Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2319 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 8. Схематичное изображение, или Визуальное представление

181

Обычный подход

Традиционно эту задачу начинают решать путем сложения всех участников спортивных мероприятий споследующим вычитанием повторов. Такая процедура редко бывает успешной.

Образцовое решение

Попробуем применить для решения задачи визуальное представление. Для наглядного отображения данных используем диаграмму Венна (рис.8.8).

Мальчики,

участвовавшие

взаплыве

Рис. 8.8

Мальчики, ходившие впоход

Мальчики, игравшие вбаскетбол

Область наложения всех трех кругов представляет двоих мальчиков, которые участвовали вовсех трех спортивных мероприятиях. Круги показывают следующее:

Участвовали взаплыве=14;

Играли вбаскетбол иходили впоход=8;

182

Стратегии решения математических задач

Участвовали взаплыве ииграли вбаскетбол=3; Играли вбаскетбол=13; Участвовали взаплыве иходили впоход=5; Ходили впоход=16.

При сложении этих частей диаграммы Венна мы получаем 8+3+2+1+4+6+5=29. Влагере было 40мальчиков, изкоторых 29 участвовали вспортивных мероприятиях, а11 нет.

ЗАДАЧА 8.8

Сколько целых чисел, цифры которых расположены впорядке возрастания, находится между 4000 и5000?

Обычный подход

Крешению этой задачи можно подойти, сообразив, что первой цифрой должна быть 4, азначит, навтором месте может стоять цифра 5, 6 или 7. Цифры 8 и9 для этого неподходят, поскольку вслед за ними ввозрастающем порядке уже ничего нерасположишь. Врезультате таких рассуждений должно получиться следующее: 4567, 4568, 4569, 4578, 4579, 4589, 4678, 4679, 4689 и4789.

Образцовое решение

Чтобы подойти крешению более организованно, воспользуемся схемой, представленной нарис.8.9, хотя задача посвоему характеру нетребует никаких рисунков.

Каждый путь, начинающийся отцифры 4, ведет кчислу, которое находится вдиапазоне между 4000 и5000. Всего таких путей 10, иони дают следующие числа: 4567, 4568, 4569, 4578, 4579, 4589, 4678, 4679, 4689 и4789. Таким

Глава 8. Схематичное изображение, или Визуальное представление

183

Рис. 8.9

образом, мы получаем искомые числа спомощью схемы, построения которой условия задачи нетребуют.

ЗАДАЧА 8.9

Умоего брата целая коллекция фигурок двуногих обезьян ичетвероногих буйволов. Если вколлекции всего 100 фигурок ивсумме 260 ног, тосколько вней фигурок каждого вида?

Обычный подход

Чаще всего составляют два уравнения ирешают их. Обозначим число фигурок обезьян как a, ачисло фигурок буйволов как b. Тогда мы получаем следующие уравнения:

184

Стратегии решения математических задач

a+b=100;

2a+4b=260.

Умножение первого уравнения на2 дает:

2a+2b=200; 2a+4b=260.

Если вычесть первое уравнение из второго, то мы получим:

2b=60;

b=30.

Таким образом, вколлекции 30 буйволов и70 обезьян.

Образцовое решение

Воспользуемся визуальным представлением данных (нарисуем схему), чтобы решить задачу. Прежде всего, уменьшим числа вусловиях задачи в10 раз, чтобы ими было легче оперировать (нобудем помнить отом, что полученный результат нужно умножить на10 для восстановления исходного порядка чисел). Итак, теперь унас всего 26 ног и10фигурок. Нарисуем 10 окружностей, которые будут представлять 10 фигурок. Независимо оттого, что это зафигурка, обезьяна или буйвол, унее должно быть неменее двух ног (рис.8.10).

Донужной величины нам нехватает шести ног— ихнеобходимо добавлять парами (рис.8.11).

Унас получилось три четвероногих фигурки исемь двуногих. Осталось умножить ихна10. Таким образом, мы получаем 30 фигурок буйволов и70 фигурок обезьян.

Глава 8. Схематичное изображение, или Визуальное представление

Рис. 8.10

Рис. 8.11

185

Глава 9

Учет всех

возможностей

Мы знаем, что организация данных иногда очень облегчает поиск решения. Если нужно выявить, например, закономерность, тоаккуратное представление данных ввиде списка или таблицы может помочь вэтом. Особенно интересны здесь исчерпывающие списки, т. е. списки, вкоторых систематизированно перечисляются все существующие возможности. Втаких списках часто обнаруживается то, что мы ищем. Составление исчерпывающего списка позволяет тщательно проанализировать все возможности.

