Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
62 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Доказательство. Предположим противное. Тогда существует интервал [t1, t2]
такой, что x(t1) ∈ F , и x(t) не принадлежит F при t1< t ≤ t2. Из лемм
5.2.4 и 5.2.5 следует, что
|δ(t + h) − δ(t)| ≤ K|h| max
δ(t)
[t0,t00]
для любых t и t + h, принадлежащих интервалу [t0, t00], где t1≤ t0≤ t00≤ t2.
Если |h| ≤ 1/2K, то при t ∈ [t1, t1+ h] имеем
1
δ(t) ≤
означает, что δ(t) = 0 при |t −t1| ≤ h, а это противоречит выбору точки
что
max
2
[t1,t1+h]
δ(t),
t1. Теорема доказана.
Следствием
теоремы 5.2.6 является сильный принцип максимума для
уравнения (5.2.1).
Теорема 5.2.7. Пусть u(x) ∈ C
(2)
(Ω), пусть P (u) ≥ 0 в Ω, и пусть си-
стема операторов {X1, . . . , Xr} имеет ранг m в каждой точке Ω (см. определение ранга системы операторов в § ?? главы ??). Если u(x) принимает
наибольшее значение M в точке x0из Ω, то u ≡ M в Ω.
Доказательство. Из условия, что система {X1, . . . , Xr} имеет ранг m и тео-
ремы 5.2.1 следует, что точку x0можно соединить с любой точкой области
Ω линией, состоящей из конечного числа дуг траекторий векторных полей
¯
Xj(x), где j = 1, . . . , r. Поэтому в силу теоремы 5.2.6 функция u(x) должна
быть постоянной в Ω. Теорема доказана.
некоторых условиях сильный принцип максимума, аналогичный
При
теореме 5.2.5, справедлив также для уравнений вида (5.2.6).
Сначала докажем некоторые вспомогательные результаты. Будем говорить, что оператор P(u) удовлетворяет условию А в области Ω, если в
окрестности Ω(x0) каждой точки x0из Ω существует локальная система
координат y1, . . . , ymс началом в x0такая, что в Ω(x0) оператор P (u) принимает вид
n
X
P (u) =
k,j=1
αkju
yky
и обладает тем свойством, что если точка y0= (y
m
X
+
j
k=1
βku
+ cu, n < m, (5.2.12)
y
k
0
, . . . , y
1
0
) принадлежит
m
F , то все точки Ω(x0), для которых
y
n+1
= y
0
, . . . , ym= y
n+1
m
0
,
также принадлежат F .
61
КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ 63
2.
Лемма 5.2.6. Пусть точка x0принадлежит F , и пусть существует шар
Q, ограниченный сферой S, с центром в точке x1и радиусом ρ такой, что
x0⊂ S, Q∪S ⊂ Ω и (Q ∪S) ∩F = x0. Пусть оператор P (u) удовлетворяет
условию A и P (u) ≥ 0 в Ω. Тогда
¯
X0(x0), x1− x
0
≤ 0. (5.2.13)
Доказательство. Можно считать, что локальные координаты y1, . . . , y
m
выбраны в окрестности Ω(x0) точки x0в соответствии с условием А таким образом, что точка x1имеет координаты (0, . . . , 0, 1) и ось ymпроходит
в направлении вектора x1− x0. Рассмотрим цилиндр
y
2
n+1
+ ··· + y
2
+ (ym− 1)2≤ 1.
m−1
Очевидно, что не существует точек из F в части Ω(x0), лежащей внутри
этого цилиндра. Пусть
w(y) = ε(y
2
+ ··· + y
1
2
) + y
n
2
+ ··· + (ym− 1)2,
n+1
где ε = const > 0, и пусть
v(y) = ε
Легко видеть, что в точке x
0
P (v) = −2ε
Так как по предположению этот оператор в окрестности точки x0имеет вид
(5.2.12), имеем βm(x0) = λ
¯
X0(x0), x1− x
1−w(y)
n
X
αkk+ 2βm.
k=1
0
− 1.
