Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
52 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Доказательство. По лемме 5.1.1 существует аналитическое k-мерное мно-
гообразие V в окрестности точки x0такое, что x0∈ V и в каждой точке
V все векторы, соответствующие операторам из L(Q, L
0(1)
, . . . , L
0(m)
), касательны к V в этой точке. В окрестности точки x0сделаем замену координат вида (5.1.2) такую, что в новых координатах y1, . . . , ymмногообразие V
совпадает с k-мерной гиперплоскостью Ek{y
операторы Q и L
0(j)
, j = 1, . . . , m, принадлежат L(Q, L
= 0, . . . , ym= 0}. Так как
k+1
0(1)
, . . . , L
0(m)
), из
леммы 5.1.1 следует, что в точках V мы имеем
(Q(x), grad Fs) = 0, (L
0(j)
(x), grad Fs) = 0 при s ≥ k + 1, j = 1, . . . , m.
(5.1.16)
Отсюда следует, что αsj= alρF
sx
F
= 0 на Ek, если либо s ≥ k + 1, либо
jx
ρ
l
j ≥ k + 1. Легко видеть, что
=
βs= L(Fs) = (alρF
∂
(alρF
y
∂
ν
sx
F
) − (L
νx
ρ
l
0(ρ)
)
sx
+ (Q(x), grad Fs) + cFs=
x
ρ
l
, grad Fs)
∂
(F
) + (Q(x), grad Fs) + cFs.
νx
y
∂
ν
ρ
(5.1.17)
Последние три слагаемых в (5.1.17) равны нулю при s ≥ k + 1 в точках
V , так как Fs= 0 на V при s ≥ k + 1, и выполняется (5.1.16). Очевидно,
alρF
sx
F
= 0 на V при s ≥ k +1. Следовательно, (∂/∂yν)(alρF
νx
ρ
l
sx
F
) = 0,
νx
ρ
l
если ν ≤ k, s ≥ k + 1. При ν ≥ k + 1 имеем
|alρF
sx
F
l
| ≤ (alρF
νx
ρ
sx
1/2(alρ
F
)
sx
ρ
l
F
νx
l
F
νx
1/2
)
. (5.1.18)
ρ
Так как akjξkξj≥ 0 для всех ξ, из оценки (5.1.18) легко следует, что
grad(alρF
sx
F
) = 0 на V при ν, s ≥ k + 1, что означает, что βs= 0 на E
νx
ρ
l
k
при s ≥ k + 1. Лемма доказана.
еорема 5.1.1. Если коэффициенты операторов (5.1.14) аналитичны в
Т
Ω и система операторов {Q, L
0(1)
, . . . , L
0(m)
} имеет ранг k в некоторой
точке x0из Ω, где 1 ≤ k < m, то оператор L не гипоэллиптичен в Ω.gh
Доказательство. Сделаем в окрестности U0точки x0такое преобразование
координат, как было указано в лемме 5.1.2. Тогда оператор (5.1.14) принимает вид (5.1.15). Рассмотрим оператор L∗. Очевидно, L∗u = L
∗
где L
содержит дифференцирования только по переменным y1, . . . , yk, и
1
m
k
X
l=1
α
lρ
y
,
ρ
∗
L
= M1u + M2u + c
2
∗
u, где M1=
2
X
ρ=k+1
∗
1
∂
∂
y
u+L
,
l
∗
u+cu,
2
так что M1содержит дифференцирования только по y1, . . . , yk, а коэффициенты оператора M2равны нулю на Ek. Это следует из того, что αlρ= 0
на Ek, если либо l ≥ k + 1, либо ρ ≥ k + 1, и grad αlρ= 0, если l, ρ ≥ k + 1.
На гиперплоскости Ekрассмотрим оператор
L
∗
u = L
V
∗
u + M1u + (c
1
∗
+ c)u.
2
51
ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ (АНАЛИТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ)53
1.
