Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
92 Г
В частности, для любого N ≥ 0
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
[(T −t − ε)Nv, v]
ε
≤ C
G
[(T −t − ε)Nvtvt]
4
ε
G
+ (v, v)
. (5.4.33)
t=0
Рассматривая неравенства, полученные выше, условие (5.4.30) и выражения, полученные при интегрировании по частям, а также выбирая достаточно большое θ > 0, мы получим из уравнения
[Lε(u), e
−θt
(T −t − ε)Nut]
ε
G
= [fε, e
−θt
(T −t − ε)Nut]
ε
,
G
что
N−1e−θt
−θt
ε
]
G
≤ C
[u, u(T −t − ε)
[fε, fε(T −t − ε)Ne
5
где постоянная C5зависит от a
ε
]
+ [ut, ut(T −t − ε)
G
+ (ϕ
kj
ε
, ϕ
εx
εx
k
k
, b
, cε, T , δ и α.
ε
)
k
t=0
N−1e−θt
+ (ψε, ψε)
]
G
+ (ϕε, ϕε)
t=0
ε
≤
t=0
Теперь предположим, что мы получили оценки вида
[Dlu, Dlu((T −t − ε)
N−1e−θt
ε
]
+ [Dlut, Dlut(T −t − ε)
G
N−1e−θt
ε
]
≤
G
(
≤ C
l
X
[Dγfε, Dγfε((T −t − ε)Ne
|γ|≤|l|
−θt
ε
]
G
+
|γ|=|l|+1
X
Dγϕε, Dγϕ
+
ε
t=0
)
X
+
Dγψε, Dγψ
|γ|≤|l|
ε
t=0
(5.4.34)
,
kj
kj
k
при |l| ≤ q −1, где коэффициенты Clзависят от a
, a
ε
εx
, b
k
0
, b
и cεи от их
ε
ε
производных по x до порядка q −1. Мы покажем, что оценка (5.4.34) также
выполняется при |l| = q ≤ s + p. Для этого изучим уравнение
[DlLε(u), Dlut(T −t −ε)Ne
−θ1t
ε
]
= [Dlfε, Dlut(T −t −ε)Ne
G
−θ1t
]
G
ε
(5.4.35)
и преобразуем его члены интегрированием по частям. Имеем
[Dlu
, Dlut(T −t − ε)Ne
1
+
[Dlut,
θ1Dlut(T −t − ε)Ne
2
−θ1t
]
G
ε
=
−θ1t
N
2
[Dlut,
ε
]
−
G
Dlut(T −t − ε)
1
(Dlut,
Dlut(T −ε)N)
2
N−1e−θ1t
t=0
ε
]
+
G
.
Аналогично получим
[εDlu
−
, Dlut(T −t − ε)Ne
xkx
k
1
ε[Dlu
2
,
Dlu
x
k
−θ1t
(T −t − ε)Ne
x
k
]
G
ε
−θ1t
= −
ε
[N
Dlu
2
ε
ε
]
+
G
2
x
k
(Dlu
, Dlu
,
x
k
(T −t − ε)
x
k
Dlu
x
k
(T −ε)N)
N−1e−θ1t
.
t=0
Легко видеть, что
ε
]
−
G
[Dl(a
kj
ε
u
)
, Dlut(T −t − ε)Ne
x
x
j
k
−θ1t
]
G
1
j
ε
=
k
Dlu
(a
ε
2
x
k
, Dlu
(T −ε)N)
x
j
t=0
−
91
ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ(ЗАДАЧА КОШИ) 93
4.
