Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 237 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 3

Действие

отобратного

Само название этой стратегии приводит взамешательство большинство людей. Такой подход совершенно неестественен. Когда мы ходили вшколу, нас учили решать математические задачи впрямом порядке. Какбы тонибыло, многие задачи вреальной жизни решаются именно отобратного. Вкачестве простого примера предположим, что вам нужно забрать ребенка стренировки точно в17:00. Восколько нужно выйти издома? Допустим, чтобы добраться достадиона, нужно 30 минут. По-хорошему, кэтому следует добавить запас 5 минут. Значит, выйти нужно за35 минут, или непозднее 16:25. Даже незадумываясь обэтом, мы использовали действие отобратного! Конечно, это сильно упрощенный пример применения данной стратегии.

Чтобы лучше понять такой тип мышления, рассмотрим еще один пример. Допустим, произошла автомобильная авария. Полиции приходится действовать отобратного, чтобы восстановить сцену произошедшего. Кто в кого врезался? Какой автомобиль занесло? Как далеко тянутся следы шин наасфальте? Укого было преимущество впроезде? Это всего лишь один измножества примеров действия отобратного.

Стратегии решения математических задач

Вслучае применения подхода отобратного мы обычно начинаем сконца задачи, или с «ответа». Отэтой точки восстанавливаются необходимые действия. Так, если взадаче говорится «увеличилось на2», мы «уменьшаем на2», или вычитаем 2. Как-никак, если мы увеличили что-то на2, тодля возврата кпредыдущему этапу нужно уменьшить это на 2. Аналогичным образом, если говорится обумножении на3, то в случае действия от обратного, необходимо разделить результат на3. Рассмотрим типичную задачу.

Средний результат Марии в11 тестах равен 80. При опре-

делении итогового среднего результата учительница про-

являет благосклонность иотбрасывает низший резуль-

тат. Внашем случае она отбрасывает 30. Какой итоговый

средний результат уМарии?

Будем двигаться отсреднего результата Марии. Среднее (или среднее арифметическое) обычно определяется путем сложения всех результатов иделения суммы наколичество результатов. Если средний результат 11 тестов равен 80, тосумма результатов 11 тестов должна составлять 11×80=880. (Обратите внимание нато, что мы умножаем на11, т. е. выполняем обратное действие поотношению кпервоначальному делению на11.) Вычтем резуль тат30, который учительница отбросила, иуменьшим количество тестов наединицу. Таким образом, суммарный результат 10 тестов равен 850. Итоговый средний результат Марии равен:

850: 10=85.

Попробуем решить еще одну задачу спомощью действия отобратного.

Глава 3. Действие отобратного

Дэвид вернулся после четырех раундов игры вбейсбольные карточки. Вего набор теперь входят 45 карточек. Когда япоинтересовался его успехами, он ответил, что потерял половину карточек впервом раунде. Вовтором раунде он выиграл в12 раз больше того, что было унего втот момент. Втретьем раунде выигрыш составил 9 карточек. Четвертый раунд закончился вничью, поэтому количество карточек уигроков неизменилось. Сколько карточек было уДэвида перед началом игры?

Можно, конечно, составить ряд уравнений ипопробовать решить задачу напрямую. Однако давайте посмотрим, сработаетли здесь наш подход отобратного. Унас есть конечный результат (45 карточек), анайти нужно начальное количество. Это своего рода «товарный знак» типичной задачи, эффективно решаемой с помощью вычисления отобратного. Итак, Дэвид закончил игру с 45 карточками. Четвертый раунд закончился вничью, поэтому вконце третьего раунда унего были все те же 45 карточек. Втретьем раунде выигрыш составил 9 карточек, значит вконце второго раунда количество карточек было равно 36. Вовтором раунде мальчик выиграл в12 раз больше карточек, чем было, поэтому вконце первого раунда он должен был иметь 3 карточки. Впервом раунде Дэвид проиграл половину своих карточек, таким образом, он начал игру с6 карточками. Подход отобратного позволил легко решить эту задачу.