Ясно, что оператор LV, сопряженный к оператору L
где M
LVu = L1u + M
∗
— дифференциальный оператор первого порядка. Предположим, что
1
∗
u + (c
1
∗
+ c)u,
2
∗
, имеет вид
V
уравнение LVu = 0 имеет нетривиальное решение v(y1, . . . , yk) в плоскости
Ekв окрестности G0некоторой точки y0∈ U0. Тогда (v, L
любой бесконечно дифференцируемой функции ϕ(y1, . . . , yk) с носителем в
G0. Здесь (u,v)0=
Z
uv dy1···dyk. Рассмотрим в окрестности Ω0точки
k
E
∗
ϕ)0= 0 для
V
y0обобщенную функцию u(y), определенную уравнением
(u, ϕ) = (v, ϕ(y1, . . . , yk, 0, . . . , 0))0,
где ϕ ∈ C
∞
(Ω0). Очевидно, u = 0 вне гиперплоскости Ek, и при ϕ ∈ C
0
∞
0
(Ω0)
имеем
(u, L∗ϕ) = (v, (L
∗
ϕ + M1ϕ + (c
1
= (v, L
∗
ϕ(y1, . . . , yk, 0, . . . , 0))0.
V
∗
+ c)ϕ)(y1, . . . , yk, 0, . . . , 0))0=
2
Это означает, что обобщенная функция u(x) является решением уравнения
Lu = 0 в окрестности Ω0точки y0и u(x) — не бесконечно дифференцируе-
мая функция в Ω0.
Теперь мы покажем, что если k ≥ 1, то нетривиальное решение урав-
нения LVv = 0 существует на плоскости Ekв окрестности G0некоторой
точки y0∈ U0. Если один из коэффициентов αlρ6≡ 0 в Ek∩ U0, то такое
решение существует в окрестности некоторой точки y0∈ Ek∩ U0в силу
теоремы Коши—Ковалевской. Однако, если все коэффициенты αlρ≡ 0 на
Ekв окрестности U0точки x0, то легко видеть, что grad αlρ≡ 0 на Ek, и
поэтому коэффициенты оператора M1равны нулю на Ek∩ U0. Так как
m
X
l,ρ=1
|αlρ| +
m
X
ρ=1
|βρ| 6= 0
на Ek, в этом случае получаем, что один из коэффициентов βs6≡ 0 при s ≤ k
на Ek∩ U0. Следовательно, в окрестности некоторой точки y0∈ Ek∩ U
существует нетривиальное решение уравнения LVv = 0 в силу теоремы
Коши—Ковалевской, примененной к уравнению первого порядка. Теорема
доказана.
0
теорем 5.1.2 и 5.1.1 выведем следующий результат.
Из
Теорема 5.1.2. Пусть все коэффициенты alj, bj, c дифференциального
оператора (5.1.1) — действительные аналитические функции в Ω, и пусть
m
X
k,j=1
|akj| +
m
X
|bj| 6= 0 (5.1.19)
j=1
52
54 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
всюду в Ω. Тогда для гипоэллиптичности оператора (5.1.15) необходимо
и достаточно, чтобы ранг системы {Q, L
0(1)
, . . . , L
0(m)
} был равен m в
каждой точке области Ω.
Примеры показывают, что заключение этой теоремы не обязательно вер-
но, если условие (5.1.19) не выполняется. Уравнение
|x|2∆u − (νm + ν(ν − 2))u = 0 (5.1.20)
выполняется для функции u = |x|ν, ν > 0, и если ν — не целое число, то
уравнение (5.1.20), очевидно, не является гипоэллиптическим в окрестности
начала координат. С другой стороны, в статье Х¨eрмандера [184] показано,
что если γ — целое число и γ > 1, то уравнение
|x|2γ∆u − u = 0 (5.1.21)
гипоэллиптично в любой области Ω ∈ Rm.
В случае когда коэффициенты оператора
r
X
P u ≡
j=1
2
X
u + iX0u + γu, (5.1.22)
j
— аналитические функции в Ω, М. Дерридж [165] доказал следующую теорему, которая вместе с теоремой 5.1.2 обеспечивает необходимое и достаточное условие гипоэллиптичности оператора (5.1.22) при предположении,
что в каждой точке Ω не все коэффициенты операторов X0, . . . , Xrравны
нулю.
Теорема 5.1.3. Пусть все коэффициенты a
l
и c, j = 0, 1, . . . , r, l = 1, . . . , m,
j
дифференциального оператора (5.1.22) являются аналитическими функциями в Ω, и пусть в некоторой точке x0∈ Ω ранг системы операторов
{X0, . . . , Xr} равен k, где 0 < k < m. Тогда оператор (5.1.22) не гипоэллип-
тичен в Ω.