−
N
2
+
k
[a
ε
X
|γ|≥2
j
Dlu
x
Cγ[(Dγ(a
, Dlu
k
−
x
1
−
2
X
|γ|=1
j
[a
[a
kj
ε
(T −t − ε)
j
k
ε
kj
εx
)D
Dlu
ρ
l−γ
D
x
l−γ
u
x
, Dlu
k
k
N−1e−θ1t
x
u
, Dlu
x
k
)
, Dlut(T −t − ε)Ne
x
j
]
G
θ1(T −t − ε)Ne
j
(T −t − ε)Ne
tx
j
1
j
ε
+
k
Dlu
[a
εt
2
−θ1t
−θ1t
, Dlu
x
k
]
G
−θ1t
]
G
x
j
ε
−
ε
]
+
G
ε
, Cγ= const .
(T −t − ε)Ne
(5.4.36)
Оценим предпоследний член в (5.4.36) с помощью неравенства (5.4.18). При
|γ| = 1 имеем
Dlu
l−γ
l−γ
tx
l−γ
D
j
u
u
xkx
=
+[a
≤ M[a
kj
[a
εxρx
kj
D
εx
ρ
kj
D
ε
+C6[Dlut, Dlut(T −t − ε)Ne
(T −t − ε)Ne
j
u
, Dlut(T −t − ε)Ne
x
k
, Dlut(T −t − ε)Ne
xkx
j
l−γ
, D
ρ
−θ1t
u
xρx
j
ε
]
+ C
G
7
|l|≤q
−θ1t
(T −t − ε)Ne
X
ε
]
=
G
−θ1t
−θ1t
]
G
ε
]
G
−θ1t
ε
+
≤
ε
]
+
G
[Dlu, Dlu(T −t − ε)Ne
−θ1t
ε
]
,
G
−θ1t
ε
]
−
G
где M , C6и C7зависят от производных от a
kj
по x до второго порядка
ε
включительно. Очевидно, что последний член в (5.4.36) не превосходит
X
C
8
|γ|≤q
[Dγu, Dγu(T −t − ε)Ne
где C8зависит от a
kj
ε
, a
kj
εx
k
−θ1t
ε
]
+ [Dγut, Dγut(T −t − ε)Ne
G
−θ1t
]
и от их производных по x до порядка q. Более
того,
[Dlb
α
+
+C
2
[b
9
|γ|≤q
k
u
, Dlut(T −t − ε)Ne
x
ε
k
X
+
1≤|γ|≤q
1
≤
2(N − δ)
1
(N − δ)[Dlut,
+
2
k
Dlu
ε
X
,
x
k
[Dγut,
k
b
Dlu
ε
Dγut(T −t − ε)Ne
Cγ[Dγb
k
[b
Dlu
ε
(T −t − ε)
x
k
−θ1t
k
D
ε
x
k
k
≤
[b
Dlu
ε
, Dlut(T −t − ε)Ne
(T −t − ε)
x
k
l−γ
,
b
]
G
k
Dlu
ε
ε
u
x
k
Dlut(T −t − ε)
N+1e−θ1t
−θ1t
]
G
t
ε
]
G
, Dlut(T −t − ε)Ne
x
k
−θ1t
N+1e−θ1t
N−1e−θ1t
]
Gε\G
1
+
1
[Dlut, (T −t − ε)
2α
]
G
]
Gε\G
t
1
ε
+
−θ1t
≤
+
t
1
N−1e−θ1tDl
+ [Dγu, Dγu(T −t − ε)Ne
]
−θ1t
G
ε
,
G
ε
+
ut]
+
G
t
1
ε
]
.
G
Здесь α — постоянная из (5.4.30), постоянная δ положительна и достаточно
мала, а C9= const. Легко видеть, что
[Dl(b
0
ut), Dlut(T −t − ε)Ne
ε
−θ1t
ε
]
+
G
[Dl(cεu), Dlut(T −t − ε)Ne
−θ1t
ε
]
≤
G
92
94 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
(
≤ C
10
X
[Dγut, Dγut(T −t − ε)Ne
|γ|≤q
−θ1t
ε
]
+
G
)
+
X
[Dγu, Dγu(T −t − ε)Ne
|γ|≤q
−θ1t
ε
]
.
