Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2321 22 23 > Следующая >>>

Глава 9. Учет всех возможностей

201

должно быть 5×401 плиток. Поскольку снаружи выполнена «рамка» шириной водну плитку, размеры внутреннего прямоугольника избелых плиток надве плитки меньше вкаждом направлении. Если уменьшить каждое направление надве плитки, то количество белых плиток для внутреннего прямоугольника составит 3×399, или 1197. Таким образом, для покрытия пола было использовано 1197белых плиток.

ЗАДАЧА 9.8

Даны целые числа от–100 до+100. Сколько таких чисел при возведении вквадрат имеют цифру 1 вразряде единиц?

Обычный подход

Естественная реакция— начать свыписывания всех целых чисел от1 до100. Затем ихпоочереди возводят вквадрат иподсчитывают те, укоторых вконце стоит 1. Результат после этого удваивают, чтобы учесть числа от–1 до–100.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией учета всех возможностей. Единственными числами, квадраты которых могут иметь цифру 1 вразряде единиц, являются те, что оканчиваются на1 или 9. Таким образом, существует всего 20 возможностей, аименно 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89 и99. Удвоив это количество, чтобы учесть все возможности вотрицательном диапазоне, мы получаем ответ— 40 целых чисел.

202

Стратегии решения математических задач

ЗАДАЧА 9.9

Нарис.9.3 показаны три грани куба. Если продолжить нумерацию наостальных гранях куба, точему будет равна сумма номеров всех шести граней?

Рис. 9.3

Обычный подход

Большинство людей замечают, что числа награнях куба начинаются с48 и49. Чаще всего они просто продолжают числовой ряд иполучают следующие номера награнях: 48, 49, 50, 51, 52, 53. Поскольку номер третьей грани, аименно 52, присутствует вэтой последовательности, некоторые останавливаются идают вкачестве ответа сумму перечисленных номеров— 303.

Образцовое решение

Вместе стем вприведенном выше решении учтены невсе возможности. Мы видим три грани изшести. Поскольку нам видны номера 48, 49 и52, значит обязательно должны быть 50 и51. Шестой номер, однако, может находиться налюбом конце последовательности. Таким образом, существуют два варианта шестого номера— 47 или 53. Это дает две возможные суммы— 297 и303.

Глава 10

Обоснованное

предположение

ипроверка

Конечно, даже мысль отом, что вкачестве стратегии решения задач можно использовать догадки, вызывает недоумение. Всамом деле, можетли кто изнас вспомнить, чтобы учитель говорил кому-то, давшему нестандартный ответ: «Ты это знаешь или просто строишь догадки?» Внекоторых книгах выдвижение предположений иихпроверку называют методом «проб иошибок», иэто воспринимается более негативно. Добавление определения обоснованное вназвание метода должно успокоить вас иуверить втом, что это действительно эффективная инередко очень полезная стратегия.

Мы пользуемся стратегией «предположение-и-проверка» напротяжении всей своей жизни. Например, накухне мы делаем предположение отом, готоволи мясо вдуховке, апотом спомощью специального термометра проверяем, правильноли оно. Если нет, томясо опять отправляется вдуховку, апроцесс «предположение-проверка» повторяется через некоторое время. Пытаясь найти конкретное место вовремя поездки наавтомобиле, мы «предполагаем»,

204

Стратегии решения математических задач

что оно находится наопределенной улице. Если его тамнет, томы делаем другое предположение наоснове информации, полученной врезультате первой попытки.

При решении задач, когда слишком много неопределенностей, мы можем использовать эту стратегию для уменьшения неопределенности спомощью конкретных предположений. Проверяя предположения, мы получаем информацию для уточнения следующего предположения иприближаемся котысканию ответа.

