замена независимых переменных вида (5.1.2) с аналитическими функциями Fsтакая, что оператор (5.1.14) можно представить в виде
L(u) ≡ αkj(y)u
yky
j
+ βk(y)u
+ cu = L1(u) + L2(u) + cu (5.1.15)
y
k
в окрестности точки x0, где оператор L1содержит дифференцирования
только по переменным y1, . . . , yk, а коэффициенты оператора L2равны нулю на гиперплоскости Ek{y
= 0, . . . , ym= 0}.
k+1
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]