Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 232 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Обавторах

Последний курс появился как результат интереса крешению задач илогическому рассуждению науроках математики. Основой этого интереса стало его стремление ктому, чтобы учащиеся понимали красоту иценность решения задач, атакже умели логически рассуждать.

Д-р Крулик получил степень бакалавра вобласти математики вБруклинском колледже Городского университета Нью-Йорка, астепень магистра истепень доктора педагогических наук вобласти математики— вПедагогическом колледже Колумбийского университета. Доприхода вУниверситет Темпл он втечение 15лет преподавал математику вшколах г. Нью-Йорк. Всредней школе Лафайетт вБруклине он организовал ряд курсов для подготовки учащихся кSAT-экзамену сакцентом наосвоении методов решения задач вместо механического запоминания алгоритмов.

Наобщенацио нальном уровне д-р Крулик входит всостав комитета Нацио нального совета преподавателей математики, отвечающего заразработку Профессио нальных стандартов преподавания математики. В1980г. он был редактором ежегодника Нацио нального совета под названием «Решение математических задач вшколе». Нарегиональном уровне он был президентом Ассоциации преподавателей математики Нью-Джерси, в1993г. входил вредакционный совет математического справочника The New Jersey Calculator Handbook ив 1997г. редактировал монографию Tomorrow’s Lessons.

Основная сфера его интереса— обучение методам решения задач иумению логически рассуждать, методические материалы попреподаванию математики, также комплексная оценка математических способностей. Он является автором исоавтором более 30 книг для преподавателей математики, втом числе Roads to Reasoning (классы 1–8) иProblem Driven Math (классы 3–8). Д-р Крулик, помимо

Стратегии решения математических задач

прочего, является основным автором задач для серии базовых учебников. Д-р Крулик часто выступает состатьями поматематическому образованию впрофессио нальных журналах. Он консультировал и проводил семинары вшкольных округах США иКанады, атакже выступал слекциями вВене (Австрия), Будапеште (Венгрия), Аделаиде (Австралия) иСан-Хуане (Пуэрто-Рико). Д-ра Крулика часто приглашают нанацио нальные имеждународные совещания, где он концентрирует внимание наформировании увсех учащихся умения логически рассуждать ирешать задачи как науроках математики, так ивжизни.

В2007г. вУниверситете Темпл ему вручили премию «Выдающийся учитель». В2011г. Нацио нальный совет преподавателей математики представил его кпочетной премии за«Выдающиеся заслуги всфере математического образования».

Введение

Сначала 1980-хгг. решение задач, логическая аргументация икритическое мышление стали неотъемлемой частью программы поматематике вСША, апотом ивбольшей части мира. Еще в1977г. Нацио нальный совет учителей математики заявил, «обучение решению задач— это главная причина изучения математики». Вконце концов, что толку отпонимания, как делать тоили другое, если незнаешь, когда делать это. Движение под флагом приобретения навыков решения задач набирает силу ираспространяется все больше напрограмму изучения математики. Помере углубления этого процесса он начинает переключаться инарешение задач вповседневной жизни. Каждый день люди сталкиваются сзадачами, требующими решения. Они могут варьировать оточень простых, например, что надеть сегодня, доочень сложных. Даже то, что кажется простым, взять хотябы переход улицы, может оказаться сложным ипотребовать обдумывания, если мы приезжаем встрану, где уличное движение организовано иначе.

Прежде чем говорить о решении задач, нужно определиться стем, что составляет задачу. Задача— это ситуация, вкоторой необходимо принять решение, нопуть кэтому решению заранее неизвестен. Запомните эти слова: «нопуть кэтому решению заранее неизвестен». Когда многие изнас ходили вшколу, задачи, которые нас учили решать, нередко были «типовыми». Иначе говоря, «задачи,

Стратегии решения математических задач

связанные свозрастом» решались одним путем, «задачи надвижение»— другим, аеще были «задачи насмешивание», «задачи, связанные сизмерением объема жидкости» ит. д., которые решались своими способами. Фактически, как только мы осваивали определенный метод, соответствующие задачи переставали быть задачами, требующими решения. Все, что нужно было сделать, это определить тип задачи иприменить подходящий автоматический процесс.

