Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 239 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 4

Принятие другой

точки зрения

Среди множества стратегий решения математических задач есть такая, которая позволяет выйти изположения, когда вы «упираетесь встену». Это подход кзадаче сдругой точки зрения. Ниже приведен пример такой стратегии, который является классическим в силу простоты икардинальности изменения метода решения. Вэтом примере обычный подход дает правильный ответ, однако он громоздок инередко приводит карифметическим ошибкам. Рассмотрим следующую задачу.

Вшколе 25 классов, каждый изкоторых выставляет бас кетбольную команду для участия вобщешкольном турнире. Поусловиям турнира команда, проигравшая в одной встрече, выбывает изсоревнования. В школе всего один спортивный зал, и директор хочет знать, сколько встреч придется провести внем, чтобы определить победителя.

Типичное решение этой задачи заключается вмоделировании реального турнира, вкотором 12 случайно выбранных команд встречаются сдругой группой из12 команд, аодна команда освобождается отсоревнований. Победители затем встречаются друг сдругом, как показано ниже.

Стратегии решения математических задач

Любые 12 команд играют против других 12 команд, врезультате чего определяются 12 победителей.

Вовтором круге 6 победителей встречаются с6 дру-

гими победителями, врезультате чего определяются 6 победителей.

Втретьем круге 3 победителя встречаются с3 другими победителями, врезультате чего определяются 3 победителя.

3 победителя+1 команда (освобожденная отсорев-

нований)=4 команды.

Вчетвертом круге 2 оставшиеся команды встречаются с2 оставшимися командами, в результате чего определяются 2 победителя турнира.

Впятом круге 1 команда играет против 1 команды зазвание чемпиона.

Теперь подсчитаем количество проведенных игр.

Играющие команды

24 12

3+1=4

Проведенные игры

6 3 2 1

Победители

6 3 2 1

Суммарное количество проведенных игр равно:

12+6+3+2+1 =24.

Такой метод решения кажется вполне разумным иопре-

деленно правильным.

Если подойти к этой задаче сдругой точки зрения

иопределять проигравших, анепобедителей, торешение

Глава 4. Принятие другой точки зрения

будет значительно проще. Вэтом случае мы задаемся вопросом, сколько должно быть проигравших, чтобы определить одного чемпиона? Понятно, что проигравших должно быть24. Чтобы появились 24 проигравших, нужно провести 24игры. Ответ найден. Взгляд назадачу сдругой точки зрения— интересный подход, который может оказаться полезным вразличных ситуациях.

Для получения еще одной альтернативной точки зрения назадачу представьте, что всоставе наших 25 команд одна является профессио нальной баскетбольной командой, которая гарантированно побеждает втурнире. Каждая изоставшихся 24 команд при встрече спрофессиональной командой неизбежно проигрывает. Иопять мы видим, что для определения чемпиона нужно провести 24 игры. Это должно показать вам действенность данного метода решения задач. Посмотрим теперь, какие задачи можно эффективно решать спомощью принятия другой точки зрения.

ЗАДАЧА 4.1

Наконтуре круга O выбрана точка P (рис.4.1). Изэтой точки квзаимно перпендикулярным диаметрам проведены перпендикуляры PA иPB. Если AB=12, точему равна площадь круга, выраженная через π?

Обычный подход

Большинство пытается решить задачу спомощью теоремы Пифагора, поскольку треугольники PAB иOAB являются прямоугольными. Такой подход, однако, заводит втупик из-за того, что для применения теоремы Пифагора недостаточно информации.

Стратегии решения математических задач

Рис. 4.1

Образцовое решение

Эту задачу можно решить несколькими способами. Один изних— рассмотрение экстремумов. Предположим, что точка P наконтуре круга совпадает сточкойQ. Вэтом случае отрезок AB должен совпадать сотрезком QO, который представляет собой радиус круга. Таким образом, площадь круга равна 144π.

Задачу также можно решить, посмотрев нанее сдругой точки зрения. Четырехугольник стремя прямыми углами является прямоугольником. Отрезок AB— диагональ прямоугольника. PO также диагональ прямоугольника. Поскольку диагонали прямоугольника равны, радиус круга PO=12, аплощадь круга равна 144π.

ЗАДАЧА 4.2

Стандартную колоду из52 игральных карт делят случайным образом надве стопки по26 карт вкаждой. Как количество

Глава 4. Принятие другой точки зрения

красных карт водной стопке соотносится сколичеством черных карт вдругой?

Обычный подход

При решении этой задачи, как правило, количество черных икрасных карт вкаждой стопке представляют следующим образом:

B1=количество черных карт встопке 1; B2=количество черных карт встопке 2; R1=количество красных карт встопке 1; R2=количество красных карт встопке 2.

Поскольку общее количество черных карт равно 26, можно записать, что B1+B2=26, апоскольку общее количество карт встопке 2 равно 26, мы получаем R2+B2=26.

Вычитание второго уравнения изпервого, дает: B1– –R2=0. Таким образом, B1=R2, т. е. количество красных карт водной стопке равно количеству черных карт вдругой. Хотя такое решение дает ответ, назвать его изящным нельзя. Наша цель вэтой главе— найти такое решение, которое демонстрирует красоту исилу математики.

Образцовое решение

В качестве альтернативы возьмем все красные карты изстопки 1 иобменяем ихначерные карты изстопки 2. Теперь все черные карты находятся водной стопке, акрасные— вдругой. Таким образом, количество красных карт водной стопке иколичество черных карт вдругой стопке должны быть равными. Задачу позволяет решить простая логика— нужно лишь взглянуть наэту задачу сдругой точки зрения.

