Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2320 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 9. Учет всех возможностей

191

Простые числа:

Разность:

Простые числа:

Разность:

357

47 53 59

466264264684

11 13 17 19 23 29 31 37 41

424246264 2

61 67 71 73 79 83 89 97 101

Всписке простых чисел от1 до100 (хотя вситуации учителя математики можно былобы ограничиться числами вдиапазоне от20 до80) только вдвух случаях три последовательных простых числа имеют одинаковую разность. Первый случай— 3, 5 и7— нам неподходит, поскольку пятилетних учителей математики небывает. Второй случай— 47, 53 и59— укладывается вподходящий возрастной диапазон. Таким образом, учителю математики должно быть 53года.

ЗАДАЧА 9.2

Найдите количество сочетаний, при которых 20 монет достоинством 5 центов, 10центов и25центов могут составить всумме $3,10.

Обычный подход

Большинство людей сразу начинают составлять алгебраические уравнения, отражающие информацию изусловий задачи. Врезультате они получают: n+d+q=20, гдеn, d иq— количество 5-, 10- и25-центовых монет соответственно. Это можно записать, как n = 20– q– d. Кроме того, 25q+10d+5n=310, что при объединении спре- дыдущими двумя уравнениями дает: 25q+10d+5 (20–

q– d)=310. Отсюда 4q+d=42, или

q = 10 +

2–d

. После

192

Стратегии решения математических задач

этого остается лишь подставлять разные значения, чтобы выявить наилучший результат.

Образцовое решение

Унас, однако, есть более рацио нальный метод, аименно учет всех возможных значений d. Прежде всего, мы заме- чаем, что q должно быть целым числом, азначит необхо-

димо выделить дробную часть q, т. е.

2 – d

, или d=2–4k.

Подставив это вприведенное выше уравнение, мы получаем q=10+k, аn=20– q– d=20– (10+k)– (2–4k), или n=8+3k.

Поскольку d=2–4k, значение k может быть либо ну-

левым, либо отрицательным.

Втаблице ниже приведены возможные значения k ивы-

текающие изнего значения d, q иn.

kdqn

02108 –1 6 9 5 –2 10 8 2 –3 –10 7 –1

При k=0,–1,–2 мы получаем реальные варианты. Когдаже k=–3, d=2–4(–3)=14, аn=8+3(–3)=–1, что неимеет смысла вэтой задаче. Таким образом, количество сочетаний, при которых сумма составляет $3,10, равно трем.

ЗАДАЧА 9.3

Для доставки консервов изтунца компания может использовать небольшие коробки, вкоторые входит восемь банок,

Глава 9. Учет всех возможностей

193

икоробки побольше, вмещающие 10 банок. Сцелью экономии компания старается чаще использовать большие коробки. Если заказ составляет 96 банок, токак лучше упаковать его для отправки?

Обычный подход

Эта задача имеет любопытное математическое решение. Если обозначить как x количество небольших коробок, акак y количество больших коробок, томы получим уравнение:

8x+10y=96.

Вэтом уравнении, однако, две неизвестные, что обычно означает наличие множества решений. Такое уравнение, где значения x иy могут быть только целыми, называют диофантовым поимени древнегреческого математика Диофанта (примерно 208–292гг. н. э.). Попробуем решить его. Выразим x через y:

96 108y





–

Значение члена

чить целое значениеx. Пусть y=4. Тогда

должно быть целым, чтобы полу-

–2y

, аx= 12–

–4–1=7. Таким образом, мы получаем семь маленьких коробок ичетыре больших. Могутли существовать другие ответы? Попробуем поискать их. Аналогичным образом можно принять y=0 иполучить 12 и0. Наконец при y=8 мы получаем x=2.

194

Стратегии решения математических задач

Образцовое решение

Для решения этой задачи лучше всего подходит стратегия учета всех возможностей и представление данных втабличной форме.