G
Постоянная C10зависит от коэффициентов уравнения (5.4.3) и от их производных по x до порядка q. Вспоминая оценки, полученные таким образом,
неравенство (5.4.33), условие (5.4.30), а также выбирая достаточно большую
постоянную θ1, мы получим из (5.4.35), что оценка (5.4.34) также справедлива для |l| = q ≤ s + p.
Выражения для тех производных от uε, которые включают более чем
одно дифференцирование по t, получаются из (5.4.3) и из уравнений, полученных из него дифференцированием по t и x. Затем эти производные
оцениваются с помощью (5.4.34) при |l| ≤ s + p. Поэтому получаем, что
D
∂ρu
l
∂
t
∂ρu
l
, D
ρ
(T −t − ε)
ρ
∂
t
+kϕεk
N−1
≤ C
ε
G
2
0;s+p+1
kfεk
11
+ kψεk
2
Gε;s+p−2
0;s+p
+ kfεk
2
Gε;0,s+p,s+p
(5.4.37)
+
при |l| + ρ ≤ s + p. Из неравенства (5.4.32) и оценки (5.4.37) следует, что
если N = 2p + 1, то uε(t, x) удовлетворяет неравенству (5.4.31).
Следующая
теорема легко выводится из этой леммы.
Теорема 5.4.2. Пусть коэффициенты уравнения (5.4.1) удовлетворяют
неравенству
α(Tt)(bkξk)2≤ Aakjξkξj− a
для
любого ξ и t из отрезка t1≤ t ≤ T , где t — некоторое число, мень-
kj
ξkξj+
t
akjξkξ
α(T −t)
шее, чем T, α — постоянная, удовлетворяющая условию α > (2p + 1)
j
(5.4.38)
−1
(p — неотрицательное целое число), и A — постоянная. Пусть, кроме того, (5.4.38) выполняется на отрезке 0 ≤ t ≤ t1для некоторых (возможно,
других) постоянных α > 0 и A > 0. Пусть коэффициенты akj, ax
kj
, bk,
k
b0и c имеют ограниченные производные до порядка s +p−2 по x и t, s ≥ 2,
и до порядка s + p по x. Тогда существует единственное решение u(t, x)
задачи (5.4.1), (5.4.2) в классе Hs(GT), и для этого решения выполняется
оценка
kuk
2
GT;s
≤ C
12
kfk
2
GT;s+p−2
+ kfk
2
GT;0,s+p,s+p
+ kϕk
2
0;s+p+1
+ kψk
0;s+p
,
(5.4.39)
если f, ϕ и ψ имеют компактный носитель по x и ограниченные нормы,
появляющиеся в (5.4.39).
Доказательство. Как в доказательстве теоремы 5.4.1, сгладим коэффици-
енты уравнения (5.4.1), а также функции f, ϕ и ψ и рассмотрим задачу
93
ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ(ЗАДАЧА КОШИ) 95
4.
(5.4.3), (5.4.4), где коэффициенты (5.4.3) и функции fε, ϕεи ψεопределены
с помощью (5.4.26). Мы проверим, что условие (5.4.30) леммы 5.4.2 выполняется для задачи (5.4.3), (5.4.4). Для этого применим оператор˜Pεк правой
и левой частям соотношения (5.4.38).
При 0 ≤ t ≤ T − ε мы получим неравенство
α˜Pε[(T −t)(bkξk)2≤ A˜Pε[akjξkξj] −˜Pε[a
Легк
о видеть, что
˜
Pε[(T −t)(bkξk)2≥ (T − t − ε)˜Pε[(bkξk)2] ≥ (T − t − ε)(b
kj
˜
α
Pε[a
j
P
k
ξkξ
a
˜
ε
T −t
1
ξkξj] = a
t
j
≤
kj
ξkξj] +
t
kj
ξkξj,
εt
1
α1(T −t − ε)
a
j
k
ε
1
˜
P
α
ξkξj.