, где λ = const > 0. Предполо-
жим, что (5.2.13) не выполняется. Тогда βm(y) > 0 в некоторой окрестности
Ω1точки x0, и в этой окрестности P (v) > 0, если ε достаточно мало. Рас-
смотрим функцию
V (y) = u(y) + αv(y), α = const > 0.
Очевидно, P (V ) > 0 в Ω1. Пусть S1— граница Ω1. Так как расстояние между S1∩F и множеством точек, где v(y) ≥ 0 положительно, для достаточно
малого α имеем V (y) < M на S1. Легко видеть, что V (x0) = M , и, следо-
вательно, V (y) должно принимать наибольшее неотрицательное значение
внутри Ω1. Это противоречит тому, что P (V ) > 0 в Ω1и c ≤ 0.
Лемма
5.2.7. Пусть траектория x(t) векторного поля¯X0(x) такова, что
x(t0) ∈ F. Пусть оператор P удовлетворяет условию A, и пусть P (u) ≥ 0
в Ω. Если δ(t) > 0 при t0< t ≤ t1, где δ(t) — расстояние от точки x(t) до
F , то для любых h > 0 и t ∈ [t0, t1] таких, что t − h ∈ [t0, t1], справедливо
соотношение
δ(t − h) −δ(t)
lim inf
h→0
h
≥
−Kδ(t), (5.2.14)
где K = const > 0.
62
64 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 5.2.4, рассмотрим последовательность xn= x(t −hn), где hn> 0, hn→ 0 при n → ∞ и t и t − h
принадлежат интервалу [t0, t1]. Пусть yn— проекция xnна множество F , и
пусть yn→ y при n → ∞, где y — проекция точки x = x(t) на F . Тогда
n
δ(t − hn) − δ(t) = |xn− yn| − |x − y| ≥ −h
= −h
По
лемме 5.2.6
n
¯
X0(y),
x − y
|x − y|
+ h
n
¯
X0(y),
X0(y) −¯X0(x),
x − y
¯
X0(x),
n
¯
x − y
|x − y|
x − y
|x − y|
≤ 0.
− K1h
− K1h
2
=
n
2
.
n
|x − y|
Следовательно,
δ(t − hn) − δ(t) ≥
−hnK|x − y| − K1h
2
;
n
соотношение (5.2.4) следует из этого неравенства.
Следующий
сильный принцип максимума следует из лемм 5.2.6 и 5.2.7.
Теорема 5.2.8. Пусть P (u) ≥ 0 в Ω, и пусть оператор P удовлетворяет
условию A. Если x(t) — траектория векторного поля¯X0(x) такая, что
x(t0) ∈ F, то x(t) ∈ F для всех t ≥ t0.
Доказательство. Предположим противное. Тогда существует точка x0та-
кая, что x0∈ F , в то время как точки траектории x(t) векторного поля
¯
X0(x), определенные условием x(t1) = x0, не принадлежат F при t1< t ≤ t2.
По лемме 5.2.7, соотношение (5.2.14) выполняется для расстояния δ(t) от
точек x(t) до множества F .
Покажем, что из (5.2.14) следует, что δ(t) = 0 при достаточно малом
t − t1. Так же, как было доказано в лемме 5.2.5, получим, что для любых
значений t и t − h из интервала [t0, t00], где t1≤ t0≤ t00≤ t2, выполняется
соотношение
δ(t) −δ(t − h) ≤ Kh max
δ(t). (5.2.15)
[t0,t00]
Здесь K = const > 0 и h > 0. Если t−h = t1и h < 1/2K, то при t ∈ [t1, t1+h]
из (5.2.15) следует, что
1
δ(t) ≤
Т
ак как δ(t) ≥ 0, из (5.2.16) следует, что δ(t) = 0 при t1≤ t ≤ t1+ h. Это
max
2
[t1,t1+h]
δ(t). (5.2.16)
противоречие доказывает теорему 5.2.8.
Т
еорема 5.2.9. Пусть ранг системы {X1, . . . , Xr} равен n в каждой точке
Ω, где n < m, и пусть P(u) ≥ 0 в Ω. Если u(x) принимает наибольшее
неотрицательное значение M в точке x0, принадлежащей Ω, то u(x) =
M в каждой точке Ω, которую можно соединить с точкой x0линией,
63
КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ 65
2.