История математических достижений полна прорывов, реакция накоторые нередко выражается словами «мне ивголову неприходило, что можно использовать такой подход». Даже сегодня, когда представляют хорошее или изящное решение задачи, многие реагируют именно так. Решение задач— это попытка сделать такие необычные решения частью досягаемой базы знаний.

Решение задач сегодня взначительной мере основывается наэвристической модели, описанной Джорджем Пойа вкниге «Как решить задачу» (How to Solve It), которая была издана в1945г. идосих пор пользуется спросом. Вэтой книге Пойя представил такой четырехэтапный план решения задач:

1. Уяснение сути задачи.

2. Составление плана.

3. Выполнение плана.

4. Оценка найденного решения.

Большинство нынешних моделей решения задач строятся именно наэтой четырехэтапной эвристической модели. План обычно включает всебя: 1)чтение условий задачи; 2)выбор подходящей стратегии, 3)решение задачи и4)оценка найденного решения или его осмысление. Ключевым аспектом всего процесса является выбор подходящей

Введение

стратегии, или определение подхода кзадаче. Наша книга посвящена детальному исследованию именно этого критически важного этапа.

Итак, выбор подходящей стратегии является ключевым аспектом решения задачи. Запоследние десятилетия разные авторы описали ипредставили множество стратегий. Воснове большинства из них лежат одни итеже идеи. Вэтой книге рассматриваются 10 наиболее ценных, нанаш взгляд, стратегий решения задач. Каждой изних посвящена отдельная глава. При представлении задачи мы пытаемся сначала предположить, каким будет наиболее очевидный или распространенный подход. Чаще всего он приводит кправильному ответу. Вместе стем самый употребительный подход нередко требует довольно запутанного математического аппарата, сложных вычислений, авнекоторых случаях дает неправильный ответ.

Затем мы предлагаем более изящное, или образцовое решение, показывающее, как рассматриваемая стратегия решения задачи приводит кответу. Обратите внимание нато, что мы разделяем «ответ» и«решение». Решение— это процесс отмомента чтения условий задачи домомента получения окончательного ответа иего осмысления. Некоторые говорят, что конкретный ответ— это всего лишь одна изнаименее важных частей решения. Да, должно быть, так иесть, нопроцесс, врезультате которого получается ответ, является критической частью решения.

Помере того, как вы будете читать эту книгу (и, мы надеемся, прорабатывать предложенные задачи), учитывайте, что вомногих случаях для решения задачи можно использовать несколько стратегий. Например, решение задачи сприменением стратегии «обоснованное предположение ипроверка» обычно требует организации данных вопределенном порядке. Когда такое происходит,

Стратегии решения математических задач

мы переносим задачу вболее подходящую, нанаш взгляд, главу.

Каждую главу вэтой книге мы начинаем сописания конкретной стратегии, показывающего, как ее можно использовать вкаждодневных ситуациях, азатем приводим примеры применения вматематике. После этого мы представляем ряд задач, которые лучше всего решаются спомощью именно этой стратегии. Каждая задача— это попытка проиллюстрировать применение конкретной стратегии. Вчисло стратегий, которые мы собираемся рассмотреть, входят:

1. Логическое рассуждение.

2. Распознавание закономерности.

3. Действие отобратного.

4. Принятие другой точки зрения.

5. Анализ экстремальных ситуаций.

6. Решение более простой аналогичной задачи.

7. Организация данных.

8. Схематичное изображение, или визуальное представление.

9. Учет всех возможностей.

10. Обоснованное предположение ипроверка.

Как мы уже говорили, редко когда задачу можно решить единственным способом. Решение, которое мы демонстрируем, представляет собой всего лишь один иллюстративный пример. Мы предлагаем читателю попытаться найти другие решения, возможно, более интересные инеобычные. Если это вам удастся, мы скажем, что вы молодец! Кроме того, внекоторых случаях, когда доступно несколько стратегий, можно сразным успехом использовать ихсочетания.

