Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 238 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 3. Действие отобратного

Впредставленной ситуации есть два временных периода:

1. Нынешнее время, когда Марии 24года.

2. Прошлое время n лет назад.

Введем следующие обозначения:

M— возраст Марии (24), A— возраст Анны, n— раз-

ница между двумя временными периодами.

В первом временном периоде— Мария в два раза

старше, чем была Анна:

2 (A– n)=M. (3.1)

Вовтором временном периоде— когда Марии было

столькоже, сколько Анне сейчас:

M– n=A. (3.2)

Подставим уравнение 3.2 вуравнение 3.1:

2( )

nMnn M o 

(3.3)

Значение n=6 при подстановке вуравнение 3.2 дает:

M– 6=A  A=24–6=18.

Таким образом, возраст Анны составляет 18лет.

ЗАДАЧА 3.6

Откакой точки ввыпуклом четырехугольнике сумма расстояний докаждой извершин будет минимальной?

Обычный подход

Большинство без особых раздумий пытаются методом проб иошибок найти точку, для которой сумма расстояний

Стратегии решения математических задач

довершин будет наименьшей. Вполне возможно, что кто-то выберет точку напересечении диагоналей. Это правильный ответ, однако такой подход оставляет вопросы.

ОБРАЗЦОВОЕ РЕШЕНИЕ

Наша стратегия поиска ответа от обратного оказывается более рацио нальной вданном случае. Возьмем четырехугольник ABCD сдиагоналями, пересекающимися вточкеE, источкойP, которая, нанаш взгляд, может быть искомой, имеющей минимальную сумму расстояний довершин. Соединим точкуP пунктирными линиями свершинами, как показано нарис.3.5.

Рис. 3.5

Рассмотрение треугольника APC показывает, что AP+PC>AC, поскольку сумма любых двух сторон тре-

угольника всегда больше третьей стороны. Аналогичным образом, BP+PD > BD. Врезультате суммирования мы

Глава 3. Действие отобратного

получаем, что AP+PC+BP+PD > AC+BD. Таким обра- зом, отталкиваясь отпредположения, что P может быть искомой точкой, мы находим, что выбор любой другой точки даст такойже результат. Единственной точкой, удовлетворяющей условиям задачи, является точка E напересечении диагоналей.

ЗАДАЧА 3.7

Допустим, квадратные корни изуравнения x2+3x– 3=0 равны r иs. Чему равна сумма r

Обычный подход

+s2?

Обычный подход заключается в решении уравнения

для значений r иs. Используя формулу

bb ac

r 

для определения корней квадратного уравнения вида

+bx+c=0, мы получаем:

3941 3

r  uu



r

321

Теперь нам нужно найти квадраты этих корней

иихсумму:

15 21

r

s

15 21

;

r2+s2 =15.

Стратегии решения математических задач

Образцовое решение

Чтобы получить более изящное решение, нужно вспомнить зависимость из элементарной алгебры, всоответствии скоторой сумма корней квадратного уравнения

+bx+c=0 составляет

–b

, апроизведение корней—

c a

Изприведенного вусловиях задачи уравнения мы находим, что сумма корней r+s=–3, апроизведение rs=–3. При подходе отобратного, т. е. при определении суммы квадратов корней вместо прямых вычислений, как мы делали выше, для определения корней нам нужно искать эту сумму, поскольку (r+s) ние следующим образом r

Таким образом, значение r

=r2+s2+2rs. Перепишем это уравне-

+s2=(r+s)2–2rs.

+s2= (–3)2– 2 (–3)=

=9+6=15.

ЗАДАЧА 3.8

Макс, Сэм иДжек играют в необычную карточную игру. Вэтой игре проигравший отдает другим игрокам столько денег, сколько уних есть. Макс проигрывает впервой партии иотдает Сэму иДжеку столько денег, сколько есть укаждого изних. Сэм проигрывает вовторой партии иотдает Максу иДжеку столько денег, сколько есть укаждого изних. Джек проигрывает втретьей партии иотдает Максу иСэму столько денег, сколько есть укаждого изних. Наэтом они решают закончить игру, иукаждого остается ровно $8,00. Сколько денег укаждого изигроков было перед началом игры?

Обычный подход

Задача предполагает составление ряда уравнений, представляющих каждую партию. Обозначим начальную сумму

Глава 3. Действие отобратного

денег укаждого игрока следующим образом: Макс— x, Сэм— y, Джек— z.

Партия Макс Сэм Джек

1 x– y– z 2y 2z 22x– 2y– 2z 3y– x– z 4z 34x– 4y– 4z 6y– 2x– 2z 7z– x– y

Впоследней партии, как мы знаем, каждое иззначений равно 8. Это дает следующие три уравнения стремя неизвестными:

4x– 4y– 4z=8, или x– y– z=2;

–2x+6y– 2z=8, или –x+3y– z=4;

–x– y+7z=8, или – x– y+7z=8.

Врезультате решения сис темы изтрех уравнений мы получаем:

x=13, y=7, z=4.

Образцовое решение

Обратите внимание, что взадаче дается конечная ситуация испрашивается, какой была начальная ситуация. Это может указывать наэффективность подхода отобратного

Макс Сэм Джек

Партия 3 8 8 8 Всего: 24

Партия 2 4 4 16 Всего: 24

Партия 1 2 14 8 Всего: 24

Начало игры 13 7 4 Всего: 24

Стратегии решения математических задач

при решении. Также заметьте, что всоответствии сописанием ситуации вигре постоянно находится одно итоже количество денег (аименно $24). Подход отобратного дает изящное решение.

Макс начинает с$13, Сэм— с$7, аДжек— с$4. Ответ получился такимже, как ипри обычном подходе, однако решение было более изящным.

ЗАДАЧА 3.9

Ал иСтив делят пятнистых саламандр для участия ввыставке. Ал отбирает для своей экспозиции саламандр сдвумя пятнами, аСтив— ссемью пятнами. УАла напять саламандр больше, чем уСтива. Всего наихсаламандрах 100 пятен. Сколько саламандр надвух экспозициях?

Обычный подход

Характер этой задачи создает сложности для использования алгебры. Обычно количество саламандр уАла обозначают как x, аколичество саламандр уСтива— как y. Это позволяет составить следующие уравнения:

x– y=5;

2x+7y=100.

Для решения этих двух уравнений умножим первое изних на2:

2x– 2y=10;

2x+7y=100.

Вычитание одного уравнения издругого дает следу ющий результат:

9y=90, или y=10.

Глава 3. Действие отобратного

Теперь подставим значение y в первое уравнение иполучим x=15. Таким образом, у Ала иСтива вместе 15+10=25 саламандр. Это решение абсолютно правильное, нонесамое изящное.

Образцовое решение

Посмотрим, можноли упростить решение, использовав подход отобратного. Нас неспрашивают, сколько саламандр укаждого мальчика, мы должны определить сумму ихсаламандр. Поэтому можно начать стехже двух уравнений. Иначе говоря, нам нужно найти x+y, анезначение каждой неизвестной. Составим теже два уравнения исходя изусловий задачи.

x– y=5;

2x+7y=100.

Вэтот раз, однако, будем искать способ определения суммы двух неизвестных.

Для этого умножим первое уравнение на5, авторое на2:

5x– 5y=25;

4x+14y=200.

Теперь сложим эти два уравнения иполучим 9x+9y= =225 иx+y=25. Такой метод необычен, ноон демонстри- рует более тонкий подход крешению задач, вкоторых требуется найти нечто иное, чем ожидают большинство людей.

ЗАДАЧА 3.10

Имея два следующих уравнения, найдите сумму x+y:

6x+7y=2007; 7x+6y=7002.

Обычный подход

Стратегии решения математических задач

Традиционный подход заключается врешении двух уравнений сдвумя неизвестными.

6x+7y=2007; 7x+6y=7002.

Умножим первое уравнение на7, авторое на6 иполу-

чим:

42x+49y=14 049; 42x+36y=42 012.

Вычтем одно уравнение издругого:

13y =–27 963.

Таким образом, y =–2151. Подставив это значение y впервое уравнение, мы по-

лучаем:

6x– 15057=2007;

6x=17 064;

x=2844.

Таким образом, искомая сумма равна x+y=2844–

–2151=693.

Образцовое решение

Подойдем крешению этой задачи отобратного. Два уравнения, приведенные вусловиях задачи, обладают определенной симметрией. Попробуем выяснить, непоможетли эта симметрия найти более изящное решение. Глядя навопрос задачи, можно заметить, что нам нужно найти неиндивидуальные значения x иy, как обычно, атолько ихсумму.

Глава 3. Действие отобратного

Поэтому давайте посмотрим, позволяет ли упомянутая выше симметрия найти сумму сразу без предварительного определения значений x иy. Если сложить два уравнения, мы получим:

6x+7y=2007 7x+6y=7002

13x+13y=9009.

Разделив обе части уравнения на 13, мы получаем x+y=693, аэто иесть искомый ответ.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 238 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]