ε
a
k
T −t
j
ξkξ
j
. (5.4.40)
k
ξk)2,
ε
Условие (5.4.30) следует из этих оценок и из (5.4.40). Мы получим решение задачи (5.4.1), (5.4.2) как предел при ε → 0 решения задачи (5.4.3),
(5.4.4). Ясно, что неравенство (5.4.39) выполняется для предельной функции u(t, x).
Замечание
5.4.4. Из условия (5.4.38) следует, что если akj(t0, x0)ξkξj= 0
для некоторого вектора ξ в точке (t0, x0), то для того же самого ξ уравнение
akj(t, x0)ξkξj= 0 выполняется для всех T ≥ t ≥ t0.
Из теорем 5.4.1 и 5.4.2 легко получается теорема, допускающая вырождение уравнения (5.4.1) на множестве более общей структуры, в частности,
вырождение просто в отдельных точках.
Теорема 5.4.3. Допустим, что область GTможно разделить на конеч-
ное число областей Gj{T
≤ t ≤ Tj, x ∈ Rm} таких, что в каждой
j−1
области Gjвыполняется либо условие
α(t − T
)(bkξk)2≤ Aakjξkξj+ a
j−1
kj
t
ξkξ
j
теоремы 5.4.1, либо условие
α(Tj− t)(bkξk)2≤ Aakjξkξj+
akjξkξ
α(Tj− t)
j
− a
j
k
ξkξ
j
t
теоремы 5.4.2, где постоянные α и A удовлетворяют условиям, указанным в соответствующих теоремах. Тогда в GTсуществует единственное решение u(t, x) задачи (5.4.1), (5.4.2) из класса Hs(GT), если коэффициенты уравнения (5.4.1) и функции f , ϕ и ψ (с компактным носителем)
достаточно гладки. А именно, мы требуем гладкость, достаточную для
того, чтобы в каждой области Gjвыполнялись условия теоремы 5.4.1
или 5.4.2, гарантирующие существование решения из класса Hs(Gj) уравнения (5.4.1) в Gjс начальными функциями u|
t=T
j−1
и ut|
t=T
j−1
.
94
96 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Теорема 5.4.3 доказывается с помощью последовательного применения
теорем 5.4.1 и 5.4.2 в области Gj.
Из теоремы 5.4.3 следует, например, что задача Коши для уравнения
u
− t2(2 − t)2[(1 − t)2+ x2]uxx+ aux+ but+ cu = f
с условиями (5.4.2) всегда корректно поставлена (т.е. решение задачи Коши
существует, единственно и зависит от начальных данных непрерывно по
некоторой норме), если коэффициенты этого уравнения и функции f, ϕ и
ψ достаточно гладки в GT.
5 Необходимые условия корректности(задача
Коши)
Вопрос о необходимых условиях корректности задачи Коши для дифференциальных уравнений любого порядка рассматривали при различных предположениях Е. К. Леви [200], Т. Лакс [198], П. Лакс [199], Мизохата и Охия
[207], Стрендж и Флашка [239], В. Я. Иврий [46], В. Петков [103] и др. В
последующем изложении используются идеи из указанных статей.
Пусть Ω — область в R
область ω, лежащую в гиперплоскости x0= h и такую, что все точки Ω
удовлетворяют условию x0> h. В частности, Ω может быть областью типа
{h < x0< T, (x1, . . . , xm) ∈ Rm}, T = const ≤ ∞.
В¯Ω рассмотрим уравнение
m+1
= {x0, . . . , xm}, граница которой содержит
X
L(u) =
aα(x)Dαu = f(x), (5.5.1)
|α|≤2
где aα(x) и f(x) — данные комплекснозначные функции, бесконечно дифференцируемые в¯Ω. Здесь и далее
Dj= −i
∂
, j = 0, 1, . . . , m; i2= −1; Dα= D
∂
x
j
α
0
0
···D
α
m
m
;
|α| = α0+ ··· + αm; α! = α0! ···αm!.