Чтобы помогать решению задач, предположения должны быть неслучайными иневзятыми спотолка без очевидного основания. После изучения условий задачи определяется возможный подход крешению ивыдвигается предположение. Затем предположение проверяется наоснове условий задачи. Если это неприводит кполучению ответа, товыдвигается следующее предположение сучетом информации, полученной напредыдущем этапе. Новое предположение опять проверяется. Процесс уточнения предположений продолжается дотех пор, пока небудет накоплена информация, достаточная для решения задачи. Например, предположим, что нас просят найти следующие два члена последовательности 2, 0, 4, 3, 6, 7, 8, 12, 10, 18, ____, ____. Что мы видим? Возможно, члены последовательности возрастают иуменьшаются случайным образом. Неисключено, что здесь смешаны две последовательности. Это выглядит как обоснованное предположение. Попробуем проверить его!

Последовательность 1: 2, 4, 6, 8, 10 (нечетные члены

исходной последовательности);

Последовательность 2: 0, 3, 7, 12, 18 (четные члены

исходной последовательности).

Глава 10. Обоснованное предположение ипроверка

205

Похоже, что наше предположение правильно— здесь действительно две последовательности. Последовательность 1 состоит изчетных чисел. Следующим ее членом будет 12. Впоследовательности 2 разность между последовательными членами возрастает каждый раз на1, т. е. разности равны 3, 4, 5, 6 ит. д. Следующий ее член должен быть равен 25. Таким образом, мы получаем ответ: следующие два члена— это 12 и25. Обратите внимание нато, что здесь использовалась также стратегия выявления закономерности. Вприменении нескольких стратегий для решения задачи нет ничего необычного.

Обратите внимание также, что предположения берутся неспотолка. Все они основываются натщательном анализе того, что дано, итого, что требуется найти. Предположения делаются сумом! Незабывайте, что эту стратегию неслучайно называют «обоснованным предположением ипроверкой».

Рассмотрим еще один пример использования этой стратегии.

Местная фирма должна выполнить заказ напоставку по-

лых исплошных резиновых шаров. Полый шар весит одну

унцию, асплошной— две унции. Ите идругие шары

имеют одинаковый размер. Вкоробку вмещается 50 ша-

ров. Самый выгодный транспортный тариф установлен

для коробок весом 80 унций. Сколько шаров того идру-

гого вида нужно положить вкоробку, чтобы получить

этот вес?

Вместо привычного составления уравнений попробуем воспользоваться стратегией выдвижения обоснованного предположения иего проверки. Для отслеживания наших предположений составим таблицу. Начнем ссередины— с25 шаров каждого вида.

206

Сплошные шары Полые шары Всего

Количество Унции Количество Унции Унции

25 50 25 25 75 Слишком мало 35 70 15 15 85 Слишком много 30 60 20 20 80 То, что надо!

Стратегии решения математических задач

Вкоробку следует положить 30 сплошных шаров и20 полых. Если попробовать все сочетания подряд, тоони все равно приведут кправильному ответу. Выдвижение обоснованных предположений позволяет сократить количество попыток.

Рассмотрим еще одну задачу, решение которой сильно выигрывает отприменения нашей стратегии.

Игра вдротики очень популярна вомногих странах. Памела сделала несколько бросков вмишень, секции которой обозначены как 2, 3, 5, 11 и13. Если ее счет составил 150, токакое наименьшее количество дротиков она могла бросить?

Поскольку нужно найти минимальное количество дротиков, секций свысокими значениями должно быть как можно больше. Сделаем несколько предположений ипредставим результаты втабличной форме.

1311532

12 12 156 (слишком много) 11 1 1 13 150 10 4 14 150

93 12 150

84 1 13 150 7 11 2 20 150

Количество

дротиков

Общий счет

Глава 10. Обоснованное предположение ипроверка

207

Наименьшее количество дротиков, которые могли потребоваться Памеле, равно 12. Обратите внимание нато, что мы опять использовали стратегию организации данных для отслеживания результатов оценки предположений. Таб личное представление данных нередко очень облегчает анализ полученной информации.