Вкачестве примера предположим, что увас неработает лампа. Попробуем перечислить все возможности. (Конечно, это можно сделать мысленно, новрезультате вы все равно получите список.) Проблема может крыться вперегоревшей лампочке, оборванном проводе, неработающей розетке, сработавшем предохранителе или неисправном выключателе. Проверяя возможности одну задругой, мы вконечном итоге дойдем дотой, которая является причиной неисправности. Математический пример может выглядеть так:

Имеется двузначный квадрат целого числа. Если вставить

одну цифру между существующими двумя, тополучится

188

трехзначный квадрат целого числа. Какие трехзначные квадраты чисел мы получаем?

Стратегии решения математических задач

Проанализируем все возможности. Прежде всего, составим исчерпывающий список двузначных квадратов целых чисел, ихшесть:

16, 25, 36, 49, 64, 81.

Теперь составим исчерпывающий список трехзначных квадратов целых чисел:

100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441,

484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961.

Выберем извторого списка те числа, которые можно составить, вставив какую-либо цифру между первой ивторой цифрами двузначных квадратов целых чисел. Такому условию удовлетворяют только 196 (вставлена 9 между цифрами числа 16), 225 (вставлена 2 между цифрами числа

25) и841 (вставлена 4 между цифрами числа 81). Два исчерпывающих списка сделали очевидными все возможности. Обратите внимание нато, что исчерпывающий список нетолько содержит ответ задачи, ноограничивает количество исследуемых возможностей.

Вот еще один пример использования этой полезной стратегии.

Наскамейке впарке сидят два человека. Один изних—

женщина. Какова вероятность того, что и второй тоже

окажется женщиной?

Составим список всех возможностей (М=мужчина, Ж=женщина):

М–М М–Ж Ж–М Ж–Ж.

Глава 9. Учет всех возможностей

189

Всписок пошли четыре возможности, однако внашей задаче первую, М— М, ненужно учитывать, поскольку известно, что как минимум один человек— женщина. Унас остаются три варианта, илишь водном изних могут быть две женщины. Таким образом, ответом напоставленный вопрос будет вероятность, равная.

Чтобы еще лучше увидеть ценность такого подхода крешению задач, рассмотрим еще один пример:

Вдвух залах местного кинотеатра показывают поутрам

разные мультфильмы. Утренние сеансы вобоих залах

должны заканчиваться к13:00, когда начинается демон-

страция художественных фильмов. Взале A первый сеанс

мультфильмов начинается в9:00, второй в9:28, апотом

через каждые 28 минут. Взале B первый сеанс тоже на-

чинается в9:00, нопотом сеансы повторяются через 35

минут. Джоанн хочет попасть напросмотр мультфильмов

вобоих залах. Восколько два последующих сеанса начи-

наются одновременно?

Составим исчерпывающий список времени начала сеансов вобоих залах.

Зал A Зал B

9:00 9:00 9:28 9:35

9:56 10:10 10:24 10:45 10:52

11:20

11:48 12:30 12:16 12:44

11:20

11:55

190

Стратегии решения математических задач

Любой последующий сеанс должен былбы начаться уже после 13:00. Мы перечислили все возможности! Где-то вэтом списке всех должен находиться ответ. Список показывает лишь одно время, когда начало сеансов вобоих залах совпадает— 11:20.

Такая стратегия очень эффективна, новы должны убедиться втом, что перечислили все без исключения возможности! Только тщательная организация данных может дать вам полную уверенность. Как ивслучае сдругими стратегиями, необходимо обдуманно подходить квыбору той, которая подходит вданном случае. Стратегия учета всех возможностей может сделать решение более очевидным.

ЗАДАЧА 9.1

Учитель математики замечает, что его нынешний возраст представляет собой простое число. Он обнаруживает, что вследующий раз его возраст станет простым числом через столькоже лет, сколько прошло стой поры, когда возраст был простым числом впрошлый раз. Сколько лет учителю математики?

Обычный подход

Уэтой задачи нетак много альтернативных способов решения. Обычно начинают перебирать числа внадежде «наткнуться наподходящее».

Образцовое решение

Здесь наверняка нам пригодится стратегия учета всех возможностей. Рассмотрим следующий список:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2319 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]