В области Ω рассмотрим задачу Коши для уравнения (5.5.1) с начальными
условиями
u|
= g0, D0u|
x∈ω
= g1, (5.5.2)
x∈ω
где g0и g1— данные функции в ω. Задача Коши (5.5.1), (5.5.2) называется
∞
корректной в области Ω, если для любых функций f(x) ∈ C
носителем в Ω∪ω и любых функций g0, g1∈ C
u(x) ∈ C
(2)
(¯Ω) уравнения (5.5.1), удовлетворяющее условиям (5.5.2); кроме
∞
(ω) в¯Ω существует решение
0
m+1
(R
0
) с
того, из условия f (x) ≡ 0 в¯Ω ∩{x0≤ h1} для некоторого h1≥ h вместе с
g0(x) ≡ 0 и g1(x) ≡ 0 в ω следует, что u(x) ≡ 0 в¯Ω ∩ {x0≤ h1}.
95
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ КОРРЕКТНОСТИ(ЗАДАЧА КОШИ) 97
5.
Лемма 5.5.1. Пусть задача Коши (5.5.1), (5.5.2) корректна в области Ω.
Тогда для любого компактного множества K ⊂ Ω ∪ω такого, что K ∩ ω
не пусто, существуют целое число k ≥ 0 и постоянная C > 0 такие, что
для любой функции f ∈ C
∞
(K) и любых g0, g1∈ C
0
∞
(K ∩ ω) решение u(x)
0
задачи (5.5.1), (5.5.2) удовлетворяет неравенству
sup
|u| ≤ C(sup
¯
Ω
K
X
|Dαf| + sup
|α|≤k
K∩ω
X
(|Dαg0| + |Dαg1|)). (5.5.3)
|α|≤k
Доказательство. В линейном пространстве MKфункций (f, g0, g1), где f ∈
∞
C
m+1
(R
0
), supp f ⊂ K, g0, g1∈ C
∞
(ω), supp g0⊂ K ∩ ω и supp g1⊂ K ∩ ω,
0
введем счетную систему полунорм
pj(f, g0, g1) = sup
K
X
|Dαf| + sup
|α|≤j
K∩ω
X
(|Dαg0| + |Dαg1|).
|α|≤j
Каждому элементу (f, g0, g1) F -пространства, полученного таким образом,
поставим в соответствие решение u(x) ∈ C
(2)
(¯Ω) задачи Коши (5.5.1), (5.5.2),
тем самым определив оператор T на MK. Так как задача Коши (5.5.1),
(5.5.2) по предположению корректна в Ω, легко видеть, что график оператора T замкнут. Следовательно, по теореме о замкнутом графике для F пространств оператор T непрерывен. Это означает, что существуют целое
число k ≥ 0 и C = const > 0 такие, что для любых (f, g0, g1) ∈ MKнеравенство (5.5.3) выполняется для решения u(x) задачи Коши (5.5.1), (5.5.2).
Лемма доказана.
сть 0 ≤ l < m. Введем обозначения
Пу
x0= (x0, . . . , xl, 0, . . . , 0), x00= (0, . . . , 0, x
ξ0= (ξ0, . . . , ξl, 0, . . . , 0), ξ00= (0, . . . , 0, ξ
, . . . , xm),
l+1
, . . . , ξm).
l+1
Тогда x = x0+ x00, ξ = ξ0+ ξ00. Для мультииндексов также введем соответствующие обозначения
α0= (α0, . . . , αl, 0, . . . , 0), α00= (0, . . . , 0, α
, . . . , αm),
l+1
α = α0+ α00и точно так же β = β0+ β00.