ЗАДАЧА 4.3

Стратегии решения математических задач

Лоэнгрину дали четыре отрезка цепи (рис.4.2), вкаждом изкоторых три звена. Покажите, как соединить эти четыре отрезка взамкнутую цепь, разомкнув и сомкнув не более трех звеньев.

Рис. 4.2

Обычный подход

Обычно сначала пытаются разомкнуть последнее звено одного отрезка, присоединить его кдругому отрезку иполучить цепь из6 звеньев. Затем размыкают звено третьего отрезка иприсоединяют его к6-звенной цепи, получая 9-звенную цепь. Присоединив последний отрезок к9-звенной цепи, получают 12-звенную цепь, которая, однако, неявляется замкнутой. Таким образом, традиционный подход обычно завершается неудачей. Некоторые пробуют другие комбинации размыкания / замыкания звеньев каждого отрезка цепи, однако такой подход неприносит желаемого результата.

Глава 4. Принятие другой точки зрения

Образцовое решение

Эта задача хорошо решается спомощью стратегии принятия другой точки зрения. Можно даже сказать, что такой подход просто неоценим вданном случае. Вместо того, чтобы пытаться разомкнуть изамкнуть одно звено нака- ждом отрезке цепи, другая точка зрения предполагает размыкание всех звеньев одного отрезка цепи ииспользование этих звеньев для соединения трех оставшихся отрезков цепи иполучения требуемой замкнутой цепи. Это быстро приводит кправильному решению.

ЗАДАЧА 4.4

Какие натуральные числа менее 100 дают остаток 3 при делении на7 иостаток 4 при делении на5?

Обычный подход

Рассмотрим ряд натуральных чисел менее 100, которые дают остаток 3 при делении на7: {3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73, 80, 87, 49}. Теперь рассмотрим ряд натуральных чисел менее 100, которые дают остаток 4 при делении на5: {4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64, 69, 74, 79, 84, 89, 94, 99}.

Сравнив эти два ряда, находим три совпадающих числа: 24, 59 и94.

Образцовое решение

Попробуем взглянуть наэту задачу сдругой точки зрения. Искомые числа должны иметь форму 7n+3, атакже форму 5k+4, где n иk— целочисленные неизвестные. Объединим

Стратегии решения математических задач

эти величины так, чтобы искать числа вформе 35r+p, где r иp— целочисленные неизвестные. Первый ряд чисел,

имеющих форму 7n+3, также можно представить, как 35r+3, 35r+10, 35r+17, 35r+24 и35r+31. Только одно изэтих чисел имеет также форму 5k+4, а именно 35r+24. Для того, чтобы узнать, какие числа менее 100, удовлетворяют этому соотношению, зададим r=0, 1 и2 иполучим три искомых числа: 24, 59 и94.

ЗАДАЧА 4.5

Какое из следующих двух выражений больше,

58или410?

Обычный подход

Учитывая нынешнее распространение калькуляторов, неудивительно, что люди обычно извлекают квадратный корень изкаждого числа, затем определяют ихсуммы иполучают требуемый ответ. Хотя такой подход довольно эффективен, его, конечно, неназовешь изящным.

Образцовое решение

Взглянем назадачу сдругой точки зрения, аименно возведем вквадрат каждую изэтих сумм ипосмотрим, каким будет результат.

(5 8) 5240813240;

410)4 2 40 10 14 2 40.

   

  

Упростив, таким образом, условия, мы видим, что сумма

является большей издвух величин.

Глава 4. Принятие другой точки зрения

ЗАДАЧА 4.6

Чему равны все положительные целочисленные значения

715

nn

переменнойn, для которой дробь целым числом?

Обычный подход

также является



Первой реакцией наэту задачу является попытка подставить разные значения n ипосмотреть, какой результат будет целым числом. Например, если принять n=4, мы по-

лучим

, т. е. целое число. Хотя такой подход ипозволяет

выявить некоторые значения n, очень трудно сказать, всели значения найдены. Врезультате обычно получается неполный ответ.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией принятия другой точки зрения. Для начала выполним деление:

7 15 7 21 36





72136











 

nn n

 

36 36

33 3

Чтобы эта величина была целым числом, n– 3 должно быть пропорцио нально 36. Делителями для числа 36 являются 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и36. Таким образом:

Значения n, при которых

Стратегии решения математических задач

Если n– 3 = тоn =

14 25 36 47 69

912 12 15 18 21 36 39

715

nn

является целым числом,



равны 4, 5, 6, 7, 9, 12, 15, 21 и39.

ЗАДАЧА 4.7

Каждый из10 придворных ювелиров дает королевскому советнику г-ну Саксу стопку золотых монет. Вкаждой стопке находится 10 монет. Полноценные монеты весят 1 унцию. Однако водной изстопок находятся «неполновесные» монеты, каждая изкоторых весит на0,1 унции меньше. Г-н Сакс хочет выявить ювелира-жулика истопку неполновесных монет спомощью всего лишь одного взвешивания. Как это сделать?

Обычный подход

Традиционная процедура начинается сослучайного выбора стопки иее взвешивания. Такой метод проб иошибок дает искомый результат всего в 1 случае из 10. Учитывая это, можно попытаться решить задачу путем логического рассуждения. Прежде всего, если все

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 239 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]