состоящей из конечного числа дуг траекторий векторных полей¯Xj(x),
j = 0, 1, . . . , r, при условии, что когда такая линия выходит из точки x0,
дуги траекторий поля¯X0(x) проходят в направлении вектора¯X0(x).
Доказательство. При условиях этой теоремы из теоремы Фробениуса [165]
и теоремы 5.2.6 следует, что оператор P(u) удовлетворяет условию А в Ω.
Тогда заключение теоремы 5.2.9 следует непосредственно из теорем 5.2.6
и 5.2.8.
В [157, 158, 159] Бони также доказал теоремы единственности для решения задачи Коши для уравнений вида (5.2.1) с аналитическими коэффициентами и теорему Харнака.
Теперь рассмотрим уравнение (5.2.1). Запишем его в виде
L(u) ≡ (akj(x)u
)
x
+ Qu + c(x)u = 0, akj(x)ξkξj≥ 0,
x
j
k
где
m
Q =
X
(bk(x) − a
k=1
kj
x
j
(x))
∂
x
∂
k
, c ≤ 0.
Пусть a(x, ξ) ≡ akj(x)ξkξj. Рассмотрим в области Ω операторы Q и
m
X
(j)
L
≡
akj(x)
k=1
и соответствующие векторные поля¯Q(x) и¯L
∂
, j = 1, . . . , m,
x
∂
k
(j)
(x) = (a1j(x), . . . , a1j(x)),
j = 1, . . . , m.
Леммы 5.2.3–5.2.5 справедливы, если оператор P (u) заменить оператором L(u) и векторные поля¯Xj(x), j = 1, . . . , r, заменить на¯L
(j)
(x),
j = 1, . . . , m. Отметим только, что для доказательства леммы 5.2.3 мы сна-
чала докажем, что a(x0, x1− x0) = 0. Из этого соотношения и условия
a(x, ξ) ≥ 0 в Ω следует, что (¯L
(j)
(x0), (x1− x0)) = 0.
Леммы 5.2.6 и 5.2.7 верны, если оператор P(u) заменить оператором
L(u), векторное поле¯X0(x) заменить на Q(x), а векторные поля¯Xj(x),
j = 1, . . . , r, на¯L
(j)
(x), j = 1, . . . , m. Отметим, что для доказательства лем-
мы 5.2.6 требуется показать, что βm(x0) = λ(¯Q(x0), x1− x0), λ = const >
0. Из предположений леммы легко следует, что L(u) удовлетворяет условию A.
Т
аким образом, мы доказали следующие теоремы.
Теорема 5.2.10. Предположим, что L(u) ≥ 0 и что траектория x(t)
векторного поля¯L
(j)
(x), j = 1, . . . , r, содержит точку x(t0) множества
F . Тогда вся траектория x(t) принадлежит F .
Теорема 5.2.11. Пусть L(u) ≥ 0 в Ω, и пусть система операторов {L
(1)
, . . . , L
имеет ранг m в каждой точке Ω. Если u(x) принимает наибольшее неотрицательное значение M в точке x0в Ω, то u ≡ M в Ω.
64
(m)
}
66 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Теорема 5.2.12. Пусть L(u) ≥ 0 в Ω, и пусть оператор L удовлетворя-
ет условию А. Если x(t) — траектория векторного поля¯Q(x) такая, что
x(t0) ∈ F, то x(t) ∈ F для всех t ≥ t0.
Теорема 5.2.13. Пусть ранг системы {L
(1)
, . . . , L
(m)
} равен n в каждой
точке Ω, где n < m, и пусть L(u) ≥ 0 в Ω. Если u(x) принимает наибольшее неотрицательное значение M в точке x0, принадлежащей Ω, то
u(x) = M в каждой точке x из Ω, которую можно соединить с точкой x
0
линией, состоящей из конечного числа дуг траекторий векторных полей
(j)
¯
L
(x), j = 1, . . . , m, и¯Q(x) с условием, что когда такая линия выходит
из точки x0, любые дуги траекторий поля¯Q(x) проходятся в направлении
вектора¯Q(x).
Теоремы 5.2.11 и 5.2.13 аналогичны теоремам 5.2.3 и 5.2.5 А. Д. Алек-
сандрова.
