Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 8. Схематичное изображение, или Визуальное представление

171

Ответ 10 секунд неверен! Характер этой задачи непред- полагает создание каких-либо рисунков. Тем неменее представим ситуацию схематично, чтобы увидеть суть происходящего. Насхеме каждая точка представляет удар часов. Нарис.8.2 мы видим, что общее время боя составляет 5секунд, амежду ударами четыре интервала.



Рис. 8.2

Изэтого следует, что интервал должен составлять

се-

кунды. Теперь рассмотрим второй случай нарис.8.3.



Рис. 8.3

Здесь мы видим, что между 10 ударами девять интер-

валов. Поскольку интервал равен

тельность боя часов в10:00 составит секунды.

секунды, продолжи-

9 ×

5 4

, или

11 ×

1 4

Схема значительно упростила задачу, которая иначе могла сбить человека столку.

Стратегия составления схем или диаграмм, когда они нетребуются поусловиям задачи, нередко помогает найти решение, авнекоторых случаях прямо дает ответ, особенно внесложных задачах, где визуальное представление делает решение очевидным.

172

ЗАДАЧА 8.1

Стратегии решения математических задач

Вклассе г-наСтраусса 25 столов, расставленных ввиде квадрата впять рядов попять столов вкаждом. Г-н Страусс хочет, чтобы все поменялись местами потакому правилу: каждый переходит застол, находящийся слева или справа отнего, или застол, находящийся перед ним или позади него. Можноли осуществить это?

Обычный подход

Самый распространенный подход крешению этой задачи— взять 25 листочков бумаги, которые будут обозначать столы, иподвигать ихвсоответствии справилом г-наСтраусса. Это неудобно, впроцессе трудно уследить завсеми перемещениями иполучить правильный ответ.

Образцовое решение

Вместо того, чтобы двигать листочки, давайте сделаем схему, или визуально представим расположение столов. Изобразим класс с25 столами в виде шахматной доски, как показано нарис.8.4.

Рис. 8.4

Глава 8. Схематичное изображение, или Визуальное представление

173

Чтобы ученики соблюдали правило г-наСтраусса, им нужно переходить сзакрашенного стола нанезакрашенный или наоборот. Однако унас 13 закрашенных столов итолько 12 незакрашенных. Таким образом, пересаживание поправилу г-наСтраусса невозможно.

ЗАДАЧА 8.2

Стои мость разрезания исваривания звена цепи составляет $1,00. Уженщины есть семь звеньев, иона хочет сделать изних цепь. Восколько долларов как минимум это обойдется?

Обычный подход

Наиболее очевидный подход— разрезать шесть звеньев, соединить ихисварить. Это будет стоить $6,00. Однако наверняка должен быть способ уменьшить затраты.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией визуального представления. Разомкнем звено 2 исоединим звенья 1, 2 и3, как показано нарис.8.5.

1 2 3

Рис. 8.5

174

Стратегии решения математических задач

Разомкнем звено 5 исоединим звенья 4, 5 и6, как по-

казано нарис.8.6.

564

Рис. 8.6

1237456

Рис. 8.7

Наконец, разомкнем звено 7 исоединим цепочки 1-2-3

и4-5-6, как показано нарис.8.7.

Поскольку нам пришлось разрезать только три звена,

создание цепи обойдется в$3,00.

ЗАДАЧА 8.3

Если всреднем полторы несушки могут снести полтора яйца заполтора дня, тосколько яиц снесут шесть несушек завосемь дней?

Глава 8. Схематичное изображение, или Визуальное представление

Обычный подход

175

Это старая задача, которая выдержала испытание временем. Традиционно ее решают следующим образом. По-

скольку

несушки работают

работа пооткладыванию полутора яиц (

×

, или 

«несушко-дня». Аналогичным образом вто-

дня, можно сказать, что

яйца) занимает

рая работа занимает 6×8, или 48 «несушко-дней». Таким образом, можно составить пропорцию.

Обозначим заx количество яиц, снесенных 6 несушками за8 дней. Тогда,

несушкодней

я й ц а

48несушкодней яицx

Перемножив средние икрайние члены пропорции, мы получим:

u u

48 ;

4 9

72;

32.

Образцовое решение

Вкачестве альтернативного подхода можно использовать следующее визуальное представление ситуации (вданном случае табличное):

несушки откладывают

яйца за

3 2

дня;

176

Стратегии решения математических задач

Умножим надва предыдущую строку:

Разделим натри предыдущую строку:

Умножим надва предыдущую строку:

Умножим навосемь предыдущую строку:

3 несушки откладывают

3яйца за

дня;

3 несушки откладывают 6яиц за3 дня;

3 несушки откладывают 2яйца за1 день;

6 несушек откладывают 4яйца за1 день;

6 несушек откладывают 32яйца за8 дней.

Таким образом, 6 несушек должны снести 32 яйца за

8дней.

ЗАДАЧА 8.4

Джек иСэм заняты неполный рабочий день вместной пиццерии. Пиццерия открыта 7 дней внеделю. Джек работает день через два, аСэм— день через три. Они работали вместе во вторник 1 марта. В какие еще дни марта Джек иСэм будут работать вместе?

Обычный подход

Обычно берут два листа бумаги ивыписывают наних раздельно все даты, вкоторые Джек иСэм выходили наработу. Затем даты сравнивают иопределяют совпадения. Это совершенно законный метод решения, который дает правильный ответ.

Глава 8. Схематичное изображение, или Визуальное представление

177

Образцовое решение

Более рацио нальный подход кэтой задаче предполагает анализ сиспользованием визуального представления. Нарисуем календарь ипросто поставим инициалы молодых людей вклетках стеми датами, вкоторые они работают.

Вс. Пн. Вт. Ср. Чт. Пт. Сб.

Д13С

20 21 27

Д1С

789

14 15

СД

28 29

22 23 24

23Д45

СД

16 17

10 11 12

Д25С

Вте даты, где стоят инициалы обоих молодых людей, они работают вместе. Нарисунке эти даты ясно видны: 13и25 марта.

Эту задачу можно решить еще одним способом, если посмотреть нанее сдругой точки зрения. Известно, что числа 4 и3 являются взаимно простыми ипредставляют количество дней врабочем цикле каждого молодого человека, соответственно. Ихобщее кратное, 12, дает дни между датами, вкоторые они работают вместе. Таким образом, 1+12=13— это день, когда молодые люди работают вместе после первого дня, а13+12=25— это день, вкоторый они работают вместе вследующий раз.

ЗАДАЧА 8.5

Наместной ярмарке несколько работников занимаются отслеживанием количества людей, принимающих участие вконкретных мероприятиях каждый день. Записи Розалинды показывают, что спонедельника досубботы включительно стенд для стрельбы излука посетили 510 человек. Поподсчетам

178

Стратегии решения математических задач

Габиэля с понедельника по среду включительно наэтом стенде побывали 392 человека, аФрэнк насчитал тамвовторник ивпятницу 220 человек. Адель работала всреду, четверг исубботу иунее получилось всумме 208 человек. Наконец, взаписях Альфреда значилось, что счетверга посубботу включительно настенде побывали 118 человек. Если предположить, что все эти данные правильны, тосколько человек посетили стенд для стрельбы излука впонедельник?

Обычный подход

Как правило, начинают составлять ряды уравнений, вкоторых переменные представляют разные дни недели. Врезультате получается пять уравнений первой степени сшестью неизвестными. Конечно, невсе неизвестные встречаются вкаждом уравнении.

Пн.+Вт.+Ср.+Чт.+Пт.+Сб.=510; (8.1)

Пн.+Вт.+Ср.=392; (8.2)

Вт.+Пт.=220; (8.3)

Ср.+Чт.+Сб.=208; (8.4)

Чт.+Пт.+Сб.=118. (8.5)

Решив эту сис тему уравнений, можно попытаться найти ответ. Однако этот процесс довольно сложен ибольшинству непод силу. (Мало кто догадывается, что врезультате вычитания уравнений 8.3 и8.4 изуравнения 8.1 полу чается Пн.=82.)

Образцовое решение

Визуализируем условия задачи ввиде таблицы посещаемости стенда:

Глава 8. Схематичное изображение, или Визуальное представление

179

Понедельник

Розалинда ЧЧЧЧЧЧ510 Габриэль × × × 392 Фрэнк × × 220 Адель × × × 208 Альфред × × × 118

Вторник

Среда

Четверг

Пятница

Суббота

Всего

Обратите внимание нато, что заисключением понедельника каждый день упоминается три раза. Это приводит кдвойному учету посетителей четырьмя последними учетчиками вовсе дни кроме понедельника. Таким образом, мы получаем одно уравнение:

2×510– (392+220+208+118)=

= количество посетителей впонедельник;

1020 – 938=82.

Впонедельник стенд посетили 82 человека.

ЗАДАЧА 8.6

Аманда, Айан, Сара иЭмили выставили своих лягушек для участия всоревнованиях надальность прыжка наярмарке. Лягушка Аманды опередила лягушку Эмили, нооказалась непервой. Лягушка Сары проиграла лягушке Аманды, нобыла непоследней. Как распределились места лягушек?

Обычный подход

Чаще всего берут четыре фишки, жетона или монеты, наклеивают наних стикер сименем владельца ипереставляют этих

180

Стратегии решения математических задач

«лягушек» дотех пор, пока результат небудет удовлетворять условиям задачи.

Образцовое решение

Эту задачу проще решить сиспользованием визуального представления. Прежде всего, мы знаем, что лягушка Аманды опередила лягушку Эмили, нобыла непервой. Обозначим это схематично так:

Аманда



Эмили

Лягушка Сары проиграла лягушке Аманды, но была непоследней. Продолжив построение схемы, мы получаем следующее распределение мест:

Айан



Аманда

1234



Сара



Эмили

Схема позволила легко увидеть порядок, вкотором распределились места.

ЗАДАЧА 8.7

Из40 мальчиков воздоровительном лагере «Кэмп-Уолден» 14 участвовали взаплыве наозере, 13 играли вбаскетбол, а16 ходили впоход. Трое мальчиков играли вбаскетбол иучаствовали взаплыве. Пять мальчиков участвовали взаплыве иходили впоход. Восьмеро мальчиков играли вбаскетбол иходили впоход, адвое мальчиков участвовали вовсех трех спортивных мероприятиях. Сколько мальчиков вэтом лагере неучаствовали нивчем?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]