Теоремы 5.1.2 и 5.1.3 дают следующий результат.
Теорема 5.1.4. Пусть все коэффициенты a
l
и c, j = 0, 1, . . . , r, l = 1, . . . , m,
j
дифференциального оператора (5.1.22) являются аналитическими функциями в Ω, и пусть
r
m
X
X
l
|a
| 6= 0 (5.1.23)
j
j=0
l=1
для всех точек в Ω. Тогда необходимым и достаточным условием гипоэллиптичности оператора (5.1.22) в Ω является условие, чтобы ранг системы {X0, . . . , Xr} был равен m в каждой точке области Ω.
Доказательство теоремы 5.1.3. Достаточно показать, что если оператор
(5.1.22) гипоэллиптичен в Ω, то ранг системы операторов {X0, . . . , Xr} равен
53
КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ 55
2.
m во всех точках Ω. Предположим обратное. Пусть система {X0, . . . , Xr}
имеет ранг k в точке x0∈ Ω при 1 ≤ k < m. Запишем оператор (5.1.22)
в виде (5.1.15). Легко видеть, что если (5.1.23) выполняется для оператора
(5.1.22), то условие (5.1.19) выполняется для соответствующего оператора
(5.1.22) и, более того,
Q = X0−
r
X
s=1
j
a
Xs, L
sx
j
0(j)
= 2
r
X
s=1
j
a
Xs.
s
Поэтому для оператора (5.1.22), полученного таким образом, ранг системы {Q, L
0(1)
, . . . , L
0(m)
} в точке x0также меньше, чем m, откуда по теоре-
ме 5.1.2 следует, что выведенный оператор (5.1.14) не гипоэллиптичен. Это
противоречило бы тому условию, (5.1.22) гипоэллиптичен.
Качественные свойства решений
2
Принцип максимума для уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой был доказан в §§ 1.1 и 1.5 первой главы первой
части лекций.
Для уравнения Лапласа выполняется хорошо известное свойство, называемое сильным принципом максимума: функция u, гармоническая в области Ω и принимающая свое наибольшее значение во внутренней точке
Ω, постоянна. Для уравнения теплопереноса uxx− ut= 0, рассматриваемого в прямоугольнике Q со сторонами, параллельными координатным осям,
сильный принцип максимума принимает следующий вид: решение u(t, x),
принимающее наибольшее значение в точке (t0, x0) внутри Q, постоянно
в Q при t ≤ t0. Для эллиптических уравнений второго порядка сильный
принцип максимума был доказан Хопфом [181] (см. также [206, 78]), а для
параболических уравнений второго порядка — Ниренбергом [211].
Сильный принцип максимума для общих уравнений второго порядка с
неотрицательной характеристической формой изучали Пуччи [228, 229] и
А. Д. Александров [1, 2, 3, 4, 5]. Для уравнений вида (5.1.22) его изучал
Бони [157, 158, 159].
Предположим, что коэффициенты уравнения
L(u) ≡ akju
ограничены в Ω и u(x) ∈ C
+ bku
xkx
j
(2)
(Ω). В каждой точке x рассмотрим собственные
+ cu = 0, akjξkξj≥ 0 (5.2.1)
x
k
векторы, соответствующие положительным собственным значениям матрицы kakjk, и пусть E(x) — линейное пространство, натянутое на эти векторы.
Назовем это пространство плоскостью эллиптичности в точке x. Кривая l
называется линией эллиптичности для уравнения (5.2.1), если в окрест-
ности каждой из ее точек существует векторное поле (Y1(x), . . . , Ym(x))
такое, что Yj∈ C
(1)
, вектор (Y1(x), . . . , Ym(x)) лежит в плоскости E(x),
akj(x)Yk(x)Yj(x) ≥ const > 0 в каждой точке x этой окрестности, и кривая
l является траекторией системы уравнений dxj/dt = Yj(x), j = 1, . . . , m.
