Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 233 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Введение

сучетом того, что присутствующие уже поздоровались друг сдругом, авошедший непожимает руку сам себе. Итак, человек номер 10 пожимает руку девятерым, человек номер9 пожимает руку восьмерым ит. д. Наконец, мы доходим дочеловека номер 2, который пожимает руку только одному, ичеловека номер 1, которому здороваться нескем. Ивновь мы получаем сумму, равную 45.

Организованные данные Номер человека Количество рукопожатий

10987654321

9876543210

РЕШЕНИЕ 6

Можно также объединить решение более простой задачи свизуальным представлением (схематичным изображе-

нием), организацией данных ираспознаванием закономерности. Начнем срассмотрения одного человека, пред-

ставленного одной точкой. Здесь, очевидно, мы имеем ноль рукопожатий. Затем увеличим количество людей додвух, представленных двумя точками. Вэтом случае унас будет одно рукопожатие. Увеличим количество людей дотрех. Теперь получим три рукопожатия. Продолжим увеличивать количество людей дочетырех, пяти ит. д.

Количество

людей

10 А 21

Количество

рукопожатий

Визуальное

представление

Стратегии решения математических задач

Количество

людей

46A

510

Количество

рукопожатий

Визуальное

представление

Задача становится геометрической, где ответом является количество сторон идиагоналей «n-угольника». Таким образом, для 10 человек мы получаем 10-угольник, укоторого число сторон n=10. Для определения количества диа гоналей можно использовать формулу:





,где 3.

10 7

35.

Итак, количество рукопожатий=10+35=45.

РЕШЕНИЕ 7

Конечно, некоторые читатели уже видят, что эту задачу можно легко решить спомощью комбинаторной формулы для определения числа сочетаний из10 элементов, которые берутся подва зараз.

10 9

10 2

45.

Введение

Впрочем, это решение, хотя оно эффективно, кратко иправильно, практически нетребует математического мышления (если несчитать применения формулы) иобходится без какого-либо подхода крешению задач. Несмотря нато, что такое решение имеет право насуществование, только другие решения позволяют продемонстрировать различные стратегии, аименно сэтой целью мы ипривели данную задачу.

Мы предполагаем, что вы будете читать эту книгу, решать задачи и,таким образом, знакомиться состратегиями. Это позволит вам составить собственный набор стратегий решения задач, который станет базовым врешении ваших задач. Утех, для кого решение задач является новым делом, мы надеемся пробудить интерес иподтолкнуть кдальнейшему изучению этого полезного аспекта математики. Теже, кто уже интересуется критическим мышлением ирешением задач, найдут здесь новые, занятные инестандартные задачи, способные захватить внимание. Приятного вам чтения!

Глава 1

Логическое

рассуждение

Выделение целой главы такой стратегии, как логическое рассуждение, может показаться излишним. Всамом деле, без логического мышления, хотя оно ииспользуется для решения задач, немыслимо применение ниодной стратегии. Для многих людей решение задач является практически синонимом логического рассуждения, или логического мышления. Так зачем же тогда нужна эта глава, изачем вообще выделять эту стратегию?

Вповседневной жизни мы прибегаем клогическому рассуждению, когда спорим очем-нибудь скем-то. Иэто понятно— вовремя спора мы рассчитываем нато, что определенные доводы будут вызывать конкретную реакцию. Наработе мы спомощью логической цепочки доводов добиваемся изменения того или иного производственного процесса. Мы логически выстраиваем цепочку утверждений внадежде наполучение желаемого вывода. Всуде, например, адвокаты используют логическое рассуждение, чтобы представить дело внужном им свете. Если мы назначаем кому-то встречу через два дня, асегодня суббота, тологика подсказывает нам, что встреча должна состояться впонедельник.

Стратегии решения математических задач

Вматематике некоторые задачи решаются без использования каких-либо других стратегий, включая ипредставленные вэтой книге. Они требуют строгих рассуждений иформулирования утверждений, которые логически вытекают одно издругого. Возьмем, например, такую задачу.

Найдите все пары простых чисел, сумма которых равна741.

Многие наверняка составят перечень всех простых чисел меньше 741 ибудут подбирать кним пару, дающую всумме 741. Вместе стем работу можно упростить спомощью логического рассуждения. Если сумма двух чисел является нечетным числом, тоодно изслагаемых должно быть нечетным, адругое— четным. Как известно, существует только одно четное простое число— 2. Значит, другим числом должно быть 739 (а739— это простое число). Таким образом, мы нашли все пары, которые удовлетворяют условиям задачи.

Рассмотрим еще одну задачу, которая решается путем логического рассуждения.

Палиндромическим называют такое число, которое чи-

тается одинаково слева направо исправа налево. При-

мерами трехзначного ичетырехзначного палиндромов

являются 373 и8668. Мария выписала все трехзначные

палиндромы налисточки бумаги иположила ихвболь-

шую коробку. Мигель выписал все четырехзначные па-

линдромы иположил листочки счислами втуже коробку.

Учитель тщательно перемешал листочки ипопросил Лору

взять один изних неглядя. Какова вероятность того, что

она вытащит четырехзначный палиндром?

Глава 1. Логическое рассуждение

Один изспособов решения— выписать все трехзначные ичетырехзначные палиндромы, пересчитать ихиопределить искомую вероятность. Такой подход дает надежный результат, хотя итребует времени. Вместе стем логическое рассуждение позволяет упростить работу. Вкачестве примера трехзначного палиндрома можно взять 373. Чтобы превратить его вчетырехзначный палиндром, нужно всего лишь удвоить среднюю цифру— 3773. Повторяя это действие, мы можем превратить каждый трехзначный палиндром вчетырехзначный. Таким образом, количество четырехзначных палиндромов равно количеству трехзначных, ивероятность выбора листочка счетырехзначным палин-

дромом составляет один издвух, или

Покажем еще наодном примере, насколько просто решаются задачи путем логического рассуждения.

