Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2315 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 6. Решение более простой аналогичной задачи

141

числа. Однако такой подход утомителен итребует много времени. Тем неменее он имеет право насуществование.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией решения более простой аналогичной задачи. Даже при быстром взгляде начисла видно, что показатели степени кратны 6. Если извлечь корень ше-

стой степени изкаждого члена ряда (или возвести его в

1 6

степень), томожно упростить сравнение. Иначе говоря, мы знаем, что все исходные числа являются производными 6-й степени. Таким образом, наибольшее значение вследующем ряду будет связано снаибольшим значением исходных чисел, которые требуется сравнить.

, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81.

Значения чисел вэтом ряду определить несложно:

=128;

=729;

=1024;

=625;

=216.

Остальные числа явно меньше. Итак, наибольшее значение вряду из восьми чисел, возведенных в степень, имеет4

, которое можно представить как (45)6.

ЗАДАЧА 6.9

Чтобы растянуть удовольствие отбутылки вина объемом 16 унций, Дэвид придумал следующее. Впервый день он выпивает только 1 унцию вина идоливает вбутылку столькоже

142

Стратегии решения математических задач

воды. Вовторой день он выпивает 2 унции смеси вина сводой иопять доливает вбутылку столькоже воды. Натретий день он выпивает 3 унции смеси вина сводой ивновь доливает вбутылку столькоже воды. Процесс продолжается дотех пор, пока на16 день Дэвид неопорожняет всю бутылку объемом 16 унций. Сколько всего унций воды выпил Дэвид?

Обычный подход

Взадаче вроде этой очень легко утонуть вдеталях. Некоторые, наверное, уже составляют таблицу, вносят внее данные обобъеме вина и воды вбутылке каждый день ипытаются вычислить пропорцио нальные количества той идругой жидкости, выпиваемой Дэвидом каждый день. Задачу легче решить, взглянув нанее сдругой точки зрения, аименно, задавшись вопросом, сколько воды Дэвид добавляет в смесь каждый день. Поскольку он вконечном итоге опорожняет бутылку (на16-й день), ив ней ничего неостается, Дэвид, надо полагать, выпивает всю долитую воду. Впервый день он долил 1 унцию воды, вовторой— 2 унции, втретий— 3 унции. На15-й день вбутылку было добавлено 15 унций воды. (Незабывайте, что в16-й день вода недобавлялась.) Таким образом, количество воды, выпитой Дэвидом, равно 1 +2 + 3 + 4 +5+6+ 7+8+9+10+11+12+13+14+15= 120 унциям.

Образцовое решение

Хотя приведенное выше решение имеет право насуществование, можно рассмотреть чуть более простую аналогичную задачу иопределить, сколько жидкости Дэвид выпил

Глава 6. Решение более простой аналогичной задачи

143

вцелом, апотом просто вычесть изрезультата объем вина, т. е. 16 унций.

Таким образом, 1+2+3+4 +5+6+7+8 +9+ +10+11+12+13+14+15+16=136, и136–16=120.

Дэвид выпил 136 унций жидкости, изкоторой 120 унций приходилось наводу.

Глава 7

Организация данных

Одной изнаиболее важных стратегий является организация данных, хотя, напервый взгляд, это понятно ибез слов. Иначе говоря, все должны автоматически упорядочивать данные изусловий задачи. Вжизни мы делаем это подсознательно каждый день.

Так, приступая кзаполнению налоговой декларации каждую весну, мы автоматически организуем данные вопределенном порядке без всяких подсказок. Оттого, как будут организованы квитанции, чеки, формы W-2 ит. п., сильно зависит заполнение сложных форм налоговой отчетности.

Большинство людей составляют тщательно организованный список покупок, прежде чем отправиться всупермаркет. Они могут разбивать покупки покатегориям, поместу расположения вмагазине или постепени необходимости. Аналогичным образом, отправляясь втурпоездку, мы чаще всего составляем перечень того, что хотим посмотреть. При этом список можно изложить набумаге или просто держать вголове.

Когда крупные организации проводят опросы, нет ничего необычного втом, что они получают разные результаты,— все зависит оттого, как вкаждом случае организуются одни итеже данные.

146

Стратегии решения математических задач

Взадачах, включающих множество данных, людей нередко приводит взамешательство представление этих данных. Умение организовывать данные влогичной иясной форме очень помогает решению задач. Рассмотрим одну иззадач, где применяется эта стратегия.

Группа археологов ведет раскопки. Они ежедневно

напротяжении 15 дней находят множество осколков

глиняной посуды:

13, 45, 12, 47, 8, 18, 13, 27, 98, 11, 23, 67, 51, 14, 6.

Чему равно медианное количество найденных ими оскол-

ков глиняной посуды?

При таком представлении количества ежедневных находок решить данную задачу практически невозможно. Организуем данные более логичным образом— впорядке возрастания:

6, 8, 11, 12, 13, 14, 18, 23, 27, 45, 47, 51, 69, 98.

Теперь найти медиану непредставляет труда. Это среднее число, внашем случае восьмое, или 18.

Рассмотрим еще одну задачу, где очень важна организация данных.

Джек иМарлин хотят вступить вклуб любителей кино

наDVD. Они получают два предложения. Клуб Freedom

Movie взимает вступительный взнос в размере $20,

апотом берет $6,20 закаждый фильм. Клуб New Look

нетребует вступительного взноса, однако берет $8,10

закаждый DVD. Джек решает присоединиться кклубу

Freedom Movie, аМарлин— кклубу New Look. Сколько

DVD каждый изних должен купить, прежде чем Марлин

Глава 7. Организация данных

147

истратит больше Джека? Насколько больше она истратит?

Чтобы решить задачу, организуем данные втри колонки:

Количество DVD Клуб Freedom Movie Клуб New Look

0 $20,00 $0.00 1 $26,20 $8,10 2 $32,40 $16,20 3 $38,60 $24,30 4 $44,80 $32,40 5 $51,00 $40,50 6 $57,20 $48,60 7 $63,40 $56,70 8 $69,60 $64,80 9 $75,80 $72,90

10 $82,00 $81,00

11 $88,20 $89,10

12 $94,40 $97,20

Когда они купят по11 DVD, Марлин истратит больше денег, чем Джек. Марлин придется заплатить $89,10— $88,20, или на90центов больше. Ответы наоба вопроса легко найти, проанализировав представленные в табличной форме данные.

Авот геометрическая задача, решить которую можно только при тщательной организации данных.

Треугольник имеет сумму сторон ипериметр, равные12. Чему равны длины его трех сторон?

Подготовим иорганизуем перечень данных, обозначив стороны треугольника, как A, B иC.Начнем сA=1 иперечисления всех возможностей для A=1. Затем сделаем тоже самое для A=2 ит. д.

148

A111112222334

B123452345344

C1098768765654

Стратегии решения математических задач

Вэтом перечне все тройки чисел дают сумму, равную12. Незабывайте, однако, что втреугольнике сумма любых двух сторон всегда больше третьей стороны, иначе треугольник неможет существовать. Это условие исключает большее число сочетаний. Единственные три возможности— это 2-5-5, 4-4-4 и3-4-5. Представление данных вупорядоченном виде значительно облегчает решение задачи.

Вэтой главе мы представим задачи, которые наиболее эффективно решаются путем организации данных логичным образом. Хотя некоторые изних можно решить идругими способами, они приводятся для демонстрации преимуществ этого вродебы необычного метода решения.

ЗАДАЧА 7.1

Между двумя баскетбольными командами устраивают конкурс налучшее исполнение штрафных бросков. Вфинал выходят Робби иСэнди. Победителем становится тот, кто первым выполнит подряд два успешных штрафных броска или вцелом три штрафных броска. Сколько комбинаций бросков может привести кпобеде?

Обычный подход

Большинство начинает спопыток найти все возможные комбинации, которые могут привести кпобеде. Однако непонятно, как определить, всели комбинации учтены. Это довольно проб лематичная задача.

Глава 7. Организация данных

149

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией организации данных исоставим два исчерпывающих перечня путей достижения победы каждым игроком. Первый перечень показывает результаты, когда первый бросок делает Робби, второй— когда первый бросок делает Сэнди.

РР СС РСС СРР РСРР СРСС РСРСР СРСРС РСРСС СРСРР

Существует 10 возможных комбинаций, накоторых конкурс завершается. Исчерпывающий перечень комбинаций упорядоченно инаглядно представляет возможности.

ЗАДАЧА 7.2

Сколько треугольников изображено нарис.7.1?

Рис. 7.1

150

Стратегии решения математических задач

Обычный подход

Как правило, люди начинают подсчитывать треугольники втом или ином порядке, нобез определенной сис темы. Чаще всего это приводит кпутанице инеуверенности втом, всели треугольники учтены. Другой традиционный подход предполагает использование формальных методов подсчета. Вэтом случае определяются комбинации, которые могут быть образованы шестью линиями, иисключаются комбинации, образующиеся врезультате совпадений. Количество комбинаций изшести линий потри равно

=20. Изэтого

6C3

результата нужно вычесть три совпадения (повершинам). Таким образом, вфигуре нарисунке 17 треугольников.

Образцовое решение

Для упрощения задачи преобразуем фигуру, будем постепенно добавлять линии исчитать, что получается врезультате использования такой формы организации данных. Иначе говоря, мы будем подсчитывать треугольники, образующиеся при добавлении каждой части. Начнем сисходного треугольника ABC. Итак, вначале мы имеем всего один треугольник.

Рис. 7.2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2315 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]