Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 6. Решение более простой аналогичной задачи

131

всех предыдущих игроков. Сколько успешных штрафных бросков сделает 12-й игрок?

Обычный подход

Некоторые пытаются решить такую задачу через определение среднеарифметического значения для каждого из12 игроков поочереди. Наэто нужно много времени исил. Ктомуже очень легко сделать ошибку при вычислениях. Узадачи наверняка должно существовать более рациональное решение.

Образцовое решение

Мы начнем санализа более простой аналогичной задачи.Заменим x иy простыми числами ипосмотрим, что происходит. Допустим, первый игрок сделал 8 штрафных бросков(x), авторой— 12 (y). Тогда счет третьего игрока будет равен

ихсреднему арифметическому, т. е.

8+12=20

=10

. Чет-

вертый игрок наберет среднее арифметическое бросков пер-

вых трех игроков, т. е.

8+12 + 10=30

=10

, апятый—

среднее арифметическое бросков первых четырех игроков,

8+12 + 10 + 10=40

т. е.

=10

. Ну вот! Счет любого

игрока после первых двух всегда равен среднему арифметическому успешных бросков первых двух игроков. Правильным ответом наэту задачу будет среднее арифметическое

успешных бросков первых двух игроков, аименно

x + y

Упрощенная аналогичная задача позволила нам определить метод, который нужно использовать для быстрого решения исходной задачи.

132

Стратегии решения математических задач

ЗАДАЧА 6.2

Сумма расстояний отлюбой точки внутри или насторонах равностороннего треугольника дотрех сторон всегда постоянна. Чему равна сумма этих расстояний, если сторона равностороннего треугольника равна 4?

Обычный подход

Существуют несколько способов решения этой задачи. Один изнаиболее простых способов— выбрать какую-нибудь точку внутри равностороннего треугольника (т. е. сделать нечто вполне ожидаемое) ипровести изнее три перпендикуляра ксторонам (рис.6.1).

Рис. 6.1

Приравняв площадь ΔABC исумму площадей треугольников APB, PBC иCPA при использовании трех высот x,y,z иоснования 4, мы получим площадь:

Глава 6. Решение более простой аналогичной задачи

1111

ABC h x y z'  

Таким образом, h=x+y+z. Внашем случае высота рав-

ностороннего треугольника равна 2

= 2

Образцовое решение

Без ущерба общему смыслу задачи рассмотрим более простой аналогичный пример, поскольку мы вправе поместить точку P влюбом месте внутри равностороннего треугольника или наего сторонах. Если совместить точку P сточкой A, торешение становится очевидным. Перпендикуляры ксторонам AB иAC имеют длину 0, аперпендикуляр кстороне BC— это просто высота треугольника, или2 Обратите внимание нато, что такую стратегию можно также классифицировать, как анализ экстремальных ситуаций. Мы рассмотрели экстремальную ситуацию, вкоторой точка совмещена свершиной треугольника. Это лишний раз подчеркивает гибкость выбора стратегии.

4444

   

2222

xyz 

 

. Значит x+y+z =

133

ЗАДАЧА 6.3

Вприведенных ниже выражениях m иn— положительные целые числа, каждое изкоторых больше 1. Какое извыражений имеет наибольшее значение?

1.m+n;

2.m– n;

2mn

3.

;

134

4.



5.



Обычный подход

Стратегии решения математических задач



;



Наиболее очевидный подход— реально выполнить операции как есть ипопытаться выяснить, какое извыражений имеет наибольшее значение. Это громоздкий инудный метод, требующий, ктомуже, большого объема вычислений.

Образцовое решение

Попробуем решить более простую версию этой задачи. Для ее упрощения подставим вместо переменных подходящие положительные целые числа. Пусть m=2, аn=4. Тогда выражение (1) будет равно 2+ 4=6; выражение (2)—

2–4=–2; выражение (3)—

4 + 16

2 + 4

= 3,3333

; выражение (5) —

=4; выражение (4)—

16 + 256

8 + 64

= 3,7777

Изэтого следует, что наибольшее значение имеет выражение m+n.

ЗАДАЧА 6.4

x + 5

=4

. Чему равно

Дано

Обычный подход

x + 6

Традиционный подход заключается врешении уравне-

x + 5

=4

иопределении значения x, которое равно

ния

x= –

x + 6

Глава 6. Решение более простой аналогичной задачи

. Затем это значение подставляют ввыражение

19 иполучают

. Конечно, это связано сопределен-

135

ными алгебраическими иарифметическими преобразованиями, однако вконечном итоге дает правильный ответ.

Образцовое решение

Лучше, однако, взглянуть назадачу сдругой точки зрения,

начиная сисходной информации: уравнения

x + 5

=4

Если взять обратные величины обеих сторон уравнения,

мы получим уравнение вида x+5=

, которое намного

легче поддается решению. Поскольку нужно найти значение x+6, мы просто прибавим 1 кобеим частям этого уравнения иполучим x+ 5 + 1 =

+1, или x+ 6 =

5 4

Возьмем опять обратные величины обеих сторон уравнения иполучим, что итребовалось найти. Это несомненно

более изящный подход.

ЗАДАЧА 6.5

Дан круг иего диаметр; покажите, как разделить площадь насемь частей равной площади без использования прямых линий.