Запишем уравнение (5.5.1) в виде
2
X
L(u) =
где
Ls(x, D)u =
Ls(x, D)u = f(x), (5.5.4)
s=0
X
aα(x)Dαu.
|α|=s
96
98 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Пусть
∂
∂
x
Ls(x, ξ) =
β
=
∂
∂
x
X
aα(x)ξα; L
|α|=s
β
0
···
0
β
(α)
(x, ξ) =
s,β
β
∂
m
∂
,
∂
x
m
∂
∂
∂
x
α
=
ξ
∂
α
∂
Ls(x, ξ),
∂
ξ
α
∂
ξ
0
0
···
α
∂
m
.
∂
ξ
m
Теорема 5.5.1. Пусть для некоторой точки ˆx = (ˆx0, . . . , ˆxm) ∈ Ω ∪ ω
такой, что a
(2,0,...,0)
(ˆx) 6= 0, существуют положительные рациональные
числа p1и p2такие, что
1 − p1+ p2> 0, (5.5.5)
и такие, что для любого ξ
00
(α0)
L
(ˆx, ξ00) = 0 (5.5.6)
2,β
при условии, что
|α0| + p1|β0| + p2|β00| < 2. (5.5.7)
Тогда если задача Коши (5.5.1), (5.5.2) корректна в области Ω, то для
любого ξ
00
L
(ˆx, ξ00) = 0 (5.5.8)
1,β
при условии, что
p1(1 + |β0|) + p2(|β00|) < 1. (5.5.9)
Доказательство. Предположим противное. Пусть задача Коши (5.5.1), (5.5.2)
корректна в Ω и пусто существует β такое, что для некоторогоˆξ00имеем
L
(ˆx,ˆξ00) 6= 0 и p1(1 + |β0|) + p2(|β00|) < 1.
1,β
Мы покажем, что тогда существуют компактное множество K ⊂ Ω ∪ ω
и функции f, g0, g1в MKтакие, что соответствующее решение u(x) задачи
Коши (5.5.1), (5.5.2) не удовлетворяет неравенству (5.5.3). Чтобы построить
такое решение задачи (5.5.1), (5.5.2), будем действовать следующим образом. Пусть t — рациональное число такое, что t ≥ p1. Обозначим через M
t
множество мультииндексов β = β0+ β00таких, что
Rβ(t) = t(1 + |β0|) + p2(|β00|) < 1 (5.5.10)
и L
Обозначим через Etмножество тех β из M
(ˆx,ˆξ00) 6= 0 для некоторогоˆξ006= 0. Ясно, что M
1,β
p
1
t
1
⊂ M
, если t1> t2.
t
2
, для которых выполняется
неравенство
Rβ(t) > 2(p2− t) − 1. (5.5.11)
Можно предположить, что числа p1и p2, входящие в условия теоре-
мы 5.5.1 таковы, что для любого мультииндекса β ∈ M
выполняется нера-
p
1
венство
Rβ(p1) > 2(p2− p1) − 1, (5.5.12)
97
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ КОРРЕКТНОСТИ(ЗАДАЧА КОШИ) 99
5.
так как если для некоторого β∗∈ M
неравенство (5.5.12) не выполнено,
p
1
можно показать, что существует рациональное число t > p1такое, что M
не пусто и для любого β ∈ M
t
Rβ(t) > 2(p2− t) − 1,
и мы возьмем это значение t в качестве нового значения p1.
Действительно, предположим, что существует β∗∈ M
такое, что R
p
1
(p1) ≤
β
∗
2(p2− t) − 1. Легко видеть, что
R
β
∗
(t1) = R
(p1) + (t1− p1)(1 + |β
β
∗
0
|) > 2(p2− t1) − 1,
∗
если
t1> (2p2+ p1(1 + |β
С другой стороны, R
t1< (1 − R
(t1) < 1, если
β
∗
β
0
|) − R
∗
(p1) + p1(1 + |β
∗
Очевидно, что K2> 0, так как R
(p1) − 1)(3 + |β
β
∗
(p1) > 0 и
β
∗
0
|))(1 + |β
∗
0
|)−1= K1.
∗
0
|)−1= K2.