3 Об аналитичности решений
Доказано, что все решения линейных эллиптических уравнений и систем
с аналитическими коэффициентами аналитичны (см. [153, 219, 108]). Если
коэффициенты системы постоянны, то этим свойством обладают только эллиптические системы [219]. Интересно найти другие классы уравнений и систем с переменными коэффициентами, все решения которых аналитичны, а
также выделить такие классы, которые этим свойством не обладают. Некоторые результаты в этом направлении получены в [208, 246, 151, 29, 242].
Здесь мы укажем новый подход к изучению этого вопроса.
Прежде всего, установим априорные оценки в комплексной области для
решений дифференциальных уравнений и систем, все решения которых аналитичны. С помощью этих оценок мы выделим классы уравнений и систем,
обладающих неаналитическими решениями. Пусть ограниченная область
Ω ⊂ R
m+1
= (x0, . . . , xm) и x = (x0, . . . , xm).
Определение 3.1. Функция u(x), определенная в Ω, называется функ-
цией класса A(Ω), если для любой подобласти G с¯G ⊂ Ω существует та-
кая постоянная δ(G) > 0, что функция u(x) аналитически продолжается по всем переменным как функция u(x0+ iy0, . . . , xm+ iym) в цилиндр
2m+2
Q
чена в Q
функции u(x) в Q
(G) = {x ∈ G, −δ(G) < yj< δ(G), j = 0, . . . , m}, причем u(x) ограни-
δ
2m+2
(G). Через V (u) будем обозначать аналитическое продолжение
δ
2m+2
δ
(G).
Определение 3.2. Функция u(x), определенная в Ω, называется функ-
j
¯
такая постоянная δ(G) > 0, что функция u(x) аналитически продолжается по переменной xjкак функция u(x0, x1, . . . , xj+ iyj, . . . , xm) в цилиндр
m+2
Q
в Q
(G) = {x ∈ G, −δ < yi< δ} так, что u(x) и
δ
m+2
(G). Пусть Vj(u) обозначает аналитическое продолжение функции
δ
u(x) в цилиндр Q
m+2
δ
(G).
65
∂u
, k 6= j, ограничены
∂
x
k
ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ РЕШЕНИЙ 67
3.
Если все компоненты вектор-функции u = (u1, . . . , uN) принадлежат
некоторому линейному пространству B, то мы говорим, что u ∈ BN.
Определение 3.3. Линейная система дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами
L(u) = f в Ω, u = (u1, . . . , uN), f = (f1, . . . , fN) (5.3.1)
называется аналитической в Ω, если для любого обобщенного решения u ∈
D0(Ω)Nсистемы (5.3.1) из условия f ∈ A(Ω)Nследует, что u ∈ A(Ω)N.
Определение 3.4. Система (5.3.1) называется аналитической по переменной xjв Ω, если для любого обобщенного решения u ∈ D0(Ω)Nсистемы
(5.3.1) из условия f ∈ Aj(Ω)Nследует, что u ∈ Aj(Ω)N.
Теорема 5.3.1. Пусть BN(Ω) — пространство Банаха, состоящее из обобщенных решений u ∈ D0(Ω)Nсистемы
L(u) = 0 в Ω (5.3.2)
с нормой kuk
N
, причем из сходимости последовательности по норме BN(Ω)
B
следует ее сходимость в D0(Ω)N. Тогда если система (5.3.2) аналитическая в Ω, то для любой подобласти G с¯G ⊂ Ω существуют такие посто-
янные δ > 0 и C > 0, зависящие от G, что для любого решения u(x) из
BN(Ω) системы (5.3.2) справедлива оценка
N
, (5.3.3)
B
где |V (u)| =
N
P
k=1
|V (uk)|.
Q
sup
2m+2
δ
|V (u)| ≤ Ckuk
(G)
Если система (5.3.1) аналитична в Ω по переменной xj, то для любой
подобласти G с¯G ⊂ Ω существуют такие δ и C, зависящие от G, что
N
, (5.3.4)
B
где |Vj(u)| =
N
P
Q
sup
m+2
δ
|Vj(u)| ≤ Ckuk
(G)
|Vj(uk)|, для любого решения u(x) системы (5.3.2) из про-
k=1
странства BN(Ω).
