Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
07.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Глава 7. Организация данных
161
Таким образом, врезультате организации исходных дан­ных логичным образом мы получаем следующее количество точек пересечения: 6×3+4=22.
ЗАДАЧА 7.8
Если напечатать все числа от 1 до 1000000, сколько раз вних встретится цифра 8?
Обычный подход
Обычно вответ натакой вопрос, который кажется ошелом­ляющим, начинают составлять список чисел без какого­либо намека наихорганизацию. При таком подходе ре­шение зависит оттого, удастсяли увидеть какую-нибудь закономерность вчисловом ряду.
Образцовое решение
Лучшая стратегия здесь заключается, пожалуй, воргани­зации данных таким образом, чтобы можно было выявить любую закономерность всписке, если она существует.
000 000 000 001 000 002 000 003 000 004 000 005
999 996 999 997 999 998 999 999 000 000
162
Стратегии решения математических задач
В представленных выше шести разрядах миллиона цифры 0, 1, 2, 3, 4, …, 8 и9 используются равное количе­ство раз. Это понятно потому, что каждую «комбинацию» можно составить изкаждой из10 цифр. Таким образом,
цифра 8 должна появиться в
1
случаев, или 600000 раз.
10
ЗАДАЧА 7.9
Упродавца двое часов, которые бьют полночь одновре­менно. Однако одни часы спешат на1 минуту вчас, адругие отстают на1 минуту вчас. Если такая разница сохранится идальше, точерез какое время ихпоказания совпадут?
Обычный подход
Первая мысль— составить уравнение. Если обозначить заx время, через которое показания часов совпадут, томы полу­чим 12+x=12– x. Решение этого уравнения дает 2x=0, иx=0. Оттакого решения толку мало.
Образцовое решение
Всутках 24 часа, заэто время часы A уйдут вперед на24 минуты, ачасы B отстанут на24 минуты. Через пять дней часы A уйдут вперед на5×24=120 минут, или на2 часа. Всвою очередь часы B будут отставать на120 минут, или 2часа каждые пять дней. Воспользуемся нашей стратегией ипредставим данные втабличной форме.
День 1 2 5 10 15
Смещение показаний
Опережение 12:24 a.m. 12:48 a.m. 2:00 a.m. 4:00 a.m. 6:00 a.m.
Отставание 11:36 p.m. 11:12 p.m. 10:00 p.m. 8:00 p.m. 6:00 p.m.
1×24=
24 мин.
2×24=
48 мин.
5×24=2 ч. 10×24=4 ч. 15×24=6 ч.
Глава 7. Организация данных
163
Изтаблицы видно, что натабло обоих часов будет 6:00 вконце 15-го дня. Конечно, одни изних будут показывать 6:00 a.m., адругие— 6:00 p.m. Тем неменее показания со­впадут, аименно это итребовалось найти взадаче.
ЗАДАЧА 7.10
Сколько существует положительных трехзначных нечетных чисел, произведение цифр которых дает число 252?
Обычный подход
Чаще всего начинают искать тройки множителей, произве­дение которых равно 252. Иначе говоря, выписывают на­боры изтрех цифр, дающие при перемножении 252. Это следует делать упорядоченно, начиная сцифр 1, 1, 252, закоторыми следуют 1, 2, 126, затем 1, 3, 84, заними 1, 4, 63 ит. д. Можно перебирать цифры таким образом дотех пор, пока непопадется хотябы один набор, который даст нечетное трехзначное число. Неисключено, однако, что та­ких наборов несколько. Можноли суверенностью сказать, что найдены все возможные варианты? «Лобовой» подход недает нам такой уверенности.
Образцовое решение
Попробуем применить нашу стратегию организации данных. Можно разложить число 252 на множители 2×2×3×3×7. Если одна изцифр 7, тодругие цифры должны давать при перемножении 36, т. е. 4 и9 или 6 и6, поскольку все другие комбинации включают всебя мно­жители, имеющие более одного знака. Комбинируя эти цифры с7, мы находим пять чисел, которые удовлетворяют
164
Стратегии решения математических задач
условиям задачи. Это 749, 479, 947, 497, 667— все они не­четные трехзначные числа, апроизведение ихцифр равно
252.
