Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 236 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 2. Распознавание закономерности

Точка Количество маршрутов

A1 B1 C2 D3 E5 F8

Они показаны нарис.2.2.

B(1)

D(3)

C(2)

F(8)

E(5)

Рис. 2.2

Числовой ряд 1, 2, 3, 5, 8, 13— это последовательность Фибоначчи, которую взападном мире впервые представил Леонардо Пизанский (известный также, как Фибоначчи) в1202г. Вначале такой последовательности стоят 1 и1, апоследующие числа получаются как сумма предыдущих двух. Если продолжить эту последовательность доточки L, томы получим следующее:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Таким образом, используя эту закономерность, мы находим, что източки A доточки L можно добраться 144 маршрутами.

Стратегии решения математических задач

ЗАДАЧА 2.5

Джонни берет лист бумаги иззаписной книжки иразрывает его пополам, азатем кладет получившиеся части одну надругую иеще раз разрывает ихпополам. Обрывки он опять складывает ирвет пополам. Если Джонни сможет повторить эту процедуру 20раз, токакой толщины будет стопка обрывков? (Будем считать, что толщина листа бумаги 0,0254мм.)

Обычный подход

Можно нарисовать таблицу иподсчитать результаты для каждого действия.

Количество

листов встопке

1 1 2 0,0508 2 2 4 0,1016 4 3 8 0,4064 8 4 16 0,8128

Количество

делений

Число листов

встопке

Толщина

Итак далее. Вконечном итоге можно заполнить таблицу

для всех 20 делений инайти ответ.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией поиска закономерности для решения этой задачи. После 1-го деления встопке будет 2 слоя бумаги, после 2-го деления— 4 слоя, после 3 деления— 8слоев. В экспоненциальной форме количество слоев можно представить, как 2 После 20 делений толщина стопки составит 0,0254×2

, 22, 23, …, или 2n вобщем виде.

Глава 2. Распознавание закономерности

или около 26645мм, что составляет примерно 26,6м. Вот почему взадаче говорится: «Если Джонни сможет повторить эту процедуру 20 раз».

ЗАДАЧА 2.6

Сколько квадратов всех размеров настандартной шахматной доске размером 8×8 клеток?

Обычный подход

Первой реакцией будет ответ 8×8=64 квадрата, однако слова «всех размеров» говорят отом, что могут существовать идругие ответы. Математический подход предполагает подсчет количества квадратных областей всех размеров нашахматной доске с64 клетками, т. е. 2×2, 3×3, 4× 4 и т. д. Это неудобно и довольно трудно, поскольку перекрывается множество клеток. Ктому же впроцессе подсчета легко сбиться, так что такой метод скучен ипроблематичен.

Образцовое решение

Попробуем применить стратегию поиска закономерности всочетании стаблицей для организации данных. Если начать сдоски размером 1 клетка на1 клетку, то, очевидно, наней будет только один квадрат, т. е. квадрат 1 ×1. На доске размером 2 клетки на2 клетки мы увидим четыре квадрата 1×1 иодин квадрат 2×2, т. е. всего 5 квадратов. Представим данные втаблице помере увеличения размера нашей доски от1×1 до2×2, 3×3 ит. д.

Стратегии решения математических задач

Размер

доски 1×1 1 — — — — — — — 1 2×2 4 1 — — — — — — 5 3×3 9 4 1 — — — — — 14 4×416941— — — — 30 5×5 25 16 9 4 1 — — — 55 6×6 36 25 16 9 4 1 — — 91 7×749362516941— 140 8×86449362516941204

1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 6×6 7×7 8×8 Всего

Втаблице явно просматривается закономерность заполнения клеток вкаждой строке, поэтому мы быстро определяем, что нашахматной доске размером 8×8 клеток находятся 204 квадрата всех размеров.

В представленной выше таблице можно заметить нетолько одну закономерность. Вней, например, встречается множество квадратов целых чисел. Аесли взглянуть наколонку «Всего» иопределить разность между следующими друг задругом членами, томы получим интересную последовательность:

5 – 1 =4

14 – 5 =9 30 – 14 =16 55 – 30 =25 91 – 55 =36

140 – 91 =49

204 – 140 =64.

Опять мы получаем квадраты целых чисел. Если теперь найти разность второго порядка, т. е. разность между квадратами, томы получим последовательность нечетных чисел, начиная с5:

Глава 2. Распознавание закономерности

9–4=5

16–9=7 25–16=9 36–25=11 49–36=13

64–49=15.

Закономерности нетолько очень полезны для решения задач, как мы видели выше, они также придают прелесть математике.

Задача 2.7

Таблица, представленная ниже, продолжается бесконечно. Какая буква будет находиться всередине 30-го ряда?

Ряд 1 G L A D Y S G Ряд 2 L A D Y S G L Ряд 3 A D Y S G L A Ряд 4 D Y S G L A D.