ЗАДАЧА 3.1

Сумма двух чисел равна 2. Произведение этихже двух чисел равно 5. Найдите сумму обратных величин этих двух чисел.

Обычный подход

Стратегии решения математических задач

Задача очевидно предполагает составление двух уравнений сдвумя неизвестными:

x+y=2;

xy=5.

Эти два уравнения можно решить одновременно сис-

пользованием формулы корней квадратного уравнения:

bb ac

r 

для ax2+bx+c=0. Однако этот метод

дает значения для x иy ввиде комплексных чисел, аименно 1+2i и1–2i. Всоответствии сусловиями нашей задачи нам нужно найти сумму обратных величин этих двух квадратных корней.

12 12



11 2



12 12 12 12 5

ii ii

 



Подчеркнем, что втаком методе нет ничего неправиль-

ного, это просто несамый изящный способ решения задачи.

Образцовое решение

Прежде чем браться за решение задачи, полезно отступить нашаг назад ипосмотреть, что требуется. Заметим, что вданной задаче требуется определить незначения x

иy, асумму обратных величин этих двух чисел. Иначе го-

воря, нам нужно найти

1+1

. Используя подход отоб-

ратного, мы можем задаться вопросом, кчему это ведет.

Сложение этих двух дробей может дать ответ. Таким обра-

1+1=x+y

зом,

yxy

. Фактически мы сразу получаем ответ,

Глава 3. Действие отобратного

поскольку знаем, что сумма чисел равна 2, аихпроизведение— 5. Просто подставим эти значения впоследнюю

дробь иполучим:

1+1=x+y=2

xy 5

. Задача решена.

ЗАДАЧА 3.2

Враспоряжении Лорен 11-литровый и5-литровый сосуды. Как ей отмерить точно 7 литров воды?

Обычный подход

Большинство людей начинают строить догадки и«переливать воду» туда-сюда впопытке найти правильный ответ. Это своего рода «неинтеллектуальный» метод проб иошибок.

Образцовое решение

Вместе стем задачу можно решить более рацио нально при использовании подхода отобратного. Вконечном итоге нам нужно получить 7 литров воды в11-литровом сосуде, оставив свободным пространство объемом 4 литра. Откуда взялись эти 4 литра? (См. рис.3.1.)

4 ЛИТРА

7 ЛИТРОВ

11-ЛИТРОВЫЙ

СОСУД

Рис. 3.1

Стратегии решения математических задач

10 ЛИТРОВ

5 ЛИТРОВ

1 ЛИТР

5 ЛИТРОВ

Рис. 3.2

Чтобы получить 4 литра, мы должны оставить 1 литр воды в5-литровом сосуде. Нокак получить 1 литр втаком сосуде? Наполните 11-литровый сосуд водой идважды отлейте воду в5-литровый сосуд. В11-литровом сосуде останется ровно 1 литр воды. Вылейте этот 1 литр в5-литровый сосуд (рис.3.2).

Теперь наполните 11-литровый сосуд иотлейте изнего 4литра воды в5-литровый сосуд доего заполнения. В11-литровом сосуде останутся требуемые 7 литров воды (рис.3.3).

7 ЛИТРОВ

5-ЛИТРОВЫЙ

СОСУД

Рис. 3.3

4 ЛИТРА

1 ЛИТР

Глава 3. Действие отобратного

Учтите, что задачи подобного типа невсегда имеют решение. Иначе говоря, если вы хотите составить новую задачу такого вида, следует знать, что решение существует только втех случаях, когда разница величин, кратных емкостям двух сосудов, может быть равной заданному объему. Внашем случае 2×11–3×5=7.

ЗАДАЧА 3.3

Поопределению, палиндром— это число, которое одинаково читается слева направо исправа налево. Так, числа66, 595, 2332, 7007 являются палиндромами. Учитель Джека дал классу задание найти сумму первых 15 натуральных чисел. Джек взял калькулятор исложил все числа от1 до15. Результат, кего удивлению, оказался палиндромом. Вместе стем Джек пропустил одно число. Какое число он забыл включить?