ЗАДАЧА 7.11
Какое число вследующем ряду самое большое икакое число стоит навтором месте повеличине?
389
2,3,8,9
.
Обычный подход
Внаши дни рука автоматически тянется ккалькулятору. Од­нако найти ответ может быть нетак просто, как кажется, по­скольку невсе калькуляторы могут извлекать такие корни.
Образцовое решение
Сначала для удобства представим члены заданного ряда ввиде степеней сдробными показателями:
1 2
2,3,8,9.
38
9
1
11
Эффективной стратегией здесь является организация
данных так, чтобы было легко сравнивать.
8
1
§·
Поскольку,
8
11
§·
22
28 2
©¹
1
§·
9
9981
©¹
11
§·
88
!!
©¹
18
2
Поскольку
2
2 2 16, a 8 8,
©¹
8
или
, мы получаем, что
6
1
§·
3
339
©¹
4
8
. Поскольку
2
§·
, а
228
©¹
1 2
8
1
§·
8
©¹
§· ©¹
6
мы получаем, что
1
§·
2
2 2 512
©¹
18
1
§·
2
29
!
©¹
3
, мы получаем, что
18
18
1 9
, или
9
1 2
29!
, а
1 9
.
Глава 7. Организация данных
165
6
1
§·
3
32
©¹
чем
8
шим является
6
1
§·
!
2
, или
©¹
1
1
9
8
9
и
,следует, что изчетырех членов ряда наиболь-
1
1
3
2
32!
1
3
3
, аследом заним повеличине идет
. Изтого, что
1 3
32!
1 2
, а
1 2
больше,
2
2
1 2
.
ЗАДАЧА 7.12
Укласса есть возможность принять участие впоходе. Же­лающих оказалось пять человек, асвободных мест— всего три. Вчисле желающих— Аманда, Билл, Кэрол, Дэн иЭван. Учитель взял пять листочков бумаги, каждый сименем од­ного изжелающих, положил ихвшляпу ивытащил три ли­сточка наугад. Какова вероятность того, что Аманда, Билл иКэрол попадут вчисло участников похода?
Обычный подход
Сначала определим, сколько вариантов выбора может суще­ствовать. Порядок неимеет значения, поэтому это комбина­торная задача. Изпяти листочков выбирают потри зараз:
543
uu
C
53
123
uu
10.
Поскольку Аманда, Билл иКэрол могут выпасть только
один раз, ответ
1
10
.
Образцовое решение
Если вы незнакомы скомбинаторными вычислениями, то можете воспользоваться стратегией организации
166
Стратегии решения математических задач
данных. Составим перечень всех возможных сочетаний имен влюбом порядке:
ABC BCD CDE ABD BCE ABE BDE ACD ACE ADE
Существует 10 возможных вариантов выбора трех чело­век. Только один изних, аименно ABC, удовлетворяет ус­ловиям задачи. Таким образом, правильным ответом будет
один из10, или
10
1
.
Глава 8
Схематичное
изображение,
или Визуальное
представление
Когда вопросы взадаче касаются определенной геометри­ческой фигуры или рисунка, без слов понятно, что построе­ние схем, или визуальное представление, является неотъем­лемой частью метода решения. Это необходимо ипомогает решить задачу. Довольно трудно представить, чтобы мате­матики вдалекие времена оперировали геометрическими понятиями без рисунков или хотябы демонстрировали свои геометрические расчеты без использования чертежа. Вме­сте стем есть множество задач, где условия непредпола­гают построения чертежа, однако визуализация того, очем идет речь, намного облегчает поиск решения. Многие люди лучше воспринимают информацию визуально— чтобы по­нять происходящее, им нужна картина, анепросто слова. Это недомыслы. Визуализация— очень сильный метод, помогающий вникнуть вданную ситуацию.