∗
t
K2−K1= [2(1 −R
(p1)) + 2(1 −p2+ p1)(1 + |β
β
∗
0
|)](1 + |β
∗
так как по предположению 1−p2+ p1> 0 и 1−R
β
∗
0
|)−1(3 + |β
∗
0
|)−1> 0,
∗
(p1) > 0. Следовательно,
существуют рациональные положительные числа t1такие, что
1 > R
Возьмем t1+ K2− ε, где ε = const > 0, и ε < (1 − R
Тогда t1> p1; поэтому M
если β ∈ E
, то β ∈ E
p
1
, так как
t
1
(t1) > 2(p2− t1) − 1.
β
∗
t
1
⊂ M
, где M
p
1
(p1))(1 + |β
β
∗
не пусто. Легко видеть, что
t
1
0
|)−1.
∗
Rβ(t1) = Rβ(p1) + (t1− p1)(1 + |β0|) > 2(p2− t1) − 1.
Более того, если существует мультииндекс β ∈ M
такой, что Rβ(t1) ≤
t
1
2(p2−t1) −1, то, как выше, можно также найти рациональное число t2> t
такое, что
1 > Rβ(t2) > 2(p2− t2) − 1.
Так как E
и множество M
t
1
⊂ E
и E
t
2
конечно, можно продолжить таким же образом и после
p
1
отличается от E
t
2
не более, чем одним элементом
t
1
конечного числа шагов получить рациональное положительное число t такое, что t > p1, Mtнепусто и Mt⊂ Et. Возьмем это t в качестве нового
значения p1. Тогда, очевидно, (5.5.12) выполняется для всех β ∈ M
.
p
1
Без ограничения общности при выполнении условий теоремы можно
считать, что ˆx = 0. Сделаем замену переменных x:
1
y0= ρκx0, y00= ρτx00; κ, τ = const > 0, ρ = const > 1, (5.5.13)
98
100 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
с соответствующей заменой переменных ξ:
η0= ρ−κξ0, η00= ρ−τξ00.
Если оценка (5.5.3) выполнена, то в новых переменных y выполняется
оценка
(
sup
¯
Ω
1
|u| ≤ Cρ
kδ
sup
K
1
X
|Dαf| + sup
|α|≤k
K1∩ω
1
|α|≤k
X
(|Dαg0| + |Dαg1|)), (5.5.14)
где Ω1, ω1и K1— образы Ω, ω и K соответственно в пространстве y и δ =
max{τ, κ}. Представим символ оператора Lsв виде части ряда Тейлора в
некоторой окрестностиˆG точки x = 0. Так мы получим
X
Ls(x, ξ) =
α0,β,λs(α0,β)>−N
X
=
α0,β,λs(α0,β)>−N
λs(α0,β)
ρ
β
y
α0!β!
где bα— функции изˆG, равномерно ограниченные по ρ, L
x
α0!β!
(α0)
L
s,β
β
(α0)
L
(0,
s,β
0α0
η00)η
(0,
ξ00)ξ
+ ρ
0α0
+ RN(x, ξ) =
X
−N
bαηα, (5.5.15)
|α|=s
(α0)
s,β
— соответствующие производные символа Ls(x, ξ) по старым переменным, N — некоторое
положительное число, которое будет определено позже, и
λs(α0, β) = τ(s − |α0| − |β00|) + κ(|α0| − |β0|). (5.5.16)
Мы предполагали, что условия (5.5.6) и (5.5.7) выполнены в точке x = 0,
но что условия (5.5.8) и (5.5.9) не выполнены. Рассмотрим множество M
p
1
и пусть
R = min
β∈M
Пусть µ — множество тех β ∈ M
образом, существуют η00= ˆη006= 0 и мультииндексˆβ = (ˆβ
L
(0, ˆη00) 6= 0.