Обычный подход

Как правило пытаются составить все возможные комбинации слагаемых, исключая поодному числу каждый раз, дотех пор, пока сумма 14 чисел не даст палиндром. Такой грубый метод вполне работоспособен, особенно когда вы используете калькулятор. Вместе стем он требует времени, если вы действительно исключаете поодному числу зараз.

Образцовое решение

Попробуем подойти крешению задачи иначе исначала определим, какую сумму должны дать первые 15натуральных чисел. Хотя можно воспользоваться известной форму-

Стратегии решения математических задач

лой для вычисления суммы членов арифметической про-

грессии, аименно

u



намного интереснее пойти

путем, который предложил Карл Фридрих Гаусс, когда ему было 10лет. Вместо того, чтобы складывать числа последовательно: 1+2+3+…+14+15, он кпервому числу прибавил последнее, затем ковторому— предпоследнее ит. д. Врезультате у него получилось семь раз по16 и8 всередине, что всумме составило 7×16+8=120.

Поскольку Джек упустил одно слагаемое и получил палиндром, результатом должно быть число 111. Вы можете возразить, почему именно этот палиндром, ане 101, например? Чтобы получить 101, упустив одно число, вы должны забыть 19, аэто число лежит за пределами нашего интервала 1–15. Таким образом, Джек забыл число9.

ЗАДАЧА 3.4

Мама испекла печенье на полдник для Берты. В первый день Берта съела половину всего испеченного печенья. Навторой день она съела половину оттого, что осталось. Натретий день — одну четверть остатка, ана четвертый— одну треть. На пятый день она довольствовалась половиной того, что осталось, анашестой день доела одно последнее печенье. Какое количество печенья испекла мама Берты?

Обычный подход

Первая реакция— написать ряд выражений, представляющих количество печенья, съеденного каждый день. Допустим, x— это начальное количество печенья.

Глава 3. Действие отобратного

День Было Съедено Остаток

Таким образом,

x=16.

§· ¨

48 16

©¹

Мама Берты испекла 16 печений.

Образцовое решение

Более эффективным является использование нашего подхода отобратного. Начнем сконца задачи ипойдем вобратном порядке:

Вдень 6 Берта съела одно последнее печенье, значит

было 1 печенье;

Вдень 5 она съела 1 / 2, значит было 2 печенья; Вдень 4 она съела 1 / 3, значит было 3 печенья; Вдень 3 она съела 1 / 4, значит было 4 печенья; Вдень 2 она съела 1 / 2, значит было 8 печений; Вдень 1 она съела 1 / 2, значит было 16 печений.

Таким образом, вначале уБерты было 16 печений. Об-

ратите внимание нато, что при вычислениях отобратного

Стратегии решения математических задач

необходимо изменять используемые операции на«обратные». Вместо деления пополам мы должны удваивать, вместо сложения— вычитать ит. д. Это довольно легкий процесс.

ЗАДАЧА 3.5

Задача, которая ставит втупик многих любителей математики, выглядит так: Марии 24года. Она вдва раза старше, чем была Анна, когда ей было столькоже, сколько Анне сейчас. Сколько лет Анне?

Обычный подход

Для решения этой задачи недостаточно просто составить уравнение, которое даст ответ. Требуется нечто большее. Можно начать ссоздания таблицы, показанной нарис.3.4.

Раньше Сейчас

Анна aa+x

Мария 24– x 24

Рис. 3.4

Мы имеем 24=2a, следовательно a=12. Кроме того, 24– x=a+x=12+x, следовательно x=6. Анне было12, когда Марии было столькоже (18), сколько Анне сейчас(18).

Образцовое решение

Подход отобратного может оказаться полезным для решения этой задачи. Араз так, тоначнем соследующих рассуждений.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 237 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]