Доказательство. Докажем сначала неравенство (5.3.3). Фиксируем неко-
торую область G такую, что¯G ⊂ Ω , и положим
M
=nu; u ∈ BN(Ω), sup
γ,R
Q
2m+2
γ
|V (u)| ≤ Ro,
(G)
1
R = 1, 2, . . . ;
1, 2, . . .. Из аналитичности системы (5.3.2) следует, что
=
γ
любое решение u ∈ BN(Ω) принадлежит по крайней мере одному из M
66
γ,R
.
68 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
Покажем, что все M
ности un∈ M
и kun− u0kN→ 0 при n → ∞. Докажем, что u0∈ M
γ,R
Из равномерной ограниченности unв Q
замкнуты. Пусть все элементы последователь-
γ,R
2m+2
(G) следует, что существует
γ
γ,R
подпоследовательность последовательности un, равномерно сходящаяся на
любом компакте K ⊂ Q
2m+2
(G) к некоторой аналитической в Q
γ
2m+2
γ
(G)
вектор-функции ˜u. Так как из равномерной сходимости на любом компакте
K ограниченной по модулю в Q
2m+2
(G) последовательности следует ее схо-
γ
димость в D0(Ω)N, то ˜u = u0в G и, значит, u0аналитически продолжается
2m+2
в Q
(G), причем |V (u0)| ≤ R. Поэтому u0∈ M
γ
γ,R
.
Так как BN(Ω) — полное метрическое пространство и BN(Ω) =
S
γ,R
M
γ,R
то по теореме Бэра (см. [251]) существуют такие постоянные ε > 0, δ, R0и
вектор-функция u∗(x) ∈ M
, что если u ∈ BN(Ω) и
δ,R
0
ku − u∗kN≤ ε, (5.3.5)
то u(x) принадлежит M
δ,R
, т. е.
0
2m+2
Q
δ
sup
|V (u)| ≤ R0. (5.3.6)
(G)
.
,
ε
Пусть u — любой элемент из BN(Ω). Тогда для u∗+
у
словие (5.3.5), и поэтому, в силу (5.3.6), имеем
Отсю
да
Q
Q
sup
2m+2
δ
sup
2m+2
δ
(G)
V (u∗) +
kuk
ε
N
|V (u)| ≤ 2R0ε−1kukN= CkukN,
(G)
V (u)
≤ R0.
kuk
u выполнено
N
что и требовалось показать.
Неравенство (5.3.4) доказывается аналогично. В этом случае равномер-
m+2
(G) выте-
γ
≤ R.
ная сходимость подпоследовательности unна компакте K ⊂ Q
(G)
m+2
γ
(G) и равномерной ограниченности
m+2
(G). При этом мы полагаем
γ
X
∂
l6=j
Vj(u)
x
∂
l
|Vj(u)| +
кает из аналитичности unпо xjв Q
∂u
unи их производных
M
=u ∈ BN(Ω), sup
γ,R
n
, l 6= j, в Q
∂
x
l
Q
m+2
γ
Замечание. Т
еорема 5.3.1 справедлива и в более общей формулировке.
Пусть пространство Банаха B состоит из обобщенных функций u ∈ D0(Ω),
причем из сходимости последовательности в пространстве B следует ее сходимость в D0(Ω). Пусть для некоторой области G ∈ Ω каждая u ∈ B продолжима в некоторый цилиндр Q
2m+2
δ
= {x ∈ G, |yj| < δ, j = 0, 1, . . . , m} как
67
ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ РЕШЕНИЙ 69
3.
аналитическая функция u(x + iy), причем u ограничена в Q
2m+2
δ
, δ зависит
от u. Тогда существуют такие постоянные δ0> 0, C > 0, что для всех u ∈ B
sup
|u| ≤ CkukB.
2m+2
Q
δ
0
Аналогично формулируется теорема в случае, когда u ∈ B аналитически продолжается в цилиндр Q
m+2
= {x ∈ G, |yj| < δ} как функция
δ
u(x0, . . . , xj+ iyj, . . . , xm).