54
56 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Множество M называется множеством эллиптической связности уравнения (5.2.1), если две точки из M можно соединить кривой, состоящей из
конечного числа дуг линий эллиптичности, и если не существует множества, обладающего этим свойством, для которого M является собственным
подмножеством. Если вся область Ω является множеством эллиптической
связности, то уравнение (5.2.1) называется эллиптически связным в Ω. Очевидно, что эллиптическое уравнение эллиптически связно. Легко привести
примеры уравнений, которые эллиптически связны, но не эллиптичны в
области Ω. Например, уравнение
L(u) ≡ u
x1x
1
+ cos2x1u
+ 2 sin x1cos x1u
x2x
2
x2x
3
+ sin2x1u
= 0 (5.2.2)
x3x
3
в области Ω{|x1| < π/2} эллиптически связно, хотя легко проверить, что
оно не эллиптично ни в какой точке этой области. Чтобы показать, что
(5.2.2) эллиптически связно в Ω, мы найдем плоскость эллиптичности E(x).
Эта плоскость порождается собственными векторами (1, 0, 0) и (0, 1, tan x1).
Если A = ∂/∂x1и
B =
∂
∂
x
+ tan x
2
∂
,
1
∂
x
3
то
[A, B] ≡ AB − BA =
1
cos2x
∂
.
∂
x
1
3
Векторы (1, 0, 0), (0, 1, tan x1) и (0, 0, 1/ cos2x1) линейно независимы в каждой точке области Ω. Следовательно, эллиптическая связность (5.2.2) следует из следующей теоремы П. К. Рашевского [115].
Теорема 5.2.1. Пусть среди операторов
m
Zj≡
X
αsj(x)
s=1
∂
, j = 1, . . . , n, (5.2.3)
x
∂
s
и их коммутаторов в каждой точке из Ω существуют m линейно независимых операторов (коэффициенты αkjпредполагаются достаточно гладкими). Тогда две точки из Ω можно соединить линией, состоящей из конечного числа дуг траекторий системы дифференциальных уравнений
dx
s
= αsj(x),
s = 1, . . . , m,
dt
где j принимает значения 1, . . . , n.
Справедлива следующая основная теорема о «распространении нулей».
Теорема 5.2.2. Если u ≥ 0 и L(u) ≤ 0 в области Ω и если u = 0 в точке
x0∈ Ω, то u = 0 на множестве эллиптической связности, содержащем
точку x0.
Следующая теорема о сильном принципе максимума для уравнения (5.2.1)
следует непосредственно из теоремы 5.2.2.
55
КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ 57
2.
Теорема 5.2.3. Пусть L(u) ≥ 0 в области Ω и пусть коэффициент c и
M = supΩсвязаны неравенством M c ≤ 0. Если u(x0) = M и x0∈ Ω, то
либо u ≡ 0, либо u ≡ M и c ≡ 0 на множестве эллиптической связности,
содержащем точку x0.
В частности, если уравнение L(u) = 0 эллиптически связно в Ω и c ≡ 0,
то u ≡ M в Ω. Мы не приводим подробного доказательства теорем 5.2.2 и
5.2.3, которое имеется в статьях А. Д. Александрова [1, 2, 3, 4, 5], а просто
укажем основные шаги этого доказательства. (Позже мы дадим подробное
доказательство теоремы о сильном принципе максимума для уравнений вида (5.1.22), принадлежащее Бони [157], и аналогичное доказательство для
уравнения (5.2.1).)
Теорема 5.2.2 доказывается с помощью следующих вспомогательных ре-
зультатов.
Лемма 5.2.1. Пусть Ω1— область, содержащаяся в полупространстве
x1> 0, граница которого содержит область G в плоскости x1= 0. Пусть
G1— замкнутое подмножество G, а x0— точка множества G1. Пусть
u(x) — неотрицательная функция из класса C
¯
Ω1⊂ G1и такая, что
(2)
(¯Ω1), положительная в
u(x0) = 0, u
(x0) = 0, k = 1, . . . , m.
x
k
Тогда для любого N > 0 существуют точки x = (x1, . . . , xm) в Ω1, как
угодно близкие к плоскости x1= 0, удовлетворяющие условиям
(x) = 0.
x
m
2
;
1
1) d2u(x) ≥ Nu
2) u
3) u
x
1
x
2
(x) >
(x)
1
x
1
= ··· = u
(x)dx
x
1
u(x);
Из этой леммы сразу вытекает следующая.
