Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам
.pdf
Глава 4. Принятие другой точки зрения
91
монеты полновесные, их общий вес должен составлять
10× 10=100 унций. Каждая из10 неполновесных монет имеет меньший вес, поэтому недостача должна составить 10×0,1=1 унцию. Однако подход сточки зрения
общей недостачи ничего недает, поскольку она может
оказаться в любой изстопок — в первой, второй, третьей ит. д.
Образцовое решение
Попробуем решить задачу, организовав данные иначе.
Нам необходимо найти такой метод обнаружения недостачи, позволяющий идентифицировать стопку, изкоторой взяты неполновесные монеты. Присвоим стопкам номера № 1, № 2, № 3, № 4, …, № 9, № 10. Затем возьмем одну
монету изстопки № 1, две монеты изстопки № 2, три монеты изстопки № 3, четыре монеты изстопки № 4 ит. д.
Всего унас получилось 1+2+3+4+…+8+9+10=
55 монет. Если все монеты полновесные, тоихобщий вес
должен составить 55 унций. Если обнаружится недостача
0,5унции, значит внавеске присутствуют 5 неполновесных
монет изстопки № 5. Если обнаружится недостача 0,7унции, значит внавеске присутствуют 7 неполновесных монет
изстопки № 7 ит. д. Таким образом, г-н Сакс может легко
определить стопку неполновесных монет иювелира, который принес эти монеты.
ЗАДАЧА 4.8
Ресторан быстрого питания продает куриные наггетсы вкоробках по7 штук ипо3 штуки. Какое наибольшее количество наггетсов нельзя купить?
92
Стратегии решения математических задач
Обычный подход
Мы просто пытаемся найти ответ путем перебора сочетаний 7 и3 дотех пор, пока недойдем доточки, начиная скоторой можно купить любое количество наггетсов.
Количество наггетсов
1Нет
2Нет
3 Да 1×3
4Нет
5Нет
6 Да 2×3
7 Да 1×7
8Нет
9 Да 3×3
10 Да 1×7 и1×3
11 Нет
12 Да 4×3
13 Да 2×3 и1×7
14 Да 2×7
15 Да 5×3
16 Да 3×3 и1×7
17 Да 1×3 и2×7
18 Да 6×3
19 Да 4×3 и1×7
20 Да 2×3 и2×7
21 Да 7×3 или 3×7
22 Да 5×3 и1×7
Глава 4. Принятие другой точки зрения
93
Повсей видимости, наибольшее количество наггетсов, которое нельзя купить, равно 11. После этого все, что
нужно, это добавлять 3 или 7.
Образцовое решение
Здесь мы обратимся кидее, привносящей врешение определенное изящество, ипредоставим читателю возможность
самому разобраться, почему это так, анеиначе. Существует
теорема, известная под названием «теорема макнаггетсов».
Всоответствии сней, если McDonald’s продает макнаггетсы
вкоробках поa или b штук, где a иb неимеют общих множителей, тонаибольшее количество макнаггетсов, которое нельзя купить, равно ab– (a+b). Например, если они
продаются вкоробках по8 и5 штук, тонаибольшее количество макнаггетсов, которое нельзя купить, составляет
8×5– (8+5)=40–13=27.
Внашей задаче, наибольшее количество наггетсов, которое нельзя купить, равно 3×7– (3+7), или 21–10=11.
ЗАДАЧА 4.9
Упростите каждое изследующих выражений:
35 52
729 81
a)
12 9 3 4
6 27 2 81 80 32 125
b) .
uu uu
8000000 9 729
27
2196
;
69
u
Обычный подход
Хотя есть соблазн взять калькулятор ивычислить значение этих выражений, нередко наши надежды неоправ-
94
Стратегии решения математических задач
дываются, и мы получаем на табло лишь сообщение
error.
Образцовое решение
Подойдем крешению этой задачи сдругой точки зрения.
Учитывая, что число 3 возводить встепень довольно просто, решим задачу следующим образом:
52
69
3
208 2
331
u
38 24
a)
35 52
729 81
69
27
635 4
(3 ) 3
3
210 208
33
u
207 207
33
Второе выражение можно упростить, разбив числа
напростые множители следующим образом:
12 9 3 4
6 27 2 81 80 32 125
)
b
uu uu
8000000 9 729
23 3 2 3 2 5 2 5
uu u uu u
u
u uu
uu
33 225
37 36 19 13
23 23 2 5
uu u
38 36 18 12
33 25
23 1
2
31
u
2196
12 9 3 4
34453
19 6 2
26 366
uu
u
36
23 31
u
36 2
331
2 5 10.
25
.
ЗАДАЧА 4.10
ИуВольфганга, иуЛюдвига есть целое число евро, причем каждое изних меньше 100. Когда они посчитали свои
Глава 4. Принятие другой точки зрения
95
деньги, оказалось, что три четверти суммы Вольфганга
равны двум третям суммы Людвига. Какое максимальное
число евро может быть укаждого изних?
Обычный подход
Первая реакция— применить алгебраический подход. Мы
можем составить одно уравнение сдвумя неизвестными.
Пусть W представляет количество евро уВольфганга, аL—
количество евро уЛюдвига. Наше уравнение имеет следующий вид:
32
WL
.
43
Умножим обе части уравнения на12 иполучим: 9W=8L.
Решение уравнения для W дает следующий результат:
8
L
W
.