Следующая теорема вытекает из основной теоремы 5.3.1.
Теорема 5.3.2. Пусть в Ω существует такое семейство решений uρ∈
D0(Ω)Nсистемы (5.3.2) вида
iρx
uρ= e
j
vρ(x), ρ ∈ R1, ρ ≥ 1, (5.3.7)
что vρаналитически продолжается по xjпри любом ρ ≥ 1 в некоторый
цилиндр Q
ρ, a Vj(vρ) и
m+2
(G1) с основанием¯G1⊂ Ω, причем δ1и G1нe зависят от
δ
1
∂
Vj(vρ) при l 6= j ограничены в Q
∂
x
l
m+2
(G1) постоянной,
δ
1
вообще говоря, зависящей от ρ. Предположим, что существует такое
пространство Банаха BN(Ω), определенное в теореме 5.3.1, что
kuρk
N
≤ exp{C0ρµ}, (5.3.8)
B
где постоянные µ и C0не зависят от ρ и µ < 1.
Пусть существует такая последовательность точек x(ρ) ∈ G1, что
для точек z
= (x0(ρ), . . . , xj(ρ) + ih, . . . , xm(ρ)), −δ ≤ h ≤ 0, выполнено
ρ,h
неравенство
|Vj(vρ(zρ, h))| ≥ exp{−C1ρν}, (5.3.9)
где постоянные C1≥ 0 и ν не зависят от ρ и h, ν < 1. Тогда система
(5.3.2) не является аналитической по переменной xjв Ω.
Доказательство. Если бы система (5.3.2) была аналитической по xjв Ω,
то для решений системы (5.3.2), принадлежащих BN(Ω), выполнялась бы
оценка (5.3.4) для некоторого цилиндра Q
m+2
(G1) с основанием G1. Мы
δ
можем считать, что δ < δ1. В силу условия (5.3.9),
Q
sup
m+2
δ
|Vj(uρ)| ≥ |Vj(vρ(z
(G1)
))|exp(ρδ) ≥ exp(−C1ρν) exp(δρ) ≥ exp(C2ρ),
ρ,−δ
для ρ ≥ ρ0, где постоянная C2> 0 не зависит от ρ. Последнее соотношение
противоречит условию (5.3.8) и неравенству (5.3.4).
Рассмотрим теперь систему (5.3.1) с постоянными коэффициентами
L(u) = f или
N
X
akj(D)uj= fk. k = 1, . . . , N, (5.3.10)
j=1
68
70 Г
лава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
где akj(D) =
P
|α|≤γ
постоянными коэффициентами, Dα= D
N
R = sup
P
γ
, где σ — любая подстановка вида
l,k
σ
l=1
l
kj
a
Dα— дифференциальный оператор порядка γkjс
α
kj
∂
∂
x
j
1, . . . , N
k1, . . . , k
α
0
N
0
. . . D
α
m
, Dj= −j
m
.
. Положим
Будем предполагать, что порядок многочлена κ(ξ) = det kakj(ξ)k равен
R. Для таких систем дифференциальных уравнений доказано (5.3.10), что
существуют две такие системы целых чисел (s1, . . . , sN) и (t1, . . . , tN), что
для любых k, j = 1, . . . , N
sk+ tj≥ γkj, (5.3.11)
N
X
(sk+ tk) = R. (5.3.12)
k=1
Положим a
0
(ξ) =
kj
P
|α|=sk+t
kj
a
ξα. Очевидно, что det ka
α
j
0
(ξ)k ≡ κ0(ξ),
kj
где κ0(ξ) — главная часть полинома κ(ξ). Если κ0(ξ) 6= 0 при всех ξ ∈
m+1
R
и ξ 6= 0, то система (5.3.10) называется эллиптической по Дуглису
и Ниренбергу [163]. Если γkj= mjдля любого k = 1, . . . , N и κ0(ξ) 6=
0 при ξ ∈ R
m+1
, ξ 6= 0, то система (5.3.10) является эллиптической по
Петровскому. Доказано (см.[219, 209]), что такие эллиптические системы —
аналитические в любой области Ω ⊂ R
m+1
.
