Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 5. Анализ экстремальных ситуаций

121

ЗАДАЧА 5.10

Найдите значение x, которое удовлетворяет уравнению:

. .

Обычный подход

Напервый взгляд задача кажется настолько ошеломляющей, что большинство людей незнают, как кней подойти. Иэто неудивительно.

Образцовое решение

Посмотрим наэто, как насвоего рода экстремальную ситуацию. Начнем стого, что количество x вэтом ряду бесконечно. Отбрасывание одной неизвестной x недолжно никак влиять нарезультат всилу характера бесконечности. Таким образом, удалив первую неизвестную x, мы обнаружим, что все оставшиеся x так же должны быть равны2. Это позволяет переписать уравнение, как x тельно лами, тоответом будет x =

Если ограничиться положительными чис-

=2. Следова-

Ниже показано, как сувеличением ряда значение приближается к2.

2 1,414213562

}

2 1,632526919

}

2 1,760839555

2 1,840910869

}

…

122

Стратегии решения математических задач

Вот мы инашли удивительно простое решение для очень

сложной напервой взгляд задачи.

ЗАДАЧА 5.11

Водной изстарейших телевизионных игр под названием Let’s Make a Deal участникам предлагают сделать слепой выбор. Случайно выбранный зритель выходит насцену ивидит перед собой три двери, заодной изкоторых находится автомобиль, азадвумя другими— ослы. Участник надеется выбрать ту дверь, закоторой спрятан автомобиль, анету, где стоит осел. Если он угадывает, тополучает автомобиль вкачестве приза. Однако невсе так просто. После того, как участник сделает выбор, ведущий, Монти Холл, который знает, закакой дверью находится автомобиль, показывает одного изослов (неоткрывая две оставшиеся двери) испрашивает участника, хочетли он оставить первоначальный выбор (что кроется заним пока неизвестно) или, может быть, передумает ивыберет другую неоткрытую дверь. Вэтот момент, чтобы повысить напряжение, публика начинает скандировать «оставить» или «передумать». Вопрос втом, что делать? Естьли разница? Если так, токакую стратегию лучше использовать (т. е. что может повысить вероятность выигрыша)?

Обычный подход

Кто-то скажет, что лучше всего принимать решение интуитивно. Большинство, однако, придерживаются мнения, что влюбом случае разницы никакой нет, поскольку увас один шанс издвух получить автомобиль. Итеидругие неправы, араз так, тоесть серьезный мотив, разобраться что кчему.

Глава 5. Анализ экстремальных ситуаций

123

Образцовое решение

Лучше всего рассмотреть эту задачу шаг зашагом, апотом, для уверенности, рассмотреть экстремальную ситуацию ипринять решение.

123

Разберем задачу шаг за шагом. Результат постепенно станет ясным. Задверями находятся два осла иодин авто- мобиль. Вы должны попытаться получить автомобиль. Вы выбираете дверь3. Монти Холл открывает одну издверей, которую вы невыбрали, ипоказывает осла.

Ваш

первоначальный

12 3

выбор

Он спрашивает: «Вы все еще хотите оставить свой первоначальный выбор или передумаете ивыберете другую

124

Стратегии решения математических задач

закрытую дверь?» Чтобы помочь принять решение, воспользуемся стратегией анализа экстремальных ситуаций. Допустим, унас 1000 дверей, анетри.

1 2 3 4 ••• 997 998 999 1000

Вы выбираете дверь 1000. Какова вероятность того, что

это правильная дверь?

«Очень маловероятно», поскольку вероятность выбора

правильной двери равна

1000

Насколько вероятно, что автомобиль находится заод-

ной издругих дверей (1–999)?

999

«Очень вероятно»:

1000

1 2 3 4 ••• 997 998 999

Это все «очень вероятные» двери!

Глава 5. Анализ экстремальных ситуаций

1 2 3 4 ••• 998 999 1000

Монти Холл теперь открывает все двери (2–999), заисключением одной (скажем, двери 1), ипоказывает, что закаждой изних находится осел.

Остается «очень вероятная» дверь: дверь 1.

Теперь мы готовы ответить навопрос. Какой выбор будет наилучшим?

125

 Дверь 1000 («очень маловероятная» дверь) или  Дверь 1 («очень вероятная» дверь)?

Ответ теперь очевиден. Мы должны выбрать «очень вероятную» дверь, т. е. «передумать»— это лучшая стратегия для участника шоу. Вэкстремальной ситуации намного легче увидеть лучшую стратегию, чем при анализе ситуа ции стремя дверями, как висходных условиях задачи. Принцип одинаков влюбой ситуации.