Маленькие

коробки

12 96 0 0 96

Количество

банок

Большие

коробки

Количество

банок

Суммарное

количество

банок

Похоже, мы сразу получили один правильный ответ! Он удовлетворяет численным условиям задачи— необходимо отправить 96 банок. Вместе стем единственнаяли это возможность? Вконце концов, такой ответ означает, что компания неиспользует ниодной большой коробки. Аизусловий нам известно, что она стремится использовать максимальное количество больших коробок. Поэтому продолжим таблицу ипопробуем найти все возможные варианты.

Маленькие

коробки

12 96 0 0 96

11 88 Неупакованы 8 банок 10 80 Неупакованы 16 банок

9 72 Неупакованы 24 банки 8 64 Неупакованы 32 банки

75644096

6 48 Неупакованы 48 банок 5 40 Неупакованы 56 банок 4 32 Неупакованы 64 банки 3 24 Неупакованы 72 банки

21688096

Количество

банок

Большие

коробки

Количество

банок

Суммарное количество

банок

Глава 9. Учет всех возможностей

195

Существуют три варианта упаковки: 2 маленьких коробки и8 больших; 7 маленьких коробок и4 больших; 12 маленьких коробок и0 больших. Вместе стем, поскольку компания стремится использовать максимальное количество больших коробок, ответ для нашей задачи— 2 маленькие коробки и8 больших. Обратите внимание нато, что сматематической точки зрения все три ответа удовлетворяют условию, всоответствии скоторым необходимо отправить 96 банок. Контекст задачи, однако, заставляет отбросить два варианта ответа изтех трех, что позволила выявить таблица.

ЗАДАЧА 9.4

На стандартном игральном кубике точки на противоположных гранях составляют всумме 7. Сколько разных сумм дают точки натрех соседних гранях стандартного кубика?

Обычный подход

Одни обычно пытаются нарисовать кубик ипоследовательно подсчитать точки насоседних гранях. Другие начинают выписывать возможные сочетания точек натрех гранях, независимо оттого, находятся они рядом или нет.

Образцовое решение

Организуем данные таким образом, чтобы можно было учесть все возможности. Поскольку сумма точек напротивоположных гранях равна 7, варианты сочетания могут быть лишь такими:

1 и6; 2 и5; 3 и4.

196

Стратегии решения математических задач

Известно, что утрех соседних граней должна быть общая вершина. Всего вершин укубика восемь, поэтому наборов изтрех соседних граней тоже должно быть восемь. Посмотрим, разные уних суммы точек или нет. Для этого перечислим все возможные сочетания потри, выбирая одно число наописанных выше трех парах противоположных граней, апотом определим ихсуммы. Чтобы непропустить ниодной возможности, выбор будем проводить упорядоченно:

{1, 2, 3}; сумма=6

{6, 5, 3}; сумма=14

{6, 2, 4}; сумма=12

{1, 5, 3}; сумма=9

{1, 2, 4}; сумма=7

{6, 5, 4}; сумма=15.

{6, 2, 3}; сумма=11

{1, 5, 4}; сумма=10

Существует восемь разных сумм, как иследовало ожидать при восьми вершинах.

ЗАДАЧА 9.5

Вовремя последней переписи населения респондент сказал переписчику, что унего трое детей. Когда его спросили обихвозрасте, он ответил, что не может сказать этого, нопроизведение ихвозрастов равно 72, асумма такаяже, как номер нашего дома. Переписчик выбежал наулицу, посмотрел номер дома исказал, что все равно непонимает. Тогда респондент добавил: «Ах да, язабыл сказать, что мой старшенький любит блинчики счерникой». После этого переписчик быстро заполнил графу возраста. Сколько лет детям респондента? (Рассматривайте только целые числа.)

Глава 9. Учет всех возможностей

Обычный подход

197

Самый распространенный подход— попытаться составить ряд уравнений. Если обозначить возраст трех детей, как x,

y иz, томы получаем:

x×y×z=72; x+y+z=h (где h— номер дома).