1,ˆβ
Rβ(p1). (5.5.17)
p
1
, для которых Rβ(p1) = R. Таким
p
1
0
ˆ
β00) ∈ µ такие, что
В окрестности точки x = 0 мы построим асимптотическое решение u
уравнения L(u) = 0 в виде
#
σ
j
, (5.5.18)
> 0, n —
N
2
uρ(y) =
N
X
k=0
1
vk(y)ρ
−k/n
exp i"(y00, ˆη00)γρ +
N
2
X
j=0
ϕj(y)ρ
где σj— некоторые рациональные числа, 1 > σ0> ··· > σ
положительное целое число, γ — действительное число, γ 6= 0, (y00, ˆη00) =
m
P
yjˆηj; N1и N2— целые числа, и функции vk(y), ϕj(y) и числа σj, n, N1,
l+1
N2, γ и ρ будут определены позже.
,
ρ
99
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ КОРРЕКТНОСТИ(ЗАДАЧА КОШИ) 101
5.
Положим
σ
N
X
k=0
(0,
0
1
vk(y)ρ
D00)D
],
−k/n
,
(5.5.19)
0α0
.
w = exp i
L
[ρ,N]
W = exp i[(y00, ˆη00)γρ + ϕ0(y)ρ
"
≡
N
X
j=1
2
ϕj(y)ρ
X
s,λs>−N
#
σ
j
λ
s
ρ
α0!β!
, v =
β
y
L
(α0)
s,β
По формуле Лейбница имеем
L
[ρ,N]
(uρ) = L
[ρ,N]
X
(W )wv +
1≤|α|≤2
1
α!
L
(α)
[ρ,N]
(W )Dα(v
w). (5.5.20)
Легко видеть, что
"
λ
s
ρ
y
α0!β!
···(ϕ
β
0
y
X
α
m
1
(α0+α00)
L
s,β
α00!
00
α
m
)
+ Qα(ρ, y))#, (5.5.21)
(0,
γ ˆη00)×
L
×ρ
(W ) = W
[ρ,N]
s−|α0+α00|(1−σ0)
X
s,λs>−N
0
((ϕ
)
y
0
α
0
где Qα(ρ, y) состоит из членов, содержащих вторые производные от ϕ0. Мы
покажем, что при некотором выборе κ, τ и σ0наибольшая степень ρ, встречающаяся в разложении (5.5.21), равна ν = 2(κ + σ0), и это совпадает со
степенью ρ в члене, содержащем (ϕ
0
)2. Мы положим q−1= 1 − p2+ p1. В
y
0
силу условия (5.5.5) теоремы, число q > 0. Теперь выберем
σ0=
q
(1 − R)
2
q
=
2
[1 − p1(1
+ |ˆβ0|) − p2|ˆβ00|],
(5.5.22)
κ = qp1, τ = qp2.
Очевидно, 0 < σ0< 1, так как 2(p2− p1) − 1 < R < 1. Показатель
ρ в члене (5.5.21), содержащем сомножитель L
(α)
(0, γ ˆη00)(ϕ
s,β
0
)α, обозначим
y
через J(s, α, β). Мы покажем, что всегда ν − J(s, α, β) ≥ 0 при условии, что
(α)
L
(0, γ ˆη00) 6= 0.
s,β
Имеем
ν −J (s, α, β) = ν − [λs+ s − |α0+ α00|(1 − σ0)] =
= |α00|(1 − σ0) + q[(2 −s)(1 + p1) + p1|β0| + p2|β00| − (2 − |α0|)(1 − q−1σ0)] =
= |α00|(1 − σ0) + q[(2 −s)(1 + p1) + p1|β0| + p2|β00|−
(2 − |α0|)
−
+ p1(1 + |ˆβ0|) + p2|ˆβ00|)]. (5.5.23)
(1
2
Если s = 1, β ∈ M
α в силу определенияˆβ и того, что σ0< 1, p1(1+|ˆβ0|)+p2|ˆβ00| < 1 и R
или s = 0, то, очевидно, ν −J (s, α, β) ≥ 0 для любого
p
1
ˆ
β
100
(p1) ≤
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]