Например, когда нужно объяснить, как найти чей-то дом,
схема направления движения просто неоценима. Рисунок
168
Стратегии решения математических задач
помогает увидеть маршрут вцелом. Вжурналах игазетах по­стоянно используются графики идругие визуальные инстру­менты для сравнения или противопоставления ситуаций. Когда вы покупаете что-то идолжны собрать это сами, вру­ководстве производителя помимо письменных инструкций обычно приводятся рисунки. Вбольшинстве видов спорта, особенно вфутболе ибаскетболе, тренер объясняет страте­гию игры, как правило, спомощью диаграмм, или рисунков скрестиками иноликами. Все это примеры повседневного использования стратегии схематичного изображения, когда напрямую оно нетребуется. Вконце концов, незряже го­ворят, что лучше один раз увидеть, чем 100 раз услышать.
Возьмем для примера математическую задачу, вкоторой изначально мало кто ожидает использования визуального представления.
Уг-наАдамса есть два теста взапасе для выпускного эк-
замена поалгебре, которые он хочет использовать вдвух
классах. Вкаждом тесте 26 разных вопросов. Он берет
первые четыре вопроса изтеста 1 идобавляет ихвконец
теста 2. Затем он берет четыре первых вопроса изтеста 2
идобавляет ихвконец теста 1. Вкаждом тесте теперь 30
вопросов. Сколько одинаковых вопросов вобоих тестах?
Ситуацию доипосле перестановок можно представить схематично, или визуализировать ее:
Тест 1 A B C D E … W X Y Z
До
Тест 212345…23242526
Тест 1 A B C D E … W X Y Z
После
Тест 212345…23242526
1234
ABCD
Глава 8. Схематичное изображение, или Визуальное представление
169
Теперь видно, что тесты содержат восемь одинаковых вопросов, аименно 1, 2, 3, 4 иA, B, C,D. Хотя вэтом слу­чае необязательно использовать визуальное представле­ние, изадачу можно решить другими методами, создание схемы позволяет увидеть, что происходит. Такой подход облегчает поиск решения. Имейте ввиду, когда мы гово­рим овизуальном представлении, необязательно подра­зумевается «вычерчивание» чего-либо.
Вот еще одна задача, где визуальное представление по­могает увидеть происходящее.
Длина стороны равностороннего треугольника равна
40см. Средние точки сторон соединяются так, что об-
разуется второй равносторонний треугольник. Средние
точки сторон этого треугольника соединяются так, что
образуется третий треугольник. Этот процесс продолжа-
ется дотех пор, пока мы неполучим пять треугольников.
Чему равен периметр пятого треугольника?
Излишне говорить, что в случае решения геометри­ческой задачи — даже такой, которую легко изло­жить насловах,— построение чертежа очень полезно, атоипросто необходимо. Нам нужно видеть, очем идет речь (рис.8.1).
Чертеж должен показывать, что отрезок, соединяю­щий средние точки двух сторон треугольника, равен по­ловине длины третьей стороны ипараллелен ей. Таким об­разом, каждая сторона любого нашего треугольника равна
1
длины соответствующей стороны предыдущего треуголь-
2
ника. Периметр каждого последующего треугольника ра­вен половине периметра предыдущего треугольника. Для полной ясности составим таблицу, отражающую процесс.
170
Треугольник 1 40 120 Треугольник 2 20 60 Треугольник 3 10 30 Треугольник 4 5 15 Треугольник 5 2,5 7,5
Стратегии решения математических задач
Рис. 8.1
Длина стороны, см Периметр, см
Периметр пятого треугольника равен 7,5см. Сделанный нами чертеж помог визуализировать ситуацию ирешить задачу. Хотя решить ее можно ибез рисунка, глядя начер­теж, легче найти ответ.
Чтобы подчеркнуть ценность использования схематич­ного представления, когда это напрямую нетребуется вус­ловиях, рассмотрим такую задачу.
В5:00 часы бьют пять раз втечение 5 секунд. Сколько
времени потребуется этим часам, чтобы пробить 10 раз
в10:00? (Предполагается, что насами удары часов время
нетребуется.)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности