Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 5. Анализ экстремальных ситуаций

ЗАДАЧА 5.3

111

Суммарное расстояние между съездами 1 и20 нановой автомагистрали составляет 140км. Между любыми двумя съездами должно быть неменее 7км. Чему равно максимальное расстояние между любыми двумя соседними съездами?

Обычный подход

Обычно пытаются подобрать различные комбинации чисел внадежде найти максимум. Существует, однако, более интересный подход.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией анализа экстремальных ситуаций. Прежде всего отметим, что между съездами 1 и20 всего 19 «расстояний». Поскольку минимальное расстояние между любыми двумя съездами равно 7км, рассмотрим экстремальную ситуацию, вкоторой все расстояния, кроме одного, равны 7км. Тогда минимальная сумма 18 «расстояний» составит 18×7=126км. Таким образом, максимальное расстояние между любыми двумя съездами равно 140–126=14км, иначе нехватит километров, чтобы выдержать 7-километровую дистанцию между остальными съездами.

ЗАДАЧА 5.4

Унас есть две однолитровые бутылки. Водной— пол-литра красного вина, вдругой— пол-литра белого. Мы берем столовую ложку красного вина, выливаем его вбутылку сбелым вином ивзбалтываем смесь. Затем мы берем столовую

112

Стратегии решения математических задач

ложку полученной смеси (красного ибелого вина) ивыливаем ее вбутылку скрасным вином.

Чего больше, красного вина вбутылке сбелым вином или белого вина вбутылке скрасным вином?

Обычный подход

Существует несколько общепринятых подходов крешению такой задачи, вкоторых используют полученную изусловий информацию, например остоловой ложке, которая может быть излишней. При определенном везении исообразительности можно получить правильный ответ, однако это дело нелегкое, даиответ нередко кажется неубедительным.

Образцовое решение

Понятно, что размер ложки неимеет реального значения, ичто ложки могут быть как большими, так ималенькими. Допустим, мы используем очень большую столовую ложку, такую, которая вмещает пол-литра жидкости,— это будет экстремальная ситуация. После выливания пол-литра красного вина вбутылку сбелым вином смесь будет состоять на50 % изкрасного вина ина50 % избелого. Перемешав смесь, мы берем пол-литровую ложку, наполняем ее ивозвращаем смесь обратно вбутылку скрасным вином. Смесь теперь одинакова вобеих бутылках. Это иесть наш ответ— красного вина вбутылке сбелым вином столькоже, сколько белого вина вбутылке скрасным вином.

ЗАДАЧА 5.5

Найдите недостающие цифры вследующем семизначном числе, которое равно произведению трех последовательных чисел. Чему равны эти три числа? 1 2_ _ _ _6.

Глава 5. Анализ экстремальных ситуаций

Обычный подход

113

Можно просто попытаться угадать, подставляя различные цифры внадежде, что среди них окажутся искомые. Это крайне маловероятно, хотя ивозможно.

Образцовое решение

Вместо догадок воспользуемся стратегией анализа экстремальных ситуаций. Наименьшее возможное число равно 1200006, анаибольшее— 1299 996. Поскольку нам нужен ответ, представляющий собой произведение трех последовательных чисел, проанализируем кубические корни изэтих экстремумов, чтобы определить примерную величину этих трех чисел.

Кубический корень из1200 006 равен примерно 106, аиз1299996— примерно 109. Это значительно ограничивает простор для выбора. Кроме того, взаданном числе вразряде единиц стоит 6. Значит, три искомые последовательные числа должны оканчиваться либо на1, 2 и3, либо на6, 7 и8, поскольку ихпроизведения дают 6 вразряде единиц. Имея две такие подсказки, несложно определить, что искомыми числами будут 106, 107 и108. Ихпроизведение равно 1224 936. Задача решена.

ЗАДАЧА 5.6

Нарис.5.3 представлен прямоугольник ABCD состоронами длиной 8см и12см. Найдите площадь закрашенной области прямоугольника.

114

Стратегии решения математических задач

DE C

A12

Рис. 5.3

Обычный подход

Обычно назадачу смотрят сдругой точки зрения ивместо определения площади закрашенной области, найти которую требуется поусловиям, определяют площадь незакрашенной области ивычитают ее изплощади прямоугольника. Незакрашенный треугольник соснованием AB=12см ивы-

сотой BC=8см, имеет площадь щадь прямоугольника— это 12×8=96см

×12×8=48см

. Таким обра-

зом, площадь закрашенной области равна 96–48=48см

. Пло-

Образцовое решение

Другой подход сиспользованием тойже стратегии выглядит следующим образом. Поскольку точное положение точкиE неопределено, рассмотрим экстремальный случай, когда точкаE совпадает сточкойC, как показано нарис.5.4.

AC— диагональ прямоугольника, которая делит его пополам. Таким образом, закрашенная область занимает точно половину площади прямоугольника, иее площадь равна 48см

Следует заметить, что тотже прием можно использовать ипри замене прямоугольника ABCD напараллелограмм. Впервый момент такая задача может показаться сложной, однако она решается аналогичным образом.

Глава 5. Анализ экстремальных ситуаций

115

Рис. 5.4

ЗАДАЧА 5.7

Вофисе директора средней школы им. Джорджа Вашингтона висят 50 почтовых ящиков для учителей. Однажды поч тальон принес 151 письмо для учителей. Какое наибольшее число писем может гарантированно получит каж- дый изучителей?

Обычный подход

Нередко человек, столкнувшись сзадачей такого рода, действует наугад инезнает счего начать. Иногда результат приносит метод проб иошибок, ноубедительного решения он точно недает.

Образцовое решение

Для решения задач такого рода рекомендуется применять анализ экстремумов. Понятно, что один учитель может получить все письма, однако это негарантировано. Более реаль- ную оценку ситуации дает экстремальная ситуация, когда письма распределяются предельно равномерно. Вэтом случае каждый учитель получит по3 письма заисключением

116

Стратегии решения математических задач

одного, которому попадет еще 151-е письмо. Таким образом, четыре письма— это наибольшее изтого, что один учитель может гарантированно получить.

ЗАДАЧА 5.8

Точка M лежит насередине стороны AB ΔABC. Точка P может находиться влюбом месте наотрезке AM (рис.5.5). Линия, проведенная через точку M параллельно PC, пересекается сBC вточке D.Какую часть площади ΔABC составляет площадь ΔBDP?

Обычный подход

Площадь ΔBMC равна половине площади ΔABC (всилу того, что медиана делит треугольник надве равные части). Площадь ΔBMC=площадь ΔBMD+площадь ΔCMD=площадь ΔBMD+площадь ΔMPD, которая равна площади ΔBPD=

площади ΔABC. Это следует изтого, что треугольники,

вершины которых лежат налинии, параллельной общему основанию, имеют равные площади.

Рис. 5.5

Глава 5. Анализ экстремальных ситуаций

Образцовое решение

117

Решение этой задачи значительно упрощается при использовании стратегии анализа экстремальных ситуаций. Поместим точку P вэкстремальную позицию так, чтобы она совпадала сточкойM или точкойA. Допустим, точкаP сов- падает сточкойA. Обратите внимание нато, что помере смещения точки P вдоль BA внаправлении точки A линияMD, которая должна оставаться параллельной PC, смещается так, что D приближается ксредней точке линииBC. Вконечном положении точки D линия AD становится медианой ΔABC. Поскольку медиана делит треугольник надва треугольника сравными площадями, площадь ΔPBD равна половине площади ΔABC.

Данное решение спомощью стратегии анализа экстремальных ситуаций ясно показывает важность отслеживания всех перемещений помере смещения точки впредельное положение.

ЗАДАЧА 5.9

Два конгруэнтных квадрата, длина стороны которых равна 4см, размещены так, что вершина одного изних находится вцентре другого. Чему равно наименьшее значение площади пересекающейся части (рис.5.6)?

Обычный подход

Наиболее очевидный прием— построить два квадрата. Некоторые даже вычерчивают ихвмасштабе ипытаются измерить искомую площадь. Поскольку фигура получается неправильной, измерение ее площади может оказаться сложным.

118

Стратегии решения математических задач

Рис. 5.6

Другой подход— провести несколько вспомогательных линий, например линии BM иCM. Несложно доказать, что два треугольника BSM иCTM конгруэнтны (конгруэнтность подвум углам истороне) (см.рис.5.7). Четырехугольник SCTM равен поплощади треугольнику BCM, поскольку площадь треугольника добавляется кплощади двух треугольников, которые, как мы доказали, являются конгруэнтными.

Образцовое решение

Поскольку ориентация квадратов неопределена вусловиях задачи, ихможно разместить так, как нам захочется, лишьбы вершина одного находилась вцентре другого. Обратимся кнашей стратегии анализа экстремальных

Глава 5. Анализ экстремальных ситуаций

119

ситуаций. Можно разместить квадраты так, как показано нарис.5.8, где стороны этих фигур взаимно перпендикулярны.

Рис. 5.7

Если этого недостаточно, чтобы удостовериться вравенстве закрашенной области четверти исходного квадрата, тонужно лишь продолжить линии PM иNM до пересечения состоронами квадрата вточках J иK соответственно, как показано нарис.5.9.

Очевидно, что закрашенная область равна

квадрата, или

части 16см

, т. е. 4см2. Разместив ква-

площади

драты вопределенном положении, мы легко нашли ответ.

120

Стратегии решения математических задач

Рис. 5.8

Рис. 5.9

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]