Обычный подход

Можно продолжить выписывать буквы вкаждом ряду, пока недойдем до30-го ряда. Теперь можно определить, какая буква находится всередине. Такой метод громоздок, ноон дает правильный ответ.

Образцовое решение

Это классический пример того, насколько эффективно поиск закономерности позволяет решать задачи. Для выявления закономерности построим еще четыре ряда букв.

Стратегии решения математических задач

Ряд 1 G L A D Y S G Ряд 2 L A D Y S G L Ряд 3 A D Y S G L A Ряд 4 D Y S G L A D Ряд 5 Y S G L A D Y Ряд 6 S G L A D Y S Ряд 7 G L A D Y S G Ряд 8 LADYSGL…

Поскольку впоследовательности 6 букв, ряды будут повторяться после каждых 6 букв. Более того, поскольку 30 кратно 6, буква всередине 30-го ряда будет тойже самой, что ивсередине 6 ряда, т. е. A.Стратегия распознавания закономерности делает решение задачи очень легким.

ЗАДАЧА 2.8

Найдите цифру вразряде единиц укаждого изследующих чисел:

;

a) 8

197

b) 7

(Понятно, что это нужно сделать, неприбегая кпомощи калькулятора или компьютера.)

Обычный подход

Некоторые пытаются решить эту задачу путем возведения 8 встепень спомощью калькулятора иочень быстро выясняют, что большинство калькуляторов непозволяет воспроизвести ответ такой величины. Количество разрядов надисплее заканчивается раньше, чем на него будет выведено целевое значение.

Глава 2. Распознавание закономерности

Образцовое решение

Нам необходимо найти другой подход крешению этой задачи. Попробуем возводить 8 впоследовательно увеличивающуюся степень ипосмотрим, нет ли какой полезной закономерности впоявлении последних цифр.

81=8 85=32 768 89=134217 728 82=64 86=262 144 810=1073741 824 83=512 87=2097 152 811=8589934 592 84=4096 88=16777 216 812=68719476 736.

Обратите внимание на проявившуюся закономерность— цифра вразряде единиц повторяется при увеличении степени сшагом, равным четырем. Повсей видимости, мы можем использовать эту закономерность при решении нашей задачи. Интересующая нас степень равна

19. При делении на4 она дает остаток 3. Таким образом, последняя цифра числа 8

, 87 и83, т. е. 2.

Для скептиков приведем фактическое значение8

должна быть такойже, как иу815,

=

=144115188075855 872.

Аналогичным образом проанализируем значения, получаемые при возведении 7 впоследовательно увеличивающуюся степень, ипопробуем отыскать закономерность.

71=7 75=16 807 79=40353 607 72=49 76=117 649 710=282475 249 73=343 77=823 543 711=1977326 743 74=2401 78=5764 801 712=13841287 201.

Стратегии решения математических задач

Всоответствии сэтой закономерностью при делении показателя 197 на4 мы получаем остаток, равный 1. Это означает, что последняя цифра числа 7 койже, как иу7

, т. е. 7. При наличии времени вы мо-

197

должна быть та-

жете возвести 7 встепень 197 ипроверить этот ответ. Увас должно получиться:

197

= 30500986272053519460696500325996541282271686

73519018559752227429747850077966257216260752 94895316736160147674876167531025482891555209

43414542713569292535908264249143207.

ЗАДАЧА 2.9

Чтобы составить квадрат 1 × 1, требуется 4 зубочистки, как показано нарис.2.3.

Рис. 2.3

Чтобы составить квадрат 2 × 2, требуется 12 зубочисток (рис.2.4).

Рис. 2.4

Сколько потребуется зубочисток, чтобы составить квадрат 7×7?

Глава 2. Распознавание закономерности

Обычный подход

Вы можете нарисовать квадрат 7×7 ипросто подсчитать необходимое количество зубочисток. Такой подход вполне работоспособен, однако он громоздок итребует аккуратного построения чертежа.

Образцовое решение

Для начала попробуем построить несколько небольших квадратов ипосмотрим, удастсяли нам выявить какую-либо закономерность. Нарисуем квадраты 3×3 и4×4 (рис.2.5 и2.6).

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Стратегии решения математических задач

Посмотрим теперь, что унас получается.

Квадрат

1×1 4 — 2×2 12 8 3×3 24 12 4×4 40 16

Количество

зубочисток

Насколько больше

Ну вот! При увеличении размера квадрата на1 число необходимых зубочисток возрастает на4. Продолжим таблицу:

Квадрат

1×1 4 — 2×2 12 8 3×3 24 12 4×4 40 16 5×5 60 20 6×6 84 24 7×7

Количество зубочисток

112

Насколько больше

Таблица показывает, что числа втретьей колонке последовательно возрастают на4. Количество зубочисток можно определить вобратном порядке, зная результат изтретьей колонки. Для создания квадрата 7×7 необходимо 112 зубочисток.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 236 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]