Введение

Чтобы показать, как можно подойти кзадаче (ирешить ее) сиспользованием различных стратегий, мы обычно даем несколько решений.

ЗАДАЧА

Вкомнате, где находятся 10 человек, все поздоровались друг сдругом, однократно пожав руку. Сколько всего было рукопожатий?

РЕШЕНИЕ 1

Воспользуемся стратегией визуального представления ипостроим схему. Вней 10 точек (которые расположены так, что никакие три изних ненаходятся наодной прямой), представляющих 10 людей. Начнем счеловека, представленного точкой А.

Мы соединяем точку Аскаждой изостальных девяти точек и,таким образом, обозначаем первые девять рукопожатий.

Далее, източки B исходят восемь дополнительных рукопожатий (поскольку Ауже поздоровался сB, илиния AB уже построена). Аналогичным образом източки C можно провести только семь линий кдругим точкам (линии AC иBC уже построены), източки D— шесть дополнительных

Стратегии решения математических задач

линий ит. д. Когда мы дойдем доточки I, останется только одно доступное рукопожатие, аименно I сJ, поскольку I уже поздоровался сA, B, C, D, E, F, G иH.Таким образом, сумма рукопожатий составит 9+8+7+6+5+4+3+ 2+1=45. Это тоже самое, что получается при использовании формулы для суммы первых n натуральных чисел:

nn



где n≥2. (Обратите внимание нато, что послед-

ний рисунок— это десятиугольник, укоторого построены все диагонали.)

РЕШЕНИЕ 2

Для решения задачи можно использовать стратегию учета всех возможностей. Возьмем показанную ниже сетку, вко-

торую включены 10 человек, A, B, C, …, H, I, J, пожимающие друг другу руки. Диагональ ссимволами X показывает, что люди немогут пожимать руки самим себе.

Оставшиеся клетки показывают двойное число всех других рукопожатий (т. е. A пожимает руку B, аB пожимает руку A). Таким образом, нам нужно взять общее количество клеток (10

), вычесть изнего количество клеток надиаго-

нали (10) иразделить результат надва. Врезультате мы



получаем:

100 10

45.

Введение

АВ с DЕ FGН I J

АX

ВX

СX

ЕX

НX

Вобщем случае для сетки размером n×n результат бу-

дет равен

nn

что эквивалентно формуле

nn



при-

веденной выше.

РЕШЕНИЕ 3

Попробуем теперь решить задачу спомощью принятия другой точки зрения. Возьмем комнату, где находятся

10человек, каждый изкоторых пожимает руку остальным девяти. Можно предположить, что число рукопожатий будет равным 10×9, или 90. Однако нам нужно разделить это число надва, чтобы устранить дублирование (поскольку рукопожатие A сB можно рассматривать как рукопожа-

тиеB сA), имы получаем

45.

РЕШЕНИЕ 4

Теперь подойдем крешению задачи через распознавание закономерности. В таблице, представленной ниже, мы

Стратегии решения математических задач

перечисляем количество рукопожатий вкомнате помере увеличения числа присутствующих.

Количество людей

вкомнате

100 211 323 436 5410 6515 7621 8728 9836

10 9 45

Количество

рукопожатий

надополнительного

человека

Суммарное количество

рукопожатий

вкомнате

Втретьей колонке, где приведено суммарное количество рукопожатий, представлена последовательность чисел, называемых треугольными, разность между которыми возрастает каждый раз наединицу. Таким образом, можно просто заполнять таблицу дотех пор, пока мы недостигнем суммы, соответствующей10 человекам. Можно заметить следующую закономерность: результат вкаждой строке равен половине произведения количества людей вэтой строке наколичество людей впредыдущей строке.

РЕШЕНИЕ 5

Посмотрим теперь, как задача решается спомощью стратегии организации данных. В таблице, представлен-

ной ниже, показан номер человека, входящего вкомнату, иколичество рукопожатий, которыми он обменивается,

<<< < Предыдущая 12 / 232 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]