Обычный подход

Обычно при виде такой задачи человек понимает, что циркуль— это то, что надо, иначинает чертить окружности внутри исходного круга внадежде обнаружить какую-либо закономерность. Чаще всего такое упражнение недает ничего.

136

Стратегии решения математических задач

Образцовое решение

Возьмем наш круг иотложим отодного края диаметра отрезок, равный одной седьмой части его длины, как показано нарис.6.2.

BCD E F G

Рис. 6.2

Площадь более светлой закрашенной области можно описать, как площадь половины исходного круга плюс площадь полукруга X минус площадь полукруга Y.

Известно, что отношение площадей кругов прямо пропорцио нально отношению квадратов ихдиаметров, поэтому площадь более светлой закрашенной области можно представить следующим образом:

Площадь (X+Z)=площадь (Y+Z)– площадь (Y).

Поскольку утрех полусфер отношение диаметров составляет (Y+Z):(Y):(X)=7:6:1, отношение ихплощадей равно 49:36:1. Используя это, можно увидеть, что отношение площади более светлой закрашенной области кплощади большого полукруга составляет (49–36+1):49 (или

Глава 6. Решение более простой аналогичной задачи

137

14:49), иначе говоря, площадь более светлой закрашенной

области равна

площади большой полусферы. Вэтом слу-

чае отношение площади более светлой закрашенной области кплощади целого круга равно

умножаем на

потому, что

шение кплощади

круга. Используя эту стратегию, мы

представляет собой отно-

1×14=7=1 249497

. Мы

можем рассмотреть полукруги сдиаметрами AC, AD, AE, AF, AG иAH, которые делят площадь круга насемь частей равной площади.

ЗАДАЧА 6.6

Два поезда, один изЧикаго вНью-Йорк, адругой изНьюЙорка вЧикаго (расстояние 800км) одновременно выходят навстречу друг другу поодной колее иидут спостоянной скоростью 60 и40км / ч соответственно. Перед одним изпоездов летит пчела соскоростью 80км / ч. После достижения идущего навстречу поезда пчела разворачивается илетит обратно (все стойже скоростью 80км / ч). Пчела летает туда-обратно дотех пор, пока поезда несталкиваются инесплющивают ее влепешку. Сколько километров пролетает пчела?

Обычный подход

Эта задача может напомнить читателю известный пример, приводимый вбольшинстве учебников алгебры, однако вней есть необычный момент, отсутствующий вподобных задачах наравномерное движение. Естественно, возникает желание определить отдельные расстояния, которые пролетала пчела. Первой реакцией является составление уравнения наоснове знакомой формулы: «скорость, умноженная

138

Стратегии решения математических задач

навремя, дает расстояние». Однако определение этого пути туда-обратно довольно сложное дело исвязано сбольшим объемом вычислений. Влюбом случае, решить задачу подобным образом очень сложно.

Образцовое решение

Значительно более изящный подход предполагает решение упрощенной аналогичной задачи (можно сказать также, что это подход крешению сдругой точки зрения). Мы ищем расстояние, которое пролетела пчела. Если знать время, втечение которого летала пчела, тоопределить пройденное расстояние будет легко, поскольку скорость пчелы известна.

Время полета пчелы узнать несложно, так как оно равно времени движения поездов достолкновения. Для определения времени t движения поездов составим следующие уравнения.

Расстояние, пройденное первым поездом равно 60t, авторого— 40t. Суммарное расстояние, пройденное поездами, составляет 800км. Таким образом, 60t+40t=800, аt =8 часам. Иначе говоря, пчела летала 8 часов. Теперь можно найти расстояние, которое пролетела пчела: 8×80=640км. Внешне невероятно трудное задание определить расстояние, пройденное летающей туда-сюда пчелы, было сведено кдовольно обычной задаче «наравномерное движение», решение которой очевидно.

ЗАДАЧА 6.7

Имеется произвольно начерченная пентаграмма, показанная нарис.6.3. Определите, чему равна сумма острых углов при ее вершинах.

Глава 6. Решение более простой аналогичной задачи

Рис. 6.3

139

Обычный подход

Большинство, ксожалению, пытается измерить углы спомощью транспортира (надо надеяться, сдостаточной точностью). Наосновании полученного результата строятся предположения отом, какой должна быть эта сумма.

Образцовое решение

Мыже воспользуемся стратегией решения упрощенной аналогичной задачи. Иначе говоря, поскольку форма, или правильность неопределена, предположим, что это пентаграмма, вписанная вокружность, как показано нарис.6.4. Если посмотреть наострые углы пентаграммы, можно заметить, что каждый изних является вписанным вокружность углом, равным поопределению половине дуги, нако-

торый он опирается. Например,

A arcCD

Глядя надуги

оставшихся четырех острых углов пентаграммы, видно,

140

Стратегии решения математических задач

что всумме они составляют полную окружность. Итак, мы знаем, что сумма углов равна половине суммы дуг, накоторые они опираются, т. е. она равна половине окружности, или 180º.

Рис. 6.4

ЗАДАЧА 6.8

Какое изследующих чисел имеет наибольшее значение?

, 242, 336, 430, 524, 618, 712, 8

Обычный подход

Спомощью компьютерной программы или даже калькулятора, который может оперировать большими числами, можно попытаться реально определить значение каждого

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]