Лемма 5.2.2. Пусть область Ω1и функция u(x) удовлетворяют услови-
ям леммы 5.2.1. Кроме того, предположим, что коэффициент a11в (5.2.1)
отличен от нуля в точке x0. Тогда существуют точки из Ω, в как угодно
малой окрестности x0, в которых L(u) > 0.
Доказательство теоремы 5.2.2 проводится от противного. Предполагая,
что существует точка x в Ω такая, что u(x) = 0 и u 6= 0 в некоторой точке на линии эллиптичности, проходящей через x, можно найти эллипсоид,
содержащийся в Ω, внутри которого u > 0, где u = 0 в некоторой точке x
на его границе. Далее, akj(x0)nknj> 0, где ¯n = (n1, . . . , nm) — единичная
нормаль к эллипсоиду в точке x0. Выберем новые независимые переменные y1, . . . , ymтакие, что направление оси y1совпадает с направлением ¯n
и такие, что граница эллипсоида в окрестности точки x0лежит в плоскости y1= 0. Тогда по лемме 5.2.2 в окрестности x0существуют точки, для
которых L(u) > 0, что противоречит условию теоремы 5.2.2.
0
56
58 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Для широкого класса уравнений (5.2.1) с bk≡ 0 и c ≡ 0 А. Д. Александров также доказал, что если M — множество эллиптической связности,
содержащее точку x0, то в достаточно малой окрестности Ω1точки x0существует функция u(x) из класса C
(2)
(Ω) такая, что u = 0 на M, u > 0 на
Ω1⊂ M и L(u) = 0 в Ω1.
При некоторых специальных предположениях теорема, аналогичная теореме о сильном принципе максимума для параболических уравнений выполняется также для (5.2.1). Предположим, что в окрестности каждой точки P
в Ω локальные координаты y1, . . . , ymможно ввести таким образом, чтобы
уравнение (5.2.1) приняло вид
n
X
L(u) ≡
k,j=1
αkju
yky
где n < m, и плоскость, заданная уравнениями y
m
X
+
j
k=1
βku
+ cu = 0, αkjξkξj≥ 0, (5.2.4)
y
k
= const, . . . , ym= const,
n+1
была множеством эллиптической связности для (5.2.4).
Предположим, что в этой окрестности компоненты вектора¯β = (0, . . . , 0, β
удовлетворяют условию Липшица и¯β 6= 0.
Пусть y = (y1, . . . , ym). Кривая l называется линией параболичности для
(5.2.4), если l — траектория системы дифференциальных уравнений
dy
=¯β(y). (5.2.5)
dt
жество M называется множеством параболической связности для точ-
Мно
ки x0для уравнения (5.2.1), если точка x0может быть соединена с любой
точкой множества M кривой, состоящей из конечного числа дуг линий эллиптичности уравнения (5.2.1) и дуг линий параболичности, идущих в направлении вектора¯β; более того, если не существует множества, содержащего M и обладающего теми же свойствами.
, . . . , βm)
n+1
Теорема 5.2.4. Если уравнение (5.2.1) можно привести к виду (5.2.4) в
окрестности каждой точки из Ω, если u ≥ 0 и L(u) ≤ 0 в Ω и если u = 0
в точке x0, принадлежащей Ω, то u = 0 на множестве параболической
связности точки x0. Если c ≡ 0 и¯β 6= 0 в (5.2.4), то в достаточно малой
окрестности Ω1любой точки x1в Ω существует функция u(y) из класса
(2)
C
(Ω1) такая, что L(u) = 0 в Ω1, u = 0 на множестве параболической
связности точки x1и u > 0 вне этого множества.
Теорема 5.2.5. Пусть уравнение (5.2.1) можно преобразовать к виду
(5.2.4) в окрестности каждой точки из Ω. Пусть L(u) ≥ 0 в Ω и пусть ко-
эффициент c и M = supΩu связаны неравенством M c ≤ 0. Если u(x0) = M
и x0∈ Ω, то либо u ≡ 0, либо u ≡ M и c ≡ 0 на множестве параболической
связности точки x0.
Доказательство теоремы 5.2.4 проводится на основе леммы 5.2.1 аналогично доказательству леммы 5.2.2.
57
КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ 59
2.