Здесь мы заходим втупик: унас сис тема издвух уравнений счетырьмя неизвестными. Такую задачу, похоже, невозможно решить. Можно, конечно, попробовать угадать, нонаэто потребуется уйма времени.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией учета всех возможностей. Поскольку произведение возрастов равно 72, начнем сперечисления всех троек чисел, которые при перемножении дают 72. Небудем забывать также обаккуратной организации данных, чтобы неупустить какую-нибудь возможность.

1, 1, 72 1, 4, 18 2, 2, 18 2, 6, 6 1, 2, 36 1, 6, 12 2, 3, 12 3, 3, 8 1, 3, 24 1, 8, 9 2, 4, 9 3, 4, 6

Это полный список триад чисел, произведение которых равно72. Где-то внем прячется ответ. Мы также знаем, что сумма возрастов равна номеру дома:

1+1+72=74 1+4+18=23 2+2+18=22 1+2+36=39 1+6+12=19 2+3+12=17 1+3+24=28 1+8+9=18 2+4+9=15 3+4+6=13.

2+6+6=14 3+3+8=14

Переписчик видел номер дома, однако все равно немог определить возраст детей. Почему? Если, например, номер

198

Стратегии решения математических задач

дома равен, скажем, 18, товозраст становится очевидным— 1, 8 и9. Однако невозможность определить правильную тройку чисел предположительно связана стем, что есть две тройки чисел, дающие всумме 14. Иначе говоря, удома должен быть номер 14. Вместе стем, как только респондент произнес слова «мой старшенький любит блинчики счерникой», переписчик понял, что один ребенок должен быть старшим. Вэтом случае возраст детей равен 3, 3 и8, поскольку втройке 2, 6 и6 нет единственного старшего.

Обратите внимание нато, что блинчики счерникой наделе всего лишь отвлекающие слова. Ключом крешению задачи является слово «старшенький».

ЗАДАЧА 9.6

Сколько общих для двух окружностей касательных можно провести нарис.9.1?

Рис. 9.1

Глава 9. Учет всех возможностей

Обычный подход

199

Можно попробовать построить общие касательные исосчитать их, однако нет никакой гарантии, что это будут все касательные, поскольку рисунок довольно обманчив.

Образцовое решение

Чтобы организованно подойти крешению этой задачи, нужно брать подве окружности за раз и учитывать все возможности.

Окружности A иB: 2 внешних касательных+1 внутренняя; Окружности A иC: 2 внешних касательных+2 внутренних; Окружности B иC: 2 внешних касательных.

Таким образом, суммарное количество общих касательных равно девяти. Задача легко решается путем учета всех возможностей.

ЗАДАЧА 9.7

Мария помогает отцу укладывать плитку напол прямоугольной комнаты для игр. Всего уних ушло ровно 2005 квадратных плиток двух цветов— черного ибелого. Периметр водну плитку шириной был полностью черным. Остальная плитка имела белый цвет. Сколько белых плиток потребовалось, чтобы покрыть пол?

Обычный подход

Если сделать рисунок, томы получим два прямоугольника, как показано нарис.9.2. Если размеры внутреннего прямоугольника x иy, тоширина внешнего равна x+2, адлина— y+2.

200

Стратегии решения математических задач

y+2

Рис. 9.2

x+2x+2

Естественная реакция — представить полученную ин-

формацию алгебраически вформе уравнения:

(x+2) (y+2)=2005.

Выполнив умножение иупростив это уравнение, мы

получим:

xy+2y+2x+4=2005;

xy+2y+2x=2001.

Мы получили одно уравнение сдвумя неизвестными,

инам нужно найти xy. Это тупик, анерешение.

Образцовое решение

Подойдем кимеющейся информации сдругой стороны ирассмотрим все возможности. Количество плиток, 2005, можно разложить намножители только двумя путями: либо 1×2005, либо 5×401. Это дает два возможных размера искомого прямоугольника. Первую ситуацию можно отбросить, поскольку при ширине водну плитку для белых плиток места нет. Следовательно, вигровой комнате

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2320 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]