Т
еорема 5.3.3. Если уравнение κ0(ξ) = 0 имеет отличный от нуля веще-
ственный кореньˆξ = (ˆξ0, . . . ,ˆξm) иˆξj6= 0, то система (5.3.10) не является
аналитической по переменной xj.
Доказательство. Предположим, чтоˆξ06= 0. Сделаем замену переменных
y0= (ˆξ, x), yk= xkпри k > 0,
где (ξ, x) — скалярное произведение в R
κ0(ξ) ≡ κ
имеет корень η = (1, 0, . . . , 0). Рассмотрим многочлен κ
сительно η1. Можно предположить, что κ
m+1
. В новых переменных уравнение
0
(η) = 0
1
0
(1, η1, 0, . . . , 0) отно-
0
(1, η1, 0, . . . , 0) = a0η
1
1
R
+ ··· , где
1
a06= 0. Если a0= 0, то сделаем снова замену переменных z = By в системе
(5.3.10) и выберем матрицу B так, чтобы соответствующее преобразование
двойственных переменных η = B∗ζ приводило к соотношению
где a16= 0 и уравнение κ
0
κ
(η) ≡ κ
1
0
(ζ) = 0 имеет корень ζ = (1, 0, . . . , 0).
2
0
(ζ) = a1ζ
2
R
+ ··· ,
1
69
ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ РЕШЕНИЙ 71
3.
Такую матрицу B нетрудно построить. Действительно, существует ве-
щественный вектор ˜η, для которого ˜ηj6= 0 при некотором j > 0 и κ
так как в противном случае κ
предполагать, что κ
0
(η∗) 6= 0 при некотором η∗, причем η
1
0
(η) = 0 при любом η. Поэтому мы можем
1
∗
6= 0. Выберем
1
0
1
теперь преобразование координат z = By так, чтобы
z0= y0, z1= (η∗, y), zk= yk, k = 2, . . . , m.
Тогда преобразование η = B∗ζ имеет вид
(˜η) 6= 0,
η0= ζ0+ η
∗
ζ1, η1= η
0
и, как легко видеть, ζ = (1, 0, . . . , 0) является корнем уравнения κ
0
κ
(ζ) = 0 и
2
0
κ
(1, ζ1, 0, . . . , 0) = κ
2
∗
ζ1, ηj= ζj+ η
1
0
(η∗)ζ
1
∗
ζ1при j = 2, . . . , m
j
R
+ ··· .
1
0
(η) ≡
1
Будем искать решение однородной системы (5.3.10), записанной в переменных z,
N
X
L(u) =
˜akj(D)uj= 0, k = 1, . . . , N, (5.3.13)
j=1
где ˜akj(D) — дифференциальный оператор порядка γkjс постоянными коэффициентами, в виде
uρ(z) = exp[i(ρz0+ λ(ρ)z1)]Rρ, (5.3.14)
где ρ ∈ R1, ρ ≥ 1 и вектор Rρ= (ρ
−t
1
r1(ρ), . . . , ρ
−t
N
rN(ρ)). Подставив uρ(z)
в систему (5.3.13), получим
N
X
−t
j
ρ
˜akj(ρ, λ(ρ), 0, . . . , 0)rj(ρ) = 0, k = 1, . . . , N.
j=1
s
Разделив k-ое уравнение этой системы на ρ
k
, k = 1, . . . , N , получим систему
вида
N
X
−sk−t
ρ
j=1
j
˜akj(ρ, λ(ρ), 0, . . . , 0)rj(ρ) = 0. (5.3.15)
Определим теперь λ(ρ) так, чтобы при ρ ≥ ρ0существовало нетривиальное
решение r(ρ) = (r1(ρ), . . . , rN(ρ)) системы (5.3.15). Для этого λ(ρ) должно
быть корнем уравнения
det kρ
−sk−t
j
˜akj(ρ, λ(ρ), 0, . . . , 0)k = κ
0
(1, µ(ρ), 0, . . . , 0) + κ
2
1
(ρ−1, µ(ρ)) = 0,
2
(5.3.16)
где µ(ρ) = ρ−1λ(ρ) и κ
1
— многочлен степени меньше R относительно µ(ρ),
2
коэффициенты которого являются многочленами относительно ρ−1. Так
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]