Наприлавке цветочного магазина стоят три коробки

сдекоративными бантиками для украшения подароч-

ной упаковки. Марк решил пометить коробки ярлы-

ками снадписями «Красные», «Белые» и«Разноцветные»

(красно- белые). Ксожалению, он наклеил эти ярлыки не-

правильно. Поскольку коробки стоят высоко, Марк немо-

жет заглядывать вних. Он знает, что коробки помечены

неправильно, ихочет достать бантик изодной изних.

Изкакой коробки ему нужно достать бантик, чтобы по-

метить коробки правильно?

Давайте порассуждаем. Для начала заметьте, что все сказанное окоробке сярлыком «Белые» вравной мере относится икоробке сярлыком «Красные». Здесь существует своего рода симметрия. Поэтому, пусть Марк возьмет один бантик изкоробки сярлыком «Разноцветные». Если бантик

Стратегии решения математических задач

окажется красным, товэтой коробке насамом деле находятся только красные бантики, поскольку они неразноцветные. Пометим ее как «Красные». Коробка сярлыком «Белые» неможет содержать чисто белые бантики, поэтому она должна получить ярлык «Разноцветные». Наконец, накоробку, ошибочно помеченную как «Красные», нужно наклеить ярлык «Белые».

Обратите внимание нато, что для решения каждой израссмотренных задач необходимы всего лишь логическое рассуждение иразмышление. Это нивкоей мере неозначает, что логическое мышление нетребуется при использовании других стратегий решения задач, однако задачи, представленные вэтой главе, решаются почти исключительно путем логического рассуждения.

ЗАДАЧА 1.1

Макс начинает отсчитывать натуральные числа впорядке увеличения: 1, 2, 3, 4, …, аСэм ведет отсчет стойже скоростью, новобратном порядке отчисла x: x, x–1, x–2, x–3, x–4, … Когда Макс доходит до52, Сэм называет число 74. Скакого числа (x) Сэм начал обратный отсчет?

Обычный подход

Столкнувшись стакой задачей, большинство людей обычно пытаются воспроизвести описанную ситуацию, т. е. выполнить одновременно процедуры отсчета, чтобы посмотреть, какой получится результат. Сложность здесь, однако, заключается втом, что начальное число для обратного отсчета неизвестно, поэтому, скорее всего, будут использоваться прямой отсчет иметод последовательного приближения. Это нетолько долго, ноиочень трудно.

Глава 1. Логическое рассуждение

Образцовое решение

Подойдем крешению задачи логически. Макс отсчитал 52числа, азначит иСэм отсчитал такоеже количество чисел. Можно представить 52-е число Сэма как x– 51. Как известно, это число равно 74. Таким образом, мы получаем уравнение x–51=74, изкоторого следует, что x=125.

ЗАДАЧА 1.2

Унас 100кг свежих ягод, вкоторых 99 % массы приходится наводу. Через некоторое время содержание воды вягодах уменьшается до98 %. Сколько теперь весят ягоды?

Обычный подход

Чаще всего говорят, что после испарения 1 % воды вес ягод должен уменьшиться до99 %, азначит ягоды весят 99кг. Это неправильно!

Образцовое решение

Попробуем найти ответ путем логического рассуждения. Исходно вягодах содержится 99 % воды, т. е. вних 99кг воды и1кг сухого вещества, иначе говоря, масса сухих ягод составляет1 %. Масса сухого вещества неменяется: вконце процесса сушки она так иостанется равной 1кг. Вместе стем доля того, что неявляется водой, удваивается до2 %.

Для того, чтобы нечто, имеющее фиксированное количество (1кг сухого вещества внашем случае), удвоило свою долю (с1 % до2 %), суммарное количество смеси должно

уменьшиться вдва раза. Вначале унас был 1 % сухого вещества, или

, авконце— 2 %, или

100

, что сокращается

200

до

, т. е. мы получаем 1кг сухого вещества в50кг сум-

Стратегии решения математических задач

марной массы. Таким образом, вконце вягодах остается 49кг воды.

ЗАДАЧА 1.3

Вовремя школьного эксперимента Мигель многократно бросает обычный шестигранный игральный кубик. Он следит закаждой выпавшей цифрой ихочет остановиться, как только одна цифра выпадет три раза. Мигель останавливается после 12-го броска, исумма выпавших цифр составляет47. Какая цифра выпала третий раз? (Обычный шестигранный игральный кубик имеет цифры от1 до6.)

Обычный подход

Одно изрешений— это взять игральный кубик ипоэкспериментировать сним. Получить точно 47 очков за12 бросков довольно трудно, нодаже если это иполучится, тотакое решение нельзя назвать изящным!

Образцовое решение

Давайте порассуждаем. За 11 бросков ни одна цифра невыпала три раза, иначе эксперимент закончилсябы. Это означает, что пять цифр выпали дважды, аодна— лишь однократно. Обозначим эту цифру символомM. Если M выпадет в12-м броске, тосумма будет равна2 (1+2+3+4+5+6)=42. Таким образом, сумма после 11 бросков составляет 42–M. Если N— число, выпавшее втретий раз, то42– M+N=47, аN– M=5. Мы знаем, что

N иM могут иметь значения только от1 до6. Единственные

<<< < Предыдущая 1 23 / 233 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]