ЗАДАЧА 10.1

Наместной ферме выращивают голубику, кусты которой высажены так, что они образуют решетку сквадратными ячейками, аколичество рядов равно количеству колонок. Фермер решил увеличить размеры поля наодинаковое количество рядов иколонок. Новое поле вмещает на211 кустов больше, чем старое. Сколько кустов было водном ряду настаром поле?

Обычный подход

Обычно начинают ссоставления уравнений. Возьмем заx количество рядов иколонок. Тогда первоначальное количество кустов равно x×x, или x

. Обозначим дополнительные кусты вкаждом ряду иколонке как b, тогда новое количество кустов будет равно (x+b)

. Теперь унас есть урав-

нение:

+211=(x+b)2;

+211=x2+2bx+b2;

211=b

+2bx.

Здесь возникает проб лема. Мы получили квадратное уравнение снеизвестнойb, вкотором есть еще одна неизвестнаяx. Что сним делать? Возможно стоит подставить какие-нибудь значения вместо неизвестных ипосмотреть,

208

Стратегии решения математических задач

неудастсяли решить уравнение. Хотя такой подход иможет дать правильный ответ, он неслишком эффективен.

Образцовое решение

Попробуем пойти путем выдвижения предположений иихпроверки. Мы видим, что 211— это простое число, аx иb должны быть целыми числами. Если разложить намножители приведенное выше уравнение, томы получим:

211=b (b+2x).

Поскольку 211— это простое число, унего только два множителя: 211 и1. Таким образом, b должно быть равным 1, а(b+2x)– 211. Врезультате мы получаем 2x=210, аx=105. Водном ряду настаром поле было 105 кустов.

ЗАДАЧА 10.2

Джек хочет огородить прямоугольный участок, отведенный под огород. Унего есть готовая ограда длиной 20м. Какие размеры должен иметь участок, чтобы огороженная площадь была наибольшей?

Обычный подход

Наиболее очевиден алгебраический подход. Можно составить уравнения, апотом решить их. Обозначим длину, как x, аширину, как y. Тогда мы получим:

2x+2y=20, или x+y=10.

При составлении второго уравнения возникает проблема— как представить максимальную площадь? Иначе говоря, нам нужно получить xy=максимум. Что здесь

Глава 10. Обоснованное предположение ипроверка

209

можно сделать? Посмотрим, можноли найти другой подход.

Образцовое решение

Перваяже прикидка показывает, что, например, длина 8 иширина 2 «подходят». Однако точно также подходят идругие пары чисел. Воспользуемся стратегией обоснованного предположения ипроверки, чтобы понять, какие размеры дают наибольшую площадь. Будем вести учет предположений втабличной форме. Поскольку для определения площади нужно умножить одну длину наодну ширину, ограничимся половиной периметра, равной 10. Начнем снаибольшей возможной длины.

Длина Ширина Площадь

919

8216

7321

6424

5525

4624

3721

2816

199

Похоже, что прямоугольник размером 5×5 (квадрат) имеет наибольшую площадь. Ачто, если попробовать дробные размеры? Вусловиях задачи неговорится, что они должны быть целыми. Добавим внашу таблицу дробные значения ипосмотрим, что произойдет.

210

Стратегии решения математических задач

Длина Ширина Площадь

919

8216

7321

6,5 3,5 22,75

6424

5,5 4,5 24,75

5525

4624

3721

2816

199

Все равно получается, что прямоугольник спериметром 20м имеет наибольшую площадь при размерах 5×5 (квадрат). Некоторые ибез этого знают, что при заданном периметре прямоугольника наибольшую площадь всегда имеет квадрат. Араз так, тоответ получается совсем быстро— это квадрат с периметром 20, площадь которого равна 5×5=25м

ЗАДАЧА 10.3

Найдите наименьшее простое число, превышающее 510. (Напомним, что простым называют такое число, которое делится только на1 инасамо себя.)

Обычный подход

Поскольку взадаче требуется найти наименьшее простое число, превышающее 510, мы будем, начиная с511, брать

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2321 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]