Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

Глава 10. Обоснованное предположение ипроверка

211

число ипробовать разные делители впорядке возрастания вплоть доего половины. Если ни один изэтих возможных делителей неподойдет, значит мы нашли простое число.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией обоснованного предположения ипроверки для сужения диапазона возможных вариантов. Мы знаем, что число, превышающее 510, неможет быть простым, если унего вконце стоят цифры 0, 2, 4, 5, 6 или8. Кроме этого вспомним, что число, сумма цифр которого делится на3, тоже делится на3. Это позволяет отбросить некоторые числа, превышающие 510, например число 513. Таким образом, мы ограничиваем предположения числами 511, 517, 521 ит. д. Врезультате проверки следующим за510 простым числом оказывается 521.

ЗАДАЧА 10.4

Вэстафетном забеге наодну милю участвует команда всоставе: Густав, Йохан, Ричард иВольфганг. Они бегут свой четвертьмильный этап втом порядке, вкотором перечислены. Каждый бегун проходит свой этап на2 секунды быстрее предыдущего. Они финишируют собщим временем 3 минуты 40 секунд. Засколько каждый бегун пробежал свой этап?

Обычный подход

Применив несложные алгебраические вычисления, можно решить задачу следующим образом:

212

Стратегии решения математических задач

x=время, закоторое свой этап пробежал Густав;

x– 2=время, закоторое свой этап пробежал Йохан;

x– 4=время, закоторое свой этап пробежал Ричард;

x– 6=время, закоторое свой этап пробежал Вольфганг.

x+(x– 2)+(x– 4)+(x– 6)=220

(3 минуты 40 секунд=220 секунд);

4x– 12=220;

4x=232;

x=58.

Густав пробежал свой этап за58 секунд, Йохан— за56 секунд, Ричард— за54 секунды, Вольфганг— за52 секунды.

Образцовое решение

Конечно, это решение зависит отзнания алгебраических методов. Вместе стем задачу можно решить с помощью стратегии обоснованного предположения ипроверки. Предположим, что бегуны прошли дистанцию примерно содинаковой скоростью. Если так, томожно разделить 220 на4 и получить 55 в качестве первого предположения.

Густав Йохан Ричард Вольфганг Всего

Предположение 1 55 53 51 49 208 (слишком

мало)

Предположение 2 60 58 56 54 228 (слишком

много)

Предположение 3 59 57 55 53 224 (слишком

много)

Предположение 4 58 56 54 52 220 (правильно)

Глава 10. Обоснованное предположение ипроверка

213

Таким образом, Густав пробежал свой этап за58 секунд, Йохан— за56 секунд, Ричард— за54 секунды, Вольфганг— за52 секунды.

ЗАДАЧА 10.5

Вкоробке уДэна находятся почтовые марки стои мостью 13 и8центов. Отправка посылки, которую он приготовил, стоит ровно $1. Сколько марок каждого достоинства Дэн должен наклеить напосылку?

Обычный подход

Можно попробовать решить эту задачу алгебраически. Если обозначить как x количество 13-центовых марок икак y количество 8-центовых марок, томы получим следующее уравнение:

0,13x+0,08y=1,00.

Если перевести все вценты, тоуравнение приобретет вид:

13x+8y=100.

Это, однако, уравнение сдвумя неизвестными, азначит ответов может быть несколько. Поскольку количество марок должно быть целым числом, нам нужно решить диофантово уравнение.

Для начала выразим y через x:

y =

. После де-

100 – 13x

ления ивыделения целых величин иостаточных членов, азатем объединения остаточных членов мы получаем:

y =12 – x +

4–5x

214

Стратегии решения математических задач

Дробная часть должна быть целым числом, поскольку количество марок неможет быть дробным. Выберем какоенибудь значение для x, при котором дробная часть превращается вцелое число. Пусть x=4. Тогда y=12–4+(–2), или y=6.

Дэн, таким образом, должен использовать шесть 8-центовых марок ичетыре 13-центовых марки. (Новсели это возможности? Можноли найти все возможные ответы?)

Образцовое решение

Более изящное решение дает использование нашей стратегии обоснованного предположения ипроверки всочетании стабличным представлением результатов.

Количество

13-центовых

марок

7 91 Невозможно покрыть

6 78 Невозможно покрыть

5 65 Невозможно покрыть

4 52 6 (стои мость 48центов) $1

3 39 Невозможно покрыть

2 26 Невозможно покрыть

1 13 Невозможно покрыть

0 0 Невозможно покрыть

Стои мость,

центы

Количество 8-центовых

марок

оставшиеся 9центов

оставшиеся 22цента

оставшиеся 35центов

оставшийся 61цент

оставшиеся 74цента

оставшиеся 87центов

оставшийся $1

Суммарная

стои мость

Глава 10. Обоснованное предположение ипроверка

215

Таким образом, четыре 13-центовых марок и шесть 8-центовых марок дают сумму $1, необходимую Дэну. Обратите внимание нато, что таблица ясно показывает отсутствие других вариантов.

ЗАДАЧА 10.6

Разница между двумя положительными целыми числами равна 5. Если сложить ихквадратные корни, тосумма также будет равна 5. Что это зацелые числа?

Обычный подход

Традиционный подход— это составление сис темы уравнений:

Пусть x=первое целое число;

Пусть y=второе целое число.

Тогда:



55.





Возведем обе стороны вквадрат:

5 2 5 25.

xxx 



Упростим полученное выражение:

25220.xx x 



Снова возведем обе стороны вквадрат:

+20x=4x2–80x+400;

100x=400;

216

Стратегии решения математических задач

x=4; y=9.

Два целых числа— 4 и9.

Образцовое решение

Традиционный подход требует умения решать уравнения срадикалами исвязан сбольшим количеством алгебраических преобразований. Вкачестве альтернативы воспользуемся нашей стратегией обоснованного предположения ипроверки. Поскольку сумма квадратных корней издвух целых чисел равна 5, квадратные корни этих чисел должны представлять собой 4 и1 или 3 и2. Таким образом, целые числа должны быть равными 16 и1 или 9 и4. Вместе стем, если взять разность, которая равна 5, становится понятно, что правильный ответ— 9 и4.

ЗАДАЧА 10.7

Тренер футбольной команды разрешает игрокам самостоятельно выбрать номер, под которым они выйдут наполе. Макс иСэм, которые нетолько играют вфутбол, ноивходят всостав математической команды, останавливаются наособой паре номеров. Когда ихномера возводят вквадрат, они дают двузначные числа. Когда два футболиста стоят рядом, образующееся изэтих квадратов четырехзначное число также является квадратом простого числа. Какие номера они выбрали?

Обычный подход

Большинство людей берут числа 1, 2, 3, 4, 5, … ивозводят ихвквадрат, пытаясь найти те, которые дают двузначный

Глава 10. Обоснованное предположение ипроверка

217

квадрат. Затем они помещают эти квадраты рядом друг сдругом исмотрят, какие изних образуют квадрат простого числа. Такое гадание нельзя назвать продуктивным.

Образцовое решение

Призовем напомощь нашу стратегию обоснованного предположения ипроверки. Прежде всего, можно ограничить количество чисел, изкоторых делается выбор. При возведении вквадрат двузначное число дают числа от4 до9, поскольку квадраты 1, 2 и3— это однозначные числа, аквадраты 10, 11, …, 31— трехзначные числа. Таким образом, мы можем выбирать изследующих квадратов: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Начиная с16 проверим, пара каких квадратов образует при размещении рядом квадрат простого числа. Обратите внимание, если мы оцениваем 1625 (это неквадрат простого числа), тонам нужно оценить и2516 (тоже неквадрат простого числа). Чтобы выдвинуть обоснованное предположение, нужно впару к16 поставить оставшиеся двузначные числа. Если взять пару 16 и81, томы получим число 1681, равное 41

. Макс иСэм выбрали вка-

честве своих номеров числа 4 и9.

Обратите внимание нато, что числа 3 и4 тоже работают, так как 3

=9, а42=16. При размещении рядом друг сдругом эти квадраты дают число 169, которое является квадратом простого числа. Однако вусловиях задачи говорится очетырехзначном числе, так что этот ответ исключается.

ЗАДАЧА 10.8

Лайза получила нанеделю задание решить 26 арифметических задач. Чтобы заинтересовать ее, отец обещал выдавать ей по8центов заправильно решенные задачи ивычитать

218

Стратегии решения математических задач

по5центов занеправильно решенные. После выполнения задания Лайза обнаружила, что отец недолжен ей ничего, ноиона ничего недолжна. Сколько задач Лайза решила правильно?

Обычный подход

Эту задачу позволяет решить обычный алгебраический подход.

Пусть x обозначает количество правильно решенных за-

дач, аy— количество неправильно решенных задач.

Тогда:

8x– 5y=0;

x+y=26.

Изпервого уравнения получаем, что 8x=5y и x = Подстановка значения x вовторое уравнение дает:

+ y = 26;

5y+8y=208;

13y=208;

y=16; x=10.

Лайза решила правильно 10 задач инеправильно 16 за-

дач.

Образцовое решение

Те, кто не умеет решать сис темы из двух уравнений сдвумя неизвестными, могут попробовать найти ответ с помощью стратегии обоснованного предположения ипроверки. Результаты лучше представлять втабличной

Глава 10. Обоснованное предположение ипроверка

219

форме. Начнем ссередины — 13 правильных решений и13 неправильных.

Правильные

решения×8центов

13×8=104 13×(–5)=–65 39

12×8=96 14×(–5)=–70 26 11×8=88 15×(–5)=–75 13 10×8=80 16×(–5)=–60 0

Неправильные

решения×–5центов

Сумма

Лайза решила правильно 10 задач инеправильно 16 за-

дач.

Табличное представление результатов делает ответ очевидным. Обратите внимание нато, что предположения невыдвигаются наобум. Мы начинаем всередине и движемся вверх или вниз поодному предположению зараз. Поскольку первое предположение значительно выше искомого ответа, мы уменьшаем количество правильных решений на1 иувеличиваем количество неправильных на1 зараз, уменьшая сумму на13центов.

ЗАДАЧА 10.9

В США существуют монеты следующего достоинства: 1цент, 5центов, 10центов, 25центов, 50центов (есть даже монета $1). Какое наименьшее количество монет необходимо, чтобы составить любую сумму от1цента до$1?

Обычный подход

Один изподходов— это взять какое-то количество монет каждого достоинства ипопытаться найти наименьшее ихчисло, которое позволяет составить любую сумму

220

Стратегии решения математических задач

от1цента до$1. Другими словами, реально выполнить необходимые действия. Некоторые пытаются пойти обратным путем иначинают сдвух 50-центовых монет. Нитот нидругой подход нельзя назвать рацио нальным.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией обоснованного предположения ипроверки. Очевидно, что нам понадобятся четыре одноцентовых монеты для получения сумм величиной до4центов. Добавив одну пятицентовую монету, мы можем получить любую сумму от1цента до 9 центов. Добавление 10-центовой монеты позволяет составить суммы величиной до19центов. Еще одна 10-центовая монета делает доступными суммы до29центов. Одна 25-центовая монета позволяет составить все суммы до54центов. Наконец, одна 50-центовая монета расширяет диапазон доступных сумм до$1. Нам необходимы девять монет следующих достоинств:

1цент, 1цент, 1цент, 1цент, 5центов,

10центов, 10центов, 25центов, 50центов.

Для проверки полученного ответа можно выбрать наугад несколько сумм ипопробовать составить ихспомощью наших девяти монет. Например, чтобы составить сумму 73цента, нам потребуются монеты 50центов, 10центов, 10центов итри по1центу.

ЗАДАЧА 10.10

Древние египтяне были выдающимися математиками. Пирамиды имногие построенные ими храмы наглядно подтверждают это. Они одними изпервых стали пользоваться

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]