Эта задача вызвала немало споров внаучных кругах идаже попала настраницы газеты TheNew York Times идру- гих популярных изданий. Джон Тирни написал вThe New York Times (Sunday, July 21, 1991), что «возможно это только иллюзия, однако похоже спору, вкотором участвовали все

126

Стратегии решения математических задач

отматематиков дочитателей журнала Parade илюбителей телеигры Let’s Make a Deal, положен конец. Спор начался, когда Мэрилин вос Савант опубликовала головоломку вжурнале Parade. Как известно читателям ее колонки “Спросите Мэрилин”, имя г-жи вос Савант включено всписки Галереи славы Книги рекордов Гиннесса за обладание “наивысшего IQ”. Ноэтот факт производит напублику нетакое впечатление, как то, что она сумела ответить навопрос читателя». Мэрилин дала правильный ответ, и,хотя многие математики продолжают спорить, мы решили эту задачу!

Глава 6

Решение более

простой аналогичной

задачи

Некоторые задачи на первый взгляд кажутся чрезвычайно сложными. Смутить могут, например, очень большие числа. Аиногда взамешательство приводит излишнее количество данных, некоторые изкоторых совершенно ненужны для решения. Даже формулировка задачи способна поставить втупик. Чтобы тамнибыло, отличный подход— упростить задачу, однако так, чтобы она осталась эквивалентной исходному варианту. Попробуйте уменьшить числа, изменить рисунок или как-то иначе упростить задачу. Решая упрощенную версию, вы получаете представление о том, как справиться с исходной задачей.

Купив первый раз новый компьютер, вы ведь небрались заосвоение сразу всех функций ивозможностей, а, скорее всего, начинали счего-то более знакомого ипостепенно добавляли новое, пока невыясняли, начто способно приобретение. Наверняка вы брались сначала заболее простые функции.

128

Стратегии решения математических задач

Допустим, вам нужно решить следующую задачу:

Дано 19 последовательных целых чисел, сумма которых равна 95. Какое число стоит на десятом месте вэтом ряду?

Одни, скорее всего, попробуют применить алгебраический подход ипредставят 19 целых чисел, как x, (x+1), (x+2), (x+3), …, (x+17), (x+18) итак далее. Так они дойдут до95, апотом найдут решение для x. Другие заметят, что число вдесятой позиции является средним, обозначат его как x ипредставят остальные числа следующим образом: (x+9), (x+8), (x+7), …, (x– 7), (x– 8), (x– 9). Теперь можно объединять парные члены помере ихдобавления, т. е. преобразовывать (x– 9) и(x+9) в2x, (x– 8) и(x+8) тоже в2x ит. д., получая каждый раз 2x. Такая версия намного проще для решения, поскольку мы получаем уравнение вида 9(2x)+x=95, или 19x=95 откуда x=5.

Вместе стем есть еще более интересный подход. Допустим, мы рассматриваем более короткий ряд чисел, например 3+4+5+6+7. Ихсумма (25) при делении на5 дает среднее, аименно 5, которое оказывается средним числом ряда. Для ряда внашей задаче средним число является 10-й член, апоскольку целые числа последовательны, этот член является также средним арифметическим, или средним числового ряда из19 членов. Таким образом, чтобы найти среднее, нужно просто взять сумму (95) иразделить ее наколичество членов ряда (19). Ответ— 5. Эта упрощенная версия задачи позволяет представить исходное задание взначительно более простой форме и,таким образом, облегчить решение.

Зачастую можно неограничиваться простым уменьшением сложности исходной задачи, априменить также

Глава 6. Решение более простой аналогичной задачи

129

идругие наши стратегии. Например, найдите десятичное значение чис ла 1 / 500000 000 000.

Воспользоваться калькулятором здесь неудастся, поскольку дисплеи большинства изних не воспроизводят 12-значные числа. Применим две другие стратегии: организуем данные инайдем закономерность. Решим ряд более простых версий нашей задачи, представим результаты втабличной форме, апотом посмотрим, нетли вних какой-либо закономерности.

Простая

дробь

1 5

500

5000

50 000

. . .

Количество

нулей после 5

0 0,2 0

1 0,02 1

2 0,002 2

3 0,0002 3

4 0,00002 4

. . .

Десятичная

дробь

. . .

Количество нулей

между запятой и2

. . .

Здесь определенно просматривается закономерность. Количество нулей взнаменателе равно количеству нулей между запятой и 2. Поскольку взнаменателе 11 нулей после5, между запятой и2 должно быть тоже 11 нулей:

130

Стратегии решения математических задач

Простая дробь

1 5

500

5000

50 000

. . .

1 / 500000000000 11 0,000000000002 11

Количество

нулей после 5

0 0,2 0

1 0,02 1

2 0,002 2

3 0,0002 3

4 0,00002 4

. . .

Десятичная

дробь

. . .

Количество

нулей между

запятой и2

. . .

Обратите внимание, насколько упрощенная версия(и) исходной задачи вместе сдвумя другими стратегиями облегчают решение. Имейте ввиду, что использование нескольких стратегий для решения задачи нередкость.

ЗАДАЧА 6.1

Баскетбольная команда принимает участие вконкурсе налучшее исполнение штрафных бросков. Первый игрок успешно выполняет x штрафных бросков, второй— y, атретий— количество бросков, равное среднему арифметическому количества бросков первых двух игроков. Каждый последующий игрок успешно выполняет такое количество бросков, которое равно среднему арифметическому бросков

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]