9
Поскольку укаждого из мальчиков поцелому числу
евро, сумма Людвига должна быть кратной 9, т. е. 9, 18,
27, 36, …,99. Теперь можно подставить каждое изэтих чисел вуравнение иопределить количество евро уЛюдвига.
Наибольшее количество евро, которое может иметь Людвиг, составляет 11×9, или 99 евро (менее, чем 100). Мы
знаем, что
2
суммы Людвига (66 евро) равны
3
3
суммы
4
Вольфганга. Таким образом, сумма Вольфганга составляет
4
3
, или 88 евро, асумма Людвига— 99 евро.
× 66
96
Образцовое решение
Стратегии решения математических задач
Воспользуемся арифметическим подходом ивзглянем наза-
3
дачу сдругой точки зрения. Поскольку
3
равны
суммы Людвига, найдем эквивалентные дроби
4
суммы Вольфганга
4
содинаковым числителем:
36 9
ольфганг: ;
В
Людвиг: .
24 6
36 9
ªº
«»
4812
¬¼
ªº
«»
¬¼
Если уВольфганга 8 евро, ауЛюдвига 9 евро, точасти ихсумм становятся одинаковыми иравными 6 евро.
Поэтому ответ должен быть равен произведению одного
итогоже множителя на8 и9. Таким образом, наибольшая
сумма, которую может иметь Людвиг, составляет 11×9,
или 99 евро, анаибольшая сумма Вольфганга— 11× 8,
или 88 евро.
Ответ можно проверить, определив величину
2
евро (66) и
от99 евро (66).
3
3
от88
4
ЗАДАЧА 4.11
Нарис.4.3 ширина прямоугольника AEFK равна AK=8,
адлина AE разделена начетыре части AB=1, BC=6, CD=4
иDE=2. Чему равна площадь четырех закрашенных треугольников?
Глава 4. Принятие другой точки зрения
97
K
8
AB C D E
JI H GF
16 42
Рис. 4.3
Обычный подход
Очевидный подход— найти площадь каждого изчетырех
треугольников исложить их. Вовсех четырех случаях высота треугольника равна ширине прямоугольника AK=8.
Таким образом, площади четырех треугольников составляет:
1
ABJ
' uu
18 4;
2
BCI
1
68 24;
' uu
2
' uu
CDH
1
4816
;
2
1
' uu
DEG
28 8.
2
Сумма этих площадей равна 4+24+16+8=52.
98
Образцовое решение
Стратегии решения математических задач
Воспользуемся нашей стратегией принятия другой точки
зрения нарешение задачи. Треугольники имеют одну
итуже высоту, аименно 8. Сумма оснований четырех треугольников равна длине прямоугольника, т. е. 13. Таким образом, площадь четырех закрашенных треугольников равна
половине площади прямоугольника, или
ЗАДАЧА 4.12
1
× 13 × 8 = 52
2
Определите, сколько чисел можно составить изцифр от1
до9 при условии, что цифры вэтих числах должны располагаться впорядке возрастания.
Обычный подход
Большинство людей, скорее всего, воспользуются методом
проб иошибок ипопытаются выяснить, нетли здесь какой
закономерности, ибудут добавлять всписок одно число
задругим, т. е. сначала однозначные числа, затем двухзначные, трехзначные ит. д. Если выполнить эту работу тщательно, томожно получить правильный ответ, однако такой подход трудоемок.
.
Образцовое решение
Рассмотрим сначала набор целых чисел, имеющихся внашем распоряжении {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Каждое подмножество этих цифр, за исключением пустого, должно
давать одно изискомых чисел. Например, подмножество
{3,5, 7, 9} дает число 3579. Вопрос втом, сколько таких подмножеств можно выделить внашем ряду издевяти цифр.
Глава 4. Принятие другой точки зрения
99
Ихколичество равно 29=512. Вместе стем сюда вошло
пустое подмножество, которое необходимо вычесть. Таким
образом, мы получаем 2
9
–1=511 подмножеств из9 цифр,
каж дое изкоторых дает число, где всоответствии сусловием
задачи, цифры могут располагаться впорядке возрастания.
ЗАДАЧА 4.13
Нарис.4.4 показан равнобедренный треугольник сбесконечным рядом окружностей, каждая изкоторых касается
двух равных сторон треугольника исоседних окружностей,
анижняя окружность касается основания треугольника.
Стороны равнобедренного треугольника равны 13, 13 и10.
Чему равна сумма длин этих окружностей?
13 13
10
Рис. 4.4
100
Стратегии решения математических задач
Обычный подход
Занудный поопределению подход предполагает вычисление длины каждой окружности с последующим определением суммы ихдлин. Подсчеты вэтом случае очень
трудо емки, нопри тщательном выполнении они могут дать
правильный ответ.
Образцовое решение
Воспользуемся стратегией рассмотрения задачи сдругой
точки зрения. Спомощью теоремы Пифагора находим,
что высота равнобедренного треугольника равна 12. Заметим, что сумма диаметров бесконечного числа окружностей равна высоте равнобедренного треугольника. Таким
образом, сумма длин окружностей равна сумме диаметров,
умноженной наπ, т. е. 12π.
ЗАДАЧА 4.14
Чему равен наименьший неотрицательный остаток при
делении 22
7
на123?
Обычный подход
Как правило, при решении этой задачи люди тратят кучу
времени наопределение значения числа 22
7
, апотом де-
лят результат на123.
Образцовое решение
Мы подойдем крешению задачи сдругой точки зрения.
Вместо развертывания 22
7
вчисло без степени разложим
его начисла встепени:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]