В статьях А. Д. Александрова теоремы 5.2.2–5.2.5 доказаны при более
общих предположениях, касающихся коэффициентов уравнения (5.2.1) и
более слабых предположениях о гладкости u(x). В частности, теорема, аналогичная теореме 5.2.2 доказана для функций u(x) из пространства Собо-
2
лева W
свойствами, что u ≥ 0, L(u) ≤ 0 в Ω и u(x0) = 0 и u
(Ω). Он также изучает множество нулей функции u(x) в Ω с теми
m
(x0) = 0, j = 1, . . . , m,
x
j
где x0— некоторая точка на границе Ω.
Следуя работам Бони [157, 158, 159], мы докажем сильный принцип максимума для уравнений вида
r
X
P (u) =
j=1
2
X
u + X0u + cu = 0, c ≤ 0, (5.2.6)
j
где Xj, j = 0, 1, . . . , r, — дифференциальные операторы первого порядка
m
Xj≡
X
k=1
k
a
j
(x)
∂
. (5.2.7)
∂
x
k
Для простоты предположим, что коэффициенты a
k
(x) — бесконечно диф-
j
ференцируемые (или достаточно гладкие) функции в Ω. Обозначим через
¯
Xj(x) векторное поле
¯
Xj(x) = (a
1
(x), . . . , a
j
m
j
(x))
в области Ω. Запишем оператор P (u) также в виде
P (u) ≡ akju
xkx
+ bku
j
x
k
+ cu,
где c(x) ограничено в Ω и c ≤ 0.
Мы используем тот же самый метод, чтобы доказать сильный принцип
максимума для общих уравнений второго порядка (5.2.1).
Обозначим через F множество точек из Ω, в которых u(x) = M и
M = supΩu. Предположим, что M ≥ 0 и u ⊂ C
(2)
(Ω). Доказательство
сильного принципа максимума основано на следующих вспомогательных
результатах.
Лемма 5.2.3. Пусть точка x0принадлежит F, и пусть существует
шар Q, ограниченный сферой S с центром в x1и радиусом ρ такой, что
x0∈ S, Q∪S ⊂ Ω и (Q ∪S) ∩F = x0. Пусть P (u) ≥ 0 в Ω. Тогда для любого
1
j = 1, . . . , r вектор¯Xjортогонален вектору x1−x0= (x
1
−x
0
, . . . , x
1
1
m
−x
0
m
).
Доказательство. Положим a(x, ξ) ≡ akj(x)ξkξjи рассмотрим a(x0, x1−x0).
Так как
a(x, ξ) =
r
X
j=1
¯
Xj(x), ξ
2
≡
r
X
j=1
m
X
k=1
a
k
(x)ξ
j
!
2
,
k
из уравнения a(x0, x1− x0) = 0 следует, что (¯Xj(x0), x1− x0) = 0. Поэтому
чтобы доказать лемму 5.2.3, достаточно показать, что a(x0, x1− x0) = 0.
58
60 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Предположим противное. Пусть a(x0, x1−x0) > 0. Рассмотрим функцию
v(x) = e
−q|x−x1|
где q = const > 0. Очевидно, в точке x
"
2
P (v) = e
−qρ
4q2a(x0, x1− x0) − 2q
2
− e
0
m
X
(akk(x0) + bk(x0)(x
k=1
−qρ
2
,
0
1
− x
k
))#.
k
Если q достаточно велико и a(x0, x1− x0) > 0, то P(v) > 0 в точке x0.
Следовательно, существует шар Q1с центром в точке x0такой, что P (v) > 0
в Q1и Q1⊂ Ω. Пусть S1— граница множества Q1. Положим w(x) = u(x) +
εv(x), где ε = const > 0. Так как P(u) ≥ 0 в Ω по предположению, отсюда
следует, что P (w) > 0 в Q1. В точках S1, принадлежащих F , функция v(x) ≤
const < 0, так как расстояние от точки x1до множества S1∩ F , очевидно,
больше, чем ρ. Следовательно, существует окрестность σ1множества S1∩F ,
в которой выполняется неравенство w(x) < M . На множестве S1\ σ1мы
имеем u(x) < M −δ, где δ = const > 0. Так что если ε достаточно мало, мы
имеем w < M на S1\ σ1.
Поэтому для достаточно малого ε > 0 мы имеем w(x) < M во всех
точках из S1. Очевидно, что w(x0) = M . Отсюда следует, что функция
w(x) принимает свое максимальное значение во внутренней точке Q1, где
P (w) > 0. Так как c ≤ 0 в Ω, по лемме ?? функция w(x) не может принимать
максимальное неотрицательное значение во внутренней точке области Q1.
Это противоречие доказывает лемму 5.2.3.
Лемма
5.2.4. Пусть траектория x(t) векторного поля¯Xj(x), j = 1, . . . , r,
такова, что x(t0) ∈ F, и пусть P (u) ≥ 0 в Ω. Тогда если δ(t) — расстояние
от точки x(t) до F и если δ(t) > 0 при t0< t ≤ t1, то для любого t ∈ [t0, t1]
δ(t + h) − δ(t)
lim inf
h→0
|h|
≥
−Kδ(t), (5.2.8)
где K = const > 0.
Доказательство. Пусть hn→ 0 при n → ∞ и xn= x(t + hn). Обозначим
через ynпроекцию точки xnна F , т.е. |xn−yn| равно инфимуму расстояний
от xnдо точек F . Рассмотрим xn, достаточно близкое к x(t) = x. Выберем
подпоследовательность ynтакую, что yn→ y при n → ∞. Ясно, что y
является проекцией точки x на F . Легко видеть, что
1
(δ(t + hn) − δ(t))
|hn|
=
1
(|yn− xn|
|hn|
− |y − x|) ≥ −|¯Xj(x)||cos γ| − K1hn,
(5.2.9)
где γ — угол между¯Xj(x) и вектором (y − x), а K1= const > 0. По лемме 5.2.3 вектор¯Xj(y) ортогонален вектору y − x. Следовательно,
cos γ = sin γ1,
59
КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ 61
2.
где γ1— угол между¯Xj(x) и¯Xj(y). Очевидно,
|¯Xj(x) sin γ1| ≤ |¯Xj(x) −¯Xj(y)| ≤ K|x − y| = Kδ(t).
Из этой оценки и (5.2.9) следует соотношение (5.2.8).
Лемма
5.2.5. Если функция f(t) непрерывна на отрезке [t1, t2] и соотно-
шение
f(t + h) − f(t)
lim inf
h→0
|h|
≥ −K, K = const > 0, (5.2.10)
выполняется для каждого t ∈ [t1, t2], то функция f (t) удовлетворяет условию Липшица с постоянной K на отрезке [t1, t2].
Доказательство. Пусть f(t) не удовлетворяет условию Липшица с посто-
янной K. Тогда существуют точки s1и s2и некоторое положительное число
ε такие, что
Т
ак как функция f(t) непрерывна при t ∈ [t1, t2], существует значение ρ0>
f(s1) − f(s2)
s1− s
≥ K + ε.
2
0 такое, что при |s − t0| ≤ ρ0и |s2− t00| ≤ ρ0выполняется соотношение
f(t0) − f(t00)
t0− t
Из
(5.2.10) следует, что у каждой точки τ ∈ [t1, t2] существует окрестность
≥ K +
00
ε
. (5.2.11)
2
|t − τ| ≤ ρ(τ ) такая, что
f(t) − f(τ)
t − τ
≥ K +
ε
4
всех t из этой окрестности. Можно предположить, что ρ(τ) ≤ ρ0/2.
для
Теперь выберем конечное покрытие интервала [t1, t2] окрестностями этого
типа и предположим, что τ1< τ2< · · · < τn— центры этих окрестностей.
Очевидно,
всех k, s = 1, . . . , n, k 6= s. Следовательно, для некоторых t0и t
для
противоречит неравенству (5.2.11). Лемма доказана.
что
Следующий
результат вытекает из лемм 5.2.4 и 5.2.5.
f(τk) − f(τs)
τk− τ
f(t0) − f(t00)
t0− t
s
00
≥ K +
≥ K +
ε
4
00
ε
,
4
Теорема 5.2.6. Пусть P (u) ≥ 0 и пусть траектория x(t) векторного
поля¯Xj(x), j = 1, . . . , r, содержит точку x(t0) множества F . Тогда вся
